12.02 Поиск точек экстремума у сложных функций - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#316Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = √x2−-12x+-40.$

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: $x2− 12x +40 ≥ 0.$

1) Найдем производную:

2x − 12 x− 6 y′ =-√-2--------- = √-2---------- 2 x − 12x+ 40 x − 12x+ 40

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

----x-− 6---- √x2-−-12x-+-40-= 0

Отсюда на ОДЗ получаем

x− 6 =0 ⇔ x= 6

Далее имеем:

x2− 12x +40 = x2− 12x +36 +4 = 2 = (x − 6) + 4> 0

Тогда производная функции $y$ определена при любом $x.$ Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′ :$

$PIC$

3) Эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, $x = 6$ — точка минимума функции $y.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#317Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = √−x2-+2-− 6x.$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $− x2+ 2− 6x≥ 0,$ что равносильно $x2 +6x − 2 ≤ 0,$ откуда находим $− 3 − √11-≤ x≤ − 3+ √11.$

1) Найдем производную:

−2x− 6 x +3 y′ = √---2--------= −√---2-------- 2 −x + 2− 6x −x + 2− 6x

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

′ ----x+-3---- y = 0 ⇔ − √−-x2+-2−-6x-= 0 ⇔ x +3 = 0

— на ОДЗ, откуда находим $x = −3.$ Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на ОДЗ:

$PIC$

3) Эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, $x = −3$ — точка максимума функции $y.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1271Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции

√ ---------------- y = − 79 − 18x − x2

Показать ответ и решение

1 способ.

Заметим, что

x2 + 18x + 79 = x2 + 18x + 81 − 2 = (x + 9 )2 − 2

Следовательно, $∘ -------------- y = − (x + 9)2 + 2$ . Так как $(x + 9)2 ≥ 0$ , то $− (x + 9)2 + 2 ≤ 2$ .
Заметим, что при $x < − 9$ функция $y(x )$ является возрастающей, так как при увеличении $x$ значение $y(x )$ также растет. А при $x > − 9$ функция является убывающей. Следовательно, $x = − 9$ – точка максимума.

2 способ.

Найдем производную функции.

√ ---------------- 1 y′ = ( − 79 − 18x − x2)′ ⋅ (− 79 − 18x − x2)′ =-√----------------⋅ (− 2x − 18) 2 − 79 − 18x − x2

Найдем нули производной:

y ′ = 0 ⇒ x = − 9

Заметим, что $x = − 9$ подходит по ОДЗ ( $− 79 − 18x − x2 ≥ 0$ ). Найдем знаки производной справа и слева от точки $x = − 9$ :
$PIC$
Таким образом, по определению точка $x = − 9$ является точкой максимума.

Ответ: -9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#2071Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $2 y = e−x +2x$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y ′ = e−x2+2x ⋅ (− 2x + 2) = − 2 (x − 1)e −x2+2x

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2 − 2(x − 1)e−x +2x = 0 ⇔ x = 1.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $x = 1$ – точка максимума функции $y$ .

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2743Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $2 y = ex+1$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольный.

1)

y′ = ex2+1 ⋅ 2x = 2xex2+1

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

x2+1 2xe = 0 ⇔ x = 0.

Производная существует при любом $x$ .

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика:

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка минимума функции $y$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#318Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального максимума функции

$1 y = 1716x−3x3+12$ .

Показать ответ и решение

1)

1 y′ = ln 17 ⋅ (16 − x2)1716x− 3x3+12.

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

′ 2 16x− 1x3+12 2 y = 0 ⇔ ln 17 ⋅ (16 − x )17 3 = 0 ⇔ 16 − x = 0

(так как $17t > 0$ при любом $t$ ), откуда находим $x = ±4$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 4$ – точка локального максимума функции $y$ .

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#319Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции

$x2 -1- y = − e − ex2$ .

Показать ответ и решение

1)

y′ = (− ex2 − e−x2) = − 2xex2 + 2xe−x2 = − 2xe−x2(e2x2 − 1).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

−x2 2x2 x2 x2 − 2xe (e − 1 ) = 0 ⇔ − x(e + 1)(e − 1) = 0

(так как $et > 0$ при любом $t$ ), откуда находим $x = 0$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на ОДЗ:

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 0$ – точка максимума функции $y$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1645Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = log (x2+16x +100). 7$

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: $x2+ 16x +100 >0.$

1) Найдем производную:

1 2x+ 16 y′ = ln-7 ⋅x2+-16x+-100

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

-1- ⋅---2x-+-16----= 0 ln7 x2+ 16x + 100

Отсюда на ОДЗ получаем

2x +16 = 0 ⇔ x= −8

Далее имеем:

2 2 x + 16x + 100 = x + 16x +64 +36 = = (x+ 8)2+36 > 0

Тогда производная определена для любого $x.$ Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′ :$

$PIC$

3) Эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, $x = −8$ — точка минимума функции $y.$

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1646Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции

$y = ex2−2016x+2017$ .

Показать ответ и решение

1)

y ′ = ex2−2016x+2017 ⋅ (2x − 2016).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

x2−2016x+2017 e ⋅ (2x − 2016 ) = 0 ⇔ 2x − 2016 = 0

(так как $t e > 0$ при любом $t$ ), откуда находим $x = 1008$ . Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1008$ – точка минимума функции $y$ .

Ответ: 1008

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2664Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = log (x2− 10x +201). 2016$

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: $x2− 10x +201 >0.$

1) Найдем производную:

1 2x − 10 y′ = ln2016 ⋅ x2− 10x-+201

Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:

--1---⋅---2x−-10---= 0 ln 2016 x2− 10x+ 201

Отсюда получаем $2x− 10= 0,$ то есть $x = 5.$

Далее имеем:

2 2 x − 10x+ 201= x − 10x+ 25+ 176= = (x − 5)2+ 176> 0

Тогда производная определена для любого $x.$

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y :$

$PIC$

3) Изобразим эскиз графика $y :$

$PIC$

Таким образом, $x = 5$ — точка минимума функции $y.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#21450Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $2x2−6x+4,5 f(x)= e .$

Показать ответ и решение

Найдем производную заданной функции:

′ ( 2x2−6x+4,5)′ f (x)= e = 2x2−6x+4,5 ( 2 )′ = e ⋅2x − 6x+ 4,5 = = e2x2−6x+4,5⋅(4x − 6)

Легко видеть, что первый множитель определен и не равен нулю при любом $x ∈ℝ.$ Второй множитель зануляется при $x= 1,5.$

Применим метод интервалов для определения знаков производной. Критическая точка встречается ровно один раз, следовательно, в ней знак будет меняться.

$x1+−,5$

Теперь можем нарисовать эскиз графика. На промежутке $(−∞; 1,5)$ производная функции $f(x)$ отрицательна, то есть исходная функция будет убывать. На промежутке $(1,5;+∞ )$ производная положительна, то есть исходная функция будет возрастать.

$x1+−,5$

По эскизу видно, что точка $x =1,5$ является точкой минимума, так как в ней производная меняет знак с « $−$ » на « $+$ » при проходе слева направо.

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#37908Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = 8x2+4x+20.$

Показать ответ и решение

Функция $y =8x2+4x+20$ является композицией двух функций $f(x)= 8x$ и $g(x)= x2+ 4x+ 20= (x+ 2)2 +16,$ то есть $y = f(g(x)).$

Так как $f(x)$ — возрастающая функция, $g(x)$ убывает при $x < −2$ и возрастает при $x> − 2,$ то $y =f(g(x))$ убывает при $x < −2$ и возрастает при $x > −2$ (так как композиция возрастающих функций — возрастающая, а убывающей и возрастающей — убывающая).

Следовательно, $x =− 2$ — точка минимума функции $y =f (g(x)).$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#137850Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = 9x− 9⋅ln(x +3)+ 4.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > −3.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ -9--- y= 9 − x+ 3

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x+ 3 =1 ⇔ x= −2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−3;−2)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x ∈ (− 2;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= − 2$ является точкой минимума.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#137851Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = 10x− ln(x− 5)+ 3.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > 5.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ --1-- y = 10− x− 5

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x − 5= 0,1 ⇔ x = 5,1

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (5;5,1)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает; при $x ∈ (5,1;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 5,1$ является точкой минимума.

Ответ: 5,1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#137852Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = 3x− 3⋅ln(x − 7)− 8.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > 7.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ -3--- y= 3 − x− 7

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x− 7= 1 ⇔ x = 8

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (7;8)$ производная отрицательна, то есть функция $y =y(x)$ убывает; при $x ∈ (8;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 8$ является точкой минимума.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#137854Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = ln(x− 7)− 2x − 3.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > 7.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ -1--- y= x− 7 − 2

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ --1--= 2 ⇔ x= 7,5 x− 7

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (7;7,5)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (7,5;+∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= 7,5$ является точкой максимума.

Ответ: 7,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#137855Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = 10 ⋅ln(x− 2)− 10x +11.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > 2.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ -10-- y = x− 2 − 10

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ -10--= 10 ⇔ x= 3 x − 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (2;3)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (3;+ ∞)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= 3$ является точкой максимума.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#137856Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = ln(x− 2)− 5x + 13.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > 2.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ -1--- y= x− 2 − 5

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ --1--= 5 ⇔ x= 2,2 x− 2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (2; 2,2)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (2,2; + ∞)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= 2,2$ является точкой максимума.

Ответ: 2,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#137858Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = 9⋅ln(x− 4)− 9x− 7.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > 4.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ -9--- y= x− 4 − 9

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ -9---=9 ⇔ x= 5 x− 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (4; 5)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает. При $x∈ (5; +∞ )$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= 5$ является точкой максимума.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#137859Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = 9x− ln(x− 2)9− 8.$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > 2$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 9(x− 2)8 9 y = 9− -(x-− 2)9-= 9− x−-2

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x− 2= 1 ⇔ x = 3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (2;3)$ производная отрицательна, то есть функция $y =y(x)$ убывает; при $x ∈ (3;+∞ )$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 3$ является точкой минимума.

Ответ: 3