Механическое равновесие

Сила давления на дно будет равна разности силы тяжести и силы Архимеда, действующих на шар \[N=m g-\rho_{0} g \frac{V}{2},\] где \(N\) – сила давления на дно, \(m\) – масса шарика,\(\rho_0\) – плотность воды, \(V\) – объем шарика \[N=\frac{1}{3} m g\] Масса шарика же равна \[m=\rho V,\] где \(\rho\) – плотность материала, из которого сделан шар. Подставим (2) и (3) в (1) и получим \[\frac{1}{3} \rho g V=\rho g V-\rho_{0} g \frac{V}{2}\] Откуда плотность тела \[\rho=\frac{3}{4} \rho_{0}=\frac{3}{4} 1000 \text{ кг/м$^3$}=750 \text{ кг/м$^3$}\]

Запишем второй закон Ньютона и правило моментов относительно центра доски, с учетом того, что доска покоится \[\begin{cases} mg-N_1-F_\text{ тр2}=0\\ N_2-F_\text{ тр1}=0 \quad (1)\\ (F_\text{ тр1}+ N_2 )\dfrac{l}{2}\sin \alpha + F_\text{ тр2}\dfrac{l}{2}\cos \alpha-N_1 \dfrac{l}{2}\cos \alpha =0 \quad (2)\\ \end{cases}\] Так как \(F_\text{ тр1}=\mu N_1\), а \(F_\text{ тр2}=\mu_2 N_2\) и с учетом (1) уравнение (2) можно переписать в виде \[2\mu N_1 \sin \alpha + \mu_2 \mu N_1 \cos \alpha =N_1 \cos \alpha\] Отсюда \(\mu_2\) \[\mu_2 =\dfrac{N_1 \cos \alpha - 2\mu N_1 \sin \alpha }{\mu N_1 \cos \alpha }=\dfrac{1}{\mu} -2 tg \alpha =\dfrac{1}{0,4}-2\cdot 1=0,5\]

На твердое тело, образованное двумя шарами и стержнем действует силы тяжести первого и второго шаров \(m_1 g\)и \(m_2g\), а также силы реакции опоры \(N_1\) и \(N_2\). По условию \(2N_1=N_2\) Запишем второй закон Ньютона и правило моментов относительно точки А. \[\begin{cases} N_1 +N_2 -m_1g -m_2 g=0\\ N_1 x +N_2 (l+x)-m_2 g L=0\\ \end{cases}\] где \(x\) – AC и плечо силы \(N_1\). Так как \(N_2=2N_1\), то систему уравнений можно переписать в виде \[\begin{cases} 3N_1 =g(m_1 +m_2)\\ N_1 x +2N_1 (l+x)=m_2 g L\\ \end{cases}\] Поделим второе уравнение на первое \[x+\dfrac{2l}{3}=L\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\] Отсюда длина стержня \[L=\dfrac{m_2+m_1}{m_2}\left(x+\dfrac{2l}{3}\right)=\dfrac{0,3\text{ кг}+0,2\text{ кг}}{0,3\text{ кг}}\left(0,2\text{ м}+ \dfrac{2\cdot 0,6 \text{ м}}{3}\right)=1\text{ м}\]

Процесс поднятия поршня происходит в 2 этапа. Первый этап: давление под поршнем будет положительным и равное \[p_0-\rho g h\] где \(\rho\) – плотность воды, \(h\) – высота подъезда поршня.
Вода будет заполнять весь объем под поршнем, а приложенная к поршню сила будет компенсировать давление внутри, она будет равна \[F=\rho g h S\] Она будет линейно возрастать. Это будет до момента, пока вода не поднимется на высоту, равную \[h_0=\dfrac{p_0}{\rho g}=\dfrac{100\text{ кПа}}{1000\text{ кг/м$^3$} \cdot 10 Н/кг}=10\text{ м}\] При подъеме поршня на высоту \(h_0\) давление станет равным нулю. После этого вода перестает подниматься, а сила, приложенная к поршню, остается равной \[F'=\rho g h_0 S=p_0S\] Работа по поднятию равна сумме работ: работе по поднятию до высоты \(h_0\) \(A_0=\dfrac{0+F_1}{2}h_0=\dfrac{p_o S h_0}{2}\) (так как она линейно возрастает, то берем как среднее арифметическое от начального, до конечного) и работе по поднятию от высоты \(h_0\) и конечной высоты \(A_1=F_1(h_1-h_0)=p_o Sh_1-p_o Sh_0\). Значит, полная работа равна \[A=\dfrac{p_o S h_0}{2}+ p_0 S h_1 -p_0 Sh_0=p_0 S \left(h_1 -\dfrac{h_0}{2})=100\text{ кПа}\cdot 10^{-2}\text{ м$^2$}(20\text{ м}-5\text{ м}\right)=15\text{ кДж}\]

Так как шарик неподвижен, то из второго закона Ньютона сила Архимеда должна уравновешивать силу тяжести. \[\rho_1 g V_1 +\rho_2 g V_2 =\rho g (v_1 +V_2)\quad (1)\] где \(V_1\) и \(V_2\) – объемы шарика, находящиеся над и под границей раздела жидкостей. Так как по условию над границей раздела двух жидкостей должно находится 25 % объема, то \[\dfrac{V_1}{V_1+V_2}=\dfrac{1}{4} \Rightarrow \dfrac{V_2}{V_1+V_2}=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}\quad (2)\] Разделим (1) на \((V_1+V_2) g\) и получим \[\rho_1 \dfrac{V_1}{V_1+V_2}+\rho_2 \dfrac{V_2}{V_1+V_2}=\rho \quad (3)\] С учетом (2) уравнение (3) можно переписать в виде \[\rho =\dfrac{\rho_1}{4}+\dfrac{3\rho_2}{4}=\dfrac{1500\text{ кг/м$^3$}}{4}+\dfrac{3 \cdot 1000\text{ кг/м$^3$}}{4}=1125\text{ кг/м$^3$}\]

1. Найдем высоту палочки, относительно дна стакана \[H=\sqrt{l^2-4R^2}=\sqrt{0,01\text{ м$^2$}-4\cdot 0,0016\text{ м$^2$}}=0,06\text{ м}\] где \(l\) – длина палочки, \(R\) – радиус стакана.
2. Сделаем рисунок с изображением всех сил, действующих на палочку. 3. Найдем силу Архимеда, действующую на палочку. Палочка погружена в жидкость на \(\dfrac{h}{H}\) от своего объема, то есть \[F_\text{ Арх}=\rho_\text{ж}g\left(\dfrac{h}{H}V \right)=\dfrac{\rho_\text{ж}}{\rho}\dfrac{mgh}{H }\] где \(V\) – объем тела, \(\rho\) – плотность палочки, \(\rho_\text{ж}\) – плотность жидкости.
4. Запишем правило моментов, относительно оси, проходящей перпендикулярно рисунку через точку приложения сил \(F_2\) и \(F_1\). \[mgR-F_\text{арх}\left(\dfrac{h}{2}ctg \alpha\right)-NH=0\] Выразим силу реакции опоры. С учетом третьего закона Ньютона она будет равна силе давления палки на стенку сосуда. \[N=mg\dfrac{R}{H}-F_\text{арх}\left(\dfrac{h}{2H}ctg \alpha\right)=mg\dfrac{R}{H}\left( 1-\dfrac{\rho_\text{ж}}{\rho}\left(\dfrac{h}{H}\right)^2\right)=\] \[F=N=0,0009\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\dfrac{0,04\text{ м}}{0,06\text{ м}}\left( 1-\dfrac{1000\text{ кг/м$^3$}}{2700\text{ кг/м$^3$}}\left( \dfrac{0,04\text{ м}}{0,06\text{ м}}\right)^2 \right)\approx 5\cdot 10^{-3}\text{ Н}\]

1. Сделаем рисунки с расставлением всех сил 2. Так как нить нерастяжима и невесома, то сила натяжения нить повсюду одинакова. Кроме того, из кинематической связи имеем, что ускорение первого груза совпадает с ускорением второго (в первом случае), тогда в проекциях на ось \(x\) второй закон Ньютона примет вид \[\begin{cases} m_1 g -T= m_1 a\\ m_2g-T=-m_2a\\ \end{cases}\] Сложим 2 уравнения и выразим массу второго груза \[m_2=\dfrac{m_1(g-a)}{g+a}\] 3. Запишем второй закон Ньютона для второго случая \[\begin{cases} m_1 g -T'-F_\text{арх}= 0\\ m_2g-T'=0\\ \end{cases}\] Вычтем из первого уравнения системы второе, выразив ускорение, с учетом того, что сила Архимеда равна \(F_\text{арх}=\rho g V\), а масса второго груза \(m_2=\dfrac{m_1(g-a)}{g+a}\) \[a=\dfrac{\rho g V}{2m_1-\rho V}=\dfrac{1000\text{ кг/м$^3$ }\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot 1,5\cdot 10^{-4}\text{ м$^3$}}{2\cdot 0,5\text{ кг}-1000\text{ кг/м$^3$ }1,5\cdot 10^{-4}\text{ м$^3$}}\approx 1,8 \text{ м/с$^2$}\]