12.07 Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#32308Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = x3 − 6x2$ на отрезке $[− 3;3].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 3x − 12x

Найдем нули производной:

′ y = 0 ⇒ 3x(x − 4)= 0 ⇔ x= 0;4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[−3;3]$ попадает нуль производной $x =0$ .

$PICT$

При $x∈ [− 3;0)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x ∈(0;3]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке $[−3;3]$ функция имеет точку максимума $x= 0$ , в которой и достигается наибольшее значение на этом отрезке, и оно равно

y(0)=0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#32309Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = x3 +2x2− 4x+4$ на отрезке $[−2;0].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 3x +4x− 4

Найдем нули производной:

′ 2 2 y = 0 ⇒ 3x + 4x − 4 =0 ⇔ x= −2;3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− 2;0]$ попадает нуль производной $x =− 2$ .

$PICT$

При $x∈ [− 2;0]$ производная отриательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке $[− 2;0]$ наибольшее значение функции достигается в точке $x= −2$ , и оно равно

y(−2)= −23+2 ⋅22+ 4⋅2+ 4= 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#32310Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 3x − 2x32$ на отрезке $[0;7].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 1 y =3 − 3x2

Найдем нули производной:

′ √- y = 0 ⇒ x = 1 ⇔ x= 1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x ∈[0;1)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x∈ (1;7]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке $[1;9]$ наибольшее значение достигается в точке максимума $x =1$ , и оно равно

y(1)= 3⋅1− 2⋅1 =1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#32311Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $√- y = x x − 3x +1$ на отрезке $[1;9].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥ 0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную (заметим, что $- x√x =x 32$ ):

′ 3 1 y = 2x2 − 3

Найдем нули производной:

√- y′ =0 ⇒ x= 2 ⇔ x= 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [1;4)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x∈ (4;9]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[1;9]$ наименьшее значение достигается в точке $x =4$ , и оно равно

3 y(4)= 42 − 3 ⋅4+ 1= −3.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#32312Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $√ - y = 3x − 2x x$ на отрезке $[0;4].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥ 0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную (заметим, что $- x√x =x 32$ ):

′ 12 y = 3− 3x

Найдем нули производной:

′ √- y =0 ⇒ x= 1 ⇔ x= 1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [0;1)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x ∈(1;4]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке $[1;4]$ наибольшее значение достигается в точке максимума $x =1$ , и оно равно

y(1)= 3⋅1− 2⋅1 = 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#32313Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции

3 2 y = x − 6,5x + 14x− 14

на отрезке $[−4;3].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = 3x2− 13x +14

Найдем нули производной:

7 y′ = 0 ⇒ 3x2− 13x+ 14= 0 ⇔ x = 2;3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков.

$PICT$

При $x∈ [− 4;2)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $( 7) x ∈ 2;3$ производная отрицательна, то есть функция убывает; при $( ] x ∈ 73;3$ производная положительна, то есть функция снова возрастает. Следовательно, на отрезке $[−4;3]$ наибольшее значение достигается в точке максимума $x= 2$ или в конце отрезка $x= 3 :$

y(2) =23 − 6,5⋅22+ 14⋅2− 14= − 4 y(3) =33 − 6,5⋅32+ 14⋅3− 14= − 3,5

Следовательно, наибольшее значение функции равно -3,5.

Ответ: -3,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#32314Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 15 +12x+ x3$ на отрезке $[−2;2].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= 12+ 3x

Найдем нули производной:

′ 2 y =0 ⇒ 3(4+ x )= 0 ⇔ x∈ ∅

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. В нашем случае производная таковых точек не имеет, следоваитетно, всюду принимает значения одного знака, а именно $y′(x) >0$ для всех $x ∈ℝ$ (это можно проверить, подставив, например, $x= 0$ ). Следовательно, функция возрастает на всем $ℝ$ , значит, на отрезке $[−2;2]$ наибольшее значение достигается в конце отрезка, то есть в точке $x =2$ , и оно равно

3 y(2)= 15+ 12⋅2+ 2 =47.

Ответ: 47

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#32315Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = x5 − 5x3− 20x$ на отрезке $[−6;1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 4 2 y = 5x − 15x − 20

Найдем нули производной:

′ 4 2 2 y = 0 ⇒ 5(x − 3x − 4)= 0 ⇔ x = −1;4 ⇔ x = ±2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− 6;1]$ попадает нуль производной $x =− 2$ .

$PICT$

При $x∈ [− 6;− 2)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x∈ (−2;1]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке $[−6;1]$ наибольшее значение достигается в точке максимума $x= −2$ , и оно равно

y(−2)= −25+5 ⋅23+ 20⋅2= 48.

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#32316Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 3x5− 20x3− 54$ на отрезке $[−4;− 1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 4 2 y = 15x − 60x

Найдем нули производной:

′ 2 2 2 y =0 ⇒ 3x(5x − 20)= 0 ⇔ x =0;4 ⇔ x = 0;±2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− 4;−1]$ попадает нуль производной $x =− 2$ .

$PICT$

При $x∈ [− 4;− 2)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x∈ (−2;− 1]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке $[−4;−1]$ наибольшее значение достигается в точке максимума $x= −2$ , и оно равно

y(− 2)= −3 ⋅25+ 20⋅23− 54= 10.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#32317Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 3+27x− x3$ на отрезке $[− 3;3].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= 27− 3x

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 9 ⇔ x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[2;10]$ попадает нуль производной $x= 6$ .

$PICT$

При $x∈ [− 3;3]$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает. Следовательно, на отрезке $[−3;3]$ наибольшее значение достигается в конце отрезка, то есть в точке $x =3$ , и оно равно

y(3)= 3+ 27⋅3 − 33 = 57.

Ответ: 57

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#32318Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = x3 − 3x+ 4$ на отрезке $[− 2;0].$

Источники: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 3x − 3

Найдем нули производной:

′ 2 y= 0 ⇒ x = 1 ⇔ x =±1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− 2;0]$ попадает нуль производной $x =− 1$ .

$PICT$

При $x∈ [− 2;− 1)$ производная положительна, то есть функция возрастает; при $x∈ (−1;0]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке $[−2;0]$ наибольшее значение достигается в точке максимума $x= −1$ , и оно равно

y(− 1)= −1 +3+ 4= 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#32319Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = x7 +5x3− 16$ на отрезке $[−9;1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 6 2 y =7x + 15x

Найдем нули производной:

′ 2 4 2 y = 0 ⇒ x (7x +15)= 0 ⇔ x = 0 ⇔ x= 0

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[−9;1]$ попадает нуль производной $x =0$ .

$PICT$

При $x∈ [− 9;1]$ производная неотрицательна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[−9;1]$ наибольшее значение достигается в точке $x= 1$ , и оно равно

y(1)= 1+5 − 16= −10.

Ответ: -10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#32320Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = x3 − 4x2+ 4x$ на отрезке $[−4;−1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 3x − 8x+ 4

Найдем нули производной:

′ 2 2 y= 0 ⇒ 3x − 8x+ 4= 0 ⇔ x = 3;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков. Из точек, где производная равна нулю или не существует, на отрезок $[− 2;0]$ попадает нуль производной $x =− 1$ .

$PICT$

При $x∈ [− 4;− 1]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[−4;−1]$ наибольшее значение достигается в точке $x= −1$ , и оно равно

y(−1)=− 1− 4− 4 =− 9.

Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#780Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = cos2x$ на отрезке $[0;π].$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x$ — любое число.

1) Найдем производную:

′ y = −2⋅sin2x

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

πn − 2⋅sin2x =0 ⇔ 2x = πn, n ∈ℤ ⇔ x= -2-, n ∈ℤ

Производная существует при любом $x.$

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

Здесь бесконечное число промежутков, в которых чередуются знаки производной.

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[0;π]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[0;π]:$

$PIC$

Таким образом, наименьшего на отрезке $[0;π]$ значения функция достигает в точке минимума $x = π-: 2$

( π) y 2 = cosπ =− 1

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#320Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = − x2 + 21x + 11$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = − 2x + 21$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

− 2x + 21 = 0 ⇔ x = 10,5.

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 10,5$ – точка максимума функции $y$ .
$y(10, 5) = − (10,5 )2 + 21 ⋅ 10,5 + 11 = 121, 25$ .
Итого: наибольшее значение функции $y$ равно $121, 25$ .

Ответ: 121,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#321Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = x2 − 200x + 1$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = 2x − 200$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2x − 200 = 0 ⇔ x = 100.

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 100$ – точка минимума функции $y$ .
$y(100 ) = 1002 − 200 ⋅ 100 + 1 = − 10000 + 1 = − 9999$ .
Итого: наименьшее значение функции $y$ равно $− 9999$ .

Ответ: -9999

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#322Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = x3 − 15x2 + 27x + 1032$ на отрезке $[0;10]$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = 3x2 − 30x + 27$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 3x − 30x + 27 = 0,

откуда находим корни $x1 = 1, x2 = 9$ . Таким образом,

y′ = 3(x − 1)(x − 9).

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[0;10]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[0; 10]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ – точка локального максимума функции $y$ и наибольшее значение на $[0;10]$ функция достигает либо в $x = 1$ , либо в $x = 10$ . Сравним эти значения:

$y(1) = 1 − 15 + 27 + 1032 = 1045$ ,

$y(10) = 1000 − 1500 + 270 + 1032 = 802$ .

Итого: наибольшее значение функции $y$ на $[0;10]$ равно $1045$ .

Ответ: 1045

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#323Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 0,05x2,5 − x + 3$ на отрезке $[0;4]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ≥ 0$ . Решим на ОДЗ:

1) $y ′ = 0,125x1,5 − 1$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

1,5 1,5 0,125x − 1 = 0 ⇔ x = 8.

Возводя левую и правую части последнего уравнения в степень $2 -- 3$ , находим $x = 4$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на ОДЗ:

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[0;4]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[0; 4]$ :

$PIC$

Таким образом, наименьшее значение на $[0;4]$ функция достигает в $x = 4$ .

$y(4) = 1,6 − 4 + 3 = 0,6$ .

Итого: наименьшее значение функции $y$ на $[0;4]$ равно $0,6$ .

Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#324Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее на полуинтервале I значение суммы функций $f(x)$ и $g (f (x))$ , если I $= (− 4;2]$ , $f (t) = t + 1$ , $g(z) = z3 − 4z + 1$ .

Показать ответ и решение

$y = f (x) + g(f(x)) = x + 1 + g(x + 1) = x + 1 + (x + 1)3 − 4(x + 1) + 1 = (x + 1)3 − 3(x + 1) + 1$ .

1) $y ′ = 3(x + 1)2 − 3$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 2 3(x + 1) − 3 = 0 ⇔ x + 2x = 0,

откуда $x = 0 1$ , $x = − 2 2$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом полуинтервале $(− 4;2]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на I:

$PIC$

Таким образом, $x = − 2$ – точка локального максимума функции $y$ и наибольшее на I значение $y$ достигает в ней или в $x = 2$ . Сравним эти значения:
$3 y(− 2) = (− 1) − 3 ⋅ (− 1) + 1 = 3$ ,
$y(2) = 33 − 3 ⋅ 3 + 1 = 19$ .
Итого: наибольшее на I значение суммы $f (x)$ и $g(f(x ))$ равно $19$ .