Тема 15. Решение неравенств

15.01 Задачи №15 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение неравенств

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 121#2452Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log3(9x)⋅2log4(64x)≤ 0. 5x − |x|

Источники: ЕГЭ 2017, официальный пробный

Показать ответ и решение

Найдем ограничения логарифмов:

( {9x > 0 (64x > 0 ⇔ x> 0

Заметим, что при этих ограничениях $|x|= x.$

Тогда при $x> 0$ по методу рационализации неравенство равносильно

(3− 1)(9x − 1)(4− 1)(64x− 1) ---------x(5x-− 1)--------≤ 0 (9x-− 1)(64x-− 1)-≤ 0 x(5x − 1)

Решим данное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Следовательно, решением неравенства будут

( 1 ] [1 1) x ∈ 0;64 ∪ 9;5

Пересекая данное множество с $x> 0,$ получаем

( ] [ ) x ∈ 0; 1 ∪ 1; 1 64 9 5

Ответ:

$( 1-] [1 1) 0;64 ∪ 9;5$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 122#2439Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

−x2+6x−4 −x2+6x−4 4 − 34⋅2 + 64≥ 0

Источники: ЕГЭ 2017, резервный день

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства: $x ∈ ℝ$ .
Сделаем замену: $2−x2+6x−4 = t$ . Тогда неравенство примет вид:

t2− 34t+64 ≥0 ⇔ (t− 32)(t− 2)≥ 0 ⇔ t∈ (− ∞;2]∪ [32;+∞ )

Сделаем обратную замену:

⌊ ⌊ 2 [ 2− x2+6x−4 ≤ 2 − x +6x − 4 ≤ 1 x2− 6x+ 5≥ 0 ⌈ − x2+6x−4 ⇔ ⌈ 2 ⇔ x2− 6x+ 9≤ 0 2 ≥ 32 − x +6x − 4 ≥ 5

Так как $x2− 6x+ 9= (x− 3)2$ , то получаем:

[ [ (x− 1)(x− 5)≥ 0 ⇔ x∈ (− ∞;1]∪ [5;+∞ ) (x− 3)2 ≤0 x= 3

Ответ:

$(−∞; 1]∪{3}∪ [5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 123#566Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 2 2log(x2−8x+17)2(3x + 5)≤ logx2−8x+17(2x + 7x+ 5)

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(|| (x2− 8x+ 17)2 > 0 |||| (x2− 8x+ 17)2 ⁄= 1 ||{ 3x2 +5 > 0 | x2− 8x + 17 > 0 ⇔ x∈ (−∞; −2,5)∪ (−1;4)∪(4;+∞ ) ||||| 2 ||( x2− 8x + 17 ⁄= 1 2x +7x +5 > 0

Заметим, что

x2− 8x + 17= (x − 4)2+ 1≥ 1.

При этом на ОДЗ выполнено $2 (x− 4) + 1> 1.$

Тогда имеем:

2 log(x2−8x+17)2(3x2+ 5)≤ logx2−8x+17(2x2 +7x +5) 2 2 logx2−8x+17(3x + 5)≤ logx2−8x+17(2x + 7x + 5) 3x2+ 5 ≤2x2 +7x +5 x2 − 7x ≤ 0

Отсюда получаем $x∈ [0;7].$

Пересечём ответ с ОДЗ и окончательно получим

x∈ [0;4)∪ (4;7]

Ответ:

$[0;4)∪ (4;7]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 124#1866Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

25x-−-5x+2-+-26- 25x-−-7-⋅ 5x-+-1 x 5x − 1 + 5x − 7 ≤ 2 ⋅ 5 − 24

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

Сделаем замену $5x = t > 0$ :

t2 −-25t-+-26 t2 −-7t-+-1 t − 1 + t − 7 ≤ 2t − 24

ОДЗ:

{ t ⁄= 1 t ⁄= 7

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

3t − 15 ------------- ≤ 0 (t − 1)(t − 7 )

По методу интервалов

$PIC$

откуда $t ∈ (− ∞; 1) ∪ [5;7)$
с учётом ОДЗ и условия $t > 0$ : $t ∈ (0;1) ∪ [5;7)$
в исходных переменных:

x ∈ (− ∞; 0) ∪ [1;log57 ).

Ответ:

$(− ∞; 0) ∪ [1;log5 7)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 125#2255Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x x 9-⋅ 4x-−-288 8 − 3 ⋅ 4 + 2x − 9 ≤ 32

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2x = t > 0$ :

3 2 9t2 −-288 t − 3t + t − 9 ≤ 32

ОДЗ:

t ⁄= 9

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

t4 − 12t3 + 36t2 − 32t t3 − 12t2 + 36t − 32 --------t −-9---------≤ 0 ⇔ t ⋅-------t −-9--------≤ 0

Разложим многочлен третьей степени в числителе левой части последнего неравенства на множители. Можно угадать его корень $t = 2$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $t − t0$ , где $t0$ – корень, тогда

| t3 − 12t2 + 36t − 32 |----t-−-2----- t3-−--2t2- | t2 − 10t + 16 − 10t2 + 36t | − 10t2 + 20t | --------16t − 32 | | 16t −-320- | |

тогда последнее неравенство равносильно

t(t-−-2)2(t −-8) t − 9 ≤ 0

По методу интервалов

$PIC$

откуда $t ∈ (− ∞; 0] ∪ {2} ∪ [8; 9)$
с учётом ОДЗ и условия $t > 0$ : $t ∈ {2} ∪ [8;9 )$
в исходных переменных:

x ∈ {1} ∪ [3;log29 )

Ответ:

${1 } ∪ [3;log29)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 126#1865Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(4x− 7)⋅logx2−4x+5(3x − 5) ≥0.

Источники: ЕГЭ 2016, досрочная волна

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( 2 |{ x − 4x+ 5> 0 (5 ) | x2− 4x+ 5⁄= 1 ⇔ x ∈ 3;2 ∪(2;+ ∞ ) ( 3x− 5> 0

По методу рационализации на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

(4x − 7)(x2− 4x+ 5− 1)(3x− 5− 1)≥ 0 2 (4x − 7)(x − 4x+ 4)(3x− 6)≥ 0 (4x− 7)(x− 2)3 ≥ 0

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда с учётом ОДЗ окончательно получаем

( ] 5 7 x ∈ 3;4 ∪(2;+∞ )

Ответ:

$(5 7] 3;4 ∪(2;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 127#565Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x+2 x x 2x + 2x---+ -4x-+-7⋅2x++2-20-≤ 1 2 − 4 4 − 3⋅2 + 32

Источники: ЕГЭ 2016, резервный день

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2x = t> 0$ :

2 t+ -4t-+ t2-+-7t+-20-≤ 1 t− 4 t − 12t+ 32

ОДЗ:

{t − 4 ⁄= 0 {t ⁄= 4 2 ⇔ t − 12t+ 32⁄= 0 t⁄= 8

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

t3− 8t2+ 19t− 12 --t2−-12t+32---≤ 0

Разложим числитель левой части последнего неравенства на множители. Можно угадать его корень $t= 1$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $t− t0$ , где $t0$ – корень, тогда

t3− 8t2 +19t− 12 |---t−-1---- t3−--t22- | t2− 7t+ 12 −7t2+ 19t | −-7t+127tt− 12 | 12t−-12- | 0

тогда последнее неравенство равносильно

(t−(1t)−(t−4)(3t)−(t8−) 4)-≤0

По методу интервалов

$PIC$

откуда $t∈ (−∞;1]∪ [3;4)∪(4;8)$
с учётом ОДЗ и условия $t> 0$ : $t∈ (0;1]∪[3;4)∪ (4;8)$
в исходных переменных:

x∈ (− ∞;0]∪ [log2 3;2)∪ (2;3).

Ответ:

$(−∞; 0]∪[log 3;2)∪(2;3) 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 128#2726Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

9x-−-3x+1-−-19- 9x+1 −-3x+4 +-2- x 3x − 6 + 3x − 9 ≤ 10 ⋅ 3 + 3

Источники: ЕГЭ 2016, резервный день

Показать ответ и решение

Сделаем замену $3x = t > 0$ :

t2-−-3t −-19 9t2 −-81t +-2 t − 6 + t − 9 ≤ 10t + 3

ОДЗ:

{ t ⁄= 6 t ⁄= 9

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю

t − 3 ------------- ≤ 0 (t − 9)(t − 6 )

По методу интервалов

$PIC$

откуда $t ∈ (− ∞; 3] ∪ (6;9)$
с учётом ОДЗ и условия $t > 0$ : $t ∈ (0;3] ∪ (6;9)$
в исходных переменных:

x ∈ (− ∞; 1] ∪ (log36;2 ).

Ответ:

$(− ∞; 1] ∪ (log3 6;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 129#519Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 2 2 log5(25− x)− 3log5(25− x )+ 2≥ 0

Источники: ЕГЭ 2015

Показать ответ и решение

ОДЗ:

2 25− x > 0 ⇔ x∈ (−5;5).

Сделаем замену $y = log (25− x2) 5$ , тогда

y2− 3y + 2≥ 0.

Решим это неравенство методом интервалов:

$PIC$

откуда $y ∈(− ∞;1]∪[2;+∞ )$ .
$log5(25− x2)∈ (−∞;1]∪ [2;+∞ )$ , что можно представить в виде
$log5(25− x2)≤ 1$ или $log5(25− x2)≥ 2$ .

Решим первое из этих неравенств:

log (25− x2) ≤1. 5

Это неравенство на ОДЗ равносильно:

25 − x2 ≤5 ⇔ x2 ≥ 20 ⇔ x∈ (−∞;− 2√5]∪ [2√5;+∞ ).

Решим второе из этих неравенств:

2 log5(25− x) ≥2.

Это неравенство на ОДЗ равносильно:

2 2 25− x ≥ 25 ⇔ x ≤ 0 ⇔ x = 0.

Объединенное решение двух неравенств: $- - x ∈ (− ∞;− 2√ 5]∪{0}∪ [2√ 5;+ ∞)$ .
Пересечем ответ с ОДЗ:

√ - √ - x ∈(− 5;− 2 5]∪{0}∪ [2 5;5).

Ответ:

$x ∈(−5;−2√5-]∪{0}∪ [2√5;5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 130#520Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log2(64 − x2) − 5log (64 − x2) + 6 ≥ 0 4 4

Источники: ЕГЭ 2015

Показать ответ и решение

ОДЗ:

64 − x2 > 0 ⇔ x ∈ (− 8;8)

Сделаем замену $2 y = log4(64 − x )$ , тогда

2 y − 5y + 6 ≥ 0

Решим это неравенство методом интервалов:

$PIC$

откуда $y ∈ (− ∞; 2] ∪ [3;+ ∞ )$
$log (64 − x2 ) ∈ (− ∞; 2] ∪ [3;+ ∞ ) 4$ , что можно представить в виде
$2 log4(64 − x ) ≤ 2$ или $2 log4(64 − x ) ≥ 3$

Решим первое из этих неравенств:

log4(64 − x2) ≤ 2

Это неравенство на ОДЗ равносильно:

√ -- √ -- 64 − x2 ≤ 16 ⇔ x2 ≥ 48 ⇔ x ∈ (− ∞; − 4 3] ∪ [4 3;+ ∞ )

Решим второе из этих неравенств:

log4(64 − x2) ≥ 3

Это неравенство на ОДЗ равносильно:

2 2 64 − x ≥ 64 ⇔ x ≤ 0 ⇔ x = 0

Объединенное решение двух неравенств: $√ -- √ -- x ∈ (− ∞; − 4 3] ∪ {0} ∪ [4 3;+∞ )$
Пересечем полученное множество с ОДЗ:

√ -- √ -- x ∈ (− 8;− 4 3] ∪ {0} ∪ [4 3;8)

Ответ:

$√ -- √ -- x ∈ (− 8;− 4 3] ∪ {0} ∪ [4 3;8)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 131#896Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2( 2) ( 2) log24 +3x − x +7log0,5 4+ 3x− x + 10 > 0.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

2 4+ 3x− x > 0 ⇒ x ∈(−1;4)

По свойству логарифма имеем:

2( 2) ( 2) log2 4 +3x − x − 7log24 +3x − x + 10 >0

Сделаем замену

( 2) y = log2 4+ 3x− x

Тогда неравенство запишется в виде

y2− 7y+ 10 > 0

Решим это неравенство методом интервалов:

$PIC$

Отсюда получим

y ∈ (− ∞;2)∪ (5;+∞ )

Сделаем обратную замену:

⌊log (4 +3x − x2)< 2 ⌈ 2( ) log2 4 +3x − x2 > 5

Решим первое из этих неравенств:

( ) log2 4+ 3x− x2 < 2 2 4+ 3x− x < 4 x2− 3x > 0 x ∈ (− ∞;0)∪ (3;+∞ )

Решим второе из этих неравенств:

( ) log2 4+ 3x− x2 > 5 2 4+ 3x− x > 32 x2− 3x+ 28< 0 x∈ ∅

Объединеним решения двух неравенств выше:

x ∈ (− ∞;0)∪ (3;+∞ )

Пересечем объединенное решение с ОДЗ:

x ∈(−1;0)∪(3;4)

Ответ:

$(−1;0)∪(3;4)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 132#1822Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 5-lg2-x−-1 ≥ 1 lgx − 1

Показать ответ и решение

ОДЗ логарифмов:

x> 0.

Сделаем замену $y = lg x$ , тогда

2 2 2 2 5y2−-1 ≥ 1 ⇔ 5y--− 12− (y-−-1)≥ 0 ⇔ -42y--≥ 0. y − 1 y − 1 y − 1

Решим это неравенство методом интервалов:

$PIC$

откуда $y ∈(− ∞;−1)∪ {0}∪ (1;+∞ )$ .
$lgx ∈(−∞; −1)∪ {0}∪(1;+∞ )$ , что можно представить в виде

lgx < −1 или lgx =0 или lgx > 1.

Решим первое неравенство:

lg x< −1.

Это неравенство на ОДЗ равносильно:

x< 0,1.

Решим второе уравнение:

lgx = 0.

Это уравнение на ОДЗ равносильно:

x= 1.

Решим третье неравенство:

lgx > 1.

Это неравенство на ОДЗ равносильно:

x >10.

Объединенное решение двух неравенств и уравнения: $x∈ (−∞; 0,1)∪ {1}∪(10;+∞ )$ .
Пересечем ответ с ОДЗ:

x ∈ (0;0,1)∪{1}∪ (10;+∞ ).

Ответ:

$(0;0,1)∪ {1}∪(10;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 133#928Максимум баллов за задание: 2

Решите систему

{ 1 36x−2 − 7 ⋅ 6x−1 + 1 ≥ 0 2 x ⋅ log4(5 − 3x − x ) ≥ 0

Источники: ЕГЭ 2014, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство можно переписать в виде

2x− 1 x−1 6 − 7 ⋅ 6 + 1 ≥ 0

Сделаем замену $6x = t > 0$ , тогда неравенство примет вид:

2 t- − 7t + 1 ≥ 0 ⇔ t2 − 7t + 6 ≥ 0 6 6

Решим уравнение $2 t − 7t + 6 = 0$ . Его корнями будут $t1 = 1$ и $t2 = 6$ . Следовательно, $2 t − 7t + 6 = (t − 1)(t − 6)$ . Значит, неравенство примет вид

(t − 1)(t − 6 ) ≥ 0

Решив его методом интервалов, получим $t ∈ (− ∞; 1] ∪ [6;+ ∞ ).$ Теперь сделаем обратную замену:

[ x [ 6 ≤ 1 x ≤ 0 6x ≥ 6 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ∈ (− ∞; 0] ∪ [1;+ ∞ ).

2) Второе неравенство. Выпишем его ОДЗ:

( √ --- √ ---) 2 2 −-3-−---29 − 3-+--29- 5 − 3x − x > 0 ⇔ x + 3x − 5 < 0 ⇔ x ∈ 2 ; 2 .

Тогда на ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно

x(4 − 1)(5 − 3x − x2 − 1) ≥ 0 ⇔ x(x2 + 3x − 4) ≤ 0 ⇔ x(x − 1 )(x + 4) ≤ 0

Решая данное неравенство методом интервалов, получим $x ∈ (− ∞; − 4] ∪ [0;1]$ .
Пересекая данный ответ с ОДЗ, получим окончательное решение второго неравенства $( √ --- ] − 3 − 29 x ∈ ----------;− 4 ∪ [0;1]. 2$

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим $( √ --- ] x ∈ − 12( 29 + 3);− 4 ∪ {0;1}.$

Ответ:

$( √--- ] − 12( 29 + 3 );− 4 ∪ {0;1}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 134#2223Максимум баллов за задание: 2

Решите систему

{ log11−x(x + 7) ⋅ logx+5 (9 − x) ≤ 0 x2− 3x+20 2x2−6x−200 64 − 0,125 ≤ 0

Источники: ЕГЭ 2014, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ:

( 11 − x > 0 |||| ||| 11 − x ⁄= 1 |{ x + 7 > 0 ⇔ x ∈ (− 5;− 4) ∪ (− 4;9). ||| x + 5 > 0 ||| x + 5 ⁄= 1 ||( 9 − x > 0

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно

(11 − x − 1)(x + 7 − 1)(x + 5 − 1)(9 − x − 1) ≤ 0 ⇔ (x − 10)(x + 6)(x + 4)(x − 8) ≤ 0

Решая данное неравенство методом интервалов, получим $x ∈ [− 6;− 4] ∪ [8; 10].$

Пересечем с ОДЗ и получим $x ∈ (− 5;− 4 ) ∪ [8;9)$ .

2) Второе неравенство. Заметим, что $0,125 = 1 = 8− 1 8$ . Тогда неравенство можно переписать как

82x2−6x+40 − (8−1)2x2−6x− 200 ≤ 0 ⇔ 82x2−6x+40 ≤ 8−2x2+6x+200

Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно

2x2 − 6x + 40 ≤ − 2x2 + 6x+ 200 ⇔ x2 − 3x − 40 ≤ 0 ⇔ (x + 5)(x− 8) ≤ 0 ⇔ x ∈ [− 5;8 ]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: $x ∈ (− 5;− 4 ) ∪ {8}.$

Ответ:

$(− 5;− 4) ∪ {8}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 135#2316Максимум баллов за задание: 2

Решите систему неравенств

{ log4−x(x + 4) ⋅ logx+5(6 − x) ≤ 0 x2−2x+10 2x2− 4x− 80 25 − 0,2 ≤ 0

Источники: ЕГЭ 2014, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ:

( 4 − x > 0 |||| ||| 4 − x ⁄= 1 |{ x + 4 > 0 ⇔ x ∈ (− 4;3) ∪ (3;4). ||| x + 5 > 0 ||| x + 5 ⁄= 1 ||( 6 − x > 0

На ОДЗ неравенство по методу рационализации равносильно

(4 − x − 1)(x + 4 − 1)(x + 5 − 1)(6 − x − 1) ≤ 0 ⇔ (x − 3)(x + 3)(x + 4)(x − 5 ) ≤ 0

Решая данное неравенство методом интервалов, получим $x ∈ [− 4;− 3] ∪ [3; 5].$

Пересечем с ОДЗ и получим $x ∈ (− 4;− 3 ] ∪ (3;4)$ .

2) Второе неравенство. Заметим, что $0, 2 = 1 = 5−1 5$ . Тогда неравенство можно переписать как

52x2−4x+20 − (5 −1)2x2− 4x− 80 ≤ 0 ⇔ 52x2−4x+20 ≤ 5−2x2+4x+80

Так как основание степени больше единицы, то данное неравенство равносильно

2x2 − 4x + 20 ≤ − 2x2 + 4x + 80 ⇔ x2 − 2x − 15 ≤ 0 ⇔ (x + 3)(x− 5) ≤ 0 ⇔ x ∈ [− 3;5 ]

3) Пересечем решения обоих неравенств и получим: $x ∈ {− 3} ∪ (3; 4).$

Ответ:

${− 3} ∪ (3;4)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 136#929Максимум баллов за задание: 2

Решите систему

{ 19 ⋅ 4x + 4−x ≤ 20 x ⋅ logx+3(7 − 2x) ≥ 0

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Сделаем замену $4x = t > 0$ , тогда неравенство примет вид

1 19t2 − 20t + 1 (19t − 1)(t − 1) 19t + --≤ 20 ⇔ --------------≤ 0 ⇔ ----------------≤ 0 t t t

Решая данное неравенство методом интервалов, получим $[ ] t ∈ (− ∞; 0) ∪ 119;1$ . Учитывая, что $t > 0$ , получаем $[ ] t ∈ -1;1 19$ . Сделаем обратную замену:

-1- x log4119 x 0 1-- 19 ≤ 4 ≤ 1 ⇔ 4 ≤ 4 ≤ 4 ⇔ log4 19 ≤ x ≤ 0.

2) Второе неравенство. Найдем ОДЗ:

( |{ x + 3 > 0 ( ) 7- | x + 3 ⁄= 1 ⇔ x ∈ (− 3;− 2) ∪ − 2;2 . ( 7 − 2x > 0

На ОДЗ по методу рационализации данное неравенство равносильно

x (x + 3 − 1)(7 − 2x − 1) ≥ 0 ⇔ x (x + 2)(x − 3) ≤ 0

Решая его методом интервалов, получим $x ∈ (− ∞; − 2] ∪ [0;3]$ . Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим $x ∈ (− 3; − 2) ∪ [0;3]$ .

3) Заметим, что $-1 log419 = − log4 19$ , следовательно, пересекая решения обоих неравенств, получим $x ∈ [− log419; − 2) ∪ {0}.$

Ответ:

$[− log4 19;− 2) ∪ {0}$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 137#2224Максимум баллов за задание: 2

Решите систему

( ( 2 ) || x-- 16- { log3 4 − x2 ≤ 1 2 ||( -----2x-+--x −-28------≤ 0 (x − 6 )2 + (x − 5)3 − 1

Источники: ЕГЭ 2014, вторая волна, резервный день

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Найдем ОДЗ:

x2 16 x4 − 64 ---− -2-> 0 ⇔ ----2---> 0 ⇔ 4 x 4x √ -- √ -- 2 -- -- ⇔ (x-−-2--2)(x-+-2--2)(x--+-8) > 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 2√ 2) ∪ (2 √ 2;+∞ ) x2

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

2 4 2 2 2 x-- 16- x--−-12x--−-64- (x-+--4)(x-−--16) 4 − x2 ≤ 3 ⇔ 4x2 ≤ 0 ⇔ 4x2 ≤ 0 ⇔ 2 ⇔ (x--+-4)(x-−-4)(x-+-4)-≤ 0 ⇔ x ∈ [− 4;0) ∪ (0;4] 4x2

Пересекая полученное решение с ОДЗ, найдем решение первого неравенства: $√ -- √ -- x ∈ [− 4;− 2 2) ∪ (2 2; 4].$

2) Второе неравенство.
По формуле разности кубов $(x − 5)3 − 1 = (x − 5 − 1)((x − 5)2 + x − 5 + 1) = (x − 6)(x2 − 9x + 21 )$ . Следовательно, знаменатель можно разложить на множители $2 2 2 (x − 6) + (x − 6)(x − 9x + 21 ) = (x − 6)(x − 8x + 15 ) = (x − 6)(x − 3)(x − 5)$ .

Тогда все неравенство, разложив и числитель на множители, можно переписать в виде

--(2x-−--7)(x-+-4-)--- (x − 6 )(x − 3 )(x − 5) ≤ 0

Решив полученное неравенство методом интервалов, получим

( ] x ∈ (− ∞; − 4 ] ∪ 3; 7 ∪ (5;6). 2

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим $( ] x ∈ {− 4} ∪ 3; 72$

Ответ:

$( ] {− 4} ∪ 3; 72$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 138#2755Максимум баллов за задание: 2

Решите систему

( 5 3 |{ 16x− 4 − 3 ⋅ 4x− 2 + 1 ≥ 0 | 2x2 + 5x − 7 ( log2------------- ≤ 1 3x − 2

Источники: ЕГЭ 2014, вторая волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство перепишем в виде

16x 4x ---5− 3 ⋅-3-+ 1 ≥ 0 16 4 42

Заметим, что $1654 = (24)54 = 25$ , а $432 = (22)32 = 23$ . Сделаем замену $4x = t > 0$ :

t2 t 2 25-− 323-+ 1 ≥ 0 ⇔ t − 12t + 32 ≥ 0 ⇔ (t − 4)(t − 8) ≥ 0 ⇔ t ∈ (− ∞; 4] ∪ [8;+ ∞ ).

Сделаем обратную замену:

[ ⌊ 4x ≤ 4 x ≤ 1 ⇔ ⌈ 3 4x ≥ 8 x ≥ -- 2

2) Второе неравенство. Так как основание логарифма больше единицы, то данное неравенство равносильно

( ( | 2x2-+-5x-−-7- | 2x2-−-x-−-3- |{ 3x − 2 ≤ 2 |{ 3x − 2 ≤ 0 2 ⇔ 2 ||( 2x--+-5x-−-7-> 0 ||( 2x--+-5x-−--7 > 0 3x − 2 3x − 2

Решая каждое неравенство методом интервалов, получим ответ для первого: $(2- 3] x ∈ (− ∞; − 1] ∪ 3;2$ и для второго: $( ) x ∈ − 72; 23 ∪ (1;+ ∞ )$ . Пересекая эти решения, получим $( ] ( ] x ∈ − 72;− 1 ∪ 1; 32$ .

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим $x ∈ (− 7;− 1] ∪ { 3} 2 2$ .

Ответ:

$( ] − 72;− 1 ∪ {1,5}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 139#930Максимум баллов за задание: 2

Решите систему

( || log --x +-4- ≥ − 2 { 3− x(x − 3)2 | 21x2 + 3x − 12 |( x3 + 6x2 + ---------------≤ 3 x − 4

Источники: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

( 3 − x > 0 ( ||{ |{ x < 3 3 − x ⁄= 1 ⇔ x ⁄= 2 ⇔ x ∈ (− 4;2) ∪ (2; 3) || -x-+-4-- |( ( (x − 3)2 > 0 x ∈ (− 4;3) ∪ (3;+ ∞ )

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

log3 −x(x+4 )− log3− x(x− 3)2+2 ≥ 0 ⇔ log3−x(x+4 )− log3 −x(3− x)2+2 ≥ 0 ⇔ log3−x(x+4 ) ≥ 0

Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:

(3 − x − 1)(x + 4 − 1) ≥ 0 ⇔ x ∈ [− 3;2]

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:

x ∈ [− 3;2)

2) Второе неравенство равносильно:

x4-+-6x3-−-4x3-−-24x2-+-21x2-+--3x −-12 −-3x-+-12- x4 +-2x3-−-3x2- x2(x-+-3)(x −-1) x − 4 ≤ 0 ⇔ x − 4 ≤ 0 ⇔ x − 4 ≤ 0

Решая его методом интервалов, получим $x ∈ (− ∞; − 3] ∪ {0 } ∪ [1;4).$

3) Пересечем решения обоих неравенств, получим $x ∈ {− 3;0} ∪ [1; 2)$ .

Ответ:

${− 3;0} ∪ [1;2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 140#931Максимум баллов за задание: 2

Решите систему

( || log4− x(16 − x2) ≤ 1 { | 21x + 39 1 |( 2x + 1 − -----------≥ − ------ x2 + x − 2 x + 2

Источники: ЕГЭ 2013, основная волна

Показать ответ и решение

Решим по отдельности каждое неравенство системы, а затем пересечем их решения.

1) Первое неравенство. Выпишем ОДЗ:

(| 4 − x > 0 { 4 − x ⁄= 1 ⇔ x ∈ (− 4;3) ∪ (3;4). |( 16 − x2 > 0

На ОДЗ данное неравенство равносильно:

log (16 − x2) − log (4 − x) ≤ 0 ⇔ log (4-−-x)(4 +-x) ≤ 0 ⇔ log (4 + x) ≤ 0 4− x 4−x 4−x 4 − x 4−x

Полученное неравенство по методу рационализации на ОДЗ равносильно:

(4 − x − 1)(x + 4 − 1) ≤ 0 ⇔ x ∈ (− ∞; − 3] ∪ [3;+ ∞ )

Пересекая полученный ответ с ОДЗ, найдем решение первого неравенства:

x ∈ (− 4; − 3] ∪ (3;4).

2) Второе неравенство:

2x3-+-x2-+-2x2-+-x-−-4x-−-2-−-21x-−-39-+-x-−-1- 2x3-+-3x2-−-23x-−--42 (x + 2)(x − 1) ≥ 0 ⇔ (x + 2)(x − 1) ≥ 0

Подбором находим, что $x = − 2$ является корнем многочлена $2x3 + 3x2 − 23x − 42$ . Выполнив деление в столбик $3 2 2x + 3x − 23x − 42$ на $x + 2$ , получим: $3 2 2 2x + 3x − 23x − 42 = (x + 2)(2x − x − 21) = (x + 2)(x + 3)(2x − 7)$ .

Следовательно, неравенство равносильно

(x +-2)(x-+-3-)(2x-−--7) (x + 2)(x − 1) ≥ 0,

решая которое методом интервалов, получим ответ $x ∈ [− 3;− 2 ) ∪ (− 2;1) ∪ [3,5;+ ∞ ).$

3) Пересекая решения обоих неравенств, получим окончательный ответ $x ∈ { − 3 } ∪ [3,5;4).$

Ответ:

${− 3} ∪ [3,5;4)$