Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.01 Задачи №16 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 101#18136Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на срок 15 лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $x$ % по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.

Найдите $x$ , если известно, что наибольший платёж по кредиту составит не более 1,9 млн рублей, а наименьший — не менее 0,5 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

Кредит взят на 15 лет, размер кредита равен $S = 6$ млн рублей.

Так как платеж дифференцированный, каждый год сумма долга уменьшается на $1S5 = 615-= 0,4$ млн рублей.

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце "Выплата" вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах "Сумма долга после начисления процентов" и "Сумма долга после выплаты" за этот год.

|-----|---------------|---------------------------|-------------------|-------------| | Год | Сумм а долга | Сумма долга | Выплата | Сум ма долга| | |до начисления % | после начисления % | |после выплаты| |--1--|-------S-------|---------S-+S-⋅-x----------|-----0,4+-S⋅-x------|----S−-0,4----| |-----|---------------|---------------100----x-----|------------100-x---|-------------| |--2--|-----S−-0,4-----|---(S−-0,4)-+(S-− 0,4)⋅100---|--0,4+-(S−-0,4)⋅100--|---S−-0,4-⋅2---| |--3--|---S-−-0,4⋅2----|-(S−-0,4-⋅2)-+(S-− 0,4⋅2)⋅1x00-|-0,4+-(S−-0,4-⋅2)⋅-x100-|---S−-0,4-⋅3---| | ... | ... | ... | ... | ... | |k-+-1|---S-−-0,4⋅k----|-(S−-0,4-⋅k)-+(S-− 0,4⋅k)⋅-x-|-0,4+-(S−-0,4-⋅k)⋅-x--|S-−-0,4⋅(k+-1)| |-----|---------------|-----------------------100--|----------------100-|-------------| |-...-|------...------|------------...------------|--------...--------|-----...-----| ---15-----S-− 0,4⋅14---(S−-0,4⋅14)-+(S-− 0,4⋅14)⋅ x100-0,4-+-(S-−-0,4⋅14)⋅1x00-S-−-0,4⋅15-=0--

Размер выплаты за $k +1$ -й год можно найти по формуле

0,4+ (S − 0,4⋅k)⋅-x- =0,4+ (6− 0,4⋅k)⋅-x- = 0,4+ -6x-− 0,4kx 100 100 100 100

Известно, что наибольший платеж составит не более 1,9 млн рублей. При этом из формулы для выплаты видно, что платеж наибольший, когда $k$ — минимально возможное, то есть $k+ 1 =1,$ $k = 0.$

Подставим это значение и получим неравенство:

$pict$

Также известно, что наименьший платеж составил не менее 0,5 млн. рублей. При этом из формулы для выплаты видно, что платеж наименьший, когда $k$ — максимально возможное, то есть $k + 1= 15,$ $k = 14.$

Подставим это значение и получим неравенство:

$pict$

Итак, получили, что с одной стороны $x$ не больше 25, а с другой — не меньше 25, то есть $x = 25.$

Ответ: 25

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 102#18622Максимум баллов за задание: 2

В июле некоторого года планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн рублей на некоторый срок (целое число лет).

Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 0,24 млн рублей? Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся.

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

Кредит взят на $n$ лет, размер кредита равен $S = 3$ млн рублей.

Так как размер кредита уменьшается равномерно, то есть платеж дифференцированный, то каждый год сумма долга уменьшается на $1nS$ млн рублей.

Составим таблицу, учитывая, что значение в столбце «Выплата» вычисляется как разность соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты» за этот год.


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$1$	$S$	$S +0,2S$	$1nS+ 0,2S$	$S− n1S$

$2$	$S− 1nS$	$(S− 1nS )+0,2(S− 1nS)$	$1nS+ 0,2(S − 1nS)$	$S− 1nS ⋅2$

$3$	$S− 1nS ⋅2$	$(S− 1nS ⋅2)+0,2(S− 1nS ⋅2)$	$1nS+ 0,2(S − 1nS ⋅2)$	$S− 1nS ⋅3$

$...$	$...$	$...$	$...$	$...$

$k +1$	$S− 1S ⋅k n$	$(S − 1S ⋅k)+0,2(S− 1S ⋅k) n n$	$1S+ 0,2(S − 1S ⋅k) n n$	$S− 1S ⋅(k + 1) n$

$...$	$...$	$...$	$...$	$...$

$n$	$1 S − nS ⋅(n − 1)$	$1 1 (S − nS⋅(n− 1))+0,2(S− nS ⋅(n − 1))$	$1 1 n S+ 0,2(S − nS⋅(n− 1))$	$1 S − nS⋅n = 0$

Таким образом, размер выплаты за $k + 1$ -ый год можно найти по формуле

1 ( 1 ) 1 ( 3⋅k) 3 0,6k nS + 0,2 S− n-S⋅k = n-⋅3 + 0,2 3− -n-- = n-+ 0,6 − -n--

Из формулы видно, что чем больше $k,$ тем меньше размер выплаты. Следовательно, выплата будет наименьшей за последний год, то есть при $k +1 = n,$ а значит $k = n− 1.$ Таким образом, размер минимальной выплаты равен

-3 0,6(n−-1)- 3- 0,6- 3,6 n + 0,6− n = n + 0,6− 0,6 + n = n

Из условия наименьший годовой платеж составил $0,24$ млн рублей. Запишем это в виде уравнения:

3,6 3,6 n--= 0,24 ⇔ n = 0,24 = 15

Таким образом, получили, что кредит взят на 15 лет.

Тогда размер выплаты за $k + 1$ -ый год будет равен

3- 0,6k- 3- 0,6k- n + 0,6 − n = 15 + 0,6− 15 = 0,8− 0,04k

Теперь найдем общую сумму выплат, вычислив сумму всех ежегодных выплат при $k$ от 0 до 14:

$pict$

Получили, что общая сумма выплат равна 7,8 млн рублей.

Ответ: 7,8 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 103#24460Максимум баллов за задание: 2

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 147 000 рублей. Условия возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $10%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.
Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

Кредит взят на 2 года, размер кредита равен $S = 147000$ .

Таким образом, в январе 2021 года долг будет составлять

147000 ⋅ 1,1 = 161700

Так как кредит погашен двумя равными платежами, можем обозначить размер одного такого платежа за $B$ .

Тогда сумма долга после выплаты за первый год составит $161700− B$ .

После начисления процентов за второй год, т.е. в январе 2022 года, сумма долга составит

$(161700− B)$ ⋅ 1,1 = 177870 − 1,1B

Так как кредит взят на 2 года, он будет полностью погашен выплатой за второй год, т.е. $B$ , а значит

$pict$

Таким образом, нашли размер одной выплаты. Всего выплат было две, а значит общая сумма выплат равна $2 ⋅84700 = 169400$

Ответ: 169400 рублей

Ответ:

169 400 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 104#24462Максимум баллов за задание: 2

Строительство нового завода стоит 159 млн рублей. Затраты на производство $\text{[math]}$ тыс. ед. продукции на таком заводе равны $0,5x2+ 2x+ 6$ млн рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $\text{[math]}$ тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит $px − (0,5x2+ 2x + 6)$ . Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При этом в первый год $p= 10$ , а далее каждый год возрастает на 1. За сколько лет окупится строительство?

Источники: ЕГЭ 2019

Показать ответ и решение

Найдем такое количество производимой продукции $x,$ при котором прибыль фирмы будет наибольшей при фиксированном $p.$ Для этого нам нужно найти максимум выражения $px− (0,5x2 +2x +6).$

2 2 px− (0,5x + 2x +6)= − 0,5x + (p− 2)x − 6 = =− 0,5(x2− 2(p − 2)x+ 12)= 2 2 2 =− 0,5(x − 2(p − 2)x+ (p− 2) − (p− 2) + 12) = =− 0,5(x− p+ 2)2+ 0,5(p− 2)2− 6

Заметим, что $− 0,5(x− p+ 2)2 ≤ 0,$ поэтому

−0,5(x− p+ 2)2 +0,5(p− 2)2− 6 ≤0,5(p− 2)2− 6

Значит, максимальное значение выражения $px− (0,5x2 +2x +6)$ равно $0,5(p− 2)2− 6$ и достигается при

x− p+ 2= 0 ⇒ x = p− 2

То есть за каждый год фирма будет зарабатывать $0,5(p− 2)2− 6$ млн рублей.

В первый год $p = 10.$ Тогда прибыль фирмы за этот год составит $0,5(10− 2)2− 6= 26< 159$ млн рублей.

Прибыль фирмы за второй год составит $0,5(11 − 2)2− 6= 34,5$ млн рублей, так как $p =11.$ Значит, за первые два года фирма заработает $26 +34,5= 60,5< 159$ млн рублей.

Прибыль фирмы за третий год — $2 0,5(12− 2) − 6 = 44$ млн рублей, так как $p= 12.$ Значит, за первые три года фирма заработает $60,5+ 44= 104,5$ млн рублей.

Прибыль фирмы за четвертый год — $0,5(13− 2)2 − 6 = 54,5$ млн рублей, так как $p= 13.$ Всего за первые четыре года фирма заработает $104,5+ 54,5= 159$ млн рублей. Значит, строительство окупится за 4 года.

Ответ:

за 4 года

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 105#24465Максимум баллов за задание: 2

В июле 2019 года планируется взять кредит в банке на три года в размере $S$ млн рублей, где $S$ — целое число. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг увеличивается на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии с таблицей:


Месяц и год	Июль 2019	Июль 2020	Июль 2021	Июль 2022

Долг (млн руб.)	$S$	$0,7S$	$0,3S$	0

Найдите наименьшее $S,$ при котором каждая из выплат будет больше 3 млн руб.

Показать ответ и решение

Кредит взят в июле 2019 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты. Составим таблицу с учетом данных таблицы из условия. При этом значение в столбце «Выплата» будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты»:


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

2020	$S$	$1,3S$	$0,6S$	$0,7S$

2021	$0,7S$	$1,3⋅0,7S$	$0,61S$	$0,3S$

2022	$0,3S$	$1,3⋅0,3S$	$0,39S$	0

Каждая из выплат, то есть каждое из значений в столбце «Выплата», должна быть больше 3 млн рублей. При этом достаточно, чтобы наименьшее из значений выплаты было больше 3 млн рублей:

$pict$

Так как $S$ — целое число, то наименьшее подходящее $S = 8.$

Ответ: 8

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 106#1310Максимум баллов за задание: 2

15 января планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 31 месяц. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– на 15-ое число каждого месяца с 1-го по 30-й долг должен должен быть на 20 тыс. рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– к 15-му числу 31-го месяца долг должен быть погашен полностью.

Сколько тысяч рублей составляет долг на 15 число 30-ого месяца, если банку всего было выплачено 1348 тыс. рублей?

Показать ответ и решение

Пусть в банке взято $A$ тыс. рублей. Заметим, что фраза «на 15 число каждого с 1 по 30 месяц долг должен уменьшаться на 20 тыс. рублей» означает, что с 1 по 30 месяц долг выплачивался дифференцированными платежами. Тогда сначала гасились начисленные проценты, а затем вносилась одна и та же сумма, равная 20 тыс. рублей. Вследствие этого после платежей с 1 по 30 месяц долг менялся следующим образом:

A− 20 → A− 2⋅20 → ... → A − 30 ⋅20

Так как в 31 месяце долг должен быть погашен полностью, то платеж в 31 месяце будет равен долгу, оставшемуся после начисления процентов.

Составим таблицу, в которой все будет более наглядно.

|М-есяц-|Долг-до %|Д-олг после %---------|Вы-плата---------|Долг после| |------|---------|----------------------|----------------|выплаты---| |1-----|A--------|A-+-0,01A--------------|0,01A-+-20-------|A-− 20----| |2-----|A-− 20---|(A-−-20)+-0,01(A-−-20)--|0,01(A-−-20)+-20--|A-− 40----| |3-----|A-− 40---|(A-−-40)+-0,01(A-−-40)--|0,01(A-−-40)+-20--|A-− 60----| |...----|...------|...-------------------|...-------------|...--------| |30----|A-− 580--|(A-−-580)+-0,01(A-−-580)-|0,01(A-−-580)+-20-|A-− 600---| -31-----A-− 600---1,01(A−-600)-----------1,01(A-−-600)------0---------

Исходя из условия задачи, нужно найти $A − 600.$ Для этого нужно найти $A.$ Так как всего было выплачено банку 1348 тыс. рублей, то сумма всех выплат равна 1348 тыс. рублей:

(0,01A + 20)+(0,01(A − 20)+20)+ ... ...+(0,01(A − 580)+ 20)+ (1,01(A− 600)) =1348

Так как первые 30 платежей дифференцированные, то они образуют арифметическую прогрессию с разностью $− 0,01⋅20.$ Таким образом, первые 30 слагаемых можно просуммировать, воспользовавшись формулой

S30 = a1+-a30-⋅30 2

Тогда получим

0,01A + 20+ 0,01(A − 580)+ 20 ------------2-------------⋅30+ 1,01(A − 600) =1348 (0,01A +20 − 0,01⋅290)⋅30+ 1,01A − 606 =1348 0,3A + 600− 87+ 1,01A − 606 =1348 A = 1441-= 1100 1,31

Тогда долг на 15 число 30-ого месяца равен $A − 600 = 500.$

Ответ: 500 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 107#1311Максимум баллов за задание: 2

15-ого апреля планируется взять кредит в банке на 700 тысяч рублей на $(n + 1)$ месяц. Условия его возврата таковы:

– 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– 15-го числа каждого месяца с первого по $n$ -ый долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;

– 15-го числа $n$ -го месяца долг составлял 300 тысяч рублей;

– к 15-му числу $(n+ 1)$ -го месяца долг должен быть погашен полностью.

Найдите $n,$ если банку всего было выплачено 755 тысяч рублей.

Источники: ЕГЭ 2018, основная волна

Показать ответ и решение

Фраза «15-го числа каждого месяца с первого по $n$ -ый долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца» означает, что долг каждый месяц после выплаты уменьшается на одну и ту же сумму $x$ тыс. руб. Таким образом, сначала долг составил 700 тыс. руб., после первой выплаты он составил $700 − x$ тыс. руб., после второй — $700− 2x$ тыс. руб. и так далее. Тогда после $n$ -ой выплаты долг равен $700 − nx$ тыс. рублей.

Заметим, что долг после первой выплаты равен долгу в начале второго месяца, следовательно, долг после $n$ -ой выплаты равен долгу на начало $(n+ 1)$ -го месяца. Тогда по условию $700− nx =300.$ Кроме того, за $(n+ 1)$ -ый месяц долг должен быть выплачен полностью.

Составим наглядную таблицу. Для удобства определения выплат долг после начисления процентов будем записывать в виде «долг до начисления процентов + начисленные проценты».

|------|-------------|------------------------------|---------------------| |М-есяц-|Д-олг-до %----|Долг-после-%-------------------|В-ыплата-------------| |1-----|700----------|700+-0,01-⋅700------------------|0,01⋅700+-x----------| |2-----|700−-x-------|700−-x+-0,01(700−-x)-----------|0,01(700-− x)+-x------| |3-----|700−-2x------|700−-2x+-0,01(700−-2x)---------|0,01(700-− 2x)+-x-----| |...---|...----------|...---------------------------|...------------------| |n-----|700−-(n−-1)x--|700−-(n-−-1)x-+0,01(700-− (n−-1)x)|0,01(700-− (n−-1)x)+-x -n-+1---700−-nx=-300--1,01(700−-nx)=-303--------------1,01(700-− nx)-=303---

Для нахождения выплаченной банку суммы сложим все платежи:

(0,01⋅700+ x)+ (0,01(700− x)+x)+ ⋅⋅⋅+(0,01(700− (n− 1)x) +x)+ 303= 755

Первые $n$ слагаемых образуют арифметическую прогрессию с разностью $0,01x$ . Тогда их сумма равна

a1 +an 0,01⋅700+ x+ 0,01(700− (n− 1)x)+ x 755− 303= Sn =---2-- ⋅n= ----------------2--------------- ⋅n

Преобразуем полученное выражение с учетом $700− nx= 300$ и $nx =400$ :

0,01 ⋅700+ x +0,01(700 − (n− 1)x)+ x ---------------2----------------⋅n = (0,01⋅700+ x− 0,005(n− 1)x)n = = (7+ x− 0,005nx+ 0,005x)n = (7 +x − 2+ 0,005x)n= 5n+ xn +0,005xn= = 5n+ 400+ 2= 5n+ 402

Получаем окончательно:

452= 5n +402 ⇒ n = 10

Ответ: 10

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 108#2643Максимум баллов за задание: 2

В регионе А среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 43 740 рублей и ежегодно увеличивался на 25%. В регионе Б среднемесячный доход на душу населения в 2014 году составлял 60 000 рублей. В течение трех лет суммарный доход жителей региона Б увеличивался на 17% ежегодно, а население увеличивалось на $m%$ ежегодно. В 2017 году среднемесячный доход на душу населения в обоих регионах А и Б стал одинаковым. Найдите $m.$

Источники: ЕГЭ 2018, досрочная волна, резервный день

Показать ответ и решение

Составим таблицу для региона А:

|----|------------------------------------| |Год-|С-реднемесячный доход-на душу-населения |2014-|---------------43740----------------| |2015-|-------------1,25-⋅43740--2-----------| |22001617-|----1,25(1,25⋅41,3275430⋅)4=3714,205-⋅43740-----| -------------------------------------------

Составим таблицу для региона Б. Пусть $x$ – население региона Б в 2014 году:

|-----|------------|-----------------------| |2Г0о1д4-|-Н-аселxение--|Сумм-арны6й0 д0о0х0о⋅дx ж-ителей |2015-|(1+-0,01m)x-|-----1,17⋅60000⋅x------| |2016-|(1+-0,01m-)2x-|-----1,172-⋅60-000-⋅x------| |2017-|(1+-0,01m-)3x-|-----1,173-⋅60-000-⋅x------| -------------------------------------------

Заметим, что если умножить среднемесячный доход на количество жителей, то получим суммарный доход жителей. Следовательно, суммарный доход жителей делить на число жителей — это среднемесячный доход на душу населения. Значит, в 2017 году в регионе Б среднемесячный доход на душу населения составлял

1,173⋅60000-⋅x 1,173⋅60000 (1+ 0,01m )3⋅x = (1+ 0,01m)3

По условию задачи этот доход равен среднемесячному доходу в 2017 году в регионе А:

1,173⋅60000- 3 (1+ 0,01m)3 = 1,25 ⋅43740 ( 1,17 )3 43740 (1-+0,01m)⋅1,25- = 60000-

Представим дробь в виде

43740 729 ( 9 )3 60000 = 1000 = 10-

Тогда окончательно имеем:

-----1,17------= 9- ⇔ m = 4 (1+ 0,01m )⋅1,25 10

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 109#1283Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит на сумму $1342000$ рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.

На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

Источники: ЕГЭ 2018, СтатГрад, 19 апреля 2018

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что в обоих случаях кредит будет гаситься аннуитетными платежами. Составим таблицу для каждого случая, делая все вычисления в тысячах рублей.
Случай, когда кредит взят на 4 года (пусть $x$ – ежегодный платеж):
$------------------------------------------------------------------------- |Год |Долг до начисления %| Долг после начисления %| Д олг после платеж & |-1--|-------1342--------|-------1,2⋅1342--------|-----1,2⋅1342−-x------| |-2--|----1,2⋅1342-− x----|----1,2(1,2⋅1342−-x)----|--1,2(1,2⋅1342-− x)-− x-| | 3 |1,2(1,2 ⋅1342− x)− x |1,2(1,2(1,2 ⋅1342 − x)− x)|1,2(1,2(1,2⋅1342− x)− x)| |----|-------------------|-----------------------|---------−-x----------| | 4 |1,2(1,2(1,2 ⋅1342 − x)| 1,2(1,2(1,2(1,2⋅1342− x) |1,2(1,2(1,2(1,2 ⋅1342 − x)| ------------−x)-− x---------------−x)−-x)---------------−x)−-x)−-x-------$ Так как в конце 4-ого года долг банку равен нулю, то получаем уравнение:

1,2(1,2(1,2(1,2⋅1342 − x)− x)− x)− x= 0,

которое, как известно для аннуитетных платежей, переписывается в удобном виде:

1,24⋅1342− x(1,23+ 1,22+ 1,2 +1)= 0

Случай, когда кредит взят на 2 года (пусть $y$ – ежегодный платеж):
$|----|-------------------|----------------------|-------------------| Год Долг до начисления % Д олг после начисления % Долг после платеж&#x0 |-12--|----1,21⋅3143242-− y----|----1,2(11,,22⋅⋅11334422− y)---|1,2(11,,22⋅⋅11334422−−-yy)−-y-| --------------------------------------------------------------------$ Аналогично получаем уравнение

1,2(1,2⋅1342 − y)− y =0 ⇔ 1,22⋅1342− y(1,2+ 1)= 0

В первом случае клиент отдаст банку $4x$ тыс. рублей, во втором случае – $2y$ тыс. рублей. Нам нужно найти $4x− 2y$ . Выразим из каждого уравнения $x$ и $y$ , тогда:

-----1,24⋅1342---- 1,22⋅1342- 4x− 2y = 4⋅1,23+ 1,22 +1,2+ 1 − 2 ⋅ 1,2+ 1 = ( 2 ) = 2⋅1,22⋅1342⋅ -----2⋅1,2----- − 1-- = (1,2+ 1)(1,22 +1) 2,2 2,88 − 2,44 = 2⋅1,22⋅1342⋅-2,2-⋅2,44--= 2-⋅12-⋅12-⋅1342-⋅44 = 22 ⋅244⋅10 = = 316,8

Мы получили ответ в тыс. рублей, следовательно, ответ: $316 800$ рублей.

Ответ: 316800 рублей

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 110#2622Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит на сумму 69510 рублей. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен тремя равными платежами (то есть за три года), по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за два года)?

Источники: ЕГЭ 2018, СтатГрад, 26 января 2018

Показать ответ и решение

Пусть $A$ — сумма кредита в рублях. Пусть $x$ — платеж в рублях в случае, если кредит взят на три года, $y$ — платеж в рублях в случае, если кредит взят на два года. По условию платежи аннуитетные, тогда рассмотрим каждый из случаев.

1) Если кредит взят на три года, то в конце третьего года долг будет равен

3 2 1,1⋅(1,1 ⋅(1,1⋅A − x)− x)− x = 0 ⇔ 1,1 ⋅A − x(1,1 + 1,1+ 1)= 0

2) Если кредит взят на два года, то в конце второго года долг будет равен

2 1,1(1,1⋅A − y)− y =0 ⇔ 1,1 ⋅A − y(1,1+ 1)= 0

В первом случае клиент выплатит банку за все года $3x$ рублей, во втором случае выплатит $2y$ рублей. Следовательно, нужно найти $3x − 2y$ :

3⋅1,13 ⋅A 2⋅1,12⋅A 3x− 2y = 1,12+-1,1-+1-−-1,1+-1--=

2 3⋅1,12+ 3⋅1,1− 2⋅1,12− 2⋅1,1 − 2 = 1,1 ⋅A⋅ -----------2,1⋅3,31------------=

2 --0,31--- 11⋅11⋅6951⋅31 =1,1 ⋅A ⋅2,1⋅3,31 = 21 ⋅331 = 11⋅11⋅31= 3 751

Ответ: 3751 рубль

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 111#1093Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга.
Найдите $r$ , если известно, что если ежегодно выплачивать по $777600$ рублей, то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по $1 317600$ рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года.

Источники: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

Пусть $A$ рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за $t = 1010+0r0-$ , $x = 777600$ и $y = 1317600$ и составим таблицу для обоих случаев (когда кредит выплачивался 4 года и 2 года):

------------------------------------------------------------------------------ |Н ом ер года |Д олг до начи сления % |Д олг посл е н ачислен ия % |Пл атеж | |-------------|------------------------|----------------------------|---------| |1------------|A-----------------------|tA--------------------------|---x-----| |2------------|tA-−-x------------------|t(tA-−-x)-------------------|---x-----| |3------------|t(tA--−-x)-−-x-----------|t(t(tA--−-x) −-x)------------|---x-----| |4 |t(t(tA − x) − x) − x |t(t(t(tA − x) − x ) − x ) | x | ------------------------------------------------------------------------------

Тогда после последнего платежа долг будет равен

2 t(t(t(tA − x) − x) − x) − x = 0 ⇔ t4A = x(t3 + t2 + t + 1) ⇒ A = x(t-+-1)(t-+-1)- (∗ ) t4

|-------------|------------------------|----------------------------|---------| |Н-ом-ер-года-|Д-олг-до-начи-сления-%--|Д-олг-посл-е н-ачислен-ия-%-|Пл-атеж--| |1 |A |tA | y | |2------------|tA-−-y------------------|t(tA-−-y)-------------------|---y-----| ------------------------------------------------------------------------------|

Тогда после последнего платежа долг будет равен

t(tA − y) − y = 0 ⇔ t2A = y (t + 1) ⇒ A = y(t +-1) (∗∗) t2

Приравняем правые части уравнений $(∗ )$ и $(∗∗)$ :

x (t + 1)(t2 + 1) y(t + 1 ) x(t2 + 1) -------t4-------= ---t2--- ⇒ ---t2----= y

Сделаем подстановку и найдем $t$ :

x 777600 7776 t2 = ------= ------------------ = ----- = 1,44 y − x 1317600 − 777600 5400

Тогда

∘ ----- t = 1,44 = 1,2 ⇒ r = 20.

Ответ: 20

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 112#1110Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму $7$ млн. рублей на некоторых срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $20%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга;
— в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.
На сколько лет взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась $17,5$ млн. рублей?

Источники: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

Так как выплачивается кредит дифференцированными платежами, то если $n$ – количество лет, на которое взят кредит в $7$ млн. рублей, значит, каждый год после платежа долг должен уменьшаться на $-7 n$ млн. рублей. Значит, в последний, $n$ -ый год, долг будет равен $7 n$ млн. рублей. Платеж, как и обычно в дифференцированных платежах, состоит из процентов, набежавших на сумму долга в этот год, плюс $7 n$ млн. рублей.
Составим таблицу:

|----|------------------------|----------------------------|----------------| |Год-|Д-олг-до-нач-ислени-я-%-|-Дол-г п-осле-начисл-ения-%-|----Пл-атеж-----| |1 | 7 | 7 + 0,2 ⋅ 7 | 0,2 ⋅ 7 + 7 | |2---|---------7-−-7----------|----7-−-7-+-0,2-(7-−-7)-----|0,2-(7 −-7)-n+-7-| |----|-------------n----------|--------n------------n------|---------n----n-| |...--|-----------...-----------|-------------...-------------|-------...-------| -n---------------7n----------------------7n +-0,2 ⋅-7n-----------0,2-⋅n7+--7n----

Тогда переплата по кредиту равна сумме первых слагаемых из столбца “Платеж”:

( 7) 7 ( ( 7) 7) 0,2 ⋅ 7 + 0,2 ⋅ 7 −-- + ⋅⋅⋅ + 0,2 ⋅--= 0,2 ⋅ 7 + 7 − -- + ⋅⋅⋅ +-- = n n n n

Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где первый член равен $7$ , разность равна $− 7 n$ , последний член равен $7 n$ , а всего членов $n$ штук. Следовательно,

7 + 7 = 0,2 ⋅----n-⋅ n = 0, 7(n + 1) 2

Это мы вычислили переплату по кредиту. С другой стороны, если общая сумма выплат после погашения кредита составила $17,5$ млн. рублей, а в кредит было взято $7$ млн. рублей, то переплата равна $10, 5$ млн. рублей. Следовательно,

0,7(n + 1) = 10,5 ⇒ n = 14

Ответ: 14

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 113#2429Максимум баллов за задание: 2

В июле 2020 года планируется брать кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
— каждый январь долг возрастает на $30%$ по сравнению с концом предыдущего года;
— с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на $156060$ рублей?

Источники: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

Пусть $A$ рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за $t = 1,3$ и составим таблицу:

|-------------|------------------------|----------------------------|---------| |Н ом ер года |Д олг до начи сления % |Д олг посл е н ачислен ия % |Пл атеж | |1------------|A-----------------------|tA--------------------------|---x-----| |-------------|------------------------|----------------------------|---------| |2------------|tA-−-x------------------|t(tA-−-x)-------------------|---x-----| -3-------------t(tA--−-x)-−-x------------t(t(tA--−-x) −-x)----------------x-----|

Тогда после последнего платежа долг будет равен

At3 t(t(tA − x ) − x ) − x = 0 ⇔ t3A = x(t2 + t + 1) ⇒ x = -2-------- t + t + 1

По условию $3x − A = 156060$ , следовательно,

3 --3At----− A = 156060 ⇒ 3⋅2, 197A − 3, 99A = 156060 ⋅3,99 ⇒ A = 156060-⋅ 3990 = 60⋅3990 = 239400 t2 + t + 1 2601

Ответ: 239400

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 114#2450Максимум баллов за задание: 2

15 января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1 числа каждого месяца долг возрастает на $r%$ по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;

— со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;

— 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

Найдите $r,$ если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 120% больше суммы, взятой в кредит.

Источники: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

Пусть $A$ рублей — сумма, взятая в кредит. Обозначим $0,01r = y$ и составим таблицу. Из условия следует, что кредит будет выплачиваться дифференцированными платежами.

|------|--------------------|---------------------|---------------| |М-есяц-|Д-олг-до начисления %|Долг после начисления-%----Платеж-----| |1-----|---------A----------|------A-+-y⋅A--------|---y-⋅A-+-A15----| |2 | A− -A | A− -A+ y⋅(A − A) |y ⋅(A − A-)+ A- | |------|----------15--------|-----15---------15---|-------15---15-| |... | ... | ... | ... | |------|---------A----------|------A------A-------|------A---A----| -15--------------15-----------------15 +-y⋅15----------y⋅15 +-15---|

Заметим, что сумма первых слагаемых из последнего столбца и есть переплата по кредиту. Так как общая сумма выплат по кредиту превышает сумму кредита на 120%, то это значит, что переплата составляет 120% от кредита. Тогда получаем уравнение:

( ) y ⋅A + y⋅ A − A- + ...+ y⋅ A = 1,2A ⇔ ( 1(5 ) 15 ) 1- 1- ⇔ y ⋅A⋅ 1 + 1− 15 +...+ 15 = 1,2A

Заметим, что в скобках находится сумма арифметической прогрессии, где $a1 = 1,$ $-1 a15 = 15.$ Следовательно,

y ⋅A ⋅ 1-+115 ⋅15= 1,2A ⇔ 8y = 1,2 ⇔ y = 0,15 2

Отсюда найдем $r :$

r = 100y = 15

Ответ: 15

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 115#2456Максимум баллов за задание: 2

15 января планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн. рублей на некоторое целое число месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1 числа каждого месяца долг возрастает на 20% по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;

– со 2 по 14 число каждого месяца необходимо выплачивать часть долга;

– 15 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший платеж составит 3,6 млн. рублей?

Источники: ЕГЭ 2017, основная волна

Показать ответ и решение

Из условия следует, что система платежей дифференцированная. Исходя из этого составим таблицу следующим образом:

|------|--------------------|---------------------|--------------| |М-есяц-|Д-олг до начисления %|Долг после начисления-%---Платеж----| |1-----|---------9----------|------9-+0,2⋅9-------|---0,2-⋅9+-9n---| |2 | 9 − 9 | 9− 9 + 0,2⋅(9− 9) |0,2⋅(9− 9)+ 9 | |------|-----------n--------|-----n----------n----|--------n---n-| |... | ... | ... | ... | |------|---------9----------|------9------9-------|-------9--9---| -n---------------n-----------------n-+0,2⋅n-----------0,2⋅-n +-n---

Тогда общая сумма выплат после погашения равна сумме всех платежей:

( ) ( ) 0,2⋅ 9 +9 − 9+ ⋅⋅⋅+ 9- +n ⋅ 9-= 0,2⋅ 9 +9 − 9+ ⋅⋅⋅+ 9 +9 n n n n n

Заметим, что при дифференцированной системе платежей наибольший платеж – это первый платеж. Следовательно,

9 0,2⋅9+ n-= 3,6 ⇒ n = 5

Таким образом, общая сумма выплат равна

( ( 9) ( 9) ( 9 ) 9) ( 9) 0,2⋅ 9 + 9− 5 + 9− 2⋅5 + 9− 3⋅5 + 5 + 9= 0,2 ⋅ 9⋅4− 5⋅5 + 9= 14,4

Ответ: 14,4 млн. рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 116#1014Максимум баллов за задание: 2

Страховой фонд владеет акциями, стоимость которых равна $t2$ тыс. рублей в конце каждого года с номером $t,$ где $t= 1;2;...$ Фонд может продать все акции в конце некоторого года и положить все вырученные с продажи средства на счет в банке. Известно, что тогда в конце каждого следующего года банк будет увеличивать сумму, находящую на счете, в $r$ раз, где $r$ — некоторое положительное большее единицы число. Оказалось, что если фонд продаст все акции и вложит деньги в банк именно в конце 21-ого года, то в конце 25-ого года он получит наибольшую из возможных прибыль. Определите, какие при этом значения может принимать число $r.$

Источники: ЕГЭ 2017, досрочная волна

Показать ответ и решение

Если фонд продаст акции в конце $t$ -ого года, то на конец 25-ого года они пролежат в банке $25− t$ лет. Так как каждый год банк увеличивает сумму в $r$ раз, то за $25 − t$ лет он увеличит ее в $r25−t$ раз. Следовательно, на конец 25-ого года фонд будет иметь сумму в тыс. рублей, равную

2 25−t f(t)= t ⋅r

Рассмотрим эту функцию. В ней $r$ — некоторое конкретное, но неизвестное число, а $t$ — переменная. Найдем ее производную:

′ 25−t 2 25−t 25−t f = 2t⋅r + t ⋅r ⋅ln r⋅(− 1)= r ⋅t⋅(2 − tlnr)

Таким образом, нулем производной, учитывая, что $t≥ 1,$ является $t= -2-. lnr$

Причем заметим, что эта точка является точкой максимума. Следовательно, до $2 t= ln-r$ функция возрастает, а после — убывает.

Таким образом, если, продав акции в 21-ый год, фонд получит наибольшую из возможных прибыль, то это значит, что мы имеем такой график:

$PIC$

Для примера на картинке точка $t= 21$ находится правее точки максимума. Может быть наоборот: 21 будет находиться левее точки максимума. Главное, что точка графика с абсциссой 21 выше, чем точки графика с абсциссами 20 или 22!

Тогда $f(21)> f(20)$ и $f(21)> f(22).$ Из этого условия будет следовать, что $f(21)> f(t)$ при любом целом $t$ от 1 до 25. Решим полученную систему:

( 212 {212⋅r4 > 202⋅r5 ||{ r < 202 212⋅r4 > 222⋅r3 ⇒ | 2 |( r > 22212

Отсюда получаем, что $( ) r ∈ 484; 441 . 441 400$

Ответ:

$( 484 441-) r ∈ 441;400$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 117#1097Максимум баллов за задание: 2

В июне 2020 года планируется взять кредит в банке на 3 года в размере $A$ млн. рублей, где $A$ — целое число. Условия его возврата таковы:

— каждый январь банк увеличивает сумму долга на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по май необходимо выплатить часть долга одним платежом;

— в июне каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

|---М-есяц и-год----|июнь-2020-|ию-нь 2021|июнь 2022|июнь-2023-| |Долг (в м-лн. рублей)---A----|---0,8A----|--0,4A----|---0-----| -------------------------------------------------------------

Найдите наибольшее значение $A,$ при котором каждый платеж будет менее 5 млн. рублей.

Источники: ЕГЭ 2017, досрочная волна, резерв

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|-----|-----|--------------|------------------| |-год--|июнь-|---январь-----|-----платеж-------| |2020-|-A---|---A+-0,2A-----|-x1-=-0,2A+-0,2A----| |2021-|0,8A--|0,8A-+-0,2⋅0,8A--|x2 =-0,2⋅0,8A+-0,4A-| |22002223-|0,40A--|0,4A-+-0,2⋅0,4A--|x3 =-0,2⋅0,4A+-0,4A-| ----------------------------------------------

По условию

( |{x1 =0,4A< 5 -5-- 52 |(x2 =0,56A< 5 ⇒ A < 0,56 = 856 x3 =0,48A< 5

Следовательно, наибольшее целое $A = 8.$

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 118#2453Максимум баллов за задание: 2

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 8 млн. рублей на срок 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг возрастает на $r%$ по сравнению с долгом на конец предыдущего года;

— с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга так, чтобы на начало июля каждого года долг уменьшался на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем.

Найдите наименьшую возможную ставку $r,$ если известно, что последний платеж будет не менее 0,92 млн. рублей.

Источники: ЕГЭ 2017, официальный пробный 21.04.2017

Показать ответ и решение

Фраза «на начало июля каждого года долг уменьшается на одну и ту же сумму по сравнению с предыдущим июлем» означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами.

Составим таблицу (ведя вычисления в млн. рублей), обозначив величину $r 100 = 0,01r = t:$

|----|--------------------|---------------------|-------------| |Год-|Д-олг до начисления %|Долг после начисления-%|П-латеж-----| |1 | 8 | 8+ t⋅8 | 110-⋅8+ t⋅8 | |----|--------9-----------|-----9-------9-------|-1-------9---| |2---|--------10-⋅8--------|----10 ⋅8+-t⋅10 ⋅8---|-10-⋅8+-t⋅10-⋅8| |... | ... | ... |... | |----|--------1-----------|-----1-------1-------|-1-------1---| -10-----------10-⋅8-------------10 ⋅8+-t⋅10 ⋅8-----10-⋅8+-t⋅10-⋅8-

Таким образом, последний платеж равен $110 ⋅8+ t⋅ 110 ⋅8.$ Следовательно, из условия получаем:

1- -1 3- 10 ⋅8+ t⋅10 ⋅8≥ 0,92 ⇔ t ≥ 20 ⇒ r ≥ 15

Значит, наименьшая процентная ставка равна 15%.

Ответ: 15

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 119#1102Максимум баллов за задание: 2

На двух заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на заводе рабочие суммарно трудятся $t2$ часов в день, то завод выпускает $t$ единиц продукции. Заработная плата на первом заводе для одного рабочего составляет $500$ рублей в час, на втором заводе – $300$ рублей в час. Определите, какое наибольшее количество товаров могут выпустить в месяц оба завода, если на зарплату в месяц рабочим выделяется $1200000$ рублей.

Источники: ЕГЭ 2017, резервный день

Показать ответ и решение

Пусть на первом заводе рабочие трудились $t2$ часов, тогда завод выпустил $t$ единиц продукции; пусть на втором трудились $p2$ часов, тогда завод выпустил $p$ продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины $T = t+ p$ . Так как заработная плата в час составляет $500$ и $300$ рублей на первом и втором заводах соответственно, то $1200000= 100(5t2+ 3p2)$ .
Выразим $t= T − p$ и подставим в уравнение:

2 2 2 2 1 200000 =100(5(T − p) +3p ) ⇔ 8p − 10T p+ 5T − 12000 =0

Данное уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным:

2 2 2 D = 100T − 4⋅8(5T − 12000) =4 ⋅8⋅12000 − 60T ≥0

Отсюда получаем, что $T2 ≤ 4⋅8⋅200= 82⋅102$ , следовательно, $T ∈ [0;80]$ (учитывая, что $T ≥ 0$ , так как это количество продукции). Следовательно, наибольшее возможное $T$ – это $T =80$ .
Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для $t$ и $p$ (так как это количество продукции).
При $T = 80$ дискриминант $D = 0$ , следовательно,

10⋅80 p= 2⋅8 = 50 ⇒ t= 80− 50 = 30.

Таким образом, проверка удалась и ответом является $T = 80$ .

Ответ: 80

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 120#2440Максимум баллов за задание: 2

На двух заводах производят одинаковый товар. Если на заводе рабочие суммарно трудятся $t2$ часов в неделю, то они производят $t$ товаров. Заработная плата рабочего за час работы на первом заводе составляет 500 рублей, а на втором — 200 рублей. Найдите наименьшую сумму, которую нужно потратить на зарплаты рабочим в неделю, чтобы оба завода произвели 70 единиц товара.

Источники: ЕГЭ 2017, резервный день

Показать ответ и решение

Пусть на первом заводе рабочие трудились $t2$ часов, тогда завод выпустил $t$ единиц продукции. Пусть на втором трудились $p2$ часов, тогда завод выпустил $p$ товаров. Тогда $70 = t+p.$ Так как заработная плата в час составляет 500 и 200 рублей на первом и втором заводах соответственно, то сумма, которую нужно потратить в неделю на зарплату рабочим, равна

2 2 A= 100(5t + 2p )

Выразим $t= 70− p$ и подставим в выражение для $A :$

2 A = A(p)= 100⋅7(p − 100p+ 3500)

Рассмотрим функцию

2 F(p)= p − 100 ⋅p +3500

Для того, чтобы найти наименьшее значение $A(p),$ нужно найти наименьшее значение $F(p)$ , если $p$ — целое неотрицательное число не больше 70.

Заметим, что функция $F(p)$ представляет собой квадратичную функцию, графиком которой является парабола с ветвями вверх и вершиной

100 p0 = 2 =50 ∈[0;70]

Тогда $p0$ — это точка минимума и при $p= p0$ значение функции $F (p)$ будет наименьшим.

Таким образом,

2 Amin = 700⋅F(50)= 700⋅(50 − 100⋅50+ 3500) = 700000

Ответ: 700000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2