Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа

Тема 13. Решение уравнений

13.12 Тригонометрические/показательные/логарифмические: смешанного типа

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2597Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

( ) √- sinx 1 − 2 sin2x 49 = -- 7

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ 7π ] 2π; --- 2$ .

Показать ответ и решение

а) Данное уравнение можно переписать в виде

⌊ √- sinx = 0 72sinx = 72 2sinxcosx ⇔ 2 sin x(1 − √2-cos x) = 0 ⇔ | √ -- ⌈ --2- cosx = 2

Решением первого уравнения будут $x = πn, n ∈ ℤ$
Решением второго уравнения будут $π x = ± --+ 2 πm, m ∈ ℤ 4$ .

б) Отберем корни. $7π 2π ≤ πn ≤ --- ⇔ 2 ≤ n ≤ 3,5 ⇒ n = 2;3 ⇒ x = 2π; 3π 2$ $π 7π 7 13 9π 2π ≤ --+ 2 πm ≤ --- ⇔ --≤ m ≤ --- ⇒ m = 1 ⇒ x = --- 4 2 8 8 4$ $2π ≤ − π-+ 2πm ≤ 7π- ⇔ 9-≤ m ≤ 15- ⇒ m ∈ ∅ ⇒ x ∈ ∅ 4 2 8 8$

Ответ:

а) $π πn, ± --+ 2πm, n, m ∈ ℤ 4$

б) $9π- 2π; 4 ;3π$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2598Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

9sinx + 9sin(x+π) = 10- 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π-;− 2π 2$ .

Показать ответ и решение

а) Так как по формуле приведения $sin(x + π ) = − sin x$ , то после замены $9 sinx = t,t > 0$ уравнение примет вид

1- 10- t + t = 3

Корнями этого уравнения будут $t = 3; 1 3$ . Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ 9sinx = 3 sin x = 1- | | 2 ⌈ ⇔ |⌈ 9sinx = 1- 1- 3 sin x = − 2

Решениями данной совокупности будут $x1 = ± π-+ 2πk,k ∈ ℤ 6$ и $x2 = ± 5π- + 2πn, n ∈ ℤ 6$ .

б) Отберем корни. $7π π 11 13 − ---≤ --+ 2 πk ≤ − 2π ⇔ − ---≤ k ≤ − --- ⇒ k ∈ ∅ ⇒ x ∈ ∅ 2 6 6 12$ $7π π 5 11 13π − --- ≤ − --+ 2πk ≤ − 2π ⇔ − --≤ k ≤ − --- ⇒ k = − 1 ⇒ x = − ---- 2 6 3 12 6$ $7π 5π 13 17 19π − --- ≤ ---+ 2πn ≤ − 2π ⇔ − ---≤ n ≤ − --- ⇒ n = − 2 ⇒ x = − ---- 2 6 6 12 2$ $7π 5π 4 7 17 π − --- ≤ − ---+ 2 πn ≤ − 2π ⇔ − --≤ n ≤ − --- ⇒ n = − 1 ⇒ x = − ---- 2 6 3 12 6$

Ответ:

а) $π 5π ± --+ 2πk, ± ---+ 2πn;k, n ∈ ℤ 6 6$

б) $19-π 17π- 13π- − 6 ;− 6 ;− 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#2628Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2sin2x +2cos2x =3.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ 5π ] −-2 ;− π .$

Источники: ЕГЭ 2018, СтатГрад

Показать ответ и решение

а) По основному тригонометрическому тождеству имеем:

2 2 cos x= 1− sin x

Тогда уравнение можно переписать в виде

sin2x 1−sin2x 2 + 2 =3 2sin2x+ 2⋅2− sin2x = 3

Сделаем замену

sin2x − sin2x 1 2 =t, 2 = t

Заметим также, что $t> 0.$ Тогда имеем:

$pict$

Здесь умножили обе части уравнения на $t,$ так как $t⁄= 0.$

По теореме Виета корнями данного уравнения являются числа 2 и 1. Сделаем обратную замену:

⌊2sin2x = 1 ⌈ 2 2sinx = 2

Решим первое уравнение:

2sin2x = 1 2 sin x= 0 x= πk, k ∈ℤ

Решим второе уравнение:

2sin2x = 2 sin2x= 1 sin x= ±1 x= π+ πk, k ∈ℤ 2

б) Отберем корни с помощью неравенств.

Из первой серии получаем

− 5π ≤ πk ≤ − π 2 − 2,5 ≤k ≤ −1 k = −2; −1 x= − 2π; −π

Из второй серии получаем

− 5π ≤ π-+ πk ≤ −π 2 2 − 3≤ k ≤ − 1,5 k = −3; −2 5π 3π x =− 2 ; − 2

Ответ:

а) $πk; π-+πk, k ∈ ℤ 2$

б) $− 5π ; 2$ $− 2π;$ $− 3π; 2$ $− π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#2676Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) sin x= log12 3sinx⋅4cosx .$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 2π; 7π . 2$

Показать ответ и решение

а) ОДЗ уравнения: $3sinx⋅4cosx >0.$ Так как показательная функция всегда положительна, то и произведение двух показательных функций всегда положительно, следовательно, ОДЗ: $x ∈ ℝ.$

Данное уравнение можно переписать в виде:

3sinx⋅4cosx =12sinx sinx cosx sinx sinx 3 ⋅4 − 3 ⋅4 = 0

(при переходе к последнему уравнению мы воспользовались формулой $(ab)x = ax ⋅bx$ )

Таким образом, вынеся общий множитель за скобки, получаем:

sinx ( cosx sinx) 3 ⋅ 4 − 4 = 0.

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла. Так как показательная функция всегда положительна, то $3sinx ⁄= 0,$ следовательно, уравнение равносильно:

cosx sinx 4 =4 cosx =sinx

Полученное уравнение является однородным первой степени и решается делением на $sinx$ или $cosx.$ Разделим на $cosx:$

tgx= 1 π x= 4 + πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни:

2π ≤ π-+ πk ≤ 7π 4 2 7≤ k ≤ 13 4 4 k = 2;3 x= 9π-; 13π 4 4

Ответ:

а) $π+ πk, k ∈ℤ 4$

б) $9π; 13π 4 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#2781Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

( ) √- 16sinx cosx = 4 3sinx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 9π- 3π; 2 .$

Показать ответ и решение

а) Так как $(ax)y = axy$ , то данное уравнение равносильно:

√ - √ - 16sin xcosx = 4 3sinx ⇔ 42sinx cosx = 4 3sinx

Таким образом, уравнение приняло вид $4x = 4y$ , что равносильно $x = y$ . Таким образом:

⌊ sinx = 0 √ -- √ -- | √ -- 2 sin x cosx = 3 sin x ⇔ sinx (2 cosx − 3) = 0 ⇔ ⌈ 3 cos x = ---- 2

Первое уравнение совокупности имеет решения $x = πn, n ∈ ℤ$ .
Второе: $x = ± π-+ 2 πk,k ∈ ℤ 6$ .

б) Отберем корни. 1) $9π 3π ≤ πn ≤ --- ⇒ n = 3;4 ⇒ x = 3π;4π 2$ 2) $π 9π 17 13 25π 3π ≤ --+ 2πk ≤ --- ⇔ ---≤ k ≤ --- ⇒ k = 2 ⇒ x = ---- 6 2 12 6 6$ 3) $π 9π 19 7 23 π 3π ≤ − --+ 2πk ≤ --- ⇔ ---≤ k ≤ -- ⇒ k = 2 ⇒ x = ---- 6 2 12 3 6$

Ответ:

а) $π πn, ± --+ 2πk; k,n ∈ ℤ 6$

б) $23π 25π 3π; ----; 4π; ---- 6 6$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#2782Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2log24(4sinx)− 5log4(4sin x)+ 2= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] − 3π;0 . 2$

Показать ответ и решение

а) Сделаем замену $log4(4sin x)= t$ , тогда уравнение примет вид:

2 1 2t− 5t+ 2= 0 ⇒ t1 = 2; t2 = 2

Сделаем обратную замену:

1) $log(4sin x)= 2 ⇒ 4sin x= 42 4$ – удовлетворяет ОДЗ логарифма $4sinx> 0$ .
Полученное уравнение равносильно $sin x= 4$ , что в свою очередь не имеет решений.

2) $1 log4(4sin x)= 12 ⇒ 4sinx= 42$ – также удовлетворяет ОДЗ.
Полученное уравнение равносильно $sin x= 12$ , решением которого будут $x = π-+2πn 6$ и $x= 5π + 2πm 6$ , $n,m ∈ ℤ$ .

б) Отберем корни. 1) $− 3π ≤ π+ 2πn ≤0 ⇔ − 5 ≤ n≤ − 1 ⇒ n∈ ∅ ⇒ x∈ ∅ 2 6 6 12$ 2) $3π 5π 7 5 7π − -2 ≤ 6- +2πm ≤ 0 ⇔ − 6 ≤ m ≤ − 12 ⇒ m = −1 ⇒ x = −-6$

Ответ:

а) $π+ 2πn; 5π+ 2πm, 6 6$ $n,m ∈ ℤ$

б) $− 7π 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#16757Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

(16)tgx ( 4)tgx 49 + 5⋅ 7 − 6 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π; 11π 2 2$ .

Показать ответ и решение

а)

$pict$

б) Учитываем, что $n ∈ ℤ$ .

⌊ n = 3, x = 3π 5π- 11π- || 2 ≤ πn ≤ 2 ⇔ 2,5 ≤ n ≤ 5,5 ⇔ |⌈ n = 4, x = 4π n = 5, x = 5π

Ответ: $3π; 4π; 5π$ .

Ответ:

а) $πn, n ∈ ℤ$

б) $3π; 4π; 5π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#16758Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

sin2x cos2x 2 + 2 = 3

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 5π- − 2 ;− π$ .

Показать ответ и решение

а)

$pict$

б) Учитываем, что $n ∈ ℤ$ .

⌊ n = − 5, x = − 5π || 42π − 5π-≤ πn-≤ − π ⇔ − 5 ≤ n ≤ − 2 ⇔ ||n = − 4, x = −-2 = − 2π 2 2 ||n = − 3, x = − 3π ⌈ 2 n = − 2, x = − 2π2 = − π

Ответ: $− 5π; − 2π; − 3π; − π 2 2$ .

Ответ:

а) $πn 2-, n ∈ ℤ$

б) $5π 3π − --; − 2π; −--; − π 2 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#16759Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

2x √ - log4(2 − 3cosx− sin 2x) = x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ π 3π ] − 2; 2--$ .

Показать ответ и решение

а)

$pict$

б) Учитываем, что $n ∈ ℤ$ .

⌊ |n = − 1, x = − π2 − π-≤ π+ πn ≤ 3π- ⇔ − 1 ≤ n ≤ 1 ⇔ ||n = 0, x = π 2 2 2 ⌈ 2 n = 1, x = 3π2

− π-≤ − π+ 2πn ≤ 3π- ⇔ − 1 ≤ − 1+ n ≤ 3 ⇔ − 1-≤ n ≤ 11 ⇔ n = 0, x = − π 2 3 2 4 6 4 12 12 3

− π-≤ − 2π-+ 2πn ≤ 3π ⇔ − 1≤ − 1 + n ≤ 3 ⇔ 1-≤ n ≤ 13 ⇔ n = 1, x = 4π 2 3 2 4 3 4 12 12 3

Ответ: $π π π 4π 3π − 2; − 3; 2; 3-; 2--$ .

Ответ:

а) $π π 2π 2-+ πn; − 3-+ 2πn; −-3-+ 2πn, n ∈ ℤ$

б) $π π π 4π 3π − -; − -; -; --; --- 2 3 2 3 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#16760Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2log22(2sinx)− 7log2(2sin x)+ 3= 0.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] π;2π . 2$

Показать ответ и решение

а)

$pict$

б) Учитываем, что $n∈ ℤ$ .

π- π- 1 7 2 ≤ 4 + 2πn ≤ 2π ⇔ 8 ≤ n≤ 8 ⇔ n∈ ∅

π-≤ 3π+ 2πn ≤2π ⇔ − 1 ≤ n≤ 5 ⇔ n= 0, x= 3π- 2 4 8 8 4

Ответ: $3π 4$ .

Ответ:

а) $π+ 2πn; 3π+ 2πn, n ∈ℤ 4 4$

б) $3π 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#16761Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

(1)sin(x+π) √- π 4 =22 3sin(2−x)

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 9π ;− 3π 2$ .

Показать ответ и решение

а)

$pict$

б) Учитываем, что $n∈ ℤ$ .

− 9π ≤ π+ πn ≤ −3π ⇔ − 29= − 45≤ n ≤− 31 ⇔ n = −4, x = −32 ⋅π = − 11π 2 3 6 6 3 3 3

Ответ: $− 11π 3$ .

Ответ:

а) $π- 3 + πn, n∈ ℤ$

б) $11π − 3$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#17244Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $sinx cosx √3sinx (49 ) = 7 .$

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[ ] − 5π;− 3π . 2 2$

Показать ответ и решение

а) Сведем исходное уравнение к простейшему показательному и далее к простейшим тригонометрическим:

$pict$

б) Отберем подходящие корни неравенствами, учитывая, что $k ∈ℤ.$

5π 3π − 2 ≤ πk ≤ − 2 ⇔ −2,5 ≤k ≤ −1,5 ⇔ k = −2, x= −2π − 5π-≤ π-+ 2πk ≤ − 3π ⇔ − 15-≤ 1 +2k ≤ − 9 ⇔ 2 6 2 6 6 6 ⇔ − 8 ≤k ≤ − 5 ⇔ k = −1, x= π-− 2π = − 11π 6 6 6 6 − 5π ≤ − π-+ 2πk ≤ − 3π ⇔ − 15-≤ − 1+ 2k ≤ − 9 ⇔ 2 6 2 6 6 6 ⇔ − 7 ≤ k ≤ − 4 ⇔ k = − 1, x= − π− 2π = − 13π 6 6 6 6

Ответ:

а) $π- πk; ± 6 + 2πk, k ∈ℤ$

б) $− 2π;− 11π-;− 13π 6 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#18133Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $sinx 3cosx (27cosx) = 3 2$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежашие отрезку $[ ] − π; π . 2$

Показать ответ и решение

а) Для начала преобразуем левую часть уравнения:

cosxsinx cosxsinx 3cosxsinx (27 ) = 27 = 3

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$pict$

б) Отберем подходящие корни с помощью неравенств:

$pict$

Ответ:

а) $π π 5π 2-+ πk;-6 + 2πk;-6-+ 2πk, k ∈ ℤ$

б) $− π; π; π- 2 2 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#19501Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение: $125sin2x = (√5)5sin2x ⋅0,2$ .

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 3π;− 2π]$ .

Показать ответ и решение

Решим пункт а:

$pict$

Рассмотрим два случая.
1) $sin x = 0$ . Подставив его в уравнение, получим, что $cosx = 0$ . Противоречие с ОТТ.
2) $sin x ⁄= 0$ .

$pict$

Решим пункт б, проведя отбор на единичной окружности:

$PIC$

Таким образом, получим корни $arcctg4 − 3π$ , $11π − ---- 4$ .

Ответ:

а) $x = arcctg 4+ πk, k ∈ ℤ$ , $π x = 4 + πn, n ∈ ℤ$ ;

б) $arcctg4 − 3π$ , $11π-- − 4$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#19502Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) √- (0,25)sinx cosx =2− 2sinx.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] 7π 2π;2- .$

Показать ответ и решение

а) Сведем уравнение к простейшему показательному и далее к простейшим тригонометрическим:

$pict$

б) Отберем подходящие решения с помощью тригонометрической окружности.

$PIC$

Таким образом, получим корни

9π 2π,-4 , 3π

Ответ:

а) $πk;$ $± π-+ 2πk, 4$ $k ∈ ℤ$

б) $2π,$ $9π , 4$ $3π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#23595Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $sinx sin(π+x) 5 4 + 4 = 2.$

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $[ ] 5π;4π . 2$

Показать ответ и решение

а) Сначала воспользуемся формулой приведения $sin(π+ x)= − sinx.$

Тогда исходное уравнение примет вид

5 4sinx+ 4− sinx = 2

Обозначим $t =4sinx,$ тогда

( ) 4− sinx = 4sinx −1 = t−1 = 1. t

Уравнение примет вид

$pict$

Найдем корни квадратного уравнения:

$pict$

Следовательно, получаем два решения системы:

⌊ ⌈t =2 t =0,5

Произведем обратную замену:

⌊ ⌊ ⌊ 4sinx = 2 4sinx = 412 sin x= 1 ⌈ sinx ⇔ ⌈ sinx − 1 ⇔ ⌈ 2 1 ⇔ 4 = 0,5 4 = 4 2 sin x= − 2 ⌊ π ||x = 6 + 2πk, k ∈ℤ ⌊ ||x =π − π6 + 2πk, k ∈ ℤ ⌈x = π6 + πk, k ∈ℤ ⇔ ||x =− π+ 2πk, k ∈ ℤ ⇔ x =− π +πk, k ∈ ℤ ⌈ 6 π 6 x =π + 6 + 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем подходящие корни при помощи неравенств.

[ ] x ∈ 5π;4π ⇔ 5π ≤x ≤ 4π 2 2

$pict$

Ответ:

а) $π- π- 6 + πk, − 6 + πk, k ∈ ℤ$

б) $17π, 19π, 23π- 6 6 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#72209Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $16sinx+ 5⋅22sinx− 14 = 0.$

б) Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $[3π2 ;3π].$

Показать ответ и решение

Преобразуем запись согласно свойству степеней $(ab)c = abc :$

24sinx +5 ⋅22sinx − 14 =0,

(22sinx)2 +5 ⋅22sinx − 14 = 0,

Сделаем замену $22sinx = t:$

t2 +5t− 14= 0,

D =52 − 4 ⋅1 ⋅(− 14) =25 +56 =81 = 92,

$⌊ |t = −5+-9-=2, ⌈ −5 2− 9 t= --2---= −7.$

Обратная замена:

$[ 2sinx 2 = 2, 22sinx = −7.$

Второе уравнение системы не имеет решений, поскольку показательная функция принимает только положительные значения. Рассмотрим первое уравнение:

2sinx 1 2 = 2,

2sin x= 1,

sinx= 1, 2

$⌊ π- |x = 6 + 2πn,n ∈ℤ, ⌈x= 5π + 2πn,n ∈ ℤ. 6$

б) Отберем корни методом двойных неравенств:

Первая серия:

3π π- 2 ≤ 6 +2πn ≤ 3π,

9π ≤ π+ 12πn ≤18π,

9 ≤ 1+ 12n ≤ 18,

8≤ 12n≤ 17,

-8 ≤n ≤ 17, 12 12

8- -5 12 ≤ n ≤112.

С учётом условия $n ∈ℤ$ получаем, что $n =1.$ Вычисляем корень:

x1 = π+ 2π⋅1 = 13π-. 6 6

Вторая серия:

3π ≤ 5π-+ 2πn≤ 3π, 2 6

9π ≤5π + 12πn ≤ 18π,

9 ≤ 5+ 12n ≤ 18,

4≤ 12n≤ 13,

-4 ≤n ≤ 13, 12 12

4- -1 12 ≤ n ≤112.

С учётом условия $n ∈ℤ$ получаем, что $n =1.$ Вычисляем корень:

x2 = 5π +2π ⋅1= 17π. 6 6

Ответ:

а) $x = π+ 2πk, 6$ $x = 5π+ 2πk, 6$ $k$ — целое.

б) $x = 13π, 6$ $x= 17π 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#78009Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $log5(4sin2 x− sin2x− 2)= 0.$

б) Укажите корни данного уравнения, принадлежащие промежутку $[−2π;−1,5].$

Показать ответ и решение

По определению логарифма получаем

2 0 4 sin x− sin2x − 2= 5,

2 4sin x − sin2x− 2= 1,

2 4sin x − sin2x− 3= 0.

Воспользуемся формулой синуса двойного угла:

2 4sin x − 2sinxcosx− 3= 0.

По ОТТ:

4sin2x− 2sinxcosx− 3(sin2x+ cos2x) =0,

4sin2x− 2sin xcosx− 3sin2x − 3 cos2x =0,

sin2x − 2 sinxcosx− 3cos2x= 0.

Полученное уравнение — однородное второго порядка. Рассмотрим два случая.
1) $cosx = 0.$
Подставив значение косинуса в уравнение, получим $2 sin x = 0,$ откуда получаем, что $sinx = 0,$ а это ведет к противоречию с ОТТ. То есть в данном случае решений нет.
2) $cosx ⁄= 0.$
В этом случае можно поделить обе части уравнения на $cos2x,$ что приводит к уравнению относительно тангенса:

tg2 x− 2tgx− 3= 0.

Сделаем замену $t =tgx$ и получим квадратное уравнение:

t2− 2t− 3 = 0.

Его корнями являются $t = −1 1$ и $t= 3. 2$ Сделаем обратную замену:
1) $tg x= −1$

π x = −4-+ πn, n ∈ℤ.

tgx= 3,

x =arctg 3+ πn, n ∈ ℤ.

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[− 2π;− 1,5].$ Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:

$PIC$

Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.

x =− π-+π ⋅(−1)= − 5π , 1 4 4

x2 = arctg3+ π⋅(−2)= arctg3 − 2π,

x3 = arctg3 +π ⋅(− 1)= arctg3− π.

При этом принимаем во внимание, что $π- − 1,5> −2 ,$ так как $− 3> −π.$

Ответ:

а) $− π+ πn 4$ ; $arctg3+ πn$ ; $n∈ ℤ$ ;
б) $5π − 4 ;arctg3− 2π;arctg3− π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#78010Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $√- (cos2x− 13 2 sinx+ 13)⋅log13(sin22x)= 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ ] 3π; 9π . 2$

Показать ответ и решение

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, а другие при этом не теряют смысла. Уравнение определено, если $sin22x> 0.$ Рассмотрим два случая:
1)

cos2x− 13√2sin x+ 13= 0,

1− 2sin2 x− 13√2-sin x+ 13= 0,

−2sin2x− 13√2sin x+ 14= 0.

Сделаем замену $t =sinx:$

√- −2t2− 13 2t+ 14= 0,

√- 2t2+ 13 2t− 14= 0,

√ - D = (13 2)2 − 4 ⋅2 ⋅(− 14) =338+ 112= 450,

√ - √--- √- √- √ - t1 = −13-2−--450 = −13-2−-15-2-= −-28--2= − 7√2, 2 ⋅2 4 4

√ - √--- √- √- √ - √ - t1 = −13-2+--450 = −13-2+-15-2-= 2--2= --2. 2 ⋅2 4 4 2

Сделаем обратную замену:
1а)

√- sinx = −7 2.

Это уравнение не имеет решений, так как $√- − 7 2< − 1.$
1б)

√2 sinx = 2-,

x= π-+ 2πn, n ∈ℤ 4

x= 3π-+ 2πn, n ∈ ℤ. 4

2 log13(sin 2x)= 0,

2 0 sin 2x =13 ,

sin22x= 1,

sin2x= ±1,

2x = π-+πn, n ∈ℤ, 2

π- πn- x = 4 + 2 .

Все найденные решения удовлетворяют ограничению $2 sin 2x > 0.$

б) Отберём корни, принадлежащие отрезку $[ 9π] 3π;-2 .$ Для отбора корней воспользуемся тригонометрической окружностью:

$PIC$

Вычислим явно все корни, принадлежащие данному отрезку.

x1 = π+ π-⋅6= 13π, 4 2 4

π- π- 15π x2 = 4 + 2 ⋅7= 4 ,

x1 = π+ π-⋅8= 17π. 4 2 4

Ответ:

а) $x = π-+ πn, n∈ ℤ 4 2$ ;
б) $13π- 15π- 17π 4 ; 4 ; 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#81171Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $log2(cos2x+ 2x− 11) =log2(2x − 15 − 5 cosx).$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[log2500;log21000].$

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно системе

$pict$

Решим уравнение системы:

cos2x+ 2x− 11= 2x− 15− 5cosx cos2x= −4 − 5 cosx 2cos2x− 1+ 4+ 5cosx= 0 2 2cosx + 5cosx +3 = 0 (2cosx + 3)(cosx + 1)= 0 ⌊ cosx= − 3 ⌈cosx= − 21 cosx= −1 x =− π+ 2πk, k ∈ ℤ

Решим неравенство системы, учитывая $cosx = −1:$

x 2 − 15− 5cosx> 0 2x− 15+ 5> 0 x 2 > 10 x> log210

Таким образом,

{ x= − π+ 2πk, k ∈ ℤ x> log10 2

Мы знаем, что $0 < log210,$ значит, $k ≤ 0$ не подходят. Рассмотрим $k = 1.$ Тогда $x= π.$ Сравним $π$ и $log210.$

Заметим, что $π < 3,2.$ Тогда нужно сравнить 3,2 и $log210,$ или $23,2$ и 10:

23,2∨ 10 1 8⋅25 ∨10 1 5 2 5 ∨ 4 ( )5 2 ∨ 5 4 55 2 ∨210 11 5 2 ∨5 2048< 3125

Таким образом, $π < 3,2< log210.$ Значит, $k = 1$ тоже не подходит. Если же $k ≥ 2,$ то

x = −π +2πk ≥ 3π > 9> 4 = = log216> log210

Следовательно, $x =− π+ 2πk,$ где $k ∈ℤ$ и $k ≥ 2.$

б) Из пункта а) мы знаем, что при $k ∈ ℤ$ и $k ≥2$ имеет место неравенство $x > log210.$

Рассмотрим $k = 2.$ Тогда $x =3π.$ Заметим, что

3π > 9= log229 =log2512> log2500

При этом из пункта а) мы знаем, что $π < log210,$ тогда

log21000= log2103 = 3log210> 3π

Таким образом, $3π ∈[log2500;log21000].$

Рассмотрим $k ≥3.$ Тогда

x= −π + 2πk ≥ 5π > 15> 10= = log 210 = log 1024> log 1000 2 2 2

Таким образом, в промежутке $[log2500;log21000]$ лежит только $x= 3π.$

Ответ:

а) $x = −π +2πk,$ где $k ∈ ℤ$ и $k ≥ 2$

б) $3π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2