Электрический ток. Закон Ома

По закону Ома для полной цепи, сила тока в цепи \[I=\dfrac{\xi}{R+r},\] где \(\xi\) и \(r\) – ЭДС и внутреннее сопротивление источника, \(R\) – внешнее сопротивление.
А мощность вычисляется по формуле: \[P=I^2R=\left(\dfrac{\xi}{r+R}\right)^2R\] Преобразуем данное уравнение: \[\dfrac{\xi^2R}{r^2+2rR+R^2}=P\] Поделим на \( \dfrac{P}{r^2+2rR+R^2}\) \[R^2 \left(2r-\dfrac{\xi^2}{P}\right)R+r=\] Где корни \(R_1\) и \(R_2\) удовлетворяют условию \(r^2=R_1R_2\) Откуда внутреннее сопротивление источника \[r=\sqrt{R_1R_2}=\sqrt{4\text{ Ом}\cdot 9\text{ Ом}}=6\text{ Ом}\] КПД источника же равно отношению мощности, переданной в цепь, к мощности, выделившейся на источнике, то есть \[\eta=\dfrac{I^2R}{I^2(r+R)}=\dfrac{R}{r+R}\] Найдем КПД для первого и второго резисторов \[\eta_1=\dfrac{4\text{ Ом}}{6\text{ Ом}+4\text{ Ом}}=\dfrac{4}{10}\] \[\eta_2=\dfrac{9\text{ Ом}}{6\text{ Ом}+9\text{ Ом}}=\dfrac{9}{15}\] Откуда отношение КПД \[\dfrac{\eta_2}{\eta_1}=\dfrac{90}{60}=1,5\]

Сила тока при замкнутом ключе равна по закону Ома для полной цепи \[I_1=\dfrac{\xi}{R_1}\] Значит, мощность на первом резисторе при замкнутом ключе равна \[P_1=I_1^2 R_1\dfrac{\xi^2}{R_1}\quad (1)\] где \(\xi\) – ЭДС источника.
При разомкнутом ключе сила тока равна \[I_2=\dfrac{\xi}{R_1+R_2}\] При разомкнутом ключе мощности на первом и втором резисторах равны соответственно \[P_1'=I_2^2R_1=\dfrac{\xi^2R_1}{(R_1+R_2)^2} \quad (2)\] \[P_2'=I_2^2R_2=\dfrac{\xi^2R_2}{(R_1+R_2)^2} \quad (3)\] Поделим (1) на (2), с учетом условия \[\dfrac{(R_1+R_2)^2}{R_1^2}=\dfrac{27\text{ Вт}}{3\text{ Вт}}\] Извлечём квадрат \[\dfrac{R_1+R_2}{R_1}=3 \Rightarrow R_2=2R_1 \quad (4)\] Подставим (4) в (3) с учетом (1) \[P_2'=\dfrac{2\xi^2 R_1 }{9R^2_1}=\dfrac{2}{9}P_1=\dfrac{2}{9}27\text{ Вт}=6\text{ Вт}\]

В первом случае ток течет только через резистор \(R_2\), а значит мощность, выделяемая в цепи равна \[P_1=\dfrac{\xi^2}{R_2},\] где \(\xi\) – ЭДС источника.
Отсюда сопротивление второго резистора \[R_2=\dfrac{\xi^2}{P_1}=\dfrac{(12\text{ В})^2}{14,4\text{ Вт}}=10 \text{ Ом}\] Во втором случае ток будет течь через оба резистора, кроме того, так как резисторы подключены параллельно, то на каждом из них будет напряжение \(\xi\), а мощность, выделяемая в цепи, равна \[P_2=\dfrac{\xi^2}{R_1}+\dfrac{\xi^2}{R_2}=\dfrac{\xi^2}{R_1}+P_1\] Откуда сопротивление второго резистора \[R_2=\dfrac{\xi^2}{P_2-P_1}=\dfrac{(12\text{ В})^2}{21,6\text{ Вт}-14,4\text{ Вт}}=20\text{ Ом}\]

Амперметр, при подключении к батарее, показывает силу тока в цепи: \[I=\dfrac{\xi}{R_1+r}, \quad (1)\] где \(\xi\) и \(r\) – ЭДС и внутреннее сопротивление батареи.
При подключении вольтметра, он будет показывает напряжение на себе \[U=\dfrac{\xi}{R_2+r}R_2 \quad (2)\] Поделим (2) на (1) и выразим внутреннее сопротивление источника \[\dfrac{U}{I}=\dfrac{(R_1+r)R_2}{R_2+r}=5 \Rightarrow 30+10r=50+5r \Rightarrow r=4\text{ Ом}\] Подставим в (1) и найдем ЭДС источника \[\xi=I(R_1+r)=25\text{ А}\cdot (5\text{ Ом}+4\text{ Ом})=225\text{ В}\] Теперь находим силу тока короткого замыкания \[I_\text{ к.з.}=\dfrac{\xi}{r}=\dfrac{225\text{ В}}{4\text{ Ом}}=56,25\text{ А}\]

В первом случае вольтметр и резистор подключены последовательно, а вольтметр показывает напряжение на себе, значит, по закону Ома для полной цепи: \[U=\dfrac{\xi}{r+R+R'}R', \quad (1)\] где \(R'\) – сопротивление вольтметра.
Во втором случае вольтметр подключен параллельно резистору, а значит общее сопротивление цепи равно \[R_0=\dfrac{R\cdot R'}{R+R'}\] А напряжение на вольтметре равно напряжению на участке \[U=\dfrac{\xi}{r+R_0}R_0=\dfrac{\xi}{r+\dfrac{R\cdot R'}{R+R'}}\dfrac{R\cdot R'}{R+R'} \quad (2)\] Приравняв (2) и (1), получим \[\dfrac{1}{r+R+R'}=\dfrac{R}{({R+R'})r+R\cdot R'} \Rightarrow (Rr+R'r+R\cdot R'=Rr+R^2+R\cdot R') \Rightarrow R'=\dfrac{R^2}{r}\] Откуда сопротивление вольтметра \[R'=\dfrac{25\text{ Ом$^2$}}{1\text{ Ом}}=25\text{ Ом}\]

По закону Ома для полной цепи сила тока, текущего через реостат, равна \[I=\dfrac{\xi}{R+r} (1),\] где \(\xi\) — ЭДС источника, \(r\) — внутреннее сопротивление источника, \(R\)–внешнее сопротивление.
Мощность, выделяющаяся на реостате: \[P=I^2R(2)\]
Подставим силу тока и уравнения (1) в уравнение (2): \[P=(\dfrac{\xi}{R+r})^2\cdot{R}(3)\]
Найдем максимум мощности.
Для этого найдем производную от формулы (3) и приравняем ее к 0. \[P^\prime_\text{max}=\dfrac{\xi^2 \cdot(R+r)^2-\xi^2\cdot R\cdot2(R+r)}{(R+r)^4}\Rightarrow\] \[\Rightarrow (R+r)-2R=0\]
Таким образом, \[R=r\]
Тогда формула (3) будет иметь вид: \[P=\dfrac{\xi^2}{(r+r)^2}\cdot{r}=\dfrac{\xi^2}{4r}\]
Подставим в полученную формулу исходные данные: \[4,5 \text{ Вт}=\dfrac{(6 \text{ B})^2}{4r}\]
Выразим \(r\): \[r=\dfrac{6^2 \text{ B}^2}{4\cdot4,5 \text{ Вт}}=2\text{ Ом}\]

По закону Ома для полной цепи сила тока, текущего через реостат, равна \[I=\dfrac{\xi}{R+r} (1),\] где \(\xi\) — ЭДС источника, \(r\) — внутреннее сопротивление источника, \(R\)–внешнее сопротивление.
Мощность, выделяющаяся на реостате: \[P=I^2R(2)\]
Подставим силу тока и уравнения (1) в уравнение (2): \[P=(\dfrac{\xi}{R+r})^2\cdot{R}(3)\]
Найдем максимум мощности.
Для этого найдем производную от формулы (3) и приравняем ее к 0. \[P^\prime_\text{max}=\dfrac{\xi^2 \cdot(R+r)^2-\xi^2\cdot R\cdot2(R+r)}{(R+r)^4}\Rightarrow\] \[\Rightarrow (R+r)-2R=0\]
Таким образом, \[R=r\]
Тогда формула (3) будет иметь вид: \[P=\dfrac{\xi^2}{(r+r)^2}\cdot{r}=\dfrac{\xi^2}{4r}\]
Подставим в полученную формулу исходные данные: \[12 \text{Вт}=\dfrac{(18 \text{ B})^2}{4r}\]
Выразим \(r\): \[r=\dfrac{18^2 \text{ B}^2}{4\cdot12 \text{ Вт}}=6,75\text{ Ом}\]