12.01 Поиск точек экстремума у элементарных функций - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#32239Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = x3− 3x2+2$ .

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= 3x − 6x

Найдем нули производной:

′ y = 0 ⇒ 3x(x − 2)= 0 ⇔ x= 0;2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 2$ является точкой минимума.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#32240Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = x3+ 2x2+ x+ 3.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 3x +4x+ 1

Найдем нули производной:

′ 2 1 y = 0 ⇒ 3x + 4x+ 1= 0 ⇔ x =− 1;− 3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= −1$ является точкой максимума.

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#32242Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = x3− 2x2+x +3.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y = 3x − 4x+ 1

Найдем нули производной:

′ 2 1 y= 0 ⇒ 3x − 4x+ 1= 0 ⇔ x = 1;3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 1$ является точкой минимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#32243Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = x3− 5x2+ 7x− 5.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y =3x − 10x +7

Найдем нули производной:

′ 2 7 y = 0 ⇒ 3x − 10x +7 =0 ⇔ x= 1;3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 1$ является точкой максимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#32253Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = 7+ 6x − 2x32.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x > 0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = 6− 3x12

Найдем нули производной:

y′ =0 ⇒ √x= 2 ⇔ x= 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x =4$ является точкой максимума.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#32254Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = 2x32 − 2x +1. 3$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 1 y = x2 − 2

Найдем нули производной:

′ √- y = 0 ⇒ x = 2 ⇔ x= 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 4$ является точкой минимума.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#32255Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = x32 − 3x+ 1.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 3 1 y= 2x 2 − 3

Найдем нули производной:

√- y′ = 0 ⇒ x = 2 ⇔ x= 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 4$ является точкой минммума.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#32256Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = − 2x32 +3x+ 1. 3$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 1 y= −x 2 + 3

Найдем нули производной:

′ √- y = 0 ⇒ x = 3 ⇔ x= 9

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 9$ является точкой максимума.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#32257Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $√ - y = 7+ 6x − 2x x.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥ 0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ ( 32)′ 12 y = 7+ 6x − 2x = 6− 3x

Найдем нули производной:

√- y′ =0 ⇒ x= 2 ⇔ x= 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x =4$ является точкой максимума.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#32258Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = − 2x√x +3x+ 1. 3$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

( 2 3 ) ′ 1 y′ = − 3x2 + 3x+ 1 =− x2 + 3

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ √x = 3 ⇔ x= 9

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 9$ является точкой максимума.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#32259Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции $y = x5+ 15x3− 260x.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 4 2 y= 5x + 45x − 260

Найдем нули производной:

′ 4 2 2 y= 0 ⇒ x +9x − 52= 0 ⇔ x = −13;4 ⇔ x =±2

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= −2$ является точкой максимума.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#32260Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $y = x√x − 3x+ 1.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥0$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ ( 3 )′ 3 1 y = x2 − 3x +1 = 2x2 − 3

Найдем нули производной:

√- y′ = 0 ⇒ x = 2 ⇔ x= 4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x= 4$ является точкой минимума.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#32261Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $2 √ - y = 3x x− 3x+ 1.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ≥0.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

(2 3 )′ 1 y′ = 3x 2 − 3x+ 1 = x2 − 3

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ √x = 3 ⇔ x= 9

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

Следовательно, $x =9$ является точкой минимума.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#32528Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции

16 y = x +x+ 3

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x∈ ℝ∖{0}$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 16 x2− 16 y= − x2 + 1=--x2---

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x2 = 16 ⇔ x= ±4

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;−4)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x∈(−4;0)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −4$ является точкой максимума.

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#32529Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку максимума функции

98- y = x +2x+ 15

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x∈ ℝ∖{0}$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 98 2x2− 98 y = −x2 +2= ---x2---

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x2 = 49 ⇔ x= ±7

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (−∞;−7)$ производная положительна, то есть функция $y = y(x)$ возрастает; при $x∈(−7;0)$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, $x= −7$ является точкой максимума.

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#32530Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку минимума функции $25 y = x + x +25.$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ ∖{0}.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

25 x2− 25 y′ = −x2 + 1=--x2--

Найдем нули производной:

y′ = 0 ⇒ x2 = 25 ⇔ x = ±5

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ (0;5)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает. При $x∈ (5;+ ∞)$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, $x= 5$ является точкой минимума.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#309Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального минимума функции $1 y = --x3 − 3x2 + 8x + 2 3$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = x2 − 6x + 8$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

$2 x − 6x + 8 = 0$ , откуда находим корни $x1 = 2, x2 = 4$ . Таким образом,

′ y = (x − 2)(x − 4).

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 4$ – точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#312Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального минимума функции

$√ -- y = x x − 60x + 3600$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ≥ 0$ . Решим на ОДЗ:

1) $y ′ = √x-+ -√x--− 60 2 x$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

√ -- -x--- √ -- x + 2√ x − 60 = 0 ⇔ x = 40

– при $x ⁄= 0$ , откуда находим $x = 1600$ . Производная функции $y$ не определена при $x ≤ 0$ , но $x < 0$ не входят ОДЗ, а $x = 0$ не является внутренней точкой ОДЗ. Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1600$ – точка локального минимума функции $y$ .

Ответ: 1600

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#314Максимум баллов за задание: 1

Найдите точку локального максимума функции

$3,2- y = x + 5x + 1024$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ:

1)

′ 3,2- 5x2 −-3,2- x2 −-0,-64 y = − x2 + 5 = x2 = 5 x2 .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

x2 − 0,64 5-----2----= 0 ⇔ x2 − 0,64 x

– на ОДЗ, откуда находим корни $x1 = − 0,8, x2 = 0, 8$ . Производная функции $y$ не существует при $x = 0$ , но $x = 0$ не входит в ОДЗ. Таким образом,

′ (x-−--0,8)(x-+--0,8)- y = 5 x2 .

Для того, чтобы найти точки локального максимума/минимума функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 0,8$ – точка локального максимума функции $y$ .