17.01 Задачи №17 из ЕГЭ прошлых лет
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр треугольника 
равен 36. Точки 
и 
— середины сторон 
и
соответственно. Отрезок 
касается окружности, вписанной в треугольник
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника 
если 
Источники:
а) Пусть 
и 
По условию 
— середина 
поэтому 
Также 
— середина 
поэтому 
Тогда 
— средняя линия треугольника 
параллельная 
следовательно, 
По условию периметр треугольника 
равен 36, значит,
С другой стороны, 
касается вписанной окружности треугольника 
поэтому четырехугольник 
— описанный, следовательно, суммы его
противоположных сторон равны:
Таким образом,
Значит, 
б) По условию 
Тогда запишем теорему Пифагора для
В предыдущем пункте мы доказали, что
Следовательно,
Имеем систему уравнений:
Тогда можем найти площадь прямоугольного треугольника 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Периметр треугольника 
равен 24. Точки 
и 
— середины сторон 
и
соответственно. Отрезок 
касается окружности, вписанной в треугольник
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь треугольника 
если 
Источники:
а) Пусть 
и 
По условию 
— середина 
поэтому 
Также 
— середина 
поэтому 
Тогда 
— средняя линия треугольника 
параллельная 
следовательно, 
По условию периметр треугольника 
равен 24, значит,
С другой стороны, 
касается вписанной окружности треугольника 
поэтому четырехугольник 
— описанный, следовательно, суммы его
противоположных сторон равны:
Таким образом,
Значит, 
б) По условию 
Тогда запишем теорему Пифагора для
В предыдущем пункте мы доказали, что
Следовательно,
Имеем систему уравнений:
Тогда можем найти площадь прямоугольного треугольника 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
угол 
равен 
Окружность, вписанная в
треугольник, касается стороны 
в точке 
а) Докажите, что отрезок 
не больше утроенного радиуса вписанной в
треугольник окружности.
б) Найдите 
если известно, что отрезок 
в 2,8 раза больше
радиуса вписанной в треугольник окружности.
Источники:
а) Пусть 
— центр окружности, 
— точка касания со стороной 
Тогда
— отрезок биссектрисы угла 
— радиусы.
Следовательно, 
откуда 
Если 
то по
неравенству треугольника
Если 
то
Следовательно, по итогу 
Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим 
Тогда по теореме
косинусов для этого треугольника имеем
Заметим, что на самом деле возможны два случая:
1) Если 
то
2) Если 
то
То есть в обоих случаях 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан остроугольный треугольник 
В нём провели высоты 
и 
которые пересеклись в точке 
а) Докажите, что угол 
равен углу 
б) Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника 
до его стороны 
если известно, что 
а 
Источники:
а) Рассмотрим четырёхугольник 
Заметим, что он вписанный, так как
сумма его противоположных углов равна
Проведем его диагонали 
и 
Так как 
— вписанный, то
углы, опирающиеся на его сторону 
равны, то есть
Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что 
с коэффициентом 
Докажем
это.
Заметим, что четырехугольник 
— вписанный, так как углы,
опирающиеся на его сторону 
равны
Следовательно, 
по свойству вписанного четырехугольника.
Угол 
общий, значит, 
по двум углам с коэффициентом
Тогда запишем отношение подобия:
Пусть 
— центр описанной окружности треугольника 
Тогда
центральный угол 
в два раза больше вписанного угла 
то
есть
Значит, 
равносторонний, так как в нем есть угол в 
и
как радиусы описанной окружности треугольника 
Таким
образом,
Тогда расстояние 
от точки 
до 
равно высоте равностороннего
треугольника, то есть
б) 18
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана трапеция 
с боковой стороной 
которая перпендикулярна
основаниям. Из точки 
на сторону 
опущен перпендикуляр 
На
стороне 
взята точка 
так, что прямые 
и 
перпендикулярны.
a) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите отношение 
к 
если 
Источники:
а) Пусть 
— меньшее основание и прямые 
и 
пересекаются в точке
По условию 
и 
значит, 
Тогда прямоугольные
треугольники 
и 
подобны по двум углам (есть общий
угол и прямой), следовательно,
Тогда имеем:
Значит, 
по отношению сторон и углу между ними. Тогда
б) Так как 
то
Заметим, что если 
то смежный ему 
Тогда в треугольнике 
Тогда в треугольнике 
Следовательно, треугольник 
равнобедренный с основанием 
Тогда
— высота и медиана, следовательно, 
Значит,
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана трапеция 
с боковой стороной 
которая перпендикулярна
основаниям. Из точки 
на сторону 
опущен перпендикуляр 
На
стороне 
взята точка 
так, что прямые 
и 
перпендикулярны.
a) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите отношение 
к 
если 
Источники:
а) Пусть 
— меньшее основание и прямые 
и 
пересекаются в точке
По условию 
и 
значит, 
Тогда прямоугольные
треугольники 
и 
подобны по двум углам (есть общий
угол и прямой), следовательно,
Тогда имеем:
Значит, 
по отношению сторон и углу между ними. Тогда
б) Так как 
то
Заметим, что если 
то смежный ему 
Тогда в треугольнике 
Тогда в треугольнике 
Следовательно, треугольник 
прямоугольный с углом 
Тогда высота 
делит треугольник 
на два прямоугольных подобных ему
треугольника 
и 
Из подобия треугольников 
и 
имеем:
Тогда окончательно получаем
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана трапеция 
с боковой стороной 
которая перпендикулярна
основаниям. Из точки 
на сторону 
опущен перпендикуляр 
На
стороне 
взята точка 
так, что прямые 
и 
перпендикулярны.
a) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите отношение 
к 
если 
Источники:
а) Пусть 
— меньшее основание и прямые 
и 
пересекаются в точке
По условию 
и 
значит, 
Тогда прямоугольные
треугольники 
и 
подобны по двум углам (есть общий
угол и прямой), следовательно,
Тогда имеем:
Значит, 
по отношению сторон и углу между ними. Тогда
б) Так как 
то
Заметим, что если 
то смежный ему 
Тогда в треугольнике 
Тогда в треугольнике 
Следовательно, треугольник 
прямоугольный с углом 
Тогда высота 
делит треугольник 
на два прямоугольных подобных ему
треугольника 
и 
Из подобия треугольников 
и 
имеем:
Тогда окончательно получаем
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
проведены высоты 
и 
На них из
точек 
и 
опущены перпендикуляры 
и 
соответственно.
a) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите отношение 
к 
если 
Источники:
а) Рассмотрим четырехугольник 
В нем имеем:
Значит, четырехугольник 
вписанный. Тогда
Рассмотрим четырехугольник 
В нем имеем:
Значит, четырехугольник 
вписанный. Тогда
Следовательно,
Таким образом, соответственные углы, образованные прямыми 
и 
и
секущей 
равны, поэтому 
б) Пусть 
и 
пересекаются в точке 
Тогда в треугольниках 
и 
имеем 
— общий и 
по предыдущему пункту.
Тогда треугольники 
и 
подобны, значит,
Рассмотрим треугольник 
В нем имеем:
Тогда рассмотрим треугольник 
В нем имеем:
Так как 
— высота прямоугольного треугольника 
то она разбивает
его на два треугольника 
и 
подобных ему. Тогда из подобия
треугольников 
и 
Тогда окончательно получаем
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
проведены высоты 
и 
На них из
точек 
и 
опущены перпендикуляры 
и 
соответственно.
a) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите отношение 
к 
если 
Источники:
а) Рассмотрим четырехугольник 
В нем имеем:
Значит, четырехугольник 
вписанный. Тогда
Рассмотрим четырехугольник 
В нем имеем:
Значит, четырехугольник 
вписанный. Тогда
Следовательно,
Таким образом, соответственные углы, образованные прямыми 
и 
и
секущей 
равны, поэтому 
б) Пусть 
и 
пересекаются в точке 
Тогда в треугольниках 
и 
имеем 
— общий и 
по предыдущему пункту.
Тогда треугольники 
и 
подобны, значит,
Рассмотрим треугольник 
В нем имеем:
Тогда рассмотрим треугольник 
В нем имеем:
Так как 
— высота прямоугольного треугольника 
то она разбивает
его на два треугольника 
и 
подобных ему. Тогда из подобия
треугольников 
и 
Тогда окончательно получаем
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В остроугольном треугольнике 
проведены высоты 
и 
На них из
точек 
и 
опущены перпендикуляры 
и 
соответственно.
a) Докажите, что прямые 
и 
параллельны.
б) Найдите отношение 
к 
если 
Источники:
а) Рассмотрим четырехугольник 
В нем имеем:
Значит, четырехугольник 
вписанный. Тогда
Рассмотрим четырехугольник 
В нем имеем:
Значит, четырехугольник 
вписанный. Тогда
Следовательно,
Таким образом, соответственные углы, образованные прямыми 
и 
и
секущей 
равны, поэтому 
б) Пусть 
и 
пересекаются в точке 
Тогда в треугольниках 
и 
имеем 
— общий и 
по предыдущему пункту.
Тогда треугольники 
и 
подобны, значит,
Рассмотрим треугольник 
В нем имеем:
Тогда рассмотрим треугольник 
В нем имеем:
Так как 
— проведенная к основанию высота прямоугольного
равнобедренного треугольника 
то она является и медианой. Тогда
значит,
Тогда окончательно получаем 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На серединах сторон 
и 
остроугольного треугольника 
отмечены точки 
и 
соответственно.
a) Докажите, что окружность, описанная около треугольника 
проходит через отличную от 
точку пересечения описанных окружностей
треугольников 
и 
б) Известно, что 
Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника с вершинами в центрах вписанных окружностей
треугольников 
и 
Источники:
а) Пусть 
— отличная от 
точка пересечения окружностей, описанных около
треугольников 
и 
Тогда имеем:
Тогда
Значит,
Тогда в четырехугольнике 
Сумма углов треугольника 
равна 
поэтому
Таким образом, сумма противоположных углов четырехугольника 
равна 
следовательно, он вписанный. Значит, описанная окружность
треугольника 
проходит через точку 
пересечения описанных
окружностей треугольников 
и 
б) Пусть 
— центр вписанной окружности треугольника 
—
центр вписанной окружности треугольника 
— центр вписанной
окружности треугольника 
Кроме того, 
— средние линии треугольника 
Тогда
имеем:
Значит, треугольники 
равны по трем сторонам. В
равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому 
и
Тогда отрезки 
и 
равны и параллельны.
Следовательно, 
— параллелограмм. Тогда
Аналогично докажем, что 
и 
Тогда треугольник 
подобен треугольнику 
с коэффициентом
Значит, радиус описанной окружности 
в 2 раза меньше радиуса
описанной окружности 
По условию в треугольнике 
стороны 
и 
равны, то
есть он равнобедренный. Косинус угла при основании равнобедренного
треугольника равен отношению половины основания к боковой стороне,
поэтому
Тогда получаем
Значит, по теореме синусов для треугольника 
с радиусом 
описанной
окружности:
Тогда радиус описанной окружности треугольника 
равен 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На серединах сторон 
и 
треугольника 
с тупым углом 
отмечены точки 
и 
соответственно.
a) Докажите, что окружность, описанная около треугольника 
проходит через отличную от 
точку пересечения описанных окружностей
треугольников 
и 
б) Известно, что 
и 
Найдите радиус окружности,
описанной около треугольника с вершинами в центрах вписанных окружностей
треугольников 
и 
Источники:
а) Пусть 
— отличная от 
точка пересечения окружностей, описанных около
треугольников 
и 
Тогда имеем:
Тогда
Значит, в четырехугольнике 
Таким образом, сумма противоположных углов четырехугольника 
равна 
следовательно, он вписанный. Значит, описанная окружность
треугольника 
проходит через точку 
пересечения описанных
окружностей треугольников 
и 
б) Пусть 
— центр вписанной окружности треугольника 
—
центр вписанной окружности треугольника 
— центр вписанной
окружности треугольника 
Кроме того, 
— средние линии треугольника 
Тогда
имеем:
Значит, треугольники 
равны по трем сторонам. В
равных треугольниках соответственные элементы равны, поэтому 
и
Тогда отрезки 
и 
равны и параллельны.
Следовательно, 
— параллелограмм. Тогда
Аналогично докажем, что 
и 
Тогда треугольник 
подобен треугольнику 
с коэффициентом
Значит, радиус описанной окружности 
в 2 раза меньше радиуса
описанной окружности 
По условию в треугольнике 
стороны 
и 
равны, то
есть он равнобедренный. Косинус угла при основании равнобедренного
треугольника равен отношению половины основания к боковой стороне,
поэтому
Тогда получаем
Значит, по теореме синусов для треугольника 
с радиусом 
описанной
окружности:
Тогда радиус описанной окружности треугольника 
равен 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
сторона 
Точки 
и 
— середины сторон 
и 
соответственно. Отрезок 
касается окружности, вписанной в
треугольник 
а) Докажите, что периметр треугольника 
равен 24.
б) Найдите площадь четырехугольника 
если 
Источники:
а) Пусть 
и 
По условию 
— середина 
поэтому
Также 
— середина 
поэтому 
Тогда 
—
средняя линия треугольника 
параллельная 
следовательно, 
Отрезок 
касается вписанной окружности треугольника 
поэтому четырехугольник 
— описанный, следовательно, суммы его
противоположных сторон равны:
Таким образом, периметр треугольника 
равен
б) По условию 
Тогда запишем теорему Пифагора для
В предыдущем пункте мы доказали, что
Следовательно,
Имеем систему уравнений:
Тогда можем найти площадь прямоугольной трапеции 
б) 18
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике 
сторона 
Точки 
и 
— середины сторон 
и 
соответственно. Отрезок 
касается окружности, вписанной в
треугольник 
а) Докажите, что периметр треугольника 
равен 16.
б) Найдите площадь четырехугольника 
если 
Источники:
а) Пусть 
и 
По условию 
— середина 
поэтому
Также 
— середина 
поэтому 
Тогда 
—
средняя линия треугольника 
параллельная 
следовательно, 
Отрезок 
касается вписанной окружности треугольника 
поэтому четырехугольник 
— описанный, следовательно, суммы его
противоположных сторон равны:
Таким образом, периметр треугольника 
равен
б) По условию 
Тогда запишем теорему Пифагора для
В предыдущем пункте мы доказали, что
Следовательно,
Имеем систему уравнений:
Тогда можем найти площадь прямоугольной трапеции 
б) 8
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах 
и 
квадрата 
отмечены точки 
и 
соответственно. Известно, что 
a) Докажите, что углы 
и 
равны.
б) Найдите площадь квадрата 
Источники:
а) Рассмотрим треугольник 
В нем 
Тогда
имеем:
Значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник 
—
прямоугольный с прямым углом 
Далее, все углы квадрата прямые. Рассмотрим прямоугольный треугольник
Сумма его острых углов равна 
то есть
Рассмотрим развернутый угол 
Он равен 
поэтому
Ранее мы доказали, что 
значит,
Тогда получаем
Что и требовалось доказать.
б) Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
и
Значит, эти треугольники подобны по двум углам. Запишем
отношение подобия:
Пусть 
тогда 
Так как 
— квадрат, то
Значит,
Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника 
Тогда так как 
— квадрат, то имеем
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На сторонах 
и 
квадрата 
отмечены точки 
и 
соответственно. Известно, что 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь квадрата 
Источники:
а) Рассмотрим треугольник 
В нем 
Тогда
Значит, по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник 
—
прямоугольный с прямым углом 
Далее, все углы квадрата прямые. Рассмотрим прямоугольный треугольник
Сумма его острых углов равна 
то есть
Рассмотрим развернутый угол 
Он равен 
поэтому
Ранее мы доказали, что 
значит,
Тогда получаем
Рассмотрим треугольники 
и 
В них 
и
Значит, эти треугольники подобны по двум углам. Запишем
отношение подобия:
Что и требовалось доказать.
б) Пусть 
тогда 
Так как 
— квадрат, то
Значит,
Запишем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника 
Тогда так как 
— квадрат, то имеем
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Прямая, перпендикулярная стороне 
ромба 
пересекает его диагональ
в точке 
а диагональ 
в точке 
причем 
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь ромба, если 
а) Пусть прямая из условия пересекает 
в точке 
а 
— в точке 
пусть 
— точка пересечения диагоналей ромба. Опустим высоту 
на
Заметим, что 
Тогда 
Так как 
а 
то 
— середина 
Запишем теорему Менелая для треугольника 
и прямой 
По теореме о пропорциональных отрезках для угла 
и параллельных
прямых 
и 
(так как эти прямые перпендикулярны 
) получаем
Таким образом, 
в два раза меньше 
Значит, 
Но в ромбе
тогда
б) Диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому
Прямоугольные треугольники 
и 
подобны по двум углам:
прямому и общему. Тогда
Значит, так как 
то по формуле двойного угла
Тогда
Значит,
Мы знаем, что 
Тогда
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана равнобедренная трапеция 
с основаниями 
и 
Биссектрисы
углов 
и 
пересекаются в точке 
Точки 
и 
отмечены на
боковых сторонах 
и 
соответственно. Известно, что 
а) Докажите, что точки 
и 
лежат на одной прямой.
б) Найдите 
если известно, что 
и 
Источники:
а) Так как 
— биссектриса угла 
то 
По условию
значит, треугольник 
— равнобедренный. Тогда
Таким образом,
Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми 
и 
и секущей
равны. Значит, 
Так как 
— биссектриса угла 
то 
По
условию 
значит, треугольник 
— равнобедренный. Тогда
Таким образом,
Тогда накрест лежащие углы, образованные прямыми 
и 
и секущей
равны. Значит, 
Тогда, так как 
— трапеция, то 
Поскольку эти прямые
проходят через точку 
то точки 
и 
лежат на одной прямой. Что и
требовалось доказать.
б) Заметим, что
Опустим из точки 
перпендикуляры 
и 
на прямые 
и 
соответственно. Тогда 
Значит,
Тогда прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе и
острому углу, так как 
и 
Тогда 
По пункту а) имеем 
и 
Тогда по обобщенной теореме
Фалеса для прямых 
и 
и секущих 
и 
Найдем величину
Пусть 
— высота трапеции. Тогда
Пусть 
Так как трапеция 
— равнобедренная,
то
Заметим, что 
— прямоугольник, тогда 
Значит,
получаем
Тогда имеем:
Следовательно,
Так как угол 
— острый, то получаем искомое отношение
б) 1 : 2
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана равнобедренная трапеция 
с основаниями 
и 
где
Биссектрисы углов 
и 
пересекаются в точке 
Через
точку 
провели прямую, параллельную основаниям, которая пересекла боковые
стороны 
и 
в точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что 
б) Найдите 
если известно, что 
и 
Источники:
а) По условию 
Тогда 
— трапеция. С другой стороны,
трапеция 
— равнобедренная, тогда
Значит, 
— равнобедренная трапеция, то есть 
Также из параллельности 
и 
следует, что накрест лежащие углы
и 
образованные секущей 
равны. Значит,
Таким образом, в треугольнике 
равны углы при стороне 
Значит,
он равнобедренный и 
Из параллельности 
и 
следует, что накрест лежащие углы 
и
образованные секущей 
равны. Значит,
Таким образом, в треугольнике 
равны углы при стороне 
Значит,
он равнобедренный и 
Таким образом,
б) Заметим, что
Опустим из точки 
перпендикуляры 
и 
на 
и 
соответственно. Тогда 
Значит,
Тогда прямоугольные треугольники 
и 
равны по гипотенузе и
острому углу, так как 
и 
Тогда 
По пункту а) 
и 
Тогда по теореме Фалеса для прямых
и 
и секущих 
и 
Значит, 
Таким образом, 
Тогда 
— большее
основание.
Найдем 
Таким образом,
Пусть 
Тогда 
При этом 
— высота трапеции. Пусть 
— высота трапеции из
точки 
Тогда 
Из прямоугольного треугольника 
Значит,
Заметим, что 
— прямоугольник, тогда 
Значит,
Таким образом,
Так как трапеция 
— равнобедренная, то
Следовательно,
Тогда
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан равносторонний треугольник 
На его стороне 
отмечена точка 
Серединный перпендикуляр к отрезку 
пересекает стороны 
и 
в
точках 
и 
соответственно.
а) Докажите, что угол 
равен углу 
б) Найдите отношение площадей треугольников 
и 
если
а) Треугольник 
— равносторонний, поэтому все его углы равны
Пусть 
Тогда 
Точки 
и 
лежат на
серединном перпендикуляре к 
поэтому 
и 
Таким образом, треугольники 
и 
— равнобедренные. Тогда
Заметим, что 
— внешний для треугольника 
поэтому
Аналогично 
— внешний для треугольника 
поэтому
Тогда по сумме углов треугольника 
б) Заметим, что треугольники 
и 
подобны по двум углам, так
как 
по пункту а), 
Тогда
Пусть 
Тогда, так как 
то получаем
Пусть 
Тогда 
Запишем теорему косинусов для треугольника 
Тогда 
а 
Таким образом,
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
