Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.01 Задачи №16 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 121#383Максимум баллов за задание: 2

15-ого января планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

— 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

— со 2-ого по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

— 15-ого числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

|Дата-----------|15.01|15.02|15.03|15.04|15.05-|15.06-|15.07-| |Долг-(в-млн руб.)--1--|-0,9-|-0,8-|-0,7-|-0,6-|-0,5-|--0--| -----------------------------------------------------------

Найдите наименьшее значение $r,$ при котором общая сумма выплат будет составлять более 1,3 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

Составим таблицу, где $t= 1+ -r- = 100+-r. 100 100$

|Месяц-|Долг в-млн-руб.|Д-олг в-млн руб.|Долг-в млн-руб.|Вы-плата-в млн-руб. | | до начисления |после начисления | после вы платы | | |------|--процентов---|---процентов----|--------------|-----------------| |1-----|------1-------|-------t-------|-----0,9------|-----t-− 0,9-----| |2-----|-----0,9------|------0,9t------|-----0,8------|-----0,9t−-0,8-----| |3-----|-----0,8------|------0,8t------|-----0,7------|-----0,8t−-0,7-----| |4-----|-----0,7------|------0,7t------|-----0,6------|-----0,7t−-0,6-----| |5-----|-----0,6------|------0,6t------|-----0,5------|-----0,6t−-0,5-----| -6-----------0,5-------------0,5t-------------0---------------0,5t--------

Тогда общая сумма выплат составляет

0,1t⋅(10+ 9+ 8+ 7 +6 +5)− 0,1(9 +8 +7 +6 +5)= 4,5t− 3,5

Так как общая сумма выплат должна быть более 1,3 млн рублей, то имеем неравенство:

4,5t− 3,5> 1,3 ⇔ t> 16 15

Отсюда $r > 100 15$ и наименьшее целое $r = 7$ .

Ответ: 7%

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 122#24918Максимум баллов за задание: 2

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на пять лет в размере $S$ тыс рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдушего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

– в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остаётся равным $S$ тыс. рублей;

– выплаты в 2020 и 2021 годах равны по 625 тыс. рублей;

– к июлю 2021 года долг будет выплачен полностью.

Найдите общую сумму выплат за пять лет.

Источники: ЕГЭ 2016, основная волна

Показать ответ и решение

Сумма кредита равна $S$ тыс. рублей. Кредит взят в июле 2016 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты. Выплаты за 2020 и 2021 годы составили $S1 = 625$ тыс. рублей. Вычисления ниже будем вести в тысячах рублей.

Составим таблицу с учетом того, что в июле 2017, 2018 и 2019 годов долг остается равным $S,$ то есть сумма долга после выплаты равна $S.$ Выплаты за эти года равны разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга до начисления процентов». При этом сумма долга после выплаты за 2020 и 2021 годы равна разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».

|----|---------------|-----------------|---------|-----------------| |Год | Сумма долга | Сумма долга |В ыплата | Сумма долга | |----|до-начисления %-|после-начисления-%-|---------|--после выплаты--| |2017 | S | 1,25S |1,25S − S | S | |2018-|------S--------|------1,25S-------|1,25S-− S-|-------S---------| |----|---------------|-----------------|---------|-----------------| |2019-|------S--------|------1,25S-------|1,25S-− S-|-------S---------| |2020-|------S--------|------1,25S-------|---S1----|----1,25S-− S1----| -2021-----1,25S−-S1------1,25(1,25S-−-S1)------S1-----1,25(1,25S−-S1)−-S1-

Отметим, что к концу пятого года с долг полностью погасится, а значит, значение суммы долга после выплаты в 2021 году равно 0. Запишем это в виде уравнения:

$pict$

Теперь найдем общую сумму выплат по столбцу «Выплата»:

1,25S − S + 1,25S− S + 1,25S− S +S1 +S1 = = 0,75S+ 2S1 = 0,75⋅900 +2 ⋅625 = 1925

Ответ: 1925 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 123#382Максимум баллов за задание: 2

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 1 млн рублей.

Найдите наименьший размер первоначального вклада, при котором через четыре года он будет больше 10 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2016, досрочная волна

Показать ответ и решение

Пусть $A$ млн рублей — первоначальный вклад. Составим таблицу:

|----|---------------------------------|------------------------------------| Год Сумма в млн на счете до начисления % Сумм а в м лн на счете после |1---|---------------A-----------------|----------------1,12A-----------------| |2---|--------------12,1A----------------|---------------1,12A-----------------| |34---|---------1,1(11,,112AA-++11)+-1----------|--------1,1(11,,11((11,,112AA++11))+-1)----------| ----------------------------------------------------------------------------

Так как в конце четвертого года вклад должен быть больше 10 млн рублей, то имеем следующее неравенство:

2 1,1(1,1(1,1 A +1)+ 1)> 10 1,14A +1,12+ 1,1> 10

Преобразовав данное неравенство, получим

A> 76900- 14641

Выполнив деление в столбик до целой части, получим, что наименьшее целое $A,$ удовлетворяющее неравенству, равно $A = 6.$

Ответ: 6 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 124#1707Максимум баллов за задание: 2

В августе $2016$ года планируется взять кредит в банке в размере $5,3$ млн рублей. Условия его возврата таковы:
– каждый год в январе долг возрастает на $y%$ по сравнению с долгом на конец предыдущего года;
– с февраля по июль необходимо выплатить часть долга одним платежом;
– в августе $2017, 2018$ и $2019$ годов долг остается равным $5,3$ млн рублей;
– платежи в $2020$ и $2021$ годах равны.
При каком $y$ долг будет выплачен полностью, причем общая выплата по кредиту должна составить $8,18$ млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2016, досрочная волна, резерв

Показать ответ и решение

Составим таблицу, обозначив за $x$ млн рублей – годовой платеж в $2020$ и $2021$ годах.

$|-----|---------------------|-----------------------------------------------|------------| |Го д | Д олг в августе |Д олг в январ е (посл е н ачислен ия про центов) � |1 | 5,3 | (1 + 0,01y) ⋅ 5,3 |0,01y ⋅ 5, 3| |-----|---------------------|-----------------------------------------------|------------| |2----|--------5,3----------|---------------(1-+-0,01y)-⋅ 5,3---------------|0,01y-⋅ 5,-3| |3----|--------5,3----------|---------------(1-+-0,01y)-⋅ 5,3---------------|0,01y-⋅ 5,-3| |4----|--------5,3----------|---------------(1-+-0,01y)-⋅ 5,3---------------|-----x------| |5 |(1 + 0,01y) ⋅ 5,3 − x| (1 + 0,01y )((1 + 0,01y ) ⋅ 5,3 − x ) | x | -----------------------------------------------------------------------------------------$

Т.к. в итоге кредит должен быть погашен, то $(1 + 0,01y)((1 + 0,01y ) ⋅ 5,3 − x) = x$

Общая сумма выплат – это сумма всех платежей: $3 ⋅ 0, 01y ⋅ 5,3 + 2x = 8,18$

Найдем из этого уравнения платеж $x = 8,-18 −-3 ⋅ 0,01y-⋅-5,3 2$ . Следовательно:

$8,18 − 3 ⋅ 0,01y ⋅ 5,3 (1 + 0,01y )2 ⋅ 5,3 − (2 + 0,01y) ⋅--------------------= 0 2$

Обозначим за $t = 0,01y$ , тогда уравнение сведется к $1325t2 + 2241t − 288 = 0 ⇒ t = 0,12 ⇒ y = 12%$

Ответ:

$12%$ .

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 125#384Максимум баллов за задание: 2

Планируется открыть вклад в банке в размере 10 млн рублей на 4 года. В конце каждого года банк добавляет 10% к той сумме, которая была на счете в банке на начало года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик ежегодно пополняет счет на целое число $m$ млн рублей. Найдите наименьшее значение $m,$ при котором банк за 4 года начислит на вклад более 7 млн рублей.

Источники: ЕГЭ 2016, резервный день

Показать ответ и решение

Расчеты будем вести в млн рублей. Составим таблицу:

|---|------------------|----------------------| |Год | Размер вклада до | Размер вклада после | |---|---начисления %---|-----начисления-%------| |1--|--------10--------|--------1,12⋅10--------| |23--|----1,112,⋅11⋅01+0m-----|----1,1(11,1,12⋅⋅1100+-m-)----| |4--|1,1(1,12⋅10-+m-)+-m-|1,1(1,1(1,12⋅10-+-m)+-m)-| -----------------------------------------------

Таким образом, в конце 4-ого года размер вклада составит $1,1(1,1(1,12⋅10+ m)+ m )$ млн рублей. Фраза «банк за 4 года начислит на вклад более 7 млн рублей» означает, что на конец 4-ого года чистая прибыль по вкладу составит более 7 млн рублей.

Для того, чтобы вычислить чистую прибыль, нужно от всей суммы, которая находится на счете на конец 4-ого года, отнять сумму, которую клиент вложил в банк. Таким образом, чистая прибыль составит:

1,1(1,1(1,12⋅10+ m )+ m)− (10+ m +m )

Значит, получаем неравенство:

1,1(1,1(1,12⋅10+ m)+ m )− (10+ m + m)> 7 4 2 1,1 ⋅10+ 1,1 m + 1,1m − 10 − 2m > 7

Решив данное неравенство, получим:

2359 m > -310-

Следовательно, наименьшее целое $m = 8$ млн рублей.

Ответ: 8

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 126#767Максимум баллов за задание: 2

15 января планируется взять кредит в банке на 11 месяцев. Условия его возврата таковы:
$∙$ 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на $y%$ по сравнению с долгом на конец предыдущего месяца;
$∙$ со 2-ого по 14-ое числа каждого месяца необходимо выплатить часть долга в виде платежа банку;
$∙$ 15-ого числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-ое число предыдущего месяца. Известно, что общая сумма выплат по кредиту превысила сумму кредита на $30%$ процентов. Найдите $y$ .

Источники: ЕГЭ 2015, основная волна

Показать ответ и решение

Фраза “долг должен быть на одну и ту же сумму меньше” означает, что кредит выплачивается дифференцированными платежами. Следовательно, т.к. кредит взят на 11 месяцев, то эта “одна и та же сумма”, на которую уменьшается долг каждый месяц, равна $1- 11$ части от суммы кредита. Обозначим сумму кредита за $A$ и составим таблицу.
Так как каждый месяц долг увеличивается на $y%$ , то в первый месяц долг увеличится на $0,01y ⋅ A$ рублей, то есть составит $A + 0,01yA$ рублей.
После выплаты долг должен уменьшиться на $-1A 11$ рублей, то есть должен составить $10A 11$ рублей. Значит, выплата в первый месяц будет равна $A + 0,01yA − 10A = 0,01yA + -1A 11 11$

|----------------|---------------------------|----------------------|-------------------| |Н ом ер месяца |Дол г п осле начи сления % |Д олг после вы пла ты | Вы пла&#x |1---------------|------A-+--0,01y-⋅ A-------|---------11A----------|-0,01y-⋅-A-+-11A---| |2---------------|----1101A-+--0,01y-⋅ 1101A-----|---------911A----------|0,01y-⋅-1101A-+-111A--| |3 | -9A + 0,01y ⋅ 9-A | 8-A |0,01y ⋅ 9-A + -1A | |----------------|----11------------11-------|---------11-----------|--------11----11---| |...-------------|-----2------...---2--------|---------.1..----------|--------.2..----1---| |10--------------|----11A-+--0,01y-⋅11A------|---------11A----------|0,01y-⋅-11A-+-11A--| -11-------------------111A-+--0,01y-⋅ 111A----------------0------------0,01y-⋅-111A-+-111A--|

Заметим, что все выплаты состоят из двух частей, причем часть $-1 11A$ фиксирована.
По условию общая сумма выплат $R$ превысила на $30%$ сумму кредита $A$ . Это значит, что переплата по кредиту $R − A$ составила $30%$ от $A$ . Найдем общую сумму выплат:

$( -1 ) ( 10 1- ) ( -9 1- ) R = 0, 01y ⋅ A + 11A + 0,01y ⋅11A + 11A + 0,01y ⋅11A + 11A + ⋅⋅⋅+$

$( ) ( ) + 0, 01y ⋅ 211A + 111A + 0,01y ⋅111A + 111A =$

$= 0,01y ⋅ A (1 + 10+ 9-+ ⋅⋅⋅ + -2+ 1-) + 11 ⋅ 1-A 11 11 11 11 11$

В скобках — сумма 11 членов арифметической прогрессии, где $1 a1 = 11, a11 = 1$ . По формуле суммы арифметической прогрессии $a1-+-a11 S11 = 2 ⋅ 11$ , значит,

$( ) R = 0,01y ⋅ A ⋅ 12 111 + 1 ⋅ 11 + A = 0,06yA + A$
Тогда $R − A = 0,06yA$ . Так как переплата составила $30%$ от $A$ , то

R − A 0,06yA ---A---⋅ 100% = 30% ⇒ ---A----= 0, 3 ⇒ y = 5

Ответ:

$5$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 127#768Максимум баллов за задание: 2

Компании N принадлежат две шахты в разных городах. В шахтах добываются абсолютно одинаковые минералы, но в шахте, расположенной в первом городе, используется более современное оборудование. В результате, если рабочие первой шахты трудятся суммарно $t2$ часов в день, то за день они добывают $8t$ единиц минералов, а рабочие второй шахты за те же $t2$ часов в день добывают $6t$ единиц минералов. За каждый час работы компания $N$ платит каждому своему рабочему по $100$ рублей. Компания готова выделять $1000000$ рублей в день на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц минералов можно добыть за день на этих двух шахтах?

Источники: ЕГЭ 2015, досрочная волна

Показать ответ и решение

Компания N готова оплачивать $10000$ часов в день.
Пусть $x2$ часов в день суммарно трудятся рабочие первой шахты,
Пусть $y2$ часов в день суммарно трудятся рабочие второй шахты, тогда

2 2 x + y = 10000.

Обозначим за $S$ количество суммарно добытых за день единиц минералов, тогда

S = 8x+ 6y

Так как $y = √10000-− x2$ , то

∘ --------- S(x)= 8x+ 6 10000− x2.

ОДЗ: $x∈ [− 100;100]$ . Необходимо найти наибольшее значение функции $S(x)$ при $x∈ [0;100]$ .

′ x S (x)= 8− 6⋅√10000−-x2-= 0

Критические точки функции $S(x)$ – это внутренние точки её области определения, в которых её производная равна $0$ или не определена. $S ′(x)= 0$ при $x= 80$ .

Найдём промежутки возрастания/убывания $S (x)$ на $[0;100]$ :

$PIC$

то есть $x =80$ точка локального максимума. Кроме того, $S′(x)$ не определена при $x = ±100$ . Легко убедиться, что среди этих $x$ , попадающих на отрезок $[0;100]$ , наибольшее значение $S(x)$ достигается при $x = 80$ . Более того, $S (80)> S(0)$ , следовательно, $S(80)$ – наибольшее значение функции $S (x)$ на отрезке $[0;100]$ .

S (80)= 640+ 360= 1000.

Ответ:

$1000$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 128#769Максимум баллов за задание: 2

Строительство нового аквапарка стоит 40 млн рублей. Затраты на обслуживание $x$ тысяч посетителей составляют $2x2+ 5x+ 3,5 3$ млн рублей в год. Если билеты продавать по цене $P$ тыс. рублей за штуку, то прибыль аквапарка в млн рублей за один год составит $Px − (23x2+ 5x+ 3,5).$ Когда аквапарк будет построен, он будет принимать посетителей в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей (желающих будет предостаточно). При каком наименьшем значении $P$ строительство аквапарка окупится не более чем за 4 года?

Источники: ЕГЭ 2015, резервный день

Показать ответ и решение

Так как строительство аквапарка должно окупиться не более чем за 4 года, то прибыль за 4 года должна составить не менее 40 млн руб. То есть цена $P$ должна быть такой, чтобы существовало какое-нибудь решение неравенства

( ) ( ) 4(Px − 2x2+ 5x +3,5 )≥ 40 ⇔ Px − 2x2+ 5x +3,5 ≥10 3 3 − 2x2+ (P − 5)x− 3,5 ≥ 10 ⇔ 2x2− (P − 5)x+ 13,5 ≤ 0 3 3

График левой части последнего неравенства при всяком фиксированном $P$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх. Тогда у последнего неравенства есть решение тогда и только тогда, когда вершина соответствующей параболы лежит не выше оси $Ox,$ то есть $yв ≤ 0:$

2⋅(0,75(P − 5))2− (P − 5)⋅(0,75(P − 5))+ 13,5≤ 0 3

Это равносильно

3 8(P − 5)2 ≥ 13,5 ⇔ (P − 5)2 ≥36

Отсюда с учётом условия $P > 0$ получим $P ≥ 11.$

Таким образом, минимальная цена билета, при которой аквапарк имеет шанс окупиться за 4 года (при наличии достаточного количества желающих его посетить), составляет $P = 11$ тыс. рублей.

Ответ:

$11$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 129#2350Максимум баллов за задание: 2

Строительство нового завода стоит 76 млн. рублей. Затраты на производство $x$ тысяч единиц продукции на таком заводе равны $Z = 0,5x2 +3x +13$ млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене $q$ тысяч рублей за единицу, то прибыль в млн. рублей за один год составит $qx− Z$ . Когда завод будет построен, планируется выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении $q$ строительство завода окупится не более, чем за 4 года?

Источники: ЕГЭ 2015, резервный день

Показать ответ и решение

Так как строительство завода должно окупиться не более, чем за 4 года, то прибыль за 4 года должна составить не менее 76 млн. рублей. Следовательно,

2 2 4(qx− (0,5x +3x +13))≥ 76 ⇔ qx− 0,5x − 3x − 13 ≥19

$q$ принимает такие значения, при которых прибыль (значение выражения $qx− 0,5x2 − 3x − 13$ ) будет наибольшей. Следовательно, наибольшее значение выражения $qx− 0,5x2 − 3x − 13$ должно быть $≥ 19$ .
Функция $y = qx − 0,5x2− 3x− 13= −0,5x2+ (q− 3)x− 13$ является квадратичной, ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в своей вершине, то есть в точке $−(q−-3)- x0 = 2⋅(−0,5) = q− 3$ . Значит,

−0,5(q− 3)2+ (q − 3)(q− 3) − 13 ≥19 ⇔ (q− 3)2 ≥ 64 ⇒ q ≥ 11.

Следовательно, наименьшее подходящее $q = 11$ .

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 130#2351Максимум баллов за задание: 2

В январе 2014 года процентная ставка по депозитам в банке составила $x%$ годовых, а в январе 2015 года — $y%$ годовых. Вкладчик положил на счет в этом банке в январе 2014 года некоторую сумму денег в рублях. В январе 2015 года, спустя год после открытия счета, он снял со счета пятую часть от той суммы, которую положил в 2014 году. Найдите значение $x,$ при котором сумма на счете в январе 2016 года будет наибольшей, если известно, что $x +y = 30.$

Источники: пробный ЕГЭ 2015

Показать ответ и решение

Пусть вкладчик положил на счет $A$ рублей. Тогда спустя год, то есть в 2015 году, на счете уже будет в рублях

(1+ 0,01x)A

Затем вкладчик снял со счета $1 5A,$ следовательно, на счете осталось в рублях

(1+ 0,01x)A − 1A 5

Тогда в январе 2016 года на счете будет сумма в рублях:

1 (1 +0,01y)((1+ 0,01x)A − 5A )= =(1+ 0,01y)(1+ 0,01x− 0,2)A

Выразим по условию $y = 30− x$ и рассмотрим функцию

f(x) =(1+ 0,01(30− x))(1+ 0,01x − 0,2)= 1 2 = 104 ⋅(−x +50x+ 130⋅80)

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение она принимает в вершине

−-50 x0 = −2 = 25

Таким образом, наибольшая сумма на счете в январе 2016 года будет при $x= 25.$

Ответ: 25

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2