15.05 Логарифмические неравенства с числовым основанием - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#2090Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log2 x + 6log x + 8 ≤ 0 3 3

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x > 0$ .

Сделаем замену $t = log3 x$ :

2 t + 6t + 8 ≤ 0 ⇔ (t + 2 )(t + 4) ≤ 0

По методу интервалов: $PIC$

откуда $t ∈ [− 4;− 2]$ .

Тогда $− 4 ≤ log x ≤ − 2 3$ , что равносильно

1 1 1 1 log3 ---≤ log3 x ≤ log3-- ⇔ --- ≤ x ≤ -. 81 9 81 9

С учётом ОДЗ ответ: $[ ] 1--1- x ∈ 81;9$ .

Ответ:

$[ ] -1-; 1 81 9$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#2091Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

ln2x − 7lnx + 12 ≥ 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x > 0$ .

Сделаем замену $t = ln x$ :

2 t − 7t + 12 ≥ 0 ⇔ (t − 3)(t − 4 ) ≥ 0

По методу интервалов: $PIC$

откуда $t ∈ (− ∞; 3] ∪ [4; +∞ )$ .

Тогда на ОДЗ

[ [ 3 [ 3 lnx ≤ 3 ⇔ lnx ≤ ln e ⇔ x ≤ e lnx ≥ 4 lnx ≥ ln e4 x ≥ e4

С учётом ОДЗ ответ:

3 4 x ∈ (0;e ] ∪ [e ;+ ∞ ).

Ответ:

$(0;e3] ∪ [e4;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#2303Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log3 x − 3 + 0,25log2x2 − 4 log x ≥ 1 4 4 4

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x > 0$ .

Исходное неравенство равносильно

3 2 log4 x + 0,25 ⋅ (2log4|x|) − 4 log4x − 4 ≥ 0

Так как на ОДЗ выполнено $|x| = x$ , то последнее неравенство равносильно неравенству

log34x + log24 x − 4log4x − 4 ≥ 0

Сделаем замену $t = log x 4$ :

3 2 t + t − 4t − 4 ≥ 0

В левой части последнего неравенства сгруппируем слагаемые (первое со вторым, третье с четвёртым):

t2(t + 1) − 4(t + 1 ) ≥ 0 ⇔ (t2 − 4)(t + 1 ) ≥ 0 ⇔ (t − 2)(t + 2)(t + 1) ≥ 0

По методу интервалов: $PIC$

откуда $t ∈ [− 2;− 1] ∪ [2;+ ∞ )$ .

Тогда

⌊ ⌊ [ 1-- 1- 1-- 1- − 2 ≤ log4x ≤ − 1 ⇔ ⌈log4 16 ≤ log4x ≤ log4 4 ⇔ ⌈ 16 ≤ x ≤ 4 log4x ≥ 2 log x ≥ log 16 x ≥ 16 4 4

С учётом ОДЗ ответ: $[ 1 1 ] x ∈ --;-- ∪ [16;+ ∞ ) 16 4$ .

Ответ:

$[ ] -1-; 1 ∪ [16; +∞ ) 16 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#2574Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

1 + -----4---- + -----------3-----------≥ 0 log5 x − 2 (log5x)2 − log55x4 + 5

Показать ответ и решение

ОДЗ логарифмов: $x > 0$ .
На ОДЗ верно: $log55x4 = log5 5 + log5 x4 = 1 + 4log5|x| = 1 + 4log5x$ .
Сделаем замену $log x = t 5$ , тогда неравенство примет вид

4 3 t2 − 1 (t − 1)(t + 1) 1 + ----- + -2-------------- ≥ 0 ⇔ ------2-≥ 0 ⇔ ---------2---≥ 0 t − 2 t − (1 + 4t) + 5 (t − 2) (t − 2)

Решим полученное неравенство методом интервалов: $PIC$
Таким образом, возвращаясь к старой переменной, можем записать:

⌊ ( [ (| 1- |{ log5 x ≤ − 1 ||{ |x ≤ 5 log x ≥ 1 ⇔ ⌈ |( 5 || x ≥ 5 log5x ⁄= 2 |( x ⁄= 25

Пересекая полученный ответ с ОДЗ $x > 0$ , получаем окончательный ответ
$( 1] x ∈ 0; 5 ∪ [5;25) ∪ (25;+∞ )$

Ответ:

$( ] 0; 15 ∪ [5;25 ) ∪ (25;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#2747Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

√-( x2+1 ) log1−sin2 2 2 − 3 ≤ 0

Показать ответ и решение

ОДЗ: $2x2+1− 3> 0$ . Решим на ОДЗ.

Заметим, что $√- 0 <sin2 2 < 1$ .
Т.к. $π2$ чуть больше $1,57$ , $π$ чуть меньше $3,15$ , то число $√- 2 2 ∼ 2,8$ и находится во второй четверти, в которой синус положителен.
Из того, что $√ - 0< sin 2 2< 1$ , следует, что

√ - 0< 1− sin2 2< 1

Следовательно, неравенство равносильно

( 2 ) log1−sin2√2 2x+1 − 3 ≤ log1−sin2√2 1 ⇒

Вспоминая ОДЗ, получаем:

${ x2+1 ⇒ 2x2+1 − 3 ≥1 ⇒ 2x2+1− 3≥ 1 ⇒ 2x2+1 ≥ 4 ⇒ 2 − 3 > 0$

$⇒ x2 +1 ≥ 2 ⇒ (x − 1)(x+ 1)≥ 0 ⇒ x∈ (−∞; −1]∪[1;+∞ ).$

Ответ:

$(−∞; −1]∪ [1;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#11751Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

1 ( 2 ) ( 2 1 ) log3x + log3 x + 3x− 9 ≤ log3 x +3x + x − 10 .

Показать ответ и решение

По определению и свойствам логарифма имеем:

$pict$

Последний переход справедлив и не требует дополнительного наложения условия

2 1 x + 3x+ x − 10 > 0

— ОДЗ логарифма, от которого мы избавляемся. Это следует из условия

x+ 3− 9 ≤x2 +3x + 1− 10 x x

а также из определяемого другими неравенствами системы условия

x+ 3− 9 > 0 x

Далее имеем:

$pict$

Сравним числа, чтобы определить порядок точек на числовой прямой. С 1:

√ - − 3 + 3-5∨ 1 2 √- 2 3-5-∨ 5 2 2 3√5 ∨5 45> 25 3 3√5 − 2 +--2-> 1

С 2:

3 3√5 − 2 + -2-∨ 2 √- 3-5-∨ 7 2 2 3√5 ∨7 45< 49 3 3√5 − 2 +--2-< 2

Окончательно получаем

x∈ [2;+∞ )

Ответ:

$[2;+ ∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#13554Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

( ) log9√8 log17(x+ 1) ≥ 3.

Показать ответ и решение

По свойствам логарифма имеем:

√ -( ) log 98 log17 (x +1) ≥ 3 log 1(log7−1(x+ 1)) ≥3 23 3log2(− log7(x+ 1)) ≥3 log2(− log7(x+ 1))≥ 1

Вычислим теперь ОДЗ:

( ( { x+ 1> 0 {x > −1 ( ⇔ ( − log7(x + 1) >0 log7 (x +1)< 0 ( ( { x> −1 ⇔ { x> − 1 ( log7(x+ 1)< log71 ( x+ 1< 1 ( { x> −1 ( ⇔ x∈ (− 1;0) x< 0

Вернемся теперь к решению неравенства:

log (− log (x+ 1))≥ 1 2 7 − log7(x + 1) ≥2 log7(x+ 1)≤ −2 −2 x+ 1≤ 7 x≤ 7−2− 1 48 x ≤− 49

С учетом ОДЗ окончательно получим

( { x∈ (−1;0) ( 48] ( x≤ − 48 ⇒ x∈ −1;− 49 49

Ответ:

$( 48] −1;−49$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#15707Максимум баллов за задание: 2

$4 log2(sin3x)+ 8 log (sinx) ≥ 1 4 2$

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение $9log2(sin x)+ 8log (sin x)− 1 ≥ 0 2 2$ при условии $sinx > 0$ . Пусть $log (sinx) = t 2$ , тогда $9t2 + 8t− 1 ≥ 0$ , откуда $t ≤ − 1$ или $1 t ≥ - 9$ .

Следовательно, $0 < sinx ≤ 0,5$ или $sin x ≥ √92$ . Второе неравенство невозможно, а из неравенства $0 < sinx ≤ 0,5$ получаем:

π 5π 2πk < x ≤ 6 + 2πk или 6-+ 2πk ≤ x < π+ 2πk, где k ∈ ℤ.

Ответ:

$π 5π (2πk;6-+ 2πk],[-6-+2πk;π + 2πk), где k ∈ ℤ$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#15709Максимум баллов за задание: 2

$3 log2(4− x)8 + 4log (4 − x)6 ≥ 72 4 0,5$

Показать ответ и решение

Запишем ограничение на $x$ : $x ⁄= 4$ .

Преобразуем исходное неравенство:

$pict$

Заменим $1$ на $1 − log44$ и $− 3$ на $2 log48$ :

$pict$

Таким образом $√ - √- x ≤ 4− 2 2; 3,5 ≤ x ≤ 4,5; x ≥ 4 + 2 2$ , при $x ⁄= 4$ .

Ответ:

$(− ∞; 4 − 2√2-]∪ [3,5;4)∪ (4;4,5]∪ [4+ 2√2; +∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#15912Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log2log4x +log4log2x ≤− 4

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(| ||{x > 0 |log2x> 0 ⇔ x >1 ||( log4x> 0

Решим неравенство на ОДЗ.

Рассмотрим первое слагаемое левой части:

( 1 ) 1 log2log4x= log2 2 log2x =log22 +log2log2x

Рассмотрим второе слагаемое левой части:

log log x= 1 log log x 4 2 2 2 2

После замены $log2log2x= t$ неравенство сведется к виду

1 −1+ t+ 2t≤ − 4 t≤ −2

Сделаем обратную замену:

log2(log2x)≤ −2 1 log2x≤ 4 4√ - x≤ 2

Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательно

√- x ∈(1; 42]

Ответ:

$4√- (1; 2]$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#15914Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log7x − log37 ⋅log3x > log2 0,25

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства: $x > 0$ .

Решим неравенство на ОДЗ.

По формуле $log c = log b⋅log c a a b$ , получаем:

log73 ⋅log3x − log37 ⋅log3x > − 2 ⇒ log3x ⋅(log73− log37) > − 2

Так как $log73− log3 7 < 0$ (первый логарифм меньше 1 , второй - больше 1), то разделим неравенство на это выражение и сменим знак неравенства:

− 2 2∕(log7−log 3) log3x < log--3−-log-7-⇒ x < 3 3 7 7 3

Пересечем ответ с ОДЗ и получим окончательный ответ:

( 2∕(log37−log73)) x ∈ 0;3

Ответ:

$( ) 0;32∕(log37−log73)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#17308Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 2 2 log6(36− x )− 8log6(36− x )+7 ≥ 0

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

2 36− x > 0 ⇔ x∈ (− 6;6)

Решим на ОДЗ. Сделаем замену $t= log6(36− x2) :$

t2− 8t+ 7≥ 0 ⇔ (t− 7)(t− 1)≥ 0

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда получаем $t≤ 1$ или $t≥ 7.$

1.

$t≤ 1$ , тогда на ОДЗ

2 2 2 2 log6(36 − x )≤ 1 ⇔ log6(36− x )≤ log66 ⇔ 36− x ≤ 6 ⇔ x ≥ 30

Отсюда с учетом ОДЗ $√-- √-- x ∈ (− 6;− 30]∪[ 30;6).$

2.

$t≥ 7,$ тогда на ОДЗ

2 2 7 2 7 log6(36− x) ≥7 ⇔ log6(36− x )≥ log66 ⇔ 36 − x ≥6

Но тогда $x2 ≤ 62 − 67 <0,$ чего быть не может.

Объединив оба случая, получим

√-- √-- x∈ (− 6;− 30]∪[ 30;6)

Ответ:

$( √--] [√ -- ) − 6;− 30 ∪ 30;6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#18558Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 log0,25(5− 5x)≤ log0,25(x − 3x + 2) +log4(x+ 4)

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ:

$pict$

Из последней системы получаем

x ∈(− 4;1)

Теперь вернемся к исходному неравенству:

$pict$

Из ОДЗ имеем $x> −4,$ то есть можем домножить обе части неравенства на $x + 4> 0,$ знак неравенства при этом сохранится:

(x+ 3)(x − 1) ≤0 ⇔ x∈ [− 3;1]

Учтем ОДЗ:

$pict$

Ответ:

$x ∈[−3;1)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#18625Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2 2 2 (log3x+ log3 x) <8 log3x+ 8log3x− 12.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: $x> 0.$

Решим на ОДЗ. Сделаем замену $t= log3x :$

(t2+ t)2 < 8t2+ 8t− 12 ⇔ (t2+ t)2 < 8(t2 +t)− 12

Сделаем замену $s = t2+ t:$

s2 < 8s− 12 ⇔ s2− 8s+ 12< 0 ⇔ (s− 6)(s− 2)< 0

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда $2< s< 6,$ тогда

$pict$

Пересечем полученное множество с ОДЗ:

( 1 1) x∈ 27;9 ∪ (3;9)

Ответ:

$(-1 1) 27;9 ∪(3;9)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#20869Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(2x+1 x+2 ) x log2|2x−1|2 − 2 +2 ≤ |2x−-1|

Показать ответ и решение

Преобразуем выражение под знаком логарифма:

2x+1 x+2 x2 x x 2 2 − 2 + 2 =2((2) − 2⋅2 + 1)= 2(2 − 1)

Найдем ОДЗ данного неравенства:

$pict$

Вернемся к решению неравенства с учетом того, что $x ⁄= 1, 2$ то есть $|2x− 1|⁄= 0:$

$pict$

Обозначим $x t =2 ,$ тогда неравенство примет вид

$pict$

Отсюда получаем

$pict$

Учитывая ОДЗ, то есть $x⁄= 0, x ⁄= 12,$ получим окончательно

( 1 ) (1 ] x ∈[−1;0)∪ 0;2 ∪ 2;1

Ответ:

$( 1 ) (1 ] [−1;0)∪ 0;2 ∪ 2;1$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#44953Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log (12− 6x)≥ log (x2− 6x+ 8)+log (x + 3) 0,5 0,5 0,5

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

( ||12 − 6x > 0 |{ 2 ||x − 6x +8 > 0 ⇔ −3< x < 2 |(x + 3> 0

Решим неравенство на ОДЗ. Преобразуем:

log0,5(12 − 6x) ≥log0,5((x2 − 6x +8)(x+ 3)) ⇒ 6(2− x)≤ (x− 2)(x− 4)(x+ 3) ⇔ (x− 2)(x2− x − 6) ≥0 ⇔ (x− 2)(x− 3)(x+ 2)≥ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PICT$

Получаем $x ∈ [−2;2]∪[3;+∞ ).$

Пересечем полученное множество с ОДЗ и получим $x∈ [− 2;2).$

Ответ:

$[−2;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#44954Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

lg4(x2− 4)2− lg2(x2− 4)4 ≥ 192

Показать ответ и решение

ОДЗ неравенства:

( { (x2 − 4)2 > 0 ( 2 4 ⇔ x2− 4 ⁄=0 ⇔ x⁄= ±2 (x − 4) > 0

Решим неравенство на ОДЗ. Сделаем замену $t=lg2(x2 − 4)2.$ Так как

lg2(x2− 4)4 = (2lg(x2 − 4)2)2 = 4lg2(x2− 4)2 = 4t,

то неравенство примет вид

t2− 4t− 192≥ 0 ⇔ t2− 4t− 12 ⋅16≥ 0 ⇔ ⌊ (t+12)(t− 16)≥ 0 ⇔ ⌈ t≤ −12 t≥ 16

Так как $t= (lg(x2− 4)2)2 ≥ 0,$ то неравенство $t≤ −12$ не имеет решений. Сделаем обратную замену:

(lg(x2− 4)2)2 ≥ 16 (∗) ⇔ ⌊ ⌈ lg(x2− 4)2 ≥4 lg(x2− 4)2 ≤− 4 ⇒ ⌊ (x2 − 4)2 ≥ 104 (∗) ⌈ (x2 − 4)2 ≤ 10−4 (∗∗) ⇔ ⌊ x2− 4≥ 100 || 2 |⌈ x − 4≤ −100 ⇔ −0,01≤ x2− 4≤ 0,01 ⌊ | x2 ≥ 104 (∗) || x2 ≤ −96 (не имеет решений) ⇔ ⌈ 2 3,99 ≤x ≤4,01 (∗ ∗∗) ⌊ x≥ 2√26 || √ -- || x≤ −2 26 || −√4,01≤ x ≤ −√3,99 ⌈ √---- √ ---- 3,99≤ x≤ 4,01

P.S.

$(∗)$ Решением неравенства вида $x2 ≥ A2$ служат $x ≥ A$ и $x≤ −A;$

$(∗∗)$ решением неравенства вида $x2 ≤ B2$ служат $− B ≤ x≤ B;$

$(∗∗∗)$ решением неравенства вида $A2 ≤x2 ≤ B2$ служат $− B ≤ x≤ − A$ и $A ≤ x≤ B.$

Пересекая полученное множество решений с ОДЗ, получим окончательный ответ:

x∈ (−∞;− 2√26]∪ [−∘4,-01;− 2)∪ (− 2;− ∘3,99]∪ [∘3,99;2)∪(2;∘4,01]∪[2√26;+ ∞).

Ответ:

$(−∞; −2√26]∪ [− √4,01;− 2)∪(−2;−√3,99]∪ [√3,99;2)∪(2;√4,01]∪ [2√26;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#45225Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log2(x4)− 28log (x2)≤ 8 5 0,04

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ неравенства:

( {x4 > 0 ( 2 ⇔ x ⁄= 0 x > 0

Решим неравенство на ОДЗ. Заметим, что $0,04= 5−2,$ следовательно,

log0,04(x2)= − 1 log5(x2) 2

Также заметим, что

log2(x4)= (2log |x2|)2 = 4log2(x2) 5 5 5

Тогда неравенство принимает вид

4 log25(x2)+ 14log5(x2)− 8 ≤ 0 ⇔ 2log25(x2) +7log5(x2)− 4≤ 0

Сделаем замену $log (x2)= t, 5$ тогда получим квадратичное неравенство

2 2t + 7t− 4 ≤0

Найдем корни квадратичного трехчлена $2t2+ 7t− 4 :$

−7-±9- 1 D = 49+ 4⋅2 ⋅4 = 81 ⇒ t= 4 ⇒ t= −4;2

Следовательно, неравенство равносильно

1 (2t− 1)(t+ 4)≤ 0 ⇔ −4 ≤ t≤ 2

Сделаем обратную замену:

1 − 4≤ log5(x2)≤ 2 ⇔ 1-≤ x2 ≤ √5 ⇔ 54 ⌊ √- 1 |− 45 ≤ x≤ − 25- |⌈ 1 √ - 25 ≤ x≤ 45

Полученные значения удовлетворяют ОДЗ, следовательно,

[ ] [ ] x∈ −√45; −0,04 ∪ 0,04;√45-

Ответ:

$[− 4√5;−0,04]∪[0,04; 4√5]$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#46566Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log1((3− x)(x2 +8))≤ log 1(x2− 7x+ 12)+ log1(4− x) 9 9 9

Показать ответ и решение

Исходное неравенство равносильно системе

$pict$

Решим неравенство $(x− 3)(x − 4) >0$ методом интервалов:

$PIC$

Отсюда получаем $x∈ (−∞; 3)∪(4;+∞ ).$

Используем метод рационализации для первого неравенства системы и получим:

$pict$

Отсюда окончательно имеем $x∈ [1;3).$

Ответ:

$[1;3)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#71195Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

log0,2(4− 2x)> −1

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ, а именно условия положительности аргумента логарифмической функции:

4− 2x> 0 4> 2x 2> x

Перейдём к решению неравенства. Представим минус единицу как

− 1 ( 1)−1 −1 = log0,20,2 = log15 5 = log15 5

Далее проведём потенцирование. Так как основания логарифмов $0,2< 1,$ то знак неравенства меняется на противоположный:

log0,2(4− 2x)> log0,2 5 4− 2x< 5 −1 < 2x −0,5 < x

Заметим, что все решения логарифмического неравенства должны лежать в ОДЗ. Тогда пересечём ОДЗ и решения рационального неравенства выше:

$x−20,5$

Общей частью двух множеств является интервал

(−0,5;2)

Ответ:

$x ∈(−0,5;2)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».