17.01 Задачи №17 из ЕГЭ прошлых лет

а) Так как — ромб, то и

Тогда по двум углам: как накрест лежащие углы при параллельных прямых, как вертикальные.

Запишем отношение подобия:

Следовательно, Так как — ромб, то то есть и — середина

Аналогично по двум углам: как накрест лежащие углы при параллельных прямых, как вертикальные.

Запишем отношение подобия:

Следовательно, То есть — середина Тогда так как — ромб, то

Проведем диагональ Обозначим площадь ромба за Так как диагонали ромба разбивают его на два равных треугольника, то а также

Рассмотрим треугольник и его медиану Так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, то получаем:

Рассмотрим треугольник и его медиану Тогда аналогично имеем:

Так как четырехугольник состоит из треугольников и то получаем:

б) Проведем и Так как и — середины и соответственно, то — средняя линия треугольника Отсюда

Аналогично — средняя линия треугольника то есть

Так как и то — трапеция. Трапеция, вписанная в окружность является равнобедренной, следовательно,

Аналогично — вписанная трапеция, то есть

Так как то имеем:

Пусть и пересекаются в точке Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то получаем:

Также диагонали ромба перпендикулярны, тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Следовательно,

а) Так как — ромб, то и

Тогда по двум углам: как накрест лежащие углы при параллельных прямых, как вертикальные.

Запишем отношение подобия:

Следовательно, Так как — ромб, то то есть и — середина

Аналогично по двум углам: как накрест лежащие углы при параллельных прямых, как вертикальные.

Запишем отношение подобия:

Следовательно, То есть — середина Тогда так как — ромб, то

Проведем диагональ Обозначим площадь ромба за Так как диагонали ромба разбивают его на два равных треугольника, то а также

Рассмотрим треугольник и его медиану Так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, то получаем:

Рассмотрим треугольник и его медиану Тогда аналогично имеем:

Так как четырехугольник состоит из треугольников и то получаем:

б) Проведем и Так как и — середины и соответственно, то — средняя линия треугольника Отсюда

Аналогично — средняя линия треугольника то есть

Так как и то — трапеция. Трапеция, вписанная в окружность является равнобедренной, следовательно,

Аналогично — вписанная трапеция, то есть

Так как то имеем:

Пусть и пересекаются в точке Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то получаем:

Также диагонали ромба перпендикулярны, тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Следовательно,

а) Так как — ромб, то и

Тогда по двум углам: как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей как вертикальные.

Запишем отношение подобия:

Следовательно, Так как — ромб, то и то есть и — середина

Аналогично по двум углам: как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей как вертикальные.

Запишем отношение подобия:

Следовательно, То есть — середина Тогда так как — ромб, то

Проведем диагональ Обозначим площадь ромба за Так как диагонали ромба разбивают его на два равных треугольника, то а также

Рассмотрим треугольник и его медиану Так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, то получаем:

Рассмотрим треугольник и его медиану Тогда аналогично имеем:

Так как четырехугольник состоит из треугольников и то получаем:

б) Проведем и Так как и — середины и соответственно, то — средняя линия треугольника Отсюда

Аналогично — средняя линия треугольника то есть

Так как и то — трапеция. Трапеция, вписанная в окружность, является равнобедренной, следовательно,

Аналогично — вписанная трапеция, то есть

Так как то имеем:

Пусть и пересекаются в точке Так как диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам, то получаем:

Также диагонали ромба перпендикулярны, тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Следовательно,

а) Так как — ромб, то и

Тогда по двум углам: как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей как вертикальные.

Запишем отношение подобия:

Следовательно, Так как — ромб, то и то есть и — середина

Аналогично по двум углам: как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей как вертикальные.

Запишем отношение подобия:

Следовательно, То есть — середина Тогда так как — ромб, то

Проведем диагональ Обозначим площадь ромба за Так как диагонали ромба разбивают его на два равных треугольника, то а также

Рассмотрим треугольник и его медиану Так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника, то получаем:

Рассмотрим треугольник и его медиану Тогда аналогично имеем:

Так как четырехугольник состоит из треугольников и то получаем:

б) Пусть стороны ромба равны Тогда

По условию в пятиугольник можно вписать окружность. Значит, в четырехугольник вписана та же окружность, так как точка — точка пересечения продолжений сторон пятиугольника и

По свойству вписанной в четырехугольник окружности имеем:

Выразим отрезок и подставим известные значения:

Пусть — точка пересечения диагоналей. Точка пересечения диагоналей ромба делит диагонали пополам. Значит,

Треугольник прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом. По теореме Пифагора получаем:

Точка делит диагонали пополам как точка пересечения диагоналей ромба. Значит,

Треугольник прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом. По теореме Пифагора получаем:

В треугольнике медианы и пересекаются в точке следовательно, Из этого получаем равенство:

Найдем диагональ

а) Так как — ромб, то диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Пусть — точка пересечения диагоналей, тогда

В треугольнике точка — точка пересечения медиан, следовательно,

В треугольнике точка — точка пересечения медиан, следовательно,

Пусть Из того, что получаем:

Проведем диагональ Обозначим площадь ромба за

Так как диагональ ромба разбивает его на два равных треугольника, то

Далее, треугольники и имеют общую высоту из вершины тогда их площади относятся как длины оснований, к которым проведена эта высота. Отсюда получаем:

Так как точка — точка пересечения медиан треугольника то

Аналогично, так как точка — точка пересечения медиан треугольника то

Кроме того, треугольники и имеют общую высоту из вершины а также треугольники и имеют общую высоту из вершины Отсюда получаем:

Из этого следует искомое равенство:

б) По условию в пятиугольник можно вписать окружность. Значит, в четырехугольник вписана та же окружность, так как точка — точка пересечения продолжений сторон пятиугольника и Кроме того, та же окружность вписана в треугольник

По свойству вписанной в четырехугольник окружности имеем:

Выразим отрезок и подставим известные значения:

Треугольник прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом. По теореме Пифагора получаем:

Точка делит диагонали пополам, как точка пересечения диагоналей ромба. Значит,

Треугольник прямоугольный, так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом. По теореме Пифагора получаем:

В треугольнике медианы и пересекаются в точке следовательно, Из этого получаем равенство:

Найдем площадь треугольника

Найдем полупериметр треугольника

Из формулы площади треугольника найдем радиус вписанной окружности:

а) Продлим до пересечения с прямой в точке Заметим, что как вертикальные, как накрест лежащие при параллельных прямых и и секущей по условию. Тогда треугольники и равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

В равных треугольниках соответственные элементы равны, в частности, и Тогда — средняя линия треугольника следовательно, Значит, — трапеция.

Треугольники, образованные отрезками диагоналей трапеции и её боковыми сторонами, являются равновеликими, то есть имеют одинаковую площадь.

Пусть в трапеции диагонали и пересекаются в точке Тогда

В трапеции диагонали и пересекаются в точке Тогда

Таким образом,

б) В предыдущем пункте мы доказали, что Тогда найдем отношение площади треугольника к площади трапеции

Также мы доказали равенство треугольников и значит, равны и их площади. Тогда

Значит, нам нужно найти отношение площадей треугольников и Такое отношение равно отношению их сторон и

Рассмотрим треугольники и В них как вертикальные и как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми и и секущей Значит, по двум углам. Запишем отношение подобия:

Тогда Значит,

а) Продлим до пересечения с прямой в точке Пусть пересекает в точке Тогда нам нужно доказать, что — середина

Заметим, что треугольник подобен треугольнику по двум углам, так как как накрест лежащие при и секущей и

Запишем отношение подобия:

Пусть Тогда и

Тогда по теореме Менелая для треугольника и секущей имеем:

Следовательно, пересекает отрезок в его середине, а значит, точка и есть точка из условия. Тогда точки и лежат на одной прямой.

б) Если то Тогда

По теореме Пифагора для треугольника

Значит,

Тогда из прямоугольного треугольника

Рассмотрим треугольник В нем Тогда по теореме косинусов

Таким образом,

а) Углы и равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Аналогично углы и равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

В треугольнике углы и равны, так как — биссектриса угла Таким образом, получаем равенство:

В треугольнике углы и равны, следовательно, треугольник — равнобедренный с основанием

б) Запишем для треугольника теорему косинусов:

Выразим косинус угла и подставим известные значения:

Из основного тригонометрического тождества:

Углы и равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу значит и их синусы также равны.

Биссектриса угла делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. По свойству биссектрис для треугольника

Из того, что следует, что

Запишем для треугольника теорему синусов:

где — радиус окружности, описанной около треугольника

Выразим радиус и подставим известные значения:

а) Углы и равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Аналогично углы и равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу

Так как — биссектриса угла треугольника то углы и равны. Таким образом, получаем равенство:

Тогда в треугольнике углы и равны, следовательно, он равнобедренный с основанием

б) Запишем для треугольника теорему косинусов:

Выразим косинус угла и подставим известные значения:

Из основного тригонометрического тождества:

Далее, углы и равны как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу значит, их синусы также равны.

Так как биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то для треугольника имеем:

Тогда с учетом того, что получаем

Запишем для треугольника теорему синусов:

Здесь — радиус окружности, описанной около треугольника

Выразим радиус и подставим известные значения:

а) Докажем, что Тогда в равнобедренном биссектриса также будет и медианой, то есть получим

Заметим, что равнобедренный, так как — прямая, содержащая биссектрису и высоту. Следовательно, Тогда получаем

Так как биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то имеем:

Также известно, что следовательно, из двух полученных равенств находим Таким образом, мы доказали, что а значит, в равнобедренном биссектриса делит сторону пополам.

б) Заметим, что из доказанного в пункте а) следует, что Тогда в отрезок — медиана и высота, следовательно, этот треугольник равнобедренный и Таким образом, вместо отношения можно искать отношение

Отрезок является биссектрисой угла следовательно, он делит сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам, то есть

а) Так как — параллелограмм, то и Тогда — трапеция, так как и

Вокруг трапеции описана окружность, следовательно, она равнобедренная, в которой

Значит, в пятиугольнике равны стороны и

б) Аналогично пункту а) получаем, что — равнобедренная трапеция, в которой и

Так как по условию — параллелограмм, то Тогда

Пусть По свойству пересекающихся хорд и в окружности:

Заметим, что если то Тогда в стороны будут равны 5, 5 и 10, что невозможно по неравенству треугольника.

Значит,

а) Равные хорды и стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми и и секущей равны, следовательно,

Равные хорды и стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми и и секущей равны, следовательно,

Пусть — точка пересечения диагоналей и Тогда в четырехугольнике известно, что и значит, — параллелограмм. Следовательно, и

В четырехугольнике мы знаем, что и Значит, — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому

В четырехугольнике мы знаем, что и Значит, — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому

Таким образом,

б) В пункте а) мы узнали, что значит,

Тогда по свойству пересекающихся хорд и в окружности:

Значит,

а) Равные хорды и стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми и и секущей равны, следовательно,

Равные хорды и стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми и и секущей равны, следовательно, Пусть — точка пересечения диагоналей и Тогда в четырехугольнике известно, что и значит, — параллелограмм. Следовательно, и

В четырехугольнике мы знаем, что и Значит, — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому

В четырехугольнике мы знаем, что и Значит, — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому

Таким образом,

б) В пункте а) мы узнали, что значит,

Тогда по свойству пересекающихся хорд и в окружности:

Значит,

а) Равные хорды и стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми и и секущей равны, следовательно,

Равные хорды и стягивают равные дуги, следовательно, вписанные углы, опирающиеся на них, равны, то есть Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми и и секущей равны, следовательно,

Пусть — точка пересечения диагоналей и Тогда в четырехугольнике известно, что и значит, — параллелограмм. Следовательно, и

В четырехугольнике мы знаем, что и Значит, — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому

В четырехугольнике мы знаем, что и Значит, — равнобедренная трапеция. Диагонали равнобедренной трапеции равны, поэтому

Таким образом,

б) В пункте а) мы узнали, что значит,

Тогда по свойству пересекающихся хорд и в окружности:

Значит,

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда — биссектриса угла Также центр лежит на диаметре

Заметим, что как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины также является и высотой, то есть

При этом как опирающийся на диаметр, а значит, Таким образом, и следовательно,

б) Рассмотрим четырехугольник В нем так как радиусы и проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным и соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника равна следовательно, — вписанный. Тогда как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Рассмотрим треугольники и В них и Значит, по двум углам. Запишем отношение подобия:

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Тогда так как — центр окружности, то

Таким образом,

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда — биссектриса угла Также центр лежит на диаметре

Заметим, что как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины также является и высотой, то есть

При этом как опирающийся на диаметр, а значит, Таким образом, и следовательно,

б) Рассмотрим четырехугольник В нем так как радиусы и проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным и соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника равна следовательно, — вписанный. Тогда как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Рассмотрим треугольники и В них и Значит, по двум углам. Запишем отношение подобия:

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Тогда так как — центр окружности, то

Таким образом,

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда — биссектриса угла Также центр лежит на диаметре

Заметим, что как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины также является и высотой, то есть

При этом как опирающийся на диаметр, а значит, Таким образом, и следовательно,

б) Рассмотрим четырехугольник В нем так как радиусы и проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным и соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника равна следовательно, — вписанный. Тогда как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Рассмотрим треугольники и В них и Значит, по двум углам. Запишем отношение подобия:

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Тогда так как — центр окружности, то

Таким образом,

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда — биссектриса угла Также центр лежит на диаметре

Рассмотрим четырехугольник В нем так как радиусы и проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным и соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника равна следовательно, — вписанный. Тогда как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Таким образом,

б) В прямоугольном треугольнике имеем:

Пусть — точка пересечения и Заметим, что как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины также является высотой и медианой, то есть и

Тогда в прямоугольном треугольнике имеем:

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда — биссектриса угла Также центр лежит на диаметре

Рассмотрим четырехугольник В нем так как радиусы и проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным и соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника равна следовательно, — вписанный. Тогда как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Таким образом,

б) В прямоугольном треугольнике имеем:

Пусть — точка пересечения и Заметим, что как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины также является высотой и медианой, то есть и

Тогда в прямоугольном треугольнике имеем:

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, так как он равноудален от сторон этого угла. Тогда — биссектриса угла Также центр лежит на диаметре

Рассмотрим четырехугольник В нем так как радиусы и проведенные в точку касания, перпендикулярны касательным и соответственно. Значит, сумма противоположных углов четырехугольника равна следовательно, — вписанный. Тогда как углы, опирающиеся на одну дугу описанной около этого четырехугольника окружности.

Таким образом,

б) В прямоугольном треугольнике имеем:

Пусть — точка пересечения и Заметим, что как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки, а значит, треугольник — равнобедренный. Поэтому его биссектриса из вершины также является высотой и медианой, то есть и

Тогда в прямоугольном треугольнике имеем: