6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II

Задачи на клетчатой бумаге (страница 4)

Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела 6. Геометрия на плоскости (планиметрия). Часть II:

Это старая версия каталога задач

Нажмите для перехода на новую версию

\(\blacktriangleright\) Помним, что каждая клетка представляет собой квадрат.

 

\(\blacktriangleright\) В равных прямоугольниках равны диагонали.

 

\(\blacktriangleright\) Теорема Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.


 

\(\blacktriangleright\) В прямоугольном треугольнике катет, лежащий против угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы.
И наоборот: катет, равный половине гипотенузы, лежит против угла \(30^\circ\) (рис. 1).

 

\(\blacktriangleright\) Медиана, проведенная к основанию в равнобедренном треугольнике, является высотой и биссектрисой (рис. 2).

Решаем задачи
Задание 22 #3721

Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки \(1\) см \(\times\) \(1\) см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Показать решение

Опишем вокруг трапеции прямоугольник, как показано на рисунке:



Тогда для того, чтобы найти площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади трех прямоугольных треугольников: \[S=6\cdot 7-\left(\dfrac12\cdot 6\cdot 6+\dfrac12\cdot 1\cdot 3+\dfrac12 \cdot 3\cdot 3\right)=18\]

Ответ: 18
Задание 23 #3958

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times 1\) изображен угол. Найдите синус этого угла.

Показать решение

Продлим одну из сторон тупого угла \(A\) на отрезок \(AC\) так, чтобы \(BC\perp AC\):



Заметим, что все вершины треугольника \(ABC\) находятся в узлах решетки, причем \(AC=3, BC=4\). Тогда \(AB=\sqrt{3^2+4^2}=5\). Так как синус острого угла (в прямоугольном треугольнике) – это отношение противолежащего катета к гипотенузе, то \[\sin \angle BAC=\dfrac{BC}{AB}=\dfrac45=0,8\] Угол \(BAC\) с тупым углом \(A\) – смежные, следовательно, их синусы равны, значит, синус тупого угла \(A\) равен также \(0,8\).

Ответ: 0,8
Задание 24 #4000

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен треугольник \(ABC\). Найдите длину его биссектрисы, проведенной из вершины \(B\).

 

Показать решение

Из рисунка видно, что треугольник равнобедренный (\(BA=BC\)). Следовательно, биссектриса, опущенная из вершины \(B\), будет также являться медианой и высотой. Тогда биссектриса \(BH\) равна \(3\):

 

Ответ: 3
Задание 25 #4020

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен угол. Найдите тангенс этого угла.

Показать решение

Проведем перпендикуляр \(BH\) к стороне \(OA\). Получим прямоугольный треугольник \(OBH\). Из него \(\mathrm{tg}\,\angle O=BH:OH=3:5=0,6\).

Ответ: 0,6
Задание 26 #3713

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\times1\) изображен угол. Найдите его градусную величину.

Показать решение

Отметим точки \(A, B, C, D\) и рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\):



\(AC=BC=3\) – катеты, следовательно, треугольник равнобедренный, значит, \[\angle BAD=\angle BAC=45^\circ\]

Ответ: 45
Задание 27 #3712

На клетчатой бумаге с размером клетки \(1\) см \(\times\) \(1\) см отмечены точки \(A\) и \(B\). Найдите длину отрезка \(AB\) в сантиметрах.

Показать решение

Рассмотрим прямоугольный \(\triangle ABC\):



Катеты \(AC\) и \(BC\) равны соответственно \(9\) и \(12\), следовательно, по теореме Пифагора гипотенуза \(AB\) равна \[AB=\sqrt{9^2+12^2}=15\]

Ответ: 15
Задание 28 #3711

Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки \(1\) см \(\times\) \(1\) см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Показать решение

Отметим точки \(A, B, C\) и проведем отрезок \(CH\), как показано на рисунке:



Заметим, что \(CH\perp AB\). Следовательно, площадь треугольника равна \[S=\dfrac12\cdot AB\cdot CH=\dfrac12\cdot 9\cdot 5=22,5\]

Ответ: 22,5
1

...

3

4

56
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!