Решение неравенств (страница 4)

ОДЗ: \[\begin{aligned} (2x - e)(x^2 + e)\neq 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x - e)(x^2 - e) = 0\quad\Leftrightarrow\quad (x - e)(x - \sqrt{e})(x + \sqrt{e}) = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя: \[x = e,\qquad\qquad x = \sqrt{e},\qquad\qquad x = -\sqrt{e}\]

2) Найдём нули знаменателя: \[(2x - e)(x^2 + e) = 0\] так как \(x^2\geqslant 0\), то \(x^2 + e\geqslant e > 0\), следовательно, знаменатель обращается в \(0\) только при \(x = \dfrac{e}{2}\).

Сравним \(\dfrac{e}{2}\) и \(\sqrt{e}\). Так как \(\dfrac{e}{2} > 0\) и \(\sqrt{e} > 0\), то \[\dfrac{e}{2}\ast \sqrt{e}\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{e^2}{4}\ast e\qquad\Leftrightarrow\qquad e\cdot \dfrac{e}{4}\ast e\cdot 1\qquad\Leftrightarrow\qquad \dfrac{e}{4}\ast 1\,,\] таким образом, \(\ast\) – это знак \(<\).

По методу интервалов:



откуда \[x\in\left[-\sqrt{e}; \dfrac{e}{2}\right)\cup[\sqrt{e}; e]\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

ОДЗ: \[\begin{aligned} (x - e)^2(x^2 - 1)\neq 0 \end{aligned}\]

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения \[(x + e)^2(x^2 + 1)^2 = 0\] Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Кроме того, \(x^2\geqslant 0\), тогда \(x^2 + 1\geqslant 1 > 0\), следовательно, нули числителя: \[x = -e\]

2) Найдём нули знаменателя: \[(x - e)^2(x^2 - 1) = 0\quad\Leftrightarrow\quad (x - e)^2(x - 1)(x + 1) = 0\quad\Leftrightarrow\quad \left[ \begin{gathered} x = e\\ x = 1\\ x = -1 \end{gathered} \right.\]

По методу интервалов:



откуда \[x\in(-1; 1)\cup\{-e\}\,.\] В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

ОДЗ:

\[\begin{aligned} 2x^4 + 5x^2 + 1 \neq 0 \end{aligned}\]

Сделаем замену \(x^2 = t\geqslant 0\):

\[\begin{aligned} \dfrac{3t^2 + 6t + 2}{2t^2 + 5t + 1} \geqslant 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя:\[3t^2 + 6t + 2 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad t = -1 \pm \dfrac{\sqrt{3}}{3}\] – оба корня отрицательные, следовательно, \(3t^2 + 6t + 2 > 0\) – при любом \(t\geqslant 0\).

Найдём нули знаменателя:\[2t^2 + 5t + 1 = 0 \qquad\Leftrightarrow\qquad t = -\dfrac{\sqrt{25}}{4} \pm \dfrac{\sqrt{17}}{4}\] – оба корня отрицательные, следовательно, \(2t^2 + 5t + 1 > 0\) – при любом \(t\geqslant 0\).

Таким образом, и числитель и знаменатель дроби в левой части исходного неравенства положительны при любых \(x\in\mathbb{R}\), следовательно, ответ:\[x\in(-\infty; +\infty)\,.\]

ОДЗ:

\[\begin{aligned} x^4 - x^2 + 1 \neq 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя: \[x^6 + x^3 - 2 = 0\] Сделаем замену \(x^3 = t\): \[t^2 + t - 2 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad t = \dfrac{-1\pm 3}{2}\] тогда \[\left[ \begin{gathered} x^3 = -2\\ x^3 = 1 \end{gathered} \right. \qquad\Leftrightarrow\qquad \left[ \begin{gathered} x = -\sqrt[3]{2}\\ x = 1 \end{gathered} \right.\]

При произвольном \(a\) \[x^3 + a^3 = (x + a)(x^2 - ax + a^2) = (x + a)((x - 0,5a)^2 + 0,75a^2),\] тогда при \(a\neq 0\) знак суммы \(x^3 + a^3\) совпадает со знаком \(x + a\).

Найдём нули знаменателя: \[x^4 - x^2 + 1 = 0\] Сделаем замену \(x^2 = t\geqslant 0\): \[t^2 - t + 1 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (t - 0,5)^2 + 0,75 = 0,\] но \((t - 0,5)^2 + 0,75 > 0\), следовательно, знаменатель левой части исходного неравенства положителен при любых \(x\in\mathbb{R}\).

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} (x - 1)(x + \sqrt[3]{2})\geqslant 0 \end{aligned}\]

По методу интервалов



откуда ответ с учётом ОДЗ:\[x\in(-\infty; -\sqrt[3]{2}]\cup[1; +\infty)\,.\]

ОДЗ: \[\begin{aligned} x^2 - 5x + 7\neq 0 \end{aligned}\]

Найдём нули числителя: \[x^3 + 3x + 14 = 0\] Можно угадать корень \(x = -2\). Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на \(x - x_0\), где \(x_0\) – его корень, тогда \[\begin{array}{rr|l} x^3+0x^2+3x+14&&\negthickspace\underline{\qquad x+2 \qquad}\\ \underline{x^3+ 2x^2\,} \phantom{000000000}&&\negthickspace \ x^2 - 2x + 7\\[-3pt] -2x^2 + 3x\phantom{0000}&&\\ \underline{-2x^2 - 4x}\phantom{0000}&&\\[-3pt] 7x +14 &&\\ \underline{7x +14}&&\\[-3pt] 0&&\\ \end{array}\] Так как \(x^2 - 2x + 7 = (x - 1)^2 + 6 > 0\,,\) то многочлен \(x^2-2x+7\) не имеет корней. Следовательно, полное разложение числителя на множители: \[x^3 + 3x + 14 = (x + 2)(x^2 - 2x + 7)\] Найдём нули знаменателя: \[x^2 - 5x + 7 = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (x - 2,5)^2 + 0,75 = 0,\] но \((x - 2,5)^2 + 0,75 > 0\), следовательно, знаменатель левой части исходного неравенства положителен при любом \(x\). В итоге исходное неравенство равносильно \[\dfrac{(x + 2)(x^2 - 2x + 7)}{x^2 - 5x + 7}\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x + 2\geqslant 0\,.\] Так как по ОДЗ подходят любые \(x\in\mathbb{R}\), то окончательный ответ: \(x\geqslant -2\,.\)

ОДЗ: \[\begin{cases} x^2 - 5\neq 0\\ x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8\neq 0 \end{cases}\] Подробнее рассмотрим левую часть второго неравенства из ОДЗ:

\[\begin{aligned} &x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8 = (x^4 + 4x^3 + 4x^2) + (2x^2 + 8x + 8) =\\ &= x^2(x^2 + 4x + 4) + 2(x^2 + 4x + 4) = (x^2 + 2)(x^2 + 4x + 4) = (x^2 + 2)(x + 2)^2. \end{aligned}\]

Таким образом, ОДЗ: \[\begin{cases} x\neq \pm\sqrt{5}\\ x\neq -2\,. \end{cases}\] Исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}{x^2 - 5} + \dfrac{x^2 - 5}{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}\geqslant 2. \end{aligned}\]

Обозначим \[\dfrac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}{x^2 - 5} = y\] Тогда последнее неравенство на ОДЗ примет вид

\[\begin{aligned} y + \dfrac{1}{y}\geqslant 2.\qquad\qquad(\ast) \end{aligned}\]

Рассмотрим три случая:
1) \(y > 0\), тогда неравенство \((\ast)\) равносильно \[y^2 + 1\geqslant 2y\qquad\Leftrightarrow\qquad y^2 - 2y + 1\geqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^2\geqslant 0,\] то есть все \(y > 0\) являются его решениями (так как \(z^2\geqslant 0\) – при любом \(z\)).
2) \(y = 0\), тогда левая часть неравенства \((\ast)\) не определена.
3) \(y < 0\), тогда неравенство \((\ast)\) равносильно \[y^2 + 1\leqslant 2y\qquad\Leftrightarrow\qquad y^2 - 2y + 1\leqslant 0\qquad\Leftrightarrow\qquad (y - 1)^2\leqslant 0,\] но при \(y\neq 1\) выполнено \((y - 1)^2 > 0\), то есть среди \(y < 0\) решений нет.

Таким образом, на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

\[\begin{aligned} \dfrac{x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 8x + 8}{x^2 - 5} > 0\qquad\Leftrightarrow\qquad\dfrac{(x^2 + 2)(x + 2)^2}{x^2 - 5} > 0. \end{aligned}\]

Числитель последнего неравенства положителен на ОДЗ, тогда оно (а, значит, и исходное неравенство) на ОДЗ равносильно неравенству \[x^2 - 5 > 0,\] решениями которого будут \(x\in(-\infty; -\sqrt{5})\cup(\sqrt{5}; +\infty).\)
Пересечём его решения с ОДЗ: \[x\in(-\infty; -\sqrt{5})\cup(\sqrt{5}; +\infty).\]

Приведем в каждой скобке дроби к общему знаменателю:   \(\dfrac{x^3+6x^2+12x+8}{8x}\cdot \dfrac{(1-x)(x+2)^2-(x-2)^2(1-x)}{(x+2)^2}\geqslant0 \quad \Rightarrow\)   \(\Rightarrow \quad \dfrac{(x+2)^3(1-x)((x+2)^2-(x-2)^2)}{8x(x+2)^2}\geqslant0\)  

По формуле разности квадратов можно преобразовать выражение \((x+2)^2-(x-2)^2=(x+2-(x-2))(x+2+x-2)=4\cdot 2x=8x\).
Тогда неравенство примет вид:

\[\dfrac{(x+2)^3(1-x)\cdot 8x}{8x(x+2)^2}\geqslant0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{(x+2)^3(x-1)x}{x(x+2)^2}\leqslant 0\]

Решим данное неравенство методом интервалов (заметим, что в точке \(0\) знак меняться не будет, т.к. эта точка имеет четную кратность):

Таким образом, подходит \(x\in (-2;0)\cup(0;1]\).