Тема 9. Задачи прикладного характера

9.03 Задачи, сводящиеся к решению неравенств

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#1739Максимум баллов за задание: 1

Агентство «Rate me!» составило рейтинг университетов на основании 3 показателей: $A,$ $B,$ $C.$ Итоговый рейтинг каждого университета вычислялся по формуле

2 R = k(A +2B + C ),

где $k$ — некоторое число, а показатели $A,$ $B,$ $C$ оценивались по 10-балльной шкале. Известно, что университет $U$ получил не менее, чем по 6 баллов по показателям $A$ и $B$ и не менее, чем 7 баллов по показателю $C.$ При этом его рейтинг оказался равен 33,5. Какое наибольшее значение при этом могло иметь число $k?$

Показать ответ и решение

Выразим $k :$

k =-----R----2. A + 2B+ C

Так как при постоянном положительном числителе увеличение знаменателя уменьшает дробь, то

--33,5--- k ≤ 6+ 12+ 49 = 0,5,

то есть наибольшее значение $k$ могло быть 0,5.

Ответ: 0,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#1740Максимум баллов за задание: 1

Сила гравитационного притяжения между материальными точками массы $m1$ кг и $m2$ кг, находящимися на расстоянии $R$ метров, может быть найдена по формуле

F = Gm1m2-, R2

где $G = 6,67⋅10−11 Н ⋅м2⋅кг2$ — гравитационная постоянная. В какое максимальное число раз можно увеличить расстояние между материальными точками, чтобы при неизменных массах сила гравитационного притяжения между ними уменьшилась не более, чем в 10,24 раза?

Показать ответ и решение

Пусть изначально расстояние между материальными точками было равно $R1$ метров. Пусть его увеличили в $k > 0$ раз, тогда это расстояние стало равно $kR1$ метров. Тогда изначальная сила притяжения равна

F1 = Gm1m2-, R21

а сила после увеличения равна

m m F2 = G-k12R22. 1

Найдем, во сколько раз уменьшилась сила:

G m1m22 2 2 F1 = --mR11m2 = kR21= k2. F2 G k2R21 R 1

По условию $k2 ≤ 10,24.$ Так как $k > 0,$

k2 ≤ 10,24 ⇒ 0< k ≤3,2

Значит, расстояние между материальными точками могли увеличить максимум в 3,2 раза.

Ответ: 3,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#1741Максимум баллов за задание: 1

Азат толкнул ядро под углом $φ$ к горизонтальной поверхности Земли. Продолжительность полета ядра в секундах можно найти по формуле

2v sinφ t= --0g---.

При каком наименьшем значении угла $φ$ в градусах время полета ядра будет не менее чем 1,2 секунды, если Азат толкнул его с начальной скоростью $v0 = 12$ м/с? Считайте, что ускорение свободного падения $g =10 м/с2.$

Показать ответ и решение

По условию имеем:

2⋅12⋅sin φ 1,2≤ t= ---10---- ⇔ sinφ ≥ 0,5

Решим неравенство $sinφ − 0,5≥ 0$ методом интервалов.

Для этого найдем корни уравнения $sinφ = 0,5:$

φ= π-+ 2πk, φ = 5π+ 2πk, k ∈ℤ 6 6

Найдем знаки левой части последнего неравенства на промежутках знакопостоянства:

$PICT$

С учетом $[ π] φ ∈ 0;2$ имеем:

$PICT$

Тогда $[π-π] φ ∈ 6;2$ и наименьшее подходящее значение $φ$ равно $π- 6,$ то есть $∘ 30.$

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#1742Максимум баллов за задание: 1

Объем спроса $Q$ единиц в месяц на продукцию предприятия $M$ зависит от цены $P$ в тыс. руб. по формуле $Q(P)= 29 − P.$ Месячная выручка $R$ в тыс. руб. предприятия $M$ вычисляется по формуле $R = P ⋅Q.$ Определите наименьшую цену $P$ , при которой месячная выручка $R$ окажется не менее 100 тыс. руб. Ответ дайте в тыс. руб.

Показать ответ и решение

Выразим месячную выручку $R$ через цену $P :$

2 R = P ⋅Q = 29P − P

Месячная выручка составит не менее 100 тыс. руб. при цене $P,$ которая может быть найдена из неравенства

29P − P2 ≥100

Это неравенство равносильно

P 2− 29P + 100≤ 0

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $P2 − 29P + 100 = 0:$

P1 = 4, P2 =25

Отметим на числовой прямой промежутки знакопостоянства левой части последнего неравенства:

$PIC$

Тогда наименьшая цена, при которой месячная выручка составит не менее 100 тыс. руб., равна 4 тыс. руб.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#1743Максимум баллов за задание: 1

Материальная точка $M$ движется в поле силы тяжести так, что для неё справедлив закон сохранения энергии в виде

2 mv--+mgz = h 2

Здесь $v = 10$ м/с — скорость точки, $g = 10$ $м/с2$ — ускорение свободного падения, $z$ — высота точки над уровнем моря в метрах, $h$ — ее механическая энергия в Дж, $m = 2$ кг — ее масса.

Определите, при какой наименьшей высоте над уровнем моря механическая энергия точки $M$ будет не менее чем 200 Дж. Ответ дайте в метрах.

Показать ответ и решение

Искомая высота $z$ удовлетворяет соотношению

h= 100+ 20z ≥ 200

Отсюда получаем $z ≥ 5.$ Cледовательно, наименьшая допустимая высота равна 5 метрам.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#1744Максимум баллов за задание: 1

Высота сигнальной ракеты после выстрела и до падения менялась по закону $h = 80t− 5t2,$ где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, отсчитываемое от момента выстрела. Сколько секунд с момента выстрела до момента падения сигнальная ракета находилась на высоте не более 140 метров?

Показать ответ и решение

Моменты $t,$ в которые сигнальная ракета находилась на высоте не более 140 метров удовлетворяют двойному неравенству

2 0≤ 80t− 5t ≤ 140.

Решим два неравенства по очереди.

Рассмотрим неравенство $0 ≤ 80t − 5t2.$ Оно равносильно неравенству

2 5t − 80t≤ 0,

которое решим методом интервалов. Найдём корни уравнения $5t2− 80t =0 :$

t1 = 0, t2 = 16,

тогда:

$PIC$

тогда решениями этого неравенства будут $t ∈[0;16].$

Рассмотрим теперь неравенство $80t− 5t2 ≤ 140.$ Оно равносильно неравенству $5t2− 80t+140≥ 0,$ что равносильно

t2− 16t+ 28≥ 0.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдём корни уравнения $t2− 16t+ 28= 0 :$

t1 = 2, t2 = 14,

тогда:

$PIC$

но с учётом того, что $t ≥0$ подходят только $t∈ [0;2]∪[14;+ ∞ ).$

В итоге сигнальная ракета находилась на высоте не более 140 метров в моменты $t ∈[0;2]∪ [14;16],$ то есть в течение $(2− 0)+ (16 − 14)= 4$ секунд.

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#1745Максимум баллов за задание: 1

Автомобиль, участвующий в дрэг-рейсинге, разгоняется с места по прямолинейному отрезку пути длиной $l$ км с постоянным ускорением $a$ км/ч $2$ . Зависимость его скорости от расстояния выражается формулой $√---- v = 2la$ . Определите, какой наименьшей может быть длина трассы, чтобы при ускорении $7500$ км/ч $2$ автомобиль успел достичь скорости не меньшей, чем $300$ км/ч. Ответ дайте в километрах.

Показать ответ и решение

Длина трассы, при которой автомобиль успеет достичь скорости не меньшей, чем $300$ км/ч, удовлетворяет соотношению

√ -------- 2l ⋅ 7500 = v ≥ 300,

что равносильно $√ -------- 15000 ⋅ l ≥ 300$ , что с учётом неотрицательности правой части равносильно $15000 ⋅ l ≥ 90000$ , что равносильно $l ≥ 6$ , тогда наименьшая подходящая длина трассы равна 6 километрам.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#1746Максимум баллов за задание: 1

Относительное удлинение $ℰ$ твёрдого стержня может быть найдено по формуле $l−-l0 ℰ = l0 .$ Здесь $l0$ — начальная длина стержня в метрах, $l$ — конечная длина стержня в метрах. Длина стержня сначала увеличилась до состояния 1 не более чем в 1,2 раза по сравнению с начальной длиной. Далее длина стержня уменьшилась до состояния 2 и составила 90% от длины в состоянии 1. Какое при этом наибольшее относительное удлинение мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к начальному состоянию?

Показать ответ и решение

В состоянии 1 длина стержня стала $l1 ≤ 1,2l0,$ а после перехода в состояние 2 она стала составлять

l2 =-90 ⋅l1 ≤-90 ⋅1,2l0 = 1,08l0 100 100

Таким образом, относительное удлинение, которое получил стержень в состоянии 2 по отношению к начальному состоянию, равно

ℰ = l2-− l0≤ 1,08l0-− l0= 0,08 l0 l0

Следовательно, наибольшее относительное удлинение, которое мог получить стержень в состоянии 2 по отношению к начальному состоянию, равно 0,08.

Ответ: 0,08

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#1747Максимум баллов за задание: 1

Материальная точка $N$ движется в поле силы тяжести. Для неё справедлив закон сохранения энергии в виде

2 mv-+ mgz = h, 2

где $v = 6$ м/с – ее скорость, $g = 10 м/с2$ — ускорение свободного падения, $z$ — высота над уровнем моря, на которой находится точка (в метрах), $h$ — ее механическая энергия в Дж, $m$ — ее масса в кг. Определите, какое наименьшее значение может иметь масса точки, чтобы существовало значение $z ∈ [5;10],$ при котором механическая энергия оказалась бы не менее, чем 236 Дж. Ответ дайте в килограммах.

Показать ответ и решение

Для некоторого $z ∈ [5;10]$ должно выполняться

18m + 10mz ≥ 236 (18+ 10z)m ≥236 118 m ≥ 9-+5z

Рассмотрим отдельно выражение $118 9+-5z$ при $z ∈[5;10]:$

5≤ z ≤ 10 25≤ 5z ≤ 50 34 ≤9 + 5z ≤ 59 1-≤ --1-- ≤ -1 59 9 + 5z 34 -118- 118 2≤ 9 +5z ≤ 34

В итоге на $z ∈ [5;10]:$

m ≥ -118--≥ 2, 9+ 5z

следовательно, для выполнения условия задачи $m$ не может быть меньше 2, причём при $z = 10$ неравенство

m ≥ --118- 9 +5z

принимает вид $m ≥2,$ следовательно, наименьшее допустимое значение массы точки $N$ равно 2 кг.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#2212Максимум баллов за задание: 1

Рейтинг студентов некоторого университета вычисляется на основании показателей $m$ , $n$ , $k$ по следующей формуле:

m2--+-n2-+-0,5-⋅ mnk- R = n + k

Рейтинг Димы равен $10$ , а Тимур имеет следующие значения показателей: $m = 10$ , $k = 3$ . При каком минимальном неотрицательном $n$ рейтинг Тимура будет не меньше, чем рейтинг Димы?

Показать ответ и решение

Подставим известные значения для вычисления рейтинга Тимура:

2 100-+-n--+-15n- R = n + 3

Полученная величина должна быть не меньше $10$ , причём $n ≥ 0$ , следовательно, $n + 3 > 0$ , тогда

100 + n2 + 15n ---------------≥ 10 ⇔ n2 + 5n + 70 ≥ 0 ⇔ (n + 2, 5)2 + 63, 75 ≥ 0, n + 3

что выполнено при всех $n$ . Таким образом, наименьшее допустимое значение $n$ равно $0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#2299Максимум баллов за задание: 1

После предупредительного выстрела в воздух высота пули до падения менялась по закону $h = 2 + 300t − 5t2$ , где $h$ – высота в метрах, $t$ – время в секундах, отсчитываемое от момента выстрела. Сколько секунд с момента выстрела пуля находилась на высоте не менее $2502$ метров?

Показать ответ и решение

Моменты $t$ , в которые пуля находилась на высоте не менее $2502$ метров, удовлетворяют неравенству

2 + 300t − 5t2 ≥ 2502 ⇔ 5t2 − 300t + 2500 ≤ 0 ⇔ t2 − 60t + 500 ≤ 0.

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $t2 − 60t + 500 = 0$ :

t = 10, t = 50 1 2

тогда:

$PIC$

следовательно, пуля находилась на высоте не менее 2502 метров в моменты времени $t ∈ [10;50 ]$ , то есть в течение $50 − 10 = 40$ секунд.

Ответ: 40

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#2626Максимум баллов за задание: 1

Для нагревательного элемента некоторого прибора экспериментально была получена зависимость температуры в кельвинах от времени работы:

2 T(t) =T0 +bt+ at,

где $t$ — время в минутах, $T0 = 1300$ К, $14 a= − 3$ К/мин $2 ,$ $b= 98$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1720 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.

Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Показать ответ и решение

Из условия задачи следует, что $T (t)$ должно быть не больше 1720, то есть, подставляя все данные из условия, получим неравенство

( ) 1300+ 98t− 14-t2 ≤ 1720 |⋅ − 3 ⇔ t2− 21t+ 90≥ 0 3 14

Корнями многочлена $t2 − 21t+ 90$ являются $t= 6$ и $t= 15.$ Следовательно, решением неравенства будут

t∈ (−∞;6]∪ [15;+∞ )

$PIC$

Таким образом, наибольшее время, после которого нужно отключить прибор, равно 6 мин.

Из решения неравенства следует, что после шестой минуты температура нагревательного элемента превысит 1720 К, то есть после шестой минуты нагревательный элемент уже испортился! Именно поэтому мы выбираем ответ 6 минут.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#2665Максимум баллов за задание: 1

Миша ударил по мячу так, что тот полетел вертикально вверх. Высота мяча до падения меняется по закону

2 h = 0,5+ 25t− 5t,

где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, отсчитываемое от момента подбрасывания. Сколько секунд с момента удара мяч находился на высоте не менее 0,5 метра?

Показать ответ и решение

Моменты $t,$ в которые мяч находился на высоте не менее 0,5 метра, удовлетворяют неравенствам

2 0,5 +25t− 5t ≥ 0,5 25t− 5t2 ≥ 0 t2 − 5t≤ 0

Решим последнее неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения $t2− 5t= 0:$

t = 0, t = 5 1 2

Тогда левая часть последнего неравенства имеет следующие знаки на промежутках знакопостоянства:

$PIC$

Следовательно, мяч находился на высоте не менее 0,5 метра в моменты времени $t∈ [0;5],$ то есть в течение $5− 0 =5$ секунд.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#11716Максимум баллов за задание: 1

Амплитуда колебаний маятника зависит от частоты вынуждающей силы и определяется по формуле

A0ω2p A(ω)= ||ω2p −-ω2||

Здесь $ω$ — частота вынуждающей силы в $с−1,$ $A0$ — постоянный положительный параметр, $ωp = 330 с−1$ — резонансная частота.

Найдите максимальную частоту $ω,$ меньшую резонансной, для которой амплитуда колебаний превосходит величину $A0$ не более чем на 80%. Ответ дайте в $с−1.$

Показать ответ и решение

Если $ω < ωp,$ то $|| 2 2|| 2 2 ωp − ω = ωp − ω > 0.$ Если амплитуда колебаний превосходит величину $A0$ не более чем на 80%, то

ω2 A(ω)≤ 1,8 ⇒ -2-p-2-≤1,8 A0 ωp − ω ω2p ≤ 1,8ω2p − 1,8ω2 ⇒ 9ω2 ≤ 4ω2p |3ω|≤ |2ωp| ⇒ |ω |≤ 2|ωp| 3

Так как $ω = 330 с−1, p$ то получаем, что максимальная частота равна $ω =220$ $c−1.$

Ответ: 220

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#13547Максимум баллов за задание: 1

T(t) =T0 +bt+ at2

Здесь $t$ — время в минутах, $T0 =1330$ К, $2 a =− 15 К/м ин,$ $b= 165$ К/мин. Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1600 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить.

Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Показать ответ и решение

Подставим значения коэффициентов и максимальной температуры нагревательного элемента в исходное выражение и получим

T(t) =− 15t2+ 165t+ 1330

Так как $t$ — время работы, то $t≥ 0.$ Прибор испортится, если температура нагревательного элемента превысит 1600 К, поэтому нужно найти первый момент, когда элемент нагреется до такой температуры. То есть нужно решить следующее неравенство:

−15t2+165t+ 1330≤ 1600 2 −15t+ 165t− 270 ≤ 0 t2− 11t+ 18≥ 0 (t− 2)(t− 9)≥ 0 ⌊ ⌈t≤ 2 t≥ 9

Через 2 минуты работы прибора температура нагревательного элемента станет равна 1600 К, поэтому прибор нужно отключить через 2 минуты после начала работы.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#17163Максимум баллов за задание: 1

T (t)= T + bt+ at2 0

где $t$ — время в минутах, $T0 =1300$ К, $a =− 14 3$ К/мин $2,$ $b =98$ К/мин.

Известно, что при температуре нагревательного элемента свыше 1720 К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключить. Найдите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключить прибор. Ответ дайте в минутах.

Показать ответ и решение

Подставим данные условия в уравнение $T (t)= T0+ bt+at2 :$

14 2 2 1720 = 1300+ 98t− 3 t ⇔ t − 21t+ 90= 0 ⇔ [t= 6 ⇔ (t− 6)(t− 15)= 0 ⇔ t= 15

Рассмотрим функцию $T (t)= 1300+ 98t− 143 t2.$ Ее графиком является парабола с ветвями, направленными вниз. Тогда через $t= 6$ минут после начала работы прибор впервые нагреется до температуры 1720 К.

Следовательно, прибор необходимо отключить не позднее чем через 6 минут.

Ответ: 6

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#17239Максимум баллов за задание: 1

В розетку электросети подключены приборы, общее сопротивление которых составляет $R1 = 28$ Ом. Параллельно с ними в розетку предполагается подключить электрообогреватель. Определите наименьшее возможное сопротивление $R2$ этого электрообогревателя, если известно, что при параллельном соединении двух проводников с сопротивлениями $R1$ и $R2$ их общее сопротивление задается формулой

Rобщ = -R1R2--. R1 +R2

При этом для нормального функционирования электросети общее сопротивление в ней должно быть не меньше 20 Ом. Ответ дайте в омах.

Показать ответ и решение

Найдем в омах наименьшее возможное значение $R2,$ при котором $Rобщ ≥ 20$ и $R1 = 28.$ Для этого заметим, что

R R 28R Rобщ = R-1+R2-= 28+-2R-- 1 2 2

Тогда имеем:

Rобщ ≥ 20 --28R2--≥ 20 28 +R2 28R2 ≥ 560+ 20R2 R2 ≥ 70

Отсюда наименьшее значение $R2$ равно 70.

Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#17301Максимум баллов за задание: 1

Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре $−6 C = 6⋅10$ Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $R =8 ⋅106$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U0 = 34$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время, определяемое выражением

t= αRC ⋅log U0(c), 2 U

где $α = 0,8$ — постоянная. Определите наибольшее возможное напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло не менее 76,8 секунды. Ответ дайте в киловольтах.

Показать ответ и решение

Из условия следует, что $t≥ 76,8.$ Подставим все значения из условия и получим следующее неравенство:

6 −6 34 0,8⋅8 ⋅10 ⋅6⋅10 ⋅log2U ≥ 76,8 34 log2 U-≥ 2 34 U- ≥4

Так как $U > 0,$ то неравенство можно переписать в виде

34 ≥4U U ≤ 8,5

Следовательно, наибольшее возможное значение напряжения $U = 8,5$ кВ.

Ответ: 8,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#19489Максимум баллов за задание: 1

К источнику с ЭДС $𝜀= 130$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ Ом. Напряжение на этой нагрузке, выражаемое в вольтах, задаётся формулой

𝜀R U = R-+-r

При каком наименьшем значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет не менее 120 В? Ответ выразите в омах.

Показать ответ и решение

Нам нужно найти такое минимальное значение $R,$ при котором $U ≥120$ В, то есть

-𝜀R-- U ≥ 120 ⇔ R + r ≥ 120 130R ≥ 120(R +1) 10R ≥ 120 ⇔ R ≥ 12

Значит, при $R ≥ 12$ Ом напряжение на нагрузке будет не менее 120 В. Тогда наименьшее сопротивление равно $R = 12$ Ом.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#20862Максимум баллов за задание: 1

Скорость тела, движущегося прямолинейно, вычисляется по формуле

2 v(t) =− t +7,4t− 7,

где $t$ — время с начала движения в секундах, $v(t)$ — скорость в соответствующий момент времени в м/с. В течение скольких секунд скорость тела будет не менее 5 м/с?

Показать ответ и решение

Решим квадратное неравенство на $t:$

2 − t +7,4t− 7 ≥ 5 t2 − 7,4t+12 ≤0 (t− 2,4)(t− 5)≤ 0 2,4≤ t≤ 5

Тогда скорость тела будет не менее 5 м/с в течение времени в секундах, равного

5− 2,4= 2,6

Ответ: 2,6