16.01 Задачи №16 из ЕГЭ прошлых лет - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 81#105256Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит на сумму 400 тысяч рублей на три года. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть равны;

– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2029 году будет равен 280,8 тыс. рублей. Чему равен платёж в 2027 году?

Источники: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим выплаты в 2027 и 2028 годах за $S1$ тыс.руб., а за $S = 400$ тыс. руб. — сумму, на которую был взят кредит.

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что значение в столбце «Сумма долга после выплаты» за 2027, 2028 и 2029 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$2027$	$S$	$1,3S$	$S1$	$1,3S− S1$

$2028$	$1,3S− S1$	$1,3(1,3S − S1)$	$S1$	$1,3(1,3S− S1)− S1$

$2029$	$1,3(1,3S − S1)− S1$	$1,3(1,3 (1,3S− S1)− S1)$	$280,8$	$0$

По условию в 2029 году кредит был погашен платежом в размере $280,8$ тыс. руб., значит, можем составить уравнение:

1,3(1,3 (1,3S− S1)− S1)= 280,8 1,3(1,3S − S1)− S1 = 216 1,69S − 2,3S1 = 216 2,3S1 = 1,69⋅400− 216 2,3S1 =460 S1 = 200

Значит, платёж в 2027 году был 200 тыс. руб.

Ответ:

200 тыс. рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 82#26920Максимум баллов за задание: 2

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1000 тыс. рублей на 21 месяц. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на $r$ % по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа с 1-го по 20-й месяцы долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составила 1441 тыс. рублей, а долг на 15-е число 20-го месяца — 400 тыс. рублей. Найдите $r.$

Показать ответ и решение

Кредит взят на 21 месяц, обозначим размер кредита за $S = 1000$ тыс. рублей. По условию 15-го числа с 1-го по 20-й месяцы долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Обозначим размер этой суммы за $B.$ Тогда 15-го числа 1-го месяца долг будет равен $S− B,$ 2-го месяца — $S− 2B,$ 20-го месяца — $S − 20B.$

По условию долг на 15-е число 20-го месяца составляет 400 тыс. рублей, то есть

S− 20B = 400 B = S−-400= 1000−-400-=30 20 20

Получили, что $B = 30.$

Составим таблицу с учетом этих данных. При этом значение в столбце «Выплата» можно найти как разность соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты» за этот месяц.


месяц	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$1$	$S$	$S + r100S$	$1r00S + B$	$S − B$

$2$	$S − B$	$(S− B )+ r100(S− B)$	$1r00(S − B)+ B$	$S− 2B$

$3$	$S − 2B$	$(S − 2B )+ r100(S− 2B)$	$1r00(S − 2B )+B$	$S− 3B$

…	…	…	…	…

$k +1$	$S − kB$	$(S− kB )+ r100(S− kB)$	$1r00(S − kB )+ B$	$S − (k +1)B$

…	…	…	…	…

$20$	$S− 19B$	$(S − 19B )+ r-(S− 19B) 100$	$r-(S− 19B)+ B 100$	$S − 20B$

$21$	$S− 20B$	$(S − 20B )+ r100(S− 20B)$	$(S− 20B)+ 1r00(S − 20B )$	$0$

Найдем теперь общую сумму выплат как сумму по столбцу «Выплата»:

r r r 100-S+ B + 100-(S − B)+ B +...+ (S − 20B )+ 100(S − 20B)= r r r = 100S + 100-(S − B)+ ...+ 100(S− 20B)+ 20B +S − 20B = r = 100(S+ (S− B)+ ...+(S − 20B ))+ S = r r = 100-⋅21S− 100 ⋅B (1 +2 +...+ 20) +S

Сумму $(1+ 2+ ...+ 20)$ можно найти по формуле арифметической прогрессии:

1-+20 1+ 2+ ...+ 19+ 20= 2 ⋅20 = 210

Тогда сумма выплат будет равна

-r- -r- 100 ⋅21S +S − 100 ⋅210B = r-- = S + 100(21S− 210B)= -r- = S +21 ⋅100 ⋅(S− 10B)

Из условия известно, что общая сумма выплат составила 1441 тыс. рублей, то есть

r S + 21 ⋅100 ⋅(S− 10B)= 1441

Подставим значения $S$ и $B :$

r 1000+ 21⋅100 ⋅(1000− 10 ⋅30) =1441 r 21⋅100 ⋅700= 441 ⇔ r = 3

Ответ: 3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 83#26922Максимум баллов за задание: 2

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 26 месяцев. Условия возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-го числа каждого месяца с 1-го по 25-й долг должен быть на 20 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15-му числу 26-го месяца кредит должен быть полностью погашен.

Какой долг будет 15-го числа 25-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1407 тысяч рублей?

Источники: ЕГЭ 2022, досрочная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят на 26 месяцев, обозначим размер кредита за $S$ тыс. рублей.

15-го числа с 1-го по 25-й месяцы долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Обозначим размер этой суммы за $B = 20$ тыс. рублей.

Тогда 15-го числа 1-го месяца долг будет равен $S − B,$ 15-го числа 2-го месяца — $S − 2B,$ 15-го числа 25-го месяца — $S − 25B.$

Составим таблицу с учетом этих данных. При этом значение в столбце «Выплата» можно найти как разность соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты» за этот месяц.


месяц	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$1$	$S$	$S + 3-S 100$	$-3S + B 100$	$S − B$

$2$	$S − B$	$(S− B )+ 3100(S− B)$	$1300(S − B)+ B$	$S− 2B$

$3$	$S − 2B$	$(S − 2B )+ 3100(S− 2B)$	$1300(S − 2B )+B$	$S− 3B$

…	…	…	…	…

$k +1$	$S − kB$	$(S− kB )+ 3-(S− kB) 100$	$-3(S − kB )+ B 100$	$S − (k +1)B$

…	…	…	…	…

$25$	$S− 24B$	$3 (S − 24B )+ 100(S− 24B)$	$3 100(S− 24B)+ B$	$S − 25B$

$26$	$S− 25B$	$3-- (S − 25B )+ 100(S− 25B)$	$-3- 100(S − 25B )+ (S − 25B )$	$0$

Найдем теперь общую сумму выплат как сумму по столбцу «Выплата»:

$pict$

Сумму $(1+ 2+ ...+ 24+ 25)$ можно найти по формуле арифметической прогрессии:

1-+25 1+ 2+ ...+ 24+ 25= 2 ⋅25 = 325

Тогда сумма выплат равна

3 3 3 100-⋅26S + S− 100 ⋅325B = S+ 100(26S− 325B)= 3 = S+ 13⋅100 ⋅(2S − 25B)

Из условия известно, что общая сумма выплат составила 1407 тыс. рублей, то есть

S+ 13⋅-3- ⋅(2S − 25B )= 1407 100

Подставим значение $B = 20:$

S +13 ⋅ 3-⋅(2S − 25⋅20) =1407 100 S + 39-⋅2S− -39-⋅500= 1407 178 100 100 100S − 195 =1407

Отсюда получаем

178S = 1602 ⇔ S = 160200= 900 100 178

Получили $S = 900.$

Тогда 15-го числа 25-го месяца долг в тыс. рублей составит

S− 25B = 900− 25 ⋅20 = 900 − 500 =400

Ответ: 400 тыс. рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 84#30859Максимум баллов за задание: 2

15 января планируется взять кредит на несколько месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-ого числа каждого месяца долг будет возрастать на 1% по сравнению с концом предыдущего;

– со 2-ого по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15-ого числа долг уменьшается на фиксированную величину;

– кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что общая сумма платежей оказалась на 20% больше взятой в кредит суммы. На сколько месяцев брали кредит?

Источники: ЕГЭ 2022, резервная волна

Показать ответ и решение

Пусть $S$ — сумма, взятая в кредит. Так как долг убывает каждый месяц на фиксированную величину, то выплата состоит из набежавших за этот месяц процентов и фиксированной части $x.$ Составим таблицу:

|----|-----------|---------------------------|-------------------| |Год-|-Долг до-%-|-------Д-олг после %-------|-----В-ыплата------| |1---|----S------|---------S-+0,01S----------|-----x-+0,01S------| |2 | S− x | S − x + 0,01(S− x) | x+ 0,01(S − x) | |...-|----...-----|------------...-------------|--------...--------| |----|-----------|---------------------------|-------------------| -n----S−-(n−-1)x--S−-(n−-1)x-+-0,01(S−-(n−-1)x)--x-+0,01(S-−-(n-−-1)x)-|

Так как после $n$ -го месяца долг выплачен полностью, то

S − (n − 1)x+ 0,01(S − (n − 1)x)= x +0,01(S − (n − 1)x) ⇔ ⇔ S− (n− 1)x= x ⇔ S = nx

Из условия следует, что переплата по кредиту составляет 20% от суммы, взятой в кредит, следовательно,

0,01S+ 0,01(S − x)+ ...+0,01(S− (n− 1)x)= 0,2S ⇔ ⇔ Sn − x(1+ 2+ ...+ (n− 1))= 20S ⇔ S 1+ n− 1 ⇔ Sn − n ⋅---2---⋅(n− 1)= 20S ⇔ ⇔ n− n-− 1-= 20 ⇔ n= 39 2

Ответ: 39

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 85#15891Максимум баллов за задание: 2

Строительство нового завода стоит 340 млн рублей. Затраты на производство $x$ тыс. единиц продукции на таком заводе равны $0,3x2+ x +12$ млн рублей в год.

Если продукцию завода продать по цене $p$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $2 px − (0,3x + x+ 12).$ Когда завод будет построен, каждый год фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы годовая прибыль была наибольшей.

В первый год после постройки завода цена продукции $p= 14$ тыс. рублей за единицу. Каждый следующий год цена продукции увеличивается на 1 тыс. рублей за единицу. За сколько лет окупится строительство завода?

Источники: ЕГЭ 2021

Показать ответ и решение

Прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит

( 2 ) px− 0,3x + x+ 12

Найдем $x,$ при котором годовая прибыль будет наибольшей при цене $p$ тыс. рублей за единицу продукции.

Рассмотрим функцию

( 2 ) 2 f(x)= px − 0,3x + x+ 12 = −0,3x +x(p− 1)− 12

Это квадратичная функция, она достигает наибольшего значения при

p− 1 x = x0 =-0,6-

Далее имеем:

( )2 2 f(x0)= − 0,3 p−-1 + p-− 1 (p − 1)− 12= (p−-1)-− 12 0,6 0,6 1,2

Прибыль фирмы (в млн рублей) при цене $p= 14$ тыс. рублей за единицу продукции за первый год составит

2 (14−-1)-− 12= 1285 1,2 6

Прибыль фирмы (в млн рублей) при цене $p= 15$ тыс. рублей за единицу продукции за второй год составит

(15− 1)2 1 --1,2---− 12= 1513

Прибыль за 2 года меньне 340 млн рублей.

Прибыль фирмы (в млн рублей) при цене $p= 16$ тыс. рублей за единицу продукции за второй год составит

(16−-1)2 1 1,2 − 12= 1752

Суммарная прибыль за 3 года больше 340 млн рублей. Строительство завода окупится за 3 года.

Ответ: 3

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 86#16192Максимум баллов за задание: 2

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— в январе 2026, 2027 и 2028 годов долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— в январе 2029, 2030 и 2031 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2031 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равно $r,$ если общая сумма выплат составит 930 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2021

Показать ответ и решение

Кредит размером $S = 600$ тыс. рублей взят на 6 лет, при этом каждый раз за год сумма долга должна уменьшаться на $S 6.$ Составим таблицу, учитывая, что первые три раза сумма долга увеличивается на $r%,$ а последние три — на 15%. Значение в ячейке столбца «Выплата» можно вычислить двумя способами:

1) как разность значений в ячейках «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты»;

2) как величину, на которую уменьшается долг (в данной задаче это $1S )+ 6$ процент от суммы долга на соответствующий месяц (в данной задаче это $r-- σ ⋅100$ либо $15- σ ⋅100,$ где $σ$ — значение в столбце «Сумма долга до начисления %»).

|-----|---------------|-----------------|-------------|------------| |Год | Сумма долга | Сумма долга | Сумма долга | Выплата | | |до начисления %|после начисления % |после выплаты | | |2026-|------S--------|----S-+-r-S------|-----5S------|--r-S+-1S---| |-----|---------------|--------100-------|-----6-------|-100---6----| |2027 | 56S | 56S+ 1r00 ⋅ 56S | 46S |1r00 ⋅ 56S + 16S| |2028-|------4S-------|---4S+--r-⋅ 4S---|-----3S------|-r-⋅ 4S-+-1S-| |-----|------6--------|---6---100-6-----|-----6-------|100-6----6--| |2029 | 36S | 36S+ 11500 ⋅ 36S | 26S |11500 ⋅ 36S + 16S| |-----|------2--------|---2---15--2-----|-----1-------|-15--2----1--| |2030-|------6S-------|---6S+-100 ⋅6S---|-----6S------|100 ⋅6S-+-6S-| |2031 | 16S | 16S+ 11500 ⋅ 16S | 0 |11500 ⋅ 16S + 16S| -------------------------------------------------------------------

Приравняем сумму выплат (сумма по столбцу «Выплата») к 930 тысячам, подставим $S = 600$ тыс. и найдем $r :$

r ( 5 4 ) 15 ( 3 2 1 ) S+ 100 S+ 6S + 6S + 100 6S+ 6S + 6S = 930000 S + r--⋅ 6+-5+-4S + 15-⋅ 3+-2+-1S = 930000 100 6 100 6 600S +15rS+ 90S = 930000⋅600

Отсюда $r$ равно

930000⋅600− 690S 930000⋅600− 690⋅600000 r = ------15S-------= ------15⋅600000-------= 16

Ответ: 16

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 87#16195Максимум баллов за задание: 2

В июле 2025 года планируется взять кредит на 600 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 13% по сравнению с концом предыдущего года;

– в январе 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг возрастает на 12% по сравнению с концом предыдущего года;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равна сумма всех выплат?

Показать ответ и решение

Кредит взят на 10 лет, обозначим размер кредита через $S = 600 000$ рублей. Поскольку долг убывает равномерно, то платеж дифференцированный и каждый год сумма долга должна уменьшаться на $S10.$

Составим таблицу, учитывая, что первые пять раз сумма долга увеличивается на 13%, а последние пять — на 12%. Значение в ячейке столбца «Выплата» в задачах на дифференцированный платеж можно вычислить двумя способами:

1.: как разность значений в ячейках «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты»;
2.: как разность дифференцированного платежа (в данной задаче это $1-S 10$ ) $+$ процент от суммы долга на соответствующий месяц (в данной задаче это $13- σ⋅ 100,$ либо $12- σ ⋅100,$ где $σ$ — значение в столбце «Сумма долга до начисления %»).

|----|---------------|-----------------|-------------|-------------| |Год | Сумма долга | Сумма долга | Сумм а долга| Выплата | | |до начисления % |после начисления %|после выплаты| | |----|---------------|-----------------|-------------|-------------| |2026 | S | S+ 11300S | 910S | 11300S + 110S | |----|------9--------|---9----13---9----|-----8-------|-13--9----1--| |2027-|------10S-------|--10S+-100 ⋅10S--|-----10S-----|-100 ⋅10S-+-10S| |2028 | 810S | 180S+ 11300 ⋅180S | 710S | 11030 ⋅180S + 110S| |----|------7--------|---7----13---7----|-----6-------|-13--7----1--| |2029-|------10S-------|--10S+-100 ⋅10S--|-----10S-----|-100 ⋅10S-+-10S| |2030 | 610S | 160S+ 11300 ⋅160S | 510S | 11030 ⋅160S + 110S| |----|------5--------|---5----12---5----|-----4-------|-12--5----1--| |2031-|------10S-------|--10S+-100 ⋅10S--|-----10S-----|-100 ⋅10S-+-10S| |2032 | 4S | -4S+ -12-⋅-4S | 3-S | 12⋅-4S + 1S | |----|------10--------|--10---100-10----|-----10------|-100-10----10--| -2033--------310S----------130S+-11200 ⋅130S--------210S-------11020 ⋅130S-+-110S- |2034 | 2S | -2S+ -12-⋅-2S | 1-S | 12⋅-2S + 1S | |----|------10--------|--10---100-10----|-----10------|-100-10----10--| |2035 | 110S | 110S+ 11200 ⋅110S | 0 | 11020 ⋅110S + 110S| --------------------------------------------------------------------

Найдем сумму выплат в рублях (сумма по столбцу «Выплата»), подставив $S = 600000:$

$( ) S + 13- S + 9-S+ -8S + 7-S + 6-S + 100 10 10 10 10 12 ( 5 4 3 2 1 ) + 100- 10S + 10S + 10S + 10S + 10-S = = S + 13-⋅ 10+-9+-8+-7+-6S + 12-⋅ 5-+4-+3-+2-+1-S = 100 10 100 10 = 1000+-13⋅40+-12⋅15⋅600000= 1020000 1000$

Таким образом, сумма выплат равна 1020 тыс. рублей.

Ответ: 1020 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 88#16883Максимум баллов за задание: 2

В июле 2025 года планируется взять кредит на 8 лет. Условия его возврата таковы:

– в январе 2026, 2027, 2028 и 2029 годов долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

– в январе 2030, 2031, 2032 и 2033 годов долг возрастает на 11% по сравнению с концом предыдущего года;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– к июлю 2033 года долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат составит 650 тыс. рублей?

Источники: ЕГЭ 2021

Показать ответ и решение

Пусть $S$ тыс. руб. — размер взятого кредита. Поскольку долг должен уменьшаться на одну и ту же величину после каждого платежа, то каждый год долг должен уменьшаться на $S- 8$ тыс. руб., и мы получим схему дифференцированных платежей. Составим таблицу, все расчеты будем вести в тыс. рублей:

|Номер-|Долг-до начисления-%,|Долг после начисления %,-Выплата,--| |-года--|----ты-с.-рублей------|------ты-с.-рублей-------|-ты-с.-рублей--| | | | 15 | S 15 | | 1 | S | S+ 100S | 8 + 100S | |------|--------------------|----------------------|------------| | 2 | 7S | 7S + 15-⋅ 7S |S-+ -15-⋅ 7 S| |------|--------8-----------|-----8----100--8-------|8---100-8---| | 3 | 6S | 6S + 15-⋅ 6S |S-+ -15-⋅ 6 S| |------|--------8-----------|-----8----100--8-------|8---100-8---| | | 5 | 5 15- 5 |S- -15- 5 | | 4 | 8S | 8S + 100 ⋅8S |8 + 100 ⋅8 S| |------|--------4-----------|-----4----11--4-------|S----11--4---| | 5 | 8S | 8S + 100-⋅8S |8-+ 100 ⋅8 S| |------|--------------------|----------------------|------------| | 6 | 3S | 3S + 11-⋅ 3S |S-+ -11-⋅ 3 S| |------|--------8-----------|-----8----100--8-------|8---100-8---| | 7 | 2S | 2S + 11-⋅ 2S |S-+ -11-⋅ 2 S| |------|--------8-----------|-----8----100--8-------|8---100-8---| | | 1 | 1 11 1 |S 11 1 | | 8 | 8S | 8S + 100-⋅8S |8-+ 100 ⋅8 S| -----------------------------------------------------------------

Найдем сумму выплат с первой по четвертую:

( ) S-⋅4 + 15-⋅ 8S + 7S + 6S+ 5S = 8 100 8 8 8 8 S 15 S = 2-+ 100 ⋅8-⋅(8+ 7+ 6+ 5)= S 15 S S 39 = 2-+ 100 ⋅8-⋅26= 2-+ 80S

Найдем сумму выплат с пятой по восьмую:

( ) S- 11- 4 3 2 1 8 ⋅4 + 100 ⋅ 8S + 8S + 8S+ 8S = S 11 S = 2-+ 100 ⋅8-⋅(4+ 3+ 2+ 1)= = S-+ 11-⋅ S-⋅10= S-+ 11S 2 100 8 2 80

Тогда сумма всех выплат равна

S- 39 S- 11 5 13 2 + 80S + 2 + 80S = S+ 8S = 8 S

По условию задачи сумма всех выплат равна 650 тыс. рублей, тогда получаем уравнение

13S = 650 8 S = 400

Таким образом, сумма взятая в кредит равна 400 тыс. рублей.

Ответ: 400 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 89#19709Максимум баллов за задание: 2

В августе со 2-го по 15-е число 2026 года планируется взять кредит на 1200 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

– первого числа каждого месяца долг увеличивается на 1%;

– со 2-го по 15-е число каждого месяца на протяжении следующих 10 месяцев долг должен уменьшаться на одну и ту же величину по сравнению с предыдущим месяцем;

– на одиннадцатый месяц перед начислением процентов остаток долга будет составлять 400 тысяч, после чего он погашается одним платежом.

Чему равна общая сумма выплат?

Показать ответ и решение

Кредит взят на 11 месяцев. Обозначим через $S = 1200$ тыс. руб. размер кредита. Известно, что сумма долга первые 10 раз уменьшалась на некоторую фиксированную величину $x$ и после этого составила 400 тыс. рублей. Тогда из уравнения несложно найти $x$

1200− 10x= 400 ⇔ x= 80 ты с. руб.

Составим таблицу, учитывая, что каждый месяц долг будет уменьшаться на $x$ тысяч рублей. Значение в ячейке столбца «Выплата» можно вычислить как разность значений в ячейках «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты».

|------|----------------------|---------------------|------------------------|-----------------| |Номер | Сумма долга в тыс. руб.|С умма долга в тыс. руб. Сумма долга в ты&#x |месяца | до начисления % | после начисления % | после вы платы |Выплат& | |(до начала нового месяца) (первое число месяца)|(осталось пос&#x04 |------|----------------------|---------------------|------------------------|-----------------| -1----------------S--------------------1,01S-------------------S-−-x---------------0,01S+-x------ |2 | S− x | 1,01(S− x) | S − 2x | 0,01S +0,99x | |------|----------------------|---------------------|------------------------|-----------------| |... | ... | ... | ... | ... | |k-----|------S−-(k−-1)x------|---1,01(S-− (k−-1)x)--|---------S-− kx---------|-0,01S+-x(1−-k−1)-| |------|----------------------|---------------------|------------------------|------------100--| |... | ... | ... | ... | ... | |------|----------------------|---------------------|------------------------|-----------------| |10-----|--------S-− 9x--------|------1,01(S-−-9x)-----|------S-− 10x-=-400------|---0,01S-+0,91x----| |11 | 400 | 400⋅1,01 | 0 | 400 ⋅1,01 | ------------------------------------------------------------------------------------------------

От нас требуется вычислить сумму выплат, т.е. сумму по последнему столбцу. Коэффициенты при $x$ образуют арифметическую прогрессию с первым членом 1 и разностью $− 0,01$ длины 10. Сумма такой прогрессии равна

1+-(1+-(−-0,1)⋅9)⋅10= 9,55 2

Теперь легко посчитать искомую сумму выплат, подставив известные значения $S = 1200$ и $x= 80$

0,01S⋅10+ 9,55x +400 ⋅1,01= 0,01⋅1200⋅10+ 9,55 ⋅80 +400⋅1,01 = 1288 тыс. руб.

Ответ: 1288 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 90#114894Максимум баллов за задание: 2

В июле 2025 года планируется взять кредит на 700 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– в январе 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг возрастает на 19% по сравнению с концом предыдущего года;

– в январе 2031, 2032, 2033, 2034, 2035 годов долг возрастает на 16% по сравнению с концом предыдущего года;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– к июлю 2035 года долг должен быть полностью погашен.

Чему равна сумма всех выплат?

Источники: ЕГЭ 2021, основная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят на 10 лет, обозначим размер кредита через $S = 700 000$ рублей. Поскольку долг убывает равномерно, то платеж дифференцированный и каждый год сумма долга должна уменьшаться на $S10.$

Составим таблицу, учитывая, что первые пять раз сумма долга увеличивается на 19%, а последние пять — на 16%. Значение в ячейке столбца «Выплата» в задачах на дифференцированный платеж можно вычислить двумя способами:

1.: как разность значений в ячейках «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты»;
2.: как разность дифференцированного платежа (в данной задаче это $1-S 10$ ) $+$ процент от суммы долга на соответствующий месяц (в данной задаче это $19- σ⋅ 100,$ либо $16- σ ⋅100,$ где $σ$ — значение в столбце «Сумма долга до начисления %»).

|----|---------------|-----------------|-------------|-------------| |Год | Сумма долга | Сумма долга | Сумм а долга| Выплата | | |до начисления % |после начисления %|после выплаты| | |----|---------------|-----------------|-------------|-------------| |2026 | S | S+ 11900S | 910S | 11900S + 110S | |----|------9--------|---9----19---9----|-----8-------|-19--9----1--| |2027-|------10S-------|--10S+-100 ⋅10S--|-----10S-----|-100 ⋅10S-+-10S| |2028 | 810S | 180S+ 11900 ⋅180S | 710S | 11090 ⋅180S + 110S| |----|------7--------|---7----19---7----|-----6-------|-19--7----1--| |2029-|------10S-------|--10S+-100 ⋅10S--|-----10S-----|-100 ⋅10S-+-10S| |2030 | 610S | 160S+ 11900 ⋅160S | 510S | 11090 ⋅160S + 110S| |----|------5--------|---5----16---5----|-----4-------|-16--5----1--| |2031-|------10S-------|--10S+-100 ⋅10S--|-----10S-----|-100 ⋅10S-+-10S| |2032 | 4S | -4S+ -16-⋅-4S | 3-S | 16⋅-4S + 1S | |----|------10--------|--10---100-10----|-----10------|-100-10----10--| -2033--------310S----------130S+-11600 ⋅130S--------210S-------11060 ⋅130S-+-110S- |2034 | 2S | -2S+ -16-⋅-2S | 1-S | 16⋅-2S + 1S | |----|------10--------|--10---100-10----|-----10------|-100-10----10--| |2035 | 110S | 110S+ 11600 ⋅110S | 0 | 11060 ⋅110S + 110S| --------------------------------------------------------------------

Найдем сумму выплат в рублях (сумма по столбцу «Выплата»), подставив $S = 700000:$

$( ) S + 19- S + 9-S+ -8S + 7-S + 6-S + 100 10 10 10 10 16 ( 5 4 3 2 1 ) + 100- 10S + 10S + 10S + 10S + 10-S = = S + 19-⋅ 10+-9+-8+-7+-6S + 16-⋅ 5-+4-+3-+2-+1-S = 100 10 100 10 = 1000+-19⋅40+-16⋅15⋅700000= 1400000 1000$

Таким образом, сумма выплат равна 1400 тыс. рублей.

Ответ: 1400 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 91#16196Максимум баллов за задание: 2

15 января 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 17 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-го числа каждого месяца с 1-го по 16-й (с февраля 2025 года по май 2026 года включительно) долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

— 15 мая 2026 года долг составит 400 тысяч рублей;

— 15 июня 2026 года долг должен быть полностью погашен.

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1608 тысяч рублей?

Источники: ЕГЭ 2021, резервная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят на 17 месяцев. Обозначим через $S$ размер кредита в тыс. руб. Известно, что сумма долга первые 16 раз уменьшалась на некоторую фиксированную веичину $x$ и после этого составила 400 тыс. руб. Тогда из уравнения можем найти соотношение между $x$ и $S$ :

S − 16x =400 ⇔ x = S−-400 16

Составим таблицу, учитывая, что каждый месяц долг будет уменьшаться на $x$ тыс. руб. Значение в ячейке столбца «Выплата» можно вычислить как разность значений в ячейках «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты».

|Номер-|-Сумма-долга-в тыс. руб.|С-умма долга в-тыс. руб.-Сумма-долга-&--------------------------- | | | | | | |месяца | до начисления % | после начисления % | после вы платы |Выплат& | |(до начала нового месяца) (первое число месяца)|(осталось пос&#x04 |1 | S | 1,03S | S − x | 0,03S+ x | |------|----------------------|---------------------|------------------------|-----------------| |2 | S− x | 1,03(S− x) | S − 2x | 0,03S +0,97x | |...----|----------...----------|---------...---------|-----------...-----------|-------...-------| |------|----------------------|---------------------|------------------------|-----------------| |k | S− (k− 1)x | 1,03(S − (k− 1)x) | S− kx |0,03S+ x(1− 3(k1−010))| |------|----------------------|---------------------|------------------------|-----------------| |...----|----------...----------|---------...---------|-----------...-----------|-------...-------| |16 | S− 15x | 1,03(S− 15x) | S − 16x =400 | 0,03S +0,55x | |------|----------------------|---------------------|------------------------|-----------------| -17---------------400------------------400⋅1,03-------------------0------------------400-⋅1,03------

Вычислим сумму выплат (то есть сумму по последнему столбцу), чтобы приравнять к данному в условии значению 1608 и из полученного уравнения найти $S$ .

Коэффициенты при $x$ образуют арифметическую прогрессию длины 16 с первым членом 1 и разностью -0,03. Сумма такой прогрессии равна

1+ (1+ (−0,03)⋅15) --------2--------⋅16= 12,4

Запишем и решим уравнение:

$pict$

Таким образом, размер кредита составил 1200 тыс. руб.

Ответ:

1200 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 92#13555Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ тысяч рублей, где $S$ — целое число.

Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдушего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следуюшей таблицей:


Месяц и год	Долг
	(в тыс. рублей)

Июль 2026	$S$

Июль 2027	$0,8S$

Июль 2028	$0,4S$

Июль 2029	0

Найдите наибольшее значение $S,$ при котором каждая из выплат будет не больше 840 тысяч рублей.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Так как кредит взят в июле 2026 года, то в этот год не начисляются проценты и не проводятся никакие выплаты.

Далее, кредит взят на 3 года, размер кредита $S$ тыс. рублей. При этом процент по кредиту фиксированный и составляет 20%, а значит, сумма долга после начисления процентов будет в 1,2 раза больше суммы долга до начисления процентов.

Составим таблицу, учитывая данные по размеру долга после выплаты из условия. При этом значение в столбце «Выплата» будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления %» и «Сумма долга после выплаты».


год	Сумма долга	Сумма долга	Сумма долга	Выплата
	до начисления %	после начисления %	после выплаты

2027	$S$	$1,2S$	$0,8S$	$1,2S − 0,8S$

2028	$0,8S$	$1,2⋅0,8S$	$0,4S$	$1,2⋅0,8S − 0,4S$

2029	$0,4S$	$1,2⋅0,4S$	$0$	$1,2 ⋅0,4S$

Составим систему, в которой каждая из выплат, то есть каждое из значений в столбце «Выплата», не больше 840 тыс. рублей:

$pict$

Таким образом, максимальный размер кредита равен 1500 тыс. рублей.

Ответ: 1500

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 93#15889Максимум баллов за задание: 2

Производство $x$ единиц продукции обходится в $q =x2 +6x +10$ рублей в месяц. При цене 500 рублей за единицу месячная прибыль от продажи этой продукции составляет $500x − q$ рублей. Сколько единиц продукции нужно ежемесячно выпускать для получения максимальной прибыли?

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Подставим стоимость производства $x$ единиц продукции $q$ в формулу прибыли:

500x− q = 500x− x2− 6x− 10= − x2+494x − 10

Очевидно, что максимальная прибыль достигается в максимуме функции

f(x)= −x2+ 494x− 10

Так как это квадратичная функция, то ее график — парабола с ветвями вниз, так как коэффициент перед $x2$ отрицательный.

При этом значение $x,$ в котором достигается максимум, можно найти двумя способами.

1 способ.

Вершина параболы находится по формуле

-b --494-- x = −2a = −2⋅(−1)= 247

2 способ.

Найдем производную

f′(x)= − 2x+ 494

В точке экстремума производная равна нулю, значит искомый $x$ будет решением уравнения

494 −2x+ 494= 0, x = 2 = 247

Ответ: 247

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 94#16740Максимум баллов за задание: 2

Планируется открыть вклад на 4 года, положив на счет целое число миллионов рублей. В конце каждого года он увеличивается на 10%, а в начале третьего и четвертого годов вклад пополняется на 5 млн рублей. Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором начисленные за весь срок проценты составят более 10 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Обозначим первоначальный вклад за $S$ млн рублей. Далее расчеты будем вести в млн рублей. В конце каждого года сумма вклада увеличивается на 10%, то есть увеличивается в 1,1 раза.

Кроме того, в начале 3-го и 4-го годов сумма вклада увеличится на 5 миллионов рублей по сравнению с суммой вклада после начисления процентов за предыдущий год. Составим таблицу:


Год	Сумма вклада	Пополнение	Сумма вклада	Процентное
	на начало года		до начисления %	начисление

1	$S$	0	$S$	$0,1S$

2	$1,1S$	0	$1,1S$	$0,1 ⋅1,1S$

3	$1,12S$	5	$1,12S+ 5$	$0,1⋅(1,12S+ 5)$

4	$2 1,1⋅(1,1 S +5)$	5	$2 1,1 ⋅(1,1 S +5)+ 5$	$2 0,1⋅(1,1⋅(1,1 S+ 5)+ 5)$

По условию начисленные за весь срок проценты, а именно сумма по столбцу «Процентное начисление», будут более 10 млн рублей. Запишем это в виде неравенства:

$pict$

Таким образом, наименьший целый размер вклада равен 19 млн рублей.

Ответ: 19 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 95#24467Максимум баллов за задание: 2

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму $250000$ рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает сумму кредита на $r%$ , после чего происходит платеж. Кредит был полностью выплачен за $2$ года. Найдите $r$ , если первый платеж составил $150000$ рублей, а второй $180000$ рублей.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Кредит был взят на 2 года, сумма кредита составила $S = 250000$ рублей.

Первая выплата составила $S1 = 150000$ рублей, вторая выплата составила $S2 = 180000$ рублей.

При этом значение суммы долга после выплаты можно вычислить как разность суммы долга после начисления процентов и выплаты.

То есть сумма долга после выплаты за 1 год составит

r r S + S ⋅100 − S1 = 250000+ 250000⋅100 − 150000 = 100000+ 2500r

. Более того, это значение будет равно сумме долга до начисления процентов за 2 год.

Тогда сумма долга после начисления процентов за 2 год составит

-r- 2 2 (100000 +2500r)+ (100000+ 2500r)100 = 100000+ 2500r +1000r +25r = 100000 + 3500r+ 25r

Составим таблицу с учетом этих данных:


год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$1$ год	$250000$	$250000 + 2500r$	$150000$	$100000+ 2500r$

$2$ год	$100000+ 2500r$	$100000 + 3500r + 25r2$	$180000$	$100000+ 3500r+ 25r2 − 180000$

Кредит был погашен за 2 года, то есть сумма долга после выплаты за 2 год равна 0. Запишем это в виде уравнения:

2 2 2 100000+ 3500r+ 25r − 180000 = 0 ⇒ 25r + 3500r− 80000 = 0 ⇒ r +140r − 3200 = 0

Решим теперь полученное квадратное уравнение с учетом того, что $r > 0$ :

⌊ r = −140+180 = 20 D = 1402 − 4 ⋅(− 3200) = 19600+ 12800 = 32400 = 1802 ⇒ ⌈ 2 ⇒ r = 20 r = −1402−180 = − 160 < 0

Ответ: 20

Ответ:

20

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 96#24471Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит на пять лет в размере 220 тысяч рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению c концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным 220 тысяч рублей;

— выплаты в 2030 и 2031 годах равны;

— к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите $r,$ если известно, что долг будет выплачен полностью и общий размер выплат составит 420 тысяч рублей.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Обозначим размер кредита за $S = 220$ тыс. рублей. Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим выплаты за 2030 и 2031 год за $S1$ (из условия они равны).

Из условия, в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным 220 тысяч рублей, то есть равным $S.$

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что:

1. Значение в столбце "Выплата" за 2027, 2028 и 2029 год будет равно разности соответствующих значений в столбцах "Сумма долга после начисления процентов" и "Сумма долга после выплаты"

2. Сумма долга после выплаты за 2030 и 2031 года будет равна разности соответствующих значений в столбцах "Сумма долга после начисления процентов" и "Выплата".

Год

Сумма долга

до начисления %

Сумма долга

после начисления %

Выплата

Сумма долга

после выплаты

2027 год

$S$

$( r) S 1+ 100-$

$( r) S 1+ 100-− S$

$S$

2028 год

$S$

$( r) S 1+ 100-$

$( r) S 1+ 100-− S$

$S$

2029 год

$S$

$( -r) S 1+ 100$

$( -r) S 1+ 100 − S$

$S$

2030 год

$S$

$( -r) S 1+ 100$

$S1$

$( -r) S 1+ 100 − S1$

2031 год

$S(1+ -r-)− S1 100$

$(S(1+ -r-)− S1)(1+ r-) 100 100$

$S1$

$(S(1+ -r-)− S1) (1 + r-)− S1 100 100$

Отметим, что кредит был погашен за 5 лет, то есть сумма долга после выплаты в 2031 году равна 0. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Обозначим $1 + -r-= q 100$ и перепишем уравнение:

$pict$

Известно, что общий размер выплат (сумма по столбцу "Выплата") составит 420 тыс. рублей. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Подставим сюда $S1$ и заменим $-r- 100$ на $q− 1:$

$pict$

Вспомним, что $-r- q = 1+ 100,$ то есть $r = 100⋅(q− 1).$ Подставим найденное значение $q$ :

-2 r = 100⋅10 =20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 97#24476Максимум баллов за задание: 2

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере S тыс рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остаётся равным S тысяч рублей;

– выплаты в 2030 и 2031 годах равны по 360 тысяч рублей;

– к июлю 2031 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Сумма кредита равна $S$ тыс. рублей. Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Выплаты за 2030 и 2031 годы составили $S1 =360$ тыс. рублей.

Составим таблицу с учетом того, что в июле 2027, 2028 и 2029 годов долг остается равным $S,$ то есть сумма долга после выплаты равна $S.$ Выплаты за эти года равны разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга до начисления процентов». При этом сумма долга после выплаты за 2030 и 2031 годы равна разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

год

Сумма долга

до начисления %

Сумма долга

после начисления %

Выплата

Сумма долга

после выплаты

2027

$S$

$1,2S$

$1,2S − S$

$S$

2028

$S$

$1,2S$

$1,2S − S$

$S$

2029

$S$

$1,2S$

$1,2S − S$

$S$

2030

$S$

$1,2S$

$S 1$

$1,2S− S 1$

2031

$1,2S− S1$

$1,2(1,2S − S1)$

$S1$

$1,2(1,2S− S1)− S1$

Отметим, что к концу пятого года долг полностью погасится, а значит сумма долга после выплаты в 2031 году равна 0. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Теперь найдем по столбцу «Выплата» общую сумму выплат:

1,2S − S + 1,2S − S + 1,2S− S + S + S = 0,6S +2S 1 1 1

Подставив значения $S$ и $S1,$ найдем искомую величину:

0,6 ⋅550 +2 ⋅360 = 330 +720 =1050

Ответ: 1050 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 98#24480Максимум баллов за задание: 2

В июле 2020 года планируется взять кредит на некоторую сумму. Условия возврата таковы:

– в январе каждого года долг увеличивается на 30% по сравнению с предыдущим годом.

– с февраля по июнь нужно выплатить часть долга одним платежом.

Определите, на какую сумму будет взят кредит в банке, если известно, что кредит выплачивается тремя равными платежами (за 3 года) и общая сумма выплат будет на 78030 рублей больше суммы взятого кредита.

Показать ответ и решение

Долг взят в июле 2020 года, то есть в этот год не происходит начисление процентов и выплаты по кредиту не производятся.

Кредит выплачен тремя равными платежами, тогда обозначим сумму выплаты за каждый год за $S1.$

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что значение в столбце «Сумма долга после выплаты» будет равно разности соответствующих значений по столбцам «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

Год

Сумма долга

до начисления %

Сумма долга

после начисления %

Выплата

Сумма долга

после выплаты

2021

$S$

$1,3S$

$S1$

$1.3S − S1$

2022

$1,3S− S 1$

$1,3⋅(1,3S − S) 1$

$S 1$

$1,3⋅(1,3S − S )− S 1 1$

2023

$1,3⋅(1,3S− S1)− S1$

$1,3 ⋅(1,3⋅(1,3S − S1)− S1)$

$S1$

$1,3⋅(1,3⋅(1,3S − S1)− S1)− S1$

По условию кредит погашен за 3 года, то есть сумма долга после выплаты за 2023 год равна 0. Запишем это в виде уравнения:

1,3 ⋅(1,3⋅(1,3S − S1)− S1)− S1 = 0 3 2 1,3 ⋅S − 1,3 ⋅S1 − 1,3⋅S1− S1 =0

Отсюда выразим $S :$

1+ 1,3+ 1,32 2,3+ 1,69 3,99 S = S1⋅----1,33----= S1⋅--2,197--= S1⋅2,197

Из условия общая сумма выплат будет на 78030 рублей больше суммы взятого кредита, то есть

S1+ S1+ S1 = S+ 78030 S 78030 S S1 = 3-+--3-- ⇔ S1 = 3-+ 26010

Подставим $S1$ в выражение для суммы кредита:

( ) S = S-+ 26010 ⋅-3,99- 3 2,197 S − S-⋅ 3,99-= 26010 ⋅ 3,99- 3 2,197 2,197 ( 1,33 ) 3,99 S ⋅ 1− 2,197 = 26010⋅ 2,197- S ⋅ 2,197−-1,33 = 26010-⋅3,99 2,197 2,197 S ⋅ 0,867= 26010⋅3,99 2,197 2,197 26010⋅3,99 S = ---0,867---= 30000 ⋅3,99= 119700

Таким образом, сумма кредита составит 119 700 рублей.

Ответ: 119 700 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 99#24486Максимум баллов за задание: 2

Клиенту банка был выдан кредит на 550000 рублей. Известно, что банк каждый год увеличивает остаток долга на 20 процентов, после чего происходит платеж. Кредит был полностью выплачен за 2 года, причем платежи были равными. Найдите общую сумму, выплаченную клиентом банку.

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Обозначим сумму кредита за $S = 550000$ рублей.

Кредит выплачен двумя равными платежами, то есть обозначим сумму выплаты за каждый год за $S1$ . Тогда сумма выплат будет равна $2S 1$ .

Составим таблицу с учетом этих данных. При этом значение в столбце "Сумма долга после выплаты" будет равно разности соответствующих значений по столбцам "Сумма долга после начисления процентов" и "Выплата":

год

Сумма долга

до начисления %

Сумма долга

после начисления %

Выплата

Сумма долга

после выплаты

$1$ год

$S$

$1,2S$

$S1$

$1,2S − S1$

$2$ год

$1,2S − S1$

$1,2 ⋅(1,2S − S1)$

$S1$

$1,2⋅(1,2S − S1)− S1$

По условию кредит погашен за 2 года, то есть сумма долга после выплаты за 2 год равна 0. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Подставим $S = 550000$ :

$pict$

Тогда общая сумма выплат $2S = 2 ⋅360000 = 720000 1$ .

Ответ: $720000$ рублей

Ответ:

720000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 100#24487Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 5 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 7,5 млн рублей?

Источники: ЕГЭ 2020

Показать ответ и решение

Кредит взят на $n$ лет, размер кредита равен $S = 5$ млн.

Так как размер кредита уменьшается равномерно, каждый год сумма долга уменьшается на $n1S$ млн.

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце "Выплата" вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах "Сумма долга после начисления процентов" и "Сумма долга после выплаты" за этот год.


год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$1$	$S$	$S + 0,2S$	$1nS + 0,2S$	$S − 1nS$

$2$	$S − 1nS$	$(S − 1nS )+ 0,2(S − 1nS )$	$1nS + 0,2(S − 1nS )$	$S − 1nS ⋅2$

$3$	$S − 1nS ⋅2$	$(S − 1nS ⋅2)+ 0,2(S − 1nS ⋅2)$	$1nS + 0,2(S − 1nS ⋅2)$	$S − 1nS ⋅3$

$...$	$...$	$...$	$...$	$...$

$k + 1$	$S − 1S ⋅k n$	$(S − 1S ⋅k)+ 0,2(S − 1S ⋅k) n n$	$1S + 0,2(S − 1S ⋅k) n n$	$S − 1 S ⋅(k+ 1) n$

$...$	$...$	$...$	$...$	$...$

$n$	$S − 1nS ⋅(n− 1)$	$(S − 1nS ⋅(n− 1))+ 0,2(S − 1nS ⋅(n− 1))$	$1n S + 0,2(S − 1nS ⋅(n − 1))$	$S − 1nS ⋅n = 0$