12.07 Поиск наибольшего/наименьшего значения у элементарных функций - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#335Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $2x x y =− e +4e + 3$ на отрезке $[0;1].$

Показать ответ и решение

Найдем критические точки функции $2x x f(x) =− e +4e + 3.$ Для этого посчитаем производную:

′ ( 2x) x x x f(x)= 2⋅ −e + 4e =2e (2− e )

Теперь найдем нули производной:

x x x 2e (2 − e )= 0 ⇔ e = 2 ⇔ x = ln2

При этом $0 <ln2< lne= 1,$ то есть данная точка лежит на отрезке $[0;1].$

Наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке экстремума или на концах отрезка. Сравним значения функции во всех таких точках:

$pict$

Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке $[0;1]$ равно 7.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#777Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = x2$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y ′ = 2x

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2x = 0 ⇔ x = 0.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, наименьшего значения функция достигает в $x = 0$ .

y(0) = 0.

Итого: $0$ – наименьшее значение функции $y$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#867Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $f(x ) = x3 − x2 − 5x − 3$ на отрезке $[− 2;4]$ .

Показать ответ и решение

Найдем производную:

y ′ = 3x2 − 2x − 5

Найдем критические точки:

5 y′ = 0 ⇔ 3x2 − 3x − 5 = 0 ⇔ x1 = − 1 и x2 = -- 3

Определим, какие из данных точек являются точками максимума/минимума, для этого найдем знаки производной на промежутках, образованных этими точками:

$PIC$

Таким образом, $x = − 1$ – точка максимума, $x = 53$ – точка минимума.

Следовательно, на отрезке $[− 2;4]$ функция схематично выглядит так:

$PIC$

Следовательно, наибольшее значение она принимает либо в точке $x = − 1$ , либо в точке $x = 4$ . Сравним:

f(− 1) = 0 f(4) = 25

Таким образом, наибольшее значение функции на данном отрезке равно $25$ .

Ответ: 25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#1006Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y =59x − 56sinx+ 42$ на отрезке $[− π-;0]. 2$

Показать ответ и решение

Для нахождения наибольшего значения функции построим схематично ее график.

Для этого найдем производную:

′ y = 59− 56cosx

Заметим, что

−56 ≤− 56cosx≤ 56 ⇒ 59− 56cosx≥ 3

Тогда $y′$ положительна и $y$ возрастает при всех $x.$

Построим эскиз графика $y$ на отрезке $[− π-;0] : 2$

$PIC$

Отсюда наибольшее значение функции принимается в точке $x= 0:$

y(0) =59 ⋅0 − 56 ⋅sin0+ 42= 42

Ответ: 42

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#1218Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 11 ⋅ln(x+ 4)− 11x − 5$ на отрезке $[−3,5;0].$

Показать ответ и решение

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке. Для этого исследуем ее производную.

Найдем производную:

y′ = 11⋅-1--− 11 x+ 4

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x= − 3

Заметим, что функция определена только при $x +4 >0.$ Нуль производной разбил область определения функции на два промежутка. Определим знаки производной на этих промежутках:

$PIC$

Для того, чтобы найти знак на каждом промежутке, можно подставить любую точку из этого промежутка в производную. Следовательно, схематично график функции выглядит так:

$PIC$

То есть на $(−4;−3)$ функция $y$ возрастает, на $(− 3;+ ∞ )$ функция убывает. Следовательно, наибольшее значение она принимает в точке максимума $x = −3:$

y(− 3)= 11⋅ln 1− 11 ⋅(− 3)− 5 = 0+ 33 − 5= 28

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#1651Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = x3 − 6x2 + 32$ на отрезке $[− 2;5]$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = 3x2 − 12x$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 3x − 12x = 0,

откуда находим корни $x1 = 4, x2 = 0$ . Таким образом,

y′ = 3x (x − 4).

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[− 2; 5]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 2;5]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка локального максимума функции $y$ и наибольшее значение на $[− 2;5]$ функция достигает в $x = 0$ или в $x = 5$ . Сравним эти значения:

$y(0) = 32$ ,

$y(5) = 125 − 150 + 32 = 7$ .

Итого: наибольшее значение функции $y$ на $[− 2; 5]$ равно $32$ .

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#1652Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 9x1,5 − 9x + 1$ на отрезке $[0;9 ]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ≥ 0$ . Решим на ОДЗ:

1) $y ′ = 9(1,5x0,5 − 1)$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 9(1,5x0,5 − 1) = 0 ⇔ x0,5 = --. 3

Возводя левую и правую части последнего уравнения во вторую степень, получим $4- x = 9$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на ОДЗ:

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[0;9]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[0; 9]$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 4- 9$ – точка локального минимума функции $y$ и наибольшее значение на $[0;9]$ функция достигает в $x = 0$ или в $x = 9$ . Сравним эти значения:

$y(0) = 1$ ,

$y(9) = 163$ .

Итого: наибольшее значение функции $y$ на $[0;9]$ равно $163$ .

Ответ: 163

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#2062Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = − 2x2 + 1$ на отрезке $[− 5; 5]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = − 4x

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

− 4x = 0 ⇔ x = 0.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[− 5;5]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 5;5]$ :

$PIC$

Таким образом, наибольшего на $[− 5;5]$ значения функция достигает в $x = 0$ .

y(0) = 1.

Итого: $1$ – наибольшее значение функции $y$ на $[− 5;5 ]$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#2166Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $f (x) = 2x4 − 2x3 − x2 + 2$ на отрезке $[− 1;1]$ .

Показать ответ и решение

Найдем производную:

y ′ = 8x3 − 6x2 − 2x

Найдем критические точки:

1 y′ = 0 ⇔ 8x3 − 6x2 − 2x = 0 ⇔ x1 = 0, x2 = − --и x3 = 1 4

Определим, какие из данных точек являются точками максимума/минимума, для этого найдем знаки производной на промежутках, образованных этими точками:

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка максимума, $x = − 14$ и $x = 1$ – точки минимума.

Следовательно, на отрезке $[− 1;1]$ функция схематично выглядит так:

$PIC$

Следовательно, наименьшее значение она принимает либо в точке $x = − 14$ , либо в точке $x = 1$ . Сравним:

( ) 1 125 f − -- = 1 ---- 4 128 f(1) = 1

Таким образом, наименьшее значение функции на данном отрезке равно $1$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#2408Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $-4 y = x+ x2$ на отрезке $[− 4;3].$

Показать ответ и решение

Для того, чтобы найти наименьшее значение функции, необходимо схематично изобразить ее график.

Найдем производную:

8 y′ = 1− x3

Нули производной:

1 − 8-= 0 ⇒ x =2 x3

Заметим также, что производная не существует в точке $x =0.$ Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают ее область определения на промежутки, в каждом из которых она принимает значения одного знака:

$PIC$

Таким образом, схематично график функции выглядит так:

$PIC$

Из графика видно, что наименьшее значение функция будет принимать либо в точке $x= − 4$ (левый конец отрезка $[−4;3]$ ), либо в точке минимума $x= 2.$ Проверим:

y(−4)= −3,75 y(2)= 3

Таким образом, наименьшее значение функция принимает в точке $x= − 4$ и оно равно $− 3,75.$

Ответ: -3,75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#2701Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее на отрезке I значение разности функций $f (x)$ и $g(x)$ , если I $= [− 5;5]$ , $f (t) = t3 + 12t$ , $g(z) = 12z − 2$ .

Показать ответ и решение

$y = f (x) − g(x) = (x3 + 12x) − (12x − 2) = x3 + 2$

1) $y ′ = 3x2$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 3x = 0 ⇔ x = 0.

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[− 5; 5]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 5;5]$ :

$PIC$

Таким образом, у функции $y$ на отрезке I нет точек экстремума и наименьшее значение на I функция достигает в $x = − 5$ (так как $y$ возрастает на I).
$y(− 5) = − 125 + 2 = − 123$ .
Итого: наименьшее значение разности $f (x)$ и $g(x)$ на I равно $− 123$ .

Ответ: -123

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#20618Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $2x x y = e − 8e + 9$ на отрезке $[0;2].$

Показать ответ и решение

Найдем критические точки функции $2x x f(x) =e − 8e + 9.$ Для этого посчитаем производную:

′ 2x x x x f (x)= 2 ⋅e − 8e = 2e (e − 4)

Теперь найдем нули производной:

x x x 2e (e − 4)= 0 ⇔ e = 4 ⇔ x = ln4

При этом $2 0 <ln4< lne = 2,$ то есть данная точка лежит на отрезке $[0;2].$

Наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке экстремума или на концах отрезка. Сравним значения функции во всех таких точках:

$pict$

Следовательно, график функции на отрезке $[0;2]$ выглядит так:

$x02ln4$

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке $[0;2]$ равно $− 7.$

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#32519Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции

36 y = x + x

на отрезке $[1;9].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ ℝ∖{0}$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

36 x2 − 36 y′ = 1 −-2 = ---2--- x x

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x2 = 36 ⇔ x = ±6

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x ∈ [1;6)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x ∈ (6;9]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[1;9]$ наименьшее значение достигается в точке минимума $x = 6$ , и оно равно

y(6) = 6+ 36 = 12 6

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#32520Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции

9 y = x+ x

на отрезке $[−4;− 1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x∈ ℝ∖{0}$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 9 x2 − 9 y =1− x2 = -x2--

Найдем нули производной:

y′= 0 ⇒ x2 = 9 ⇔ x =±3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 4;−3)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x∈(−3;−1]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, на отрезке $[−4;− 1]$ наибольшее значение достигается в точке максимума $x= −3$ , и оно равно

y(−3)= −3− 9 =− 6 3

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#38241Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 13+ 75x − x3$ на отрезке $[−5;5].$

Показать ответ и решение

Найдем производную функции:

′ 2 ′ y = −3x + 75 ⇒ y = 0 ⇔ x= ±5

Нули производной разбивают область определения функции (она равна $ℝ$ ) на промежутки, на каждом из которых производная непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знак производной на каждом таком промежутке:

$PICT$

Следовательно, при $x ∈ [− 5;5]$ функция возрастает, значит, на отрезке $[− 5;5]$ наименьшее значение функция принимает в точке $x= −5 :$

f(−5)= 13+ 75⋅(−5)− (−5)3 = = 13− 125⋅(3 − 1) =13 − 250= − 237

Ответ: -237

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#46563Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции

y = x3− 4x2 +4x +35

на отрезке $[−4;−1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 3x − 8x+ 4

Найдем нули производной:

′ 2 2 y = 0 ⇒ 3x − 8x+ 4= 0 ⇔ x = 3;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков.

$PICT$

При $x∈ [− 4;− 1]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, на отрезке $[−4;−1]$ наибольшее значение достигается в точке $x = −1:$

y(− 1) =− 1− 4− 4+ 35= 26

Ответ: 26

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#58790Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = x3− 6x2+ 19$ на отрезке $[1;4].$

Показать ответ и решение

Найдем производную функции:

′ ( 3 2 )′ 2 y = x − 6x +19 = 3x − 12x

Нули производной:

′ 2y = 0 3x − 12x = 0 x(x − 4)= 0 [x = 0 x = 4

Нули производной разбивают область определения функции (она равна $ℝ$ ) на промежутки, на каждом из которых производная непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знак производной на каждом таком промежутке:

$PICT$

Следовательно, на отрезке $[1;4]$ производная неположительна, значит, функция убывает. Следовательно, наименьшее свое значение на этом отрезке она принимает в его правом конце, то есть в точке $x= 4,$ и оно равно

y(4)= 64− 6⋅16+ 19= − 13.

Ответ: -13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#74181Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = 4x2− 9x − 13,8+ ln x$ на отрезке $[ ] 1;5,5 . 3$

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ функции $y :$

x> 0.

Найдём производную функции $y′ :$

y′ = 2⋅4x− 9− 0+ 1 = 8x + 1− 9. x x

Приравняем производную $y′$ к нулю и найдём критические точки:

1 8x+ x − 9= 0,

8x2 − 9x +1 = 0,

D = 81− 32= 49= 72,

$⌊ |x1 = 9-+7 = 1, ⌈ 91−67 1 x2 =-16- = 8.$

$PIC$

$x= 1$ — точка минимума функции.

$y(1) =4 ⋅1− 9⋅1− 13,8+ ln1= −18,8.$

Ответ: -18,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#75177Максимум баллов за задание: 1

Найдите наименьшее значение функции $y = x2 − 2024+ x2 − x4 + 2025$ на отрезке $[− 2;2].$

Показать ответ и решение

Найдём производную $y′$ :

y′ = 2x− 0+ 2x − 4x3 + 0 = − 4x3 + 4x.

Найдём критические точки:

− 4x3 + 4x = 0,

2 − 4x(x − 1) = − 4x(x− 1)(x+ 1) = 0.

В таком случае имеем:

$⌊ x1 = − 1, |⌈ x2 = 0, x = 1. 3$

Все три критические точки попали на отрезок, поэтому вычислиим значения функции в пяти точках: в трёх найденных и в граничных точках данного отрезка.

$y(− 2) = 4− 2024+ 4− 16 +2025 = − 7,$

$y(− 1) = 1− 2024+ 1− 1 + 2025 = 2,$

$y(0) = 0− 2024 + 0− 0+ 2025 = 1,$

$y(1) = 1− 2024 + 1− 1+ 2025 = 2,$

$y(2) = 4− 2024 + 4− 16+ 2025 = − 7.$

Наименьшее значение функции на данном отрезке равно $− 7.$

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#137840Максимум баллов за задание: 1

Найдите наибольшее значение функции $y = 11+ 6x − 4x√x-$ на отрезке $[0;21].$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥ 0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ ( 32)′ 12 y = 11+ 6x− 4x = 6− 6x

Найдем нули производной:

√ - y′ = 0 ⇒ 6= 6 x ⇔ x= 1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [0;1)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (1;21]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x= 1$ , и оно равно

√ - y(1)= 11+ 6⋅1− 4⋅1 ⋅ 1= 13

Ответ: 13