Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.02 Треугольник: высота, биссектриса, медиана

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#1399Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ $BM$ — высота, причем $AM = MC,$ $∠ABM = 28∘.$ Найдите $∠ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В треугольниках $ABM$ и $BMC :$

$AM = MC;$
$∠AMB = ∠BMC;$
$MB$ — общая.

Тогда треугольники $ABM$ и $BMC$ равны по двум сторонам и углу между ними.

Тогда $AB =BC,$ то есть треугольник $ABC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является биссектрисой и высотой, значит,

∘ ∠MBC = ∠ABM = 28 ∠ABC = 2 ⋅∠ABM = 56∘

Ответ: 56

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#1400Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠C = 90∘,$ $CE$ — медиана, $∠ACE =50∘.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Для углов с общей вершиной $C$ имеем:

∘ ∠ECB = ∠ACB − ∠ACE = 40

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Тогда $CE = BE$ и треугольник $CEB$ — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда получаем

∘ ∠B = ∠ECB = 40

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#1401Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ высоты $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $F,$ $∠EF D = 104∘.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Найдем $∠AF E$ как смежный углу $∠EF D :$

∘ ∘ ∠AF E = 180 − ∠EF D = 76

Так как $∠F EA = 90∘,$ то

∘ ∘ ∠FAE = 90 − ∠AF E = 14

Треугольник $ADC$ — прямоугольный, отсюда имеем:

∘ ∘ ∠C = 90 − ∠FAE = 76

Ответ: 76

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#1402Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠A =60∘,$ $∠C = 80∘,$ $AD$ и $CE$ — высоты, пересекающиеся в точке $F.$ Найдите $∠EF D.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольник $AEC$ — прямоугольный, $∠A = 60∘,$ тогда имеем:

∘ ∘ ∘ ∠ACE = 90 − 60 = 30

Аналогично в треугольнике $ADC :$

∘ ∠DAC =10

Так как сумма углов треугольника равна $180∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠AF C = 180 − 10 − 30 = 140

Углы $AF C$ и $EF D$ равны как вертикальные, тогда искомый угол равен

∘ ∠EF D = 140

Ответ: 140

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#1403Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC :$ $AE$ и $BF$ — высоты, пересекающиеся в точке $O,$ $∠FBC = 19∘.$ Найдите $∠FOE.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольник $BOE$ — прямоугольный, $∠OBE = 19∘,$ тогда

∘ ∘ ∘ ∠BOE = 90 − 19 = 71

$∠F OE$ — смежный с $∠BOE$ , тогда их сумма равна $180∘$ и, значит,

∘ ∠F OE = 109

Ответ: 109

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#1404Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $BF$ и $AE$ — медианы, $AE = BF,$ $O$ — точка пересечения $BF$ и $AE,$ $∠FOE = 147∘.$ Найдите $∠ABO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$∠AOB = ∠F OE = 147∘$ как вертикальные.

В треугольнике медианы точкой пересечения делятся в отношении $2:1,$ считая от вершины. Так как $AE =BF,$

2 2 AO = 3AE = 3BF =BO

Тогда треугольник $ABO$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда $∠OAB = ∠ABO.$

Так как сумма углов в треугольнике равна $∘ 180 ,$

180∘ = ∠OAB +∠ABO + ∠AOB = 2⋅∠ABO + 147∘

Таким образом,

∠ABO = 16,5∘

Ответ: 16,5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#1405Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC :$ $BM$ — биссектриса, на сторонах $AB$ и $BC$ выбраны точки $P$ и $Q$ соответственно, причём перпендикуляр к $AB,$ проходящий через точку $P$ и перпендикуляр к $BC,$ проходящий через точку $Q$ , пересеклись в точке $K,$ лежащей на биссектрисе $BM.$ Найдите $PK,$ если известно, что $KQ = 33.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон, то

PK = KQ = 33

Покажем это подробнее:

треугольники $P KB$ и $BKQ$ — прямоугольные, имеющие общую гипотенузу и $∠PBK = ∠KBQ,$ тогда треугольники $P KB$ и $BKQ$ равны по гипотенузе и острому углу, значит,

PK = KQ

Ответ: 33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#1406Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ биссектрисы $AQ$ и $BP$ пересекаются в точке $K,$ $∠C = 75∘.$ Найдите $∠P KQ.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Имеем $∠AKB = ∠P KQ$ как вертикальные. Тогда для образуемых биссектрисами углов имеем:

∠KAB = 1∠CAB 2 ∠ABK = 1∠ABC 2

Тогда с учетом суммы углов треугольника $ABC :$

1 1 ∘ ∘ ∘ ∠KAB + ∠ABK = 2(∠CAB + ∠ABC )= 2(180 − 75 )= 52,5

Отсюда с учетом суммы углов трегольника $AKB :$

∠AKB = 180∘ − (∠KAB + ∠ABK ) = 180∘− 52,5∘ = 127,5∘

Окончательно имеем

∠P KQ = ∠AKB = 127,5∘

Ответ: 127,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#1849Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 90∘,$ $BD$ — биссектриса, $AB = BC,$ $AC = 6.$ Найдите $BD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведённая к основанию, является медианой и высотой, тогда

DC = 0,5⋅AC = 3

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠DCB = ∠BAC = 90∘ :2= 45∘

Так как $BD$ — биссектриса, то

1 ∘ ∠DBC = 2∠ABC = 45

Таким образом, в треугольнике $DBC$ углы при основании $BC$ равны, тогда треугольник $DBC$ — равнобедренный, то есть

BD = DC = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#1850Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AC = BC,$ $BD$ — высота, $∠ABD = 25∘.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $BD$ — высота, то $∠ADB = 90∘,$ тогда получаем

∘ ∠A + ∠ABD = 90

Из прямоугольного треугольника $ABD$ имеем:

∘ ∘ ∠ABD = 25 ⇒ ∠A =65

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∘ ∠CBA = ∠A = 65

Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда искомый угол равен

∠C = 180∘− ∠A − ∠CBA = ∘ ∘ ∘ ∘ = 180 − 65 − 65 = 50

Ответ: 50

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#1851Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 90∘,$ $BE$ — медиана, $∠CBE = 22∘.$ Найдите $∠BAC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике медиана, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Тогда $AE = BE,$ значит, треугольник $AEB$ — равнобедренный.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть

∠A = ∠ABE

Так как $∠B = 90∘,$ $∠CBE = 22∘,$ то имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABE = 90 − 22 = 68 ⇒ ∠BAC = 68

Ответ: 68

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#2419Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AH$ — высота, $BD$ — биссектриса, $O$ — точка пересечения прямых $AH$ и $BD,$ угол $ABD$ равен $62∘.$ Найдите угол $AOB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $BD$ — биссектриса, то

∘ ∠CBD = ∠ABD =62

Так как вертикальные углы равны, то

∘ ∠HBO = ∠CBD = 62

$AH$ — высота, поэтому

∘ ∠OHB = ∠AHB = 90

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90∘,$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠AOB = ∠HOB = 90 − ∠HBO = 90 − 62 = 28

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#2507Максимум баллов за задание: 1

В прямоугольном треугольнике угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла, равен $14∘.$ Найдите меньший угол прямоугольного треугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

По условию $∠MAP = 14∘.$ Так как $AP$ — биссектриса и $∠A = 90∘,$ то $∠CAP = 45∘.$ Тогда для углов с общей вершиной $A$ имеем:

∠CAM = 45∘− 14∘ = 31∘

$PIC$

Тогда в прямоугольном треугольнике $BAM$ получаем

∠C = 90∘− 31∘ = 59∘

Следовательно, $∠B = ∠CAM = 31∘$ — наименьший угол треугольника $ABC.$

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#2508Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $58∘,$ биссектрисы $AD$ и $BE$ пересекаются в точке $O.$ Найдите угол $AOB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В треугольнике $ABC$ имеем:

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A + ∠B = 180 − ∠C = 180 − 58 = 122

Тогда для треугольника $AOB$ получаем

∠AOB = 180∘− (∠OAB + ∠OBA ) = ∘ = 180 − 0,5(∠A + ∠B )= = 180∘− 0,5⋅122∘ = 119∘

Ответ: 119

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#2509Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $A$ равен $56∘,$ углы $B$ и $C$ — острые. Высоты $BD$ и $CE$ пересекаются в точке $O.$ Найдите угол $DOE.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

1 способ

Проведем $OA.$

$PIC$

Тогда

∠DOE = ∠DOA + ∠EOA

Так как $∘ ∠AEO = ∠ADO = 90 ,$ то из прямоугольных треугольников $AEO$ и $ADO$

∠EOA = 90∘ − ∠OAE, ∠DOA = 90∘− ∠OAD

Следовательно:

∘ ∘ ∠DOE = ∠DOA + ∠EOA = 90 − ∠OAD + 90 − ∠OAE = = 180∘ − (∠OAD + ∠OAE )= 180∘− ∠A =180∘− 56∘ = 124∘

2 способ

Вспомним, что сумма углов выпуклого четырехугольника равна $360∘.$ Тогда для четырехугольника $AEOD :$

∠A +∠E + ∠O + ∠D = 360∘

Откуда

∠DOE = ∠O = 360∘ − 90∘− 90∘− 56∘ = 124∘

Ответ: 124

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#2680Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠A = 27∘,$ $CD$ — высота, $∠BCD = 18∘.$ Найдите $∠ACB,$ если угол $B$ треугольника $ABC$ тупой. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $CD$ — высота, то $∠ADC = 90∘.$ Сумма углов треугольника равна $180∘,$ тогда

∘ ∘ ∘ ∠A + ∠ACD = 180 − 90 = 90

Так как $∠ACD = ∠ACB +∠BCD,$ то

∘ ∠ACD = ∠ACB + 18

При этом $∠A = 27∘,$ тогда

∘ ∘ ∘ 27 + ∠ACB + 18 = 90

Найдем $∠ACB :$

∘ ∘ ∘ ∘ ∠ACB = 90 − 27 − 18 = 45

Ответ: 45

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#16743Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ угол $B$ равен $∘ 45,$ угол $BAD$ равен $∘ 30,$ $AD$ — биссектриса. Найдите угол $C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $AD$ — биссектриса, то имеем:

∘ ∘ ∠A = 2∠BAD =2 ⋅30 = 60

Сумма углов в треугольнике равна $180∘,$ значит,

∘ ∠A+ ∠B + ∠C = 180

Тогда искомый угол равен

∠C = 180∘− ∠A − ∠B = = 180∘− 60∘− 45∘ = 75∘

Ответ: 75

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#51638Максимум баллов за задание: 1

Угол между биссектрисой $CD$ и медианой $CM,$ проведенными из вершины прямого угла $C$ треугольника $ABC,$ равен $10∘.$ Найдите меньший угол этого треугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $CD$ — биссектриса, то $∠ACD = 45∘.$ Следовательно, $∠ACM =∠ACD − ∠MCD =45∘− 10∘ = 35∘.$ Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит его на два равнобедренных треугольника, то есть $△ACM$ — равнобедренный и $AM = CM.$ Следовательно, $∘ ∠CAM =∠ACM = 35 .$ Так как градусная мера меньшего угла прямоугольного треугольника не больше $∘ 45 ,$ то $∘ ∠A = ∠CAM = 35$ и есть меньший угол $△ABC.$

Ответ: 35

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#58754Максимум баллов за задание: 1

Острые углы прямоугольного треугольника равны $24∘$ и $66∘.$ Найдите угол между биссектрисой и медианой, проведенными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $∠C$ — прямой, $CD$ — биссектриса, $CM$ — медиана.

$PIC$

Так как медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то треугольник $BMC$ — равнобедренный. Тогда имеем: $∠MCB = ∠ABC = 66∘.$

Так как $CD$ — биссектриса, то $∠BCD = ∠ACD = 45∘.$

Тогда искомый угол равен

∘ ∘ ∘ ∠MCD = ∠MCB − ∠BCD = 66 − 45 = 21

Ответ: 21

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#58755Максимум баллов за задание: 1

В прямоугольном треугольнике из вершины прямого угла проведены высота $CH$ и медиана $CM,$ угол $B$ равен $73∘.$ Найдите угол $MCH.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, то треугольник $BMC$ — равнобедренный. Тогда имеем: $∠MCB = ∠ABC = 73∘.$

$PIC$

Так как $CH$ — высота, то треугольник $BHC$ прямоугольный. Тогда по сумме углов треугольника

∠BCH = 180∘− ∠HBC − ∠BHC = 180∘− 73∘ − 90∘ = 17∘

Тогда искомый угол равен

∠MCH = ∠MCB − ∠BCH = 73∘− 17∘ = 56∘

Ответ: 56