Механическое равновесие (страница 2)
Два небольших шара массами \(m_1 = 0,2\) кг и \(m_2 = 0,3\) кг закреплены на концах невесомого стержня \(AB\), расположенного горизонтально на опорах \(C \)и \(D\) (см. рисунок). Расстояние между опорами \(l = 0,6\) м, а расстояние \(AC\) равно 0,2 м. Чему равна длина стержня \(L\), если сила давления стержня на опору \(D\) в 2 раза больше, чем на опору \(C\)? Сделайте рисунок с указанием внешних сил, действующих на систему тел «стержень — шары».
Источник: Демонстрационная версия ЕГЭ – 2020 по физике. 
На твердое тело, образованное двумя шарами и стержнем действует силы тяжести первого и второго шаров \(m_1 g\)и \(m_2g\), а также силы реакции опоры \(N_1\) и \(N_2\). По условию \(2N_1=N_2\) Запишем второй закон Ньютона и правило моментов относительно точки А. \[\begin{cases}
N_1 +N_2 -m_1g -m_2 g=0\\
N_1 x +N_2 (l+x)-m_2 g L=0\\
\end{cases}\] где \(x\) – AC и плечо силы \(N_1\). Так как \(N_2=2N_1\), то систему уравнений можно переписать в виде \[\begin{cases}
3N_1 =g(m_1 +m_2)\\
N_1 x +2N_1 (l+x)=m_2 g L\\
\end{cases}\] Поделим второе уравнение на первое \[x+\dfrac{2l}{3}=L\dfrac{m_2}{m_1+m_2}\] Отсюда длина стержня \[L=\dfrac{m_2+m_1}{m_2}\left(x+\dfrac{2l}{3}\right)=\dfrac{0,3\text{ кг}+0,2\text{ кг}}{0,3\text{ кг}}\left(0,2\text{ м}+ \dfrac{2\cdot 0,6 \text{ м}}{3}\right)=1\text{ м}\]
К вертикальной стенке прислонена однородная доска, образующая с горизонтальным полом угол \(\alpha=45^\circ\) Коэффициент трения доски об пол равен \(\mu=0,4\) Каков должен быть коэффициент трения доски о стену, чтобы доска оставалась в равновесии?
Запишем второй закон Ньютона и правило моментов относительно центра доски, с учетом того, что доска покоится \[\begin{cases}
mg-N_1-F_\text{ тр2}=0\\
N_2-F_\text{ тр1}=0 \quad (1)\\
(F_\text{ тр1}+ N_2 )\dfrac{l}{2}\sin \alpha + F_\text{ тр2}\dfrac{l}{2}\cos \alpha-N_1 \dfrac{l}{2}\cos \alpha =0 \quad (2)\\
\end{cases}\] Так как \(F_\text{ тр1}=\mu N_1\), а \(F_\text{ тр2}=\mu_2 N_2\) и с учетом (1) уравнение (2) можно переписать в виде \[2\mu N_1 \sin \alpha + \mu_2 \mu N_1 \cos \alpha =N_1 \cos \alpha\] Отсюда \(\mu_2\) \[\mu_2 =\dfrac{N_1 \cos \alpha - 2\mu N_1 \sin \alpha }{\mu N_1 \cos \alpha }=\dfrac{1}{\mu} -2 tg \alpha =\dfrac{1}{0,4}-2\cdot 1=0,5\]
Система, изображенная на рисунке, находится в равновесии. Стержень \(AC\) невесом и нить нерастяжима и невесома. К точкам \(C\) и \(B\) соответственно подвешены грузы \(m_1=0,1\) кг и \(m_2=0,2\) кг. Найти длину стержня АС, если \(AB=25\) см, углы \(\alpha=45^\circ\), \(\beta=15^\circ\), а масса перекинутого блока \(M=0,2\) кг. Ответ дайте в см и округлите до десятых.
“Основная волна 2020 Вариант 4”
Запишим правило моментов относительно точки А. В точке \(B\) действует только сила натяжения нити равная силе тяжести \(m_1g\), в точке \(C\) действует вниз сила натяжения нити равная силе тяжести \(m_2g\) и сила натяжения нити, действующая вверх, равная \(Mg\) \[m_1g \sin \alpha \cdot AB+ m_2g \sin \alpha \cdot AC = Mg\sin (180-\alpha-\beta)\] Откуда \(AC\) \[AC=\dfrac{m_1g \sin \alpha \cdot AB}{Mg\sin (\alpha+\beta)-m_2g \sin \alpha}=\dfrac{0,1 \text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot \sin 45^\circ\cdot 25\text{ см}}{0,2\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot \sin 60^\circ-0,2\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}\cdot \sin 45^\circ}\approx 55,6\text{ см}\]
Ко дну сосуда с водой площадью \(S=100\) см\(^2\) привязан деревянный шар, при этом нить натягивается и действует на шар с силой \(T\). Если перерезать нить, то шар всплывет, а уровень жидкости изменится на \(h=20\) см. Найдите силу натяжения нити. Ответ дайте в Н.
Пусть \(\rho\) – плотность жидкости, \(H\) – первоначальный уровень воды, тогда после перерезания нити уровень уменьшится на \(h\). Значит гидростатическое давление до перерезания нити \[P_1=\rho g H\] но так как есть еще сила натяжения нити, которая удерживает шар в воде, но не действует на дно, то сила давления на дно равна \[F_1=\rho \cdot g \cdot H \cdot S -T\] Во втором случае нить обрывается и шар всплывает и уровень уменьшается на \(h\), тогда сила давления на дно будет равна \[F_2=\rho \cdot g \cdot (H-h)\cdot S\] Поскольку масса щара и воды остается неизменным, то и сила давления на дно при равновесных состояниях остается неизменной, а значит мы можем приравнять \(F_1\) и \(F_2\) \[\rho \cdot g \cdot H \cdot S -T=\rho \cdot g\cdot H \cdot S -\rho \cdot g\cdot h \cdot S\] Выразим силу натяжения нити \[T=\rho \cdot g\cdot h \cdot S=1000 \text{ кг/м$^3$}\cdot 10\text{ Н/кг} \cdot 0,2\text{ м}\cdot 0,01\text{ м$^2$}=20\text{ Н}\]
К стенке стакана с водой привязан алюминиевый шар массой \(m=3\) кг. Нить образует со стенкой сосуда угол \(\alpha=30^\circ\). Найдите силу натяжения нити. Ответ дайте в Ньютонах. 
Запишем второй закон Ньютона на ось \(y\) \[F_\text{ А}-mg +T\cos \alpha =0 \quad (1)\] С учетом того, что сила Архимеда равна \[F_\text{ А} = \rho_0 g V=\rho_0 g \dfrac{m}{\rho} \quad (2)\] \(\rho_0\) – плотность жидкости, \(V\) – объем погруженной части тела, \(\rho\) – плотность алюминия.
Выразим из (1) силу натяжения нити \(T\), с учетом (2) \[T=\dfrac{mg-\dfrac{\rho_0 g m}{\rho}}{\cos \alpha }=\dfrac{mg(\rho -\rho_0)}{\rho\cos \alpha }=\dfrac{30\text{ Н}(2700 \text{ кг/м$^3$}-1000\text{ кг/м$^3$})}{2700 \text{ кг/м$^3$}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}=22\text{ Н}\]
В сосуд с водой вставлена труба с поперечным сечением \(S=10\) см\(^2\). В трубу налили \(m=100\) г масло плотностью 800 кг/м\(^3\). Найдите разность высот между жидкостью и водой. Ответ дайте в см.
Так как масло “легче” воды, то она будет сверху в трубе, а воды будет общей жидкостью для двух сообщающихся сосудов.
Приравняем давление внутри трубки и вне ее. \[\rho_\text{ м}g h_\text{ м}+ p_o=\rho_\text{ в}g h_\text{ в}+p_o\] где \(\rho_\text{ м}\) – плотность масла, \(\rho_\text{ в}\) – плотность воды, \(h_\text{ м}\) – высота столба масла, \(h_\text{ в}\) – высота столба воды, \(p_o\) – атмосферное давление.
Высоту столба жидкостей выразим через массу масла. \[h_\text{ м}=\dfrac{m}{\rho_\text{ м}\cdot S} \hspace{10 mm} h_\text{ в}=\dfrac{m}{\rho_\text{ в}\cdot S}\] Разность высот \[\Delta h= h_\text{ м}-h_\text{ в}=\dfrac{m}{S}\left(\dfrac{1}{\rho_\text{ м}}-\dfrac{1}{\rho_\text{ в}}\right)=\dfrac{0,1\text{ кг}}{0,001\text{ м$^2$}}\left(\dfrac{1}{800\text{ кг/м$^3$}}-\dfrac{1}{1000\text{ кг/м$^3$}}\right)=0,025\text{ м}=2,5\text{ см}\]
На земле лежит бревно объемом \(V=0,3\) м\(^3\) и средней плотностью \(\rho=450 \) кг/м\(^3\). Чтобы поднять один край бревна надо приложить силу \(F_1=350\) Н. Найдите силу, которую надо приложить к другому краю, чтобы поднять его? Ответ дайте в Ньютонах.
Пусть центр тяжести находится на расстоянии \(x\) от края, к которому была приложена сила \(F_1\), а длина бревна равна \(l\). Также найдем массу бревна \(m=\rho V=450\text{ кг/м$^3$}\cdot 0,3\text{ м$^3$}=135\text{ кг}\).
Запишем уравнение моментов относительно центра тяжести (точка \(x\)) \[\begin{cases}
F_1l-mg(l-x)=0\\
F_2l-mgx=0\\
\end{cases}\] Сложим два уравнения \[l(F_1+F_1)-mgl+mgx-mgx=0 \Rightarrow l(F_1+F_2)=mgl\] Поделим на \(l\) и выразим \(F_2\) \[F_2=mg-F_1=135\text{ кг}\cdot 10\text{ Н/кг}-350\text{ Н}=1000\text{ Н}\]
