Тема 15. Решение неравенств

15.01 Задачи №15 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#126229Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( 2 ) (x − 1)9 9log7 x + x− 2 ≤ 10+ log7 -x+-2-.

Источники: ЕГЭ 2025, основная волна 26.05, Центр

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(|x2 +x − 2 > 0 ||{ x +2 ⁄= 0 |||( (x-− 1)9> 0 x+ 2 x ∈(−∞; −2)∪ (1;+∞ )

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство:

( 2 )9 10 (x−-1)9- log7 x + x− 2 − log77 − log7 x +2 ≤ 0 ( 2 )9 log7-x-+-x−-29-≤ 0 710⋅ (x−x1+)2 9 9 log7 (x−-1)((xx−+1)29)-≤ 0 710⋅-x+2-

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

log (x-+-2)10≤ 0 7 710 |x+-2| 10⋅log7 7 ≤ 0 |x +2| log7 --7--≤ 0

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

( ) (7 − 1)⋅ |x-+2|− 1 ≤ 0 7 |x+ 2|− 7 ---7----≤ 0 |x+ 2|≤7 − 7≤ x+ 2≤ 7 −9 ≤x ≤ 5

Пересекая с ОДЗ, получаем

x ∈[−9;−2)∪ (1;5].

Ответ:

$[−9;−2)∪ (1;5]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#113005Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( 2 ) (x− 7)7 7log12 x − 13x+ 42 ≤ 8+ log12-x-− 6-.

Источники: ЕГЭ 2025, досрочная волна, Москва

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(x2− 13x+ 42> 0 ||{ |x − 6 ⁄=70 ⇒ x ∈(−∞; 6)∪ (7;+∞ ) |((x−-7)-> 0 x − 6

На ОДЗ преобразуем исходное неравенство:

( 2 )7 8 (x − 7)7 log12 x − 13x+ 42 − log12 12 − log12-x−-6-≤ 0 ( 2 )7 log -x-−-13x+-42--≤ 0 12 128⋅ (xx−−7)67 7 7 log12 (x−-6)((xx−−7) 77) ≤0 128⋅-x−6-

На ОДЗ последнее неравенство равносильно неравенству

log (x-− 6)8≤ 0 12 128 |x−-6| 8⋅log12 12 ≤ 0 log |x−-6|≤ 0 12 12

По методу рационализации это неравенство на ОДЗ равносильно:

( ) (12− 1)⋅ |x−-6|− 1 ≤ 0 12 |x−-6|− 12 12 ≤ 0 |x− 6|− 12 ≤0

Раскроем модуль на промежутках знакопостоянства подмодульного выражения.

1) $x− 6 <0 ⇒ −x− 6≤ 0.$ Отсюда $x ∈[−6;6).$

2) $x− 6 ≥0 ⇒ x− 18≤ 0.$ Отсюда $x∈ [6;18].$

Общее решение неравенства с модулем $x ∈[−6;18]$ и после пересечения с ОДЗ получаем

x∈ [− 6;6)∪ (7;18].

Ответ:

$[−6;6)∪(7;18]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#127717Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

31− 5⋅2x 4x-− 24-⋅2x-+128 ≥ 0,25.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Перенесем все в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю:

31− 5⋅2x 1 4x−-24⋅2x+-128 − 4 ≥ 0 x x x 4-⋅(31−-5⋅2x)−-(4-−x 24-⋅2-+128) ≥0 4⋅(4 − 24⋅2 + 128) 124−-20⋅2x−-4x+-24-⋅2x−-128-≥ 0 4⋅(4x− 24⋅2x+ 128) − 4x+ 4⋅2x− 4 4⋅(4x−-24⋅2x+-128)-≥ 0 x2 x -(2-)−-4⋅2-+-4--≤ 0 (2x)2− 24⋅2x+ 128 (2x− 2)2 (2x-− 16)(2x−-8) ≤ 0 ( ) ----2x-− 21-2-- (2x− 24)(2x − 23) ≤ 0

По методу рационализации:

----(2−-1)2(x-− 1)2----≤ 0 (2− 1)(x− 4)(2 − 1)(x− 3) (x − 1)2 (x−-3)(x-− 4) ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x134++−+$

Отсюда получаем:

x ∈{1}∪ (3;4).

Ответ:

${1}∪ (3;4)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#127774Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 log (x2− 3x) ----8log-x2--- ≤ 1. 8

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 23.06, Центр

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( ( [ ( [ |{ x2− 3x > 0 |||{ x< 0 |{ x< 0 x2 > 0 ⇔ x> 3 ⇔ x> 3 |( log8x2 ⁄= 0 |||( x⁄= 0 |( x⁄= −1 x2 ⁄= 1

Итоговая ОДЗ:

x∈ (−∞; −1)∪ (− 1;0)∪ (3;+ ∞).

Переходим к решению неравенства на ОДЗ. Перенесем единицу в левую часть неравенства и приведем к общему знаменателю:

( ) 2log8x2-− 3x − 1 ≤ 0 log8x2 2log (x2− 3x)− log x2 ---8---log-x2----8---≤ 0 ( 8) log8-x2−-3x-2−-log8x2 log8x2 ≤ 0

Воспользуемся методом рационализации для логарифмической функции:

( ) (8 − 1) (x2− 3x)2− x2 -----------2--------≤ 0 (8− 1)(x − 1) (x2− 3x)2− x2 ----x2−-1----≤ 0

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

(x2− 3x)2− x2 = x4− 6x3+ 9x2 − x2 = x4− 6x3 +8x2 2( 2 ) 2 = x x − 6x+ 8 = x (x− 2)(x − 4)

Тогда получим:

2 x-(x−-2)(x-− 4) ≤0 (x− 1)(x +1)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x−0124+−−+−+1$

Отсюда получаем

x∈ (−1;1)∪[2;4].

С учетом ОДЗ окончательно имеем:

x∈ (−1;0)∪(3;4].

Ответ:

$(−1;0)∪(3;4]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#127869Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

117− 15⋅3x 9x−-36⋅3x+-243 ≥ 0,5.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Перенесем все в левую часть и приведем дроби к общему знаменателю:

117− 15⋅3x 1 9x−-36⋅3x+-243 − 2 ≥ 0 x x x 2-⋅(117−-15⋅3x-)−-(9-x− 36-⋅3-+243)≥ 0 2⋅(9 − 36⋅3 + 243) 234−-30⋅3x−-9x+-36-⋅3x−-243-≥ 0 2⋅(9x− 36⋅3x+ 243) − 9x+ 6⋅3x− 9 9x−-36⋅3x+-243-≥ 0 x2 x -(32)−-6⋅3-+-9--≤ 0 (3x) − 36⋅3x+ 243 (3x− 3)2 (3x-− 27)(3x−-9) ≤ 0 ( )2 ----3x-− 31----≤ 0 (3x− 33)(3x − 32)

По методу рационализации:

----(3−-1)2(x-− 1)2----≤ 0 (3− 1)(x− 3)(3 − 1)(x− 2) (x − 1)2 (x−-2)(x-− 3) ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x123++−+$

Отсюда получаем:

x ∈{1}∪ (2;3).

Ответ:

${1}∪ (2;3)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#127870Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2x 2x+ 8 66 2x-− 8-+ 2x−-4 + 4-x−-12-⋅2x+-32 ≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день 20.06, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе третьей дроби:

x x x 2 x x x 4 − 12⋅2 + 32= (2 ) − 12⋅2 + 32= (2 − 8)(2 − 4)

Приведем дроби к общему знаменателю:

2x ⋅(2x− 4)+ (2x+ 8)(2x− 8)+ 66 -------(2x−-8)(2x-− 4)-------≤ 0 (2x)2−-4⋅2x+-(2x)2−-64+-66≤ 0 (2x− 8)(2x − 4) 2⋅(2x)2− 4⋅2x +2 -(2x−-8)(2x-− 4)-≤ 0 (2x)2−-2⋅2x+-1-≤ 0 (2x− 8)(2x − 4)

Преобразуем выражение, стоящее в числителе:

(2x)2− 2⋅2x+ 1 =(2x− 1)2

Тогда получим:

---(2x−-1)2--- (2x− 8)(2x − 4) ≤0 (x 0)2 ----2--− 2-----≤ 0 (2x− 23)(2x − 22)

По методу рационализации:

2 2 ----(2-−-1)-⋅(x−-0)-----≤ 0 (2− 1)(x− 3)(2 − 1)(x− 2) -----x2---- (x− 3)(x − 2) ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$x023++−+$

Отсюда получаем:

x ∈{0}∪ (2;3).

Ответ:

${0}∪ (2;3)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#120322Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

---105----- ---22--- (24−x2 − 1)2 − 24−x2 − 1 +1 ≥0.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

Пусть $t= 24− x2.$ Тогда получаем неравенство

--105-- -22- (t− 1)2 − t− 1 +1 ≥ 0 2 105−-22(t−-1)+2-(t−-1)-≥ 0 (t− 1) 105−-22t+-22+-t2−-2t+1- (t− 1)2 ≥ 0 2 t-−-24t+1228 ≥ 0 (t− 1) (t−-8)(t−-16) (t− 1)2 ≥ 0

По методу интервалов получаем:

$t181++−+6$

Таким образом,

( [ |{ t≥ 16 |( t≤ 8 t⁄= 1

Сделаем обратную замену:

[ [ [ (|{ 24−x2 ≥ 16 (|{ 4− x2 ≥ 4 (|{ x2 ≤ 0 24−x2 ≤ 8 ⇔ 4− x2 ≤ 3 ⇔ x2 ≥ 1 |( 24−x2 ⁄= 1 |( 4− x2 ⁄= 0 |(x2 ⁄= 4

Значит,

2 x ∈ {0} ∪[1;4)∪ (4;+ ∞).

Следовательно,

x ∈(−∞; −2)∪ (− 2;− 1]∪{0}∪ [1;2)∪(2;+∞ ).

Ответ:

$(− ∞;− 2)∪ (−2;−1]∪{0}∪ [1;2)∪ (2;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#120323Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

----52----- ---28--- (33−x2 − 1)2 − 33−x2 − 1 +1 ≥0.

Источники: ЕГЭ 2025, резервный день досрочной волны

Показать ответ и решение

Пусть $t= 33− x2.$ Тогда получаем неравенство

--52-- -28- (t− 1)2 − t− 1 +1 ≥ 0 2 52−-28(t− 1)+2(t−-1) ≥0 (t− 1) 52−-28t+-28+-t2-− 2t+-1 (t− 1)2 ≥0 2 t−-30t+281≥ 0 (t− 1) (t−-3)(t−-27) (t− 1)2 ≥ 0

По методу интервалов получаем:

$t132++−+7$

Таким образом,

( [ |{ t≥ 27 |( t≤ 3 t⁄= 1

Сделаем обратную замену:

[ [ [ (|{ 33−x2 ≥ 27 (|{ 3− x2 ≥ 3 (|{ x2 ≤ 0 33−x2 ≤ 3 ⇔ 3− x2 ≤ 1 ⇔ x2 ≥ 2 |( 33−x2 ⁄= 1 |( 3− x2 ⁄= 0 |(x2 ⁄= 3

Значит,

2 x ∈ {0} ∪[2;3)∪ (3;+ ∞).

Следовательно,

( √-) ( √ - √-] [√- √-) (√ - ) x ∈ − ∞;− 3 ∪ − 3;− 2 ∪{0}∪ 2; 3 ∪ 3;+ ∞ .

Ответ:

$( √-) ( √- √ -] [√- √-) (√- ) − ∞;− 3 ∪ − 3;− 2 ∪{0} ∪ 2; 3 ∪ 3;+∞$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#130158Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

1,5x− 3,375 0,25x-− 0,5x−-3,5+-32 ≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Дальний Восток

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

0,25x − 0,5x−3,5+ 32 = 2x x −3,5 =0,5 − 0,5 ⋅0,5 + 32= = 2−2x− 2−x⋅23,5+ 25 = = (2−x)2− 2⋅2−x⋅22,5+ (22,5)2 = (−x 2,5)2 = 2 − 2 .

Перепишем неравенство:

x 1,5-−-3,3752 ≤ 0 (2−x − 22,5) 1,5x− 1,53 (2−x-− 22,5)2 ≤ 0

Так как $( )2 2−x− 22,5 ≥ 0,$ то неравенство равносильно системе:

({1,5x − 1,53 ≤ 0 ( )2 ( 2−x− 22,5 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы:

1,5x− 1,53 ≤ 0 x 3 1,5 ≤1,5 x ≤3

Получим, что

x ∈(−∞; 3].

Решим второе неравенство системы:

( ) 2−x − 22,5 2 ⁄= 0 2−x− 22,5 ⁄= 0 −x 2,5 2 ⁄=2 −x ⁄=2,5 x⁄= −2,5

Тогда система примет вид:

{ x ∈(− ∞;3] x ⁄= −2,5

Получаем ответ:

x∈ (−∞;− 2,5)∪ (− 2,5;3].

Ответ:

$(− ∞;− 2,5)∪(−2,5;3]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#130159Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2,5x − 0,16 0,25x−-0,5x−4,5+-128-≤0.

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Сибирь

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

0,25x− 0,5x−4,5+ 128= 2x x −4,5 = 0,5 − 0,5 ⋅0,5 + 128= = 2−2x− 2−x⋅24,5+ 27 = = (2−x)2− 2⋅2−x⋅23,5+ (23,5)2 = (−x 3,5)2 = 2 − 2 .

Перепишем неравенство:

x 2,5-−-0,162 ≤ 0 (2−x − 23,5) 2,5x− 2,5−2 (2−x-− 23,5)2 ≤ 0

Так как $( )2 2−x− 23,5 ≥ 0,$ то неравенство равносильно системе:

({2,5x − 2,5−2 ≤ 0 ( )2 ( 2−x− 23,5 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы:

2,5x− 2,5−2 ≤ 0 x −2 2,5 ≤ 2,5 x ≤ −2

Получим, что

x∈ (− ∞;− 2].

Решим второе неравенство системы:

( ) 2−x − 23,5 2 ⁄= 0 2−x− 23,5 ⁄= 0 −x 3,5 2 ⁄=2 −x ⁄=3,5 x⁄= −3,5

Тогда система примет вид:

{ x∈ (− ∞;− 2] x⁄= −3,5

Получаем ответ:

x∈ (−∞; −3,5)∪ (−3,5;−2].

Ответ:

$(− ∞;− 3,5)∪(−3,5;− 2]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#130161Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

0,1x− 100 4x−-2x+3,5+-32 ≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Урал

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

4x− 2x+3,5+ 32= 2x x 3,5 = 2 − 2 ⋅2 + 32 = = 22x− 2x ⋅2⋅22,5+ 25 = =(2x)2− 2⋅2x⋅22,5+ (22,5)2 = ( x 2,5)2 = 2 − 2 .

Перепишем неравенство:

x -0,1-−-1002 ≤ 0 (2x− 22,5) 0,1x− 0,1−2 (2x−-22,5)2-≤ 0

Так как $( )2 2x− 22,5 ≥ 0,$ то неравенство равносильно системе:

({ 0,1x− 0,1−2 ≤0 ( )2 ( 2x − 22,5 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы:

0,1x− 0,1−2 ≤ 0 x −2 0,1 ≤ 0,1 x ≥ −2

Получим, что

x∈ [−2;+∞ )

Решим второе неравенство системы:

( ) 2x− 22,52 ⁄=0 2x− 22,5 ⁄= 0 x 2,5 2 ⁄= 2 x ⁄= 2,5

Тогда система примет вид:

{ x∈ [− 2;+ ∞) x⁄= 2,5

Получаем ответ:

x ∈[−2;2,5)∪ (2,5;+∞ ).

Ответ:

$[−2;2,5)∪ (2,5;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#130162Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

0,2x− 125 4x-− 2x+2,5-+8-≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

4x − 2x+2,5+ 8 = 2x x 2,5 =2 − 2 ⋅2 + 8= = 22x− 2x⋅22,5+ 23 = =(2x)2− 2⋅2x⋅21,5+ (21,5)2 = ( x 1,5)2 = 2 − 2 .

Перепишем неравенство:

x -0,2-−-1252 ≤ 0 (2x− 21,5) 0,2x− 0,2−3 (2x−-21,5)2-≤ 0

Так как $( )2 2x− 21,5 ≥ 0,$ то неравенство равносильно системе:

({ 0,2x− 0,2−3 ≤0 ( )2 ( 2x − 21,5 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы:

0,2x− 0,2−3 ≤ 0 x −3 0,2 ≤ 0,2 x ≥ −3

То есть получили, что

x∈ [−3;+∞ )

Решим второе неравенство системы:

( ) 2x− 21,52 ⁄=0 2x− 21,5 ⁄= 0 x 1,5 2 ⁄= 2 x ⁄= 1,5

Тогда система примет вид:

{ x∈ [− 3;+ ∞) x⁄= 1,5

Отсюда окончательно получаем:

x ∈[−3;1,5)∪ (1,5;+∞ ).

Ответ:

$[−3;1,5)∪ (1,5;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#130163Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

0,125x− 64 16x-− 4x+1+-4-≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

16x − 4x+1+ 4= 4x 2x = 2 − 2 ⋅4 +4 = = 24x− 22x⋅2⋅2+ 22 = = (22x)2 − 2 ⋅22x⋅2 +22 = (2x )2 = 2 − 2 .

Перепишем неравенство:

x 0,125-−-642 ≤ 0 (22x− 2) 0,125x− 0,125−2 ---(22x−-2)2-- ≤ 0

Так как $( )2 22x− 2 ≥ 0,$ то неравенство равносильно системе:

({ 0,125x− 0,125−2 ≤ 0 ( )2 ( 22x − 2 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы:

0,125x− 0,125−2 ≤0 x −2 0,125 ≤ 0,125 x ≥ −2

То есть получили, что

x∈ [−2;+∞ )

Решим второе неравенство системы:

( ) 22x− 2 2 ⁄= 0 22x − 2 ⁄= 0 2x 1 2 ⁄= 2 2x ⁄= 1 x ⁄= 0,5

Тогда система примет вид:

{ x∈ [− 2;+ ∞) x⁄= 0,5

Отсюда окончательно получаем:

x ∈[−2;0,5)∪ (0,5;+∞ ).

Ответ:

$[−2;0,5)∪ (0,5;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#130164Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

0,25x− 4 16x−-4x+2+-64 ≤ 0.

Источники: ЕГЭ 2025, пересдача, Центр

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение, стоящее в знаменателе:

16x− 4x+2+ 64 = 4x 2x 2 = 2 − 2 ⋅4 +64 = = 24x− 22x ⋅2⋅23+ 26 = = (22x)2− 2⋅22x⋅23+ (23)2 = ( 2x 3)2 = 2 − 2 .

Перепишем неравенство:

x --x0,25x−+24---≤ 0 16 − 4 + 64 0,25x−-0,25−1- (22x− 23)2 ≤ 0

Так как $( 2x 3)2 2 − 2 ≥0,$ то неравенство равносильно системе:

( { 0,25x− 0,25−1 ≤ 0 ( (2x 3)2 2 − 2 ⁄= 0

Решим первое неравенство системы:

0,25x− 0,25−1 ≤0 x −1 0,25 ≤ 0,25 x ≥ −1

То есть получили, что

x∈ [−1;+∞ )

Решим второе неравенство системы:

( ) 22x− 232 ⁄= 0 22x− 23 ⁄= 0 2x 3 2 ⁄= 2 2x ⁄= 3 x ⁄= 1,5

Тогда система примет вид:

{ x∈ [− 1;+ ∞) x⁄= 1,5

Отсюда окончательно получаем:

x ∈[−1;1,5)∪ (1,5;+∞ ).

Ответ:

$[−1;1,5)∪ (1,5;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#89965Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

49x− 6⋅7x+ 3 6⋅7x− 39 x ----7x−-5--- + -7x−-7--≤ 7 + 5.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Пусть $t= 7x > 0.$ Тогда неравенство примет следующий вид:

t2 − 6t+ 3 6t− 39 --t−-5---+ t−-7--≤ t+5.

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем их к общему знаменателю:

( 2 ) -t-−-6t+3-(t−-7)+-(6t−-39)(t−-5)−-(t+-5)(t−-5)(t−-7)≤ 0 (t− 5)(t− 7) (t3 − 7t2− 6t2 +42t+ 3t− 21)+ (6t2− 30t− 39t+ 195)− (t3− 7t2− 25t+ 175) --------------------------(t−-5)(t−-7)---------------------------≤ 0 t3−-13t2+-45t−-21+-6t2−-69t+-195-−-t3+-7t2+-25t−-175≤ 0 (t− 5)(t− 7) t− 1 (t−-5)(t−-7) ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t157−+−+$

Тогда решением неравенства будет совокупность:

[ [ [ t≤1 7x ≤ 1 x ≤ 0 5< t< 7 ⇔ 5 < 7x < 7 ⇔ log75< x <1

Таким образом, получим $x∈ (−∞; 0]∪ (log75;1).$

Ответ:

$(−∞; 0]∪(log75;1)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 0,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#89976Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

9x− 6⋅3x+ 4 6⋅3x − 51 x ---3x−-5---+ --3x−-9- ≤ 3 + 5.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Решение

Пусть $t= 3x >0.$ Тогда неравенство примет следующий вид:

2 t-− 6t+-4-+ 6t−-51-≤ t+5. t− 5 t− 9

Перенесем все слагаемые в одну сторону и приведем их к общему знаменателю:

(t2−-6t+4)(t−-9)+-(6t−-51)(t−-5)−-(t+-5)(t−-5)(t−-9) (t− 5)(t− 9) ≤ 0 (3 2 2 ) ( 2 ) ( 3 2 ) -t-− 9t-−-6t-+54t+-4t−-36-+-6t-−-30t−-51t+-255-−--t-−-9t-−-25t+-225--≤ 0 (t− 5)(t− 9) t3− 15t2+ 58t− 36+ 6t2− 81t+ 255 − t3+ 9t2+ 25t− 225 ------------------(t−-5)(t−-9)------------------≤ 0 ---2(t−-3)--≤ 0 (t− 5)(t− 9)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$t359−+−+$

Тогда решением неравенства будет совокупность:

[ [ [ t≤ 3 3x ≤31 x≤ 1 5 < t< 9 ⇔ 3log35 < 3x < 32 ⇔ log35< x < 2

Таким образом, получим $x∈ (−∞; 1]∪ (log35;2).$

Ответ:

$(−∞; 1]∪(log35;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точки 1,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2