Тема Геометрия 7-9

04 Окружность → 04.02 Касательные и секущие

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия 7-9

Разделы подтемы Окружность

Вписанные и центральные углы

Касательные и секущие

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#133890

Выберите верный рисунок к условию задачи: прямая $p$ и окружность имеют две общие точки.

$PIC$

Источники: Геометрия. 8 класс. Тесты: В 2 ч. Белицкая Оксана Викторовна (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Имеют одну точку пересечения.

б) Имеют две точки пересечения.

в) Вообще не имеют точек пересечения.

г) Вообще не имеют точек пересечения.

Ответ: б.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#133910

Выберите верный рисунок к условию задачи: $d= 1,1$ дм; $r=90$ мм.

(p - прямая, d - расстояние от центра окружности до прямой p, r - радиус окружности.)

$PIC$

Источники: Геометрия. 8 класс. Тесты: В 2 ч. Белицкая Оксана Викторовна (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

а) Расстояние от центра окружности до прямой меньше, чем радиус, так как прямая - секущая.

б) Расстояние от центра окружности до прямой больше, чем радиус, так как прямая не пересекается с окружностью.

в) Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, так как прямая - касательная.

г) Расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, так как прямая - касательная.

Ответ: б.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#133923

Может ли $d$ равняться $r?$

( $p −$ прямая, $d −$ расстояние от центра окружности до прямой $p, r −$ радиус окружности.)

Источники: Геометрия. 8 класс. Тесты: В 2 ч. Белицкая Оксана Викторовна (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Расстояние от центра окружности до точки касания с прямой равно радиусу.

Ответ: Да; в этом случае прямая p называется касательной к окружности

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#133925

По рисунку сформулируйте теорему о свойстве касательной к окружности.

$1) p∥OA$

$2) p=2 ⋅OA$

$3) p$ пересекает $r$ в точке $O$

$4) p⊥OA$

$PIC$

Источники: Геометрия. 8 класс. Тесты: В 2 ч. Белицкая Оксана Викторовна (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

Касательная к окружности всегда перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

Ответ: 4)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#133927

Рисунок демонстрирует свойство отрезков касательных, проведенных из одной точки. Есть ли на нем ошибка?

$PIC$

Источники: Геометрия. 8 класс. Тесты: В 2 ч. Белицкая Оксана Викторовна (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

1.: Отрезки касательных $AB$ и $AC,$ проведённые из точки $A$ к окружности с центром $O,$ равны по длине: $AB =AC.$ На рисунке это условие выполняется.
2.: Касательные перпендикулярны радиусам, проведённым в точки касания: $OB ⊥AB$ и $OC ⊥ AC.$ На рисунке это верно.
3.: Прямая $AO$ (соединяющая точку $A$ и центр окружности $O$ ) должна быть биссектрисой угла между касательными. Однако на рисунке прямая $AO$ не проходит через центр $O,$ что является ошибкой.

Ответ: Отрезки касательных к окружности составляют равные углы с такой прямой, которая проходит через центр окружности и общую точку касательных, а на рисунке прямая не проходит через точку O

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#133928

$CD −$ касательная. $OC = 17$ дм, $∠OCD =30∘.$ Найдите радиус окружности.

$1) 34$ м

$2) 8,5$ дм

$3) 17$ дм

$√-- 4) 17$ дм

$PIC$

Источники: Геометрия. 8 класс. Тесты: В 2 ч. Белицкая Оксана Викторовна (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике $COD$ катет $OD$ лежит напротив угла $30∘,$ значит катет $OD$ равен $17 :2= 8,5$ дм. Он как раз и является радиусом окружности, то есть радиус равен $8,5$ дм.

Ответ: 2)

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#133929

Пользуясь свойством отрезков касательных, найдите стороны треугольника $ADM.$

$PIC$

Источники: Геометрия. 8 класс. Тесты: В 2 ч. Белицкая Оксана Викторовна (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим точки касания буквами $O, J, L.$ Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны. Значит:

DO = DJ = 2; ML =MO =5; AJ = AL =6

Тогда стороны треугольника равны:

MD = MO + OD = 5+2 =7

DA = DJ + JA= 2+ 6= 8

MA = ML +LA = 5+ 6= 11

Ответ: 7, 8, 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#133930

$AB$ и $AC −$ отрезки касательных, угол между ними равен $90∘.$ Радиус окружности $r$ равен $50$ мм. Найдите $AO.$

$√- 1) 50 3$ мм

$2) 2500$ мм

$√- 3) 25 2$ мм

$√- 4) 50 2$ мм

$PIC$

Источники: Геометрия. 8 класс. Тесты: В 2 ч. Белицкая Оксана Викторовна (см. go.11klasov.net)

Показать ответ и решение

$ABOC −$ квадрат, т.к. $OC = OB$ и углы $ACO = ABO = BAC = 90∘$ (первые два как угол между радиусом и касательной, третий по условию). Значит $AO −$ диагональ квадрата со стороной $50$ мм значит $√--2---2 √- AO = 50 +50 = 50 2$ мм.

Ответ: 4)

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#133931

Если из точки вне окружности проведены две касательные, то:

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Согласно свойству касательных, проведённых из одной точки к окружности:

Отрезки касательных от внешней точки до точек касания равны
Эти отрезки образуют равные углы с прямой, соединяющей данную точку с центром окружности

Ответ: Отрезки касательных равны между собой

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#133932

Какое утверждение верно для касательной к окружности?

Источники: Авторская, Хаткова Р. Р.

Показать ответ и решение

Рассмотрим основные свойства касательной к окружности:

Касательная имеет ровно одну общую точку с окружностью (точку касания), поэтому утверждение $1)$ неверно
Согласно теореме о свойстве касательной: касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания. Следовательно:
- Утверждение $2)$ неверно (касательная не может быть параллельна радиусу)
- Утверждение $3)$ верно (это и есть основное свойство)
Угол между касательной и радиусом всегда равен $90∘$ , поэтому утверждение $4)$ о произвольном угле неверно

Ответ: Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания

Предыдущая подтема