Механические колебания и волны
К потолку лифта с помощью тонкой нерастяжимой нити привязан небольшой шарик, способный совершать колебания. В состоянии покоя период колебаний шарика равен \(\displaystyle \tau_0\). Установите соответствие об изменении периода колебания в следующих ситуациях.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные под соответствующими буквами.
\[\begin{array}{c c} \text{Условия} & \text{Значение периода}\\ \text{А) Лифт двигается в ускорением $0,36g$ вниз }& 1)\ 1,25\tau_0\\ \text{Б) Лифт двигается с ускорением $0,5625g$ вверх}& 2)\ 0,75\tau_0\\ &3)\ 1,2\tau_0\\ &4)\ 0,8\tau_0 \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{А}&\text{Б}\\ \hline & \\ \hline \end{array}\]
Период математического маятника: \[\tau=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\]
\(\tau\) — период, \(l\) — длина нити, \(g\) — ускорение свободного падения
Запишем второй закон Ньютона для математического маятника, который находится в покое: \[T-mg=0\] \[T=mg\] А) Запишем второй закон Ньютона для лифта, который двигается с ускорением вниз: \[T-mg=-ma\] \[T=m(g-a)\] \[g_\text{эффективное}=(g-a)\] Для неинерциальной системы, связаной с лифтом, который двигается с ускорением, равноценно использовать второй закон Ньютона для состояния покоя, но заменить значение ускорения свободного падения на его эффективное значение: \[T=mg_{\text{эффективное}}\] Посчитаем период для движения лифта вниз: \[\tau_1=2\pi\sqrt{\frac{l}{g_\text{эффективное}}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g-a_1}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{0,64g}}=1,25\cdot2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}=1,25\tau_0\] Б) Запишем второй закон Ньютона для лифта, который двигается с ускорением вверх: \[T-mg=+ma\] \[T=m(g+a)\] Для неинерциальной системы, связаной с лифтом, который двигается с ускорением, равноценно использовать второй закон Ньютона для состояния покоя, но заменить значение ускорения свободного падения на его эффективное значение: \[T=mg_{\text{эффективное}}\] \[g_\text{эффективное}=(g+a)\] Посчитаем период для движения лифта вверх: \[\tau_2=2\pi\sqrt{\frac{l}{g_\text{эффективное}}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{g+a_2}}=2\pi\sqrt{\frac{l}{1,5625g}}=0,8\cdot2\pi\sqrt{\frac{l}{g}}=0,8\tau_0\]
Шарик, прикрепленный пружиной к горизонтальной стене, отводят на расстояние \(x\) от состояния равновесия и сообщают начальную скорость \(v_0\). В результате он начинает совершать колебания со амплитудой \(A\). \(k\) — жесткость пружины.
Установите соответсвие между физическими величинами и формулами, по которым они расчитываются.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные под соответствующими буквами.
\[\begin{array}{l l} \text{Физическая величина} & \text{Формула}\\ \text{А) Циклическая частота}& 1)\ \sqrt{\dfrac{v_0^2}{A^2-x^2}}\\ &\\ \text{Б) Период}& 2)\ {\dfrac{v_0^2}{A^2+x^2}}\\ &\\ &3)\ \dfrac{2\pi\cdot(A^2-x^2)}{v_0^2} \\ &\\ &4)\ \dfrac{2\pi\cdot\sqrt{(A^2-x^2)}}{\sqrt{v_0^2}} \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{А}&\text{Б}\\ \hline & \\ \hline \end{array}\]
Запишем закон сохранения энергии для шарика: \[\frac{k\cdot \varDelta x^2}{2} + \frac{m\cdot v_0^2}{2} =\frac{k \cdot A^2}{2}\] \[\frac{k\cdot x^2}{m}+v_0^2=\frac{k\cdot A^2}{m}\] \[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow \omega^2=\frac{k}{m}\] Подставим это в нашу формулу: \[\omega^2\cdot x^2+v_0^2=\omega^2\cdot A^2\] Выразим циклическую частоту: \[\omega=\sqrt{\frac{v_0^2}{A^2-x^2}}\] A — 1
Найдем период: \[T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi \cdot \sqrt{A^2-x^2}}{\sqrt{v_0^2}}\] Б — 4
Брусок массой \(m\) колеблется на пружине с жесткостью \( k\). Затем пружину заменяют на другую жесткостью \(k_1=4k_0\). Изначально циклическая частота и период равны \(\omega_0\) и \(T_0\).
Установите соответствие между физическими величинами и их отношениями.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные под соответствующими буквами.
\[\begin{array}{c c} \text{Физическая величина} & \text{Значение}\\ \text{А) Период колебаний}& 1)\ T_0 > T_1\\ \text{Б) Циклическая частота}& 2)\ T_1 > T_0\\ &3 )\ \omega_0 > \omega_1 \\ &4)\ \omega_1 >\omega_0 \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{А}&\text{Б}\\ \hline & \\ \hline \end{array}\]
A) Период колебаний пружинного маятника: \[T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}\Rightarrow T_0>T_1\]
Б) Циклическая частота маятника: \[\omega=\frac{2\pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}} \Rightarrow \omega_1>\omega_0\]
В наборе имеются две пружины жесткостью \(k\) и \(2k\), а также груз массой \(m\). По какой формуле вычисляется период колебаний пружинного маятника, если сначала пружины соединили последовательно, потом параллельно?
Установите соотвествие между типом соединения и формулой периода.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные под соответствующими буквами.
\[\begin{array}{c c} \text{Тип соединения} & \text{Формула Периода}\\ \text{А) Последовательное соединение}& 1)\ T=2\pi \sqrt{\dfrac{3m}{k}}\\ \text{ Б) Параллельное соединение}& 2)\ T=2\pi \sqrt{\dfrac{m}{3k}} \\ &3)\ T=2\pi \sqrt{\dfrac{2m}{3k}} \\ &4)\ T=2\pi \sqrt{\dfrac{3m}{2k}} \end{array}\]
А) Для последовательного соединения общая жесткость пружин будет равна: \[\frac{1}{k_2}=\frac{1}{k} +\frac{1}{2k} \rightarrow k_2= \frac{2}{3} k\] Тогда период будет равен: \[T=2\pi \sqrt{\frac{3m}{2k}}\] А — 4
Б) Для параллельного соединения общая жесткость пружин будет равна: \[k_1=k+2k=3k\] Тогда период будет равен: \[T=2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}\] Б — 2
Источник звука совершает \(N\) колебаний за промежуток времени \(t\). Частоту колебаний источника увеличивают на \(\Delta\nu\). Скорость звука \(v\).
Установите соответсвие между физическими величинами и формулами, по которым они расчитываются.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные под соответствующими буквами.
\[\begin{array}{c c} \text{Физическая величина:} & \text{Формула:}\\ \text{А) Период после изменения частоты}& 1)\ T=\dfrac{1}{\dfrac{N}{t}+\varDelta\nu}\\ &\\ \text{ Б) Длина волны после изменения частоты }& 2)\ T=\left(\dfrac{t}{N}+\varDelta\nu\right)\cdot\lambda\\ &\\ &3)\ \lambda=\dfrac{v}{\dfrac{N}{t} +\varDelta\nu} \\ &\\ &4)\ \lambda= v \cdot\left( \dfrac{v}{\dfrac{N}{t} +\varDelta\nu}\right) \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{А}&\text{Б}\\ \hline & \\ \hline \end{array}\]
Введем обозначения: \(\nu_1\) — частота после изменения, \(\nu_0\) — изначальная частота. Изначальную частоту колебаний можно найти по формуле: \[\nu_0=\dfrac{N}{t}\] После изменения, частота будет равна: \[\nu_0 = \dfrac{N}{t}+\varDelta \nu\] Длину волны можно найти из формулы: \[v=\lambda \cdot \nu \Rightarrow\] \[\lambda=\dfrac{v}{\dfrac{N}{t} +\varDelta\nu}\] Б — 3
Период можно найти из формулы: \[\nu=\dfrac{ 1 }{T} \Rightarrow\] \[T=\frac{1}{\dfrac{N}{t}+\varDelta\nu}\] А — 1
На гладком горизонтальном столе брусок массой \(M\), прикреплённый к вертикальной стене пружиной жёсткостью \(k\), совершает гармонические колебания с амплитудой \(A\) (см. рисунок). Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.
\[\begin{array}{ll} \text{ФИЗИЧЕСКАЯ ВЕЛИЧИНА}&\text{ФОРМУЛА}\\ \text{А) период колебаний груза}& 1) 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k}}\\ &2) A\sqrt{\dfrac{M}{k}}\\ \text{Б) амплитуда скорости груза}& 3) 2\pi\sqrt{\dfrac{k}{M}}\\ & 4) A\sqrt{\dfrac{k}{M}}\\ \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{А}&\text{Б}\\ \hline & \\ \hline \end{array}\]
“Демоверсия 2017”
Ответ – 1
А) Период колебания вычисляется по формуле: \[T=2\pi \sqrt{\dfrac{M}{k}}\] Ответ – 4
Б) Циклическая частота при этом равна: \[\omega =\sqrt{\dfrac{k}{M}}\] Координата тела вычисляется по формуе: \[x=A\cos\omega t\] Берем производную по времени и \[v=-A\omega \sin \omega t\] Все, что стоит перед синусом является амплитудой, следовательно, амплитуда по модулю \[v_{max}=A\sqrt{\dfrac{k}{M}}\]
Шарик, прикрепленный пружиной к горизонтальной стене, отводят на расстояние \(x\) от состояния равновесия и сообщают начальную скорость \(v_0\). В результате он начинает совершать колебания со амплитудой \(A\). \(k\) — жесткость пружины.
Установите соответсвие между физическими величинами и формулами, по которым они расчитываются.
К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные под соответствующими буквами.
\[\begin{array}{l l} \text{Физическая величина} & \text{Формула}\\ \text{А) Циклическая частота}& 1)\ \sqrt{\dfrac{v_0^2}{A^2-x^2}}\\ &\\ \text{Б) Период}& 2)\ {\dfrac{v_0^2}{A^2+x^2}}\\ &\\ &3)\ \dfrac{2\pi\cdot(A^2-x^2)}{v_0^2} \\ &\\ &4)\ \dfrac{2\pi\cdot\sqrt{(A^2-x^2)}}{\sqrt{v_0^2}} \end{array}\]
\[\begin{array}{|c|c|} \hline \text{А}&\text{Б}\\ \hline & \\ \hline \end{array}\]
“Основная волна 2020 ”
Запишем закон сохранения энергии для шарика: \[\frac{k\cdot \varDelta x^2}{2} + \frac{m\cdot v_0^2}{2} =\frac{k \cdot A^2}{2}\] \[\frac{k\cdot x^2}{m}+v_0^2=\frac{k\cdot A^2}{m}\] \[\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}\Rightarrow \omega^2=\frac{k}{m}\] Подставим это в нашу формулу: \[\omega^2\cdot x^2+v_0^2=\omega^2\cdot A^2\] Выразим циклическую частоту: \[\omega=\sqrt{\frac{v_0^2}{A^2-x^2}}\] A — 1
Найдем период: \[T=\frac{2\pi}{\omega}=\frac{2\pi \cdot \sqrt{A^2-x^2}}{\sqrt{v_0^2}}\] Б — 4
