Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.01 Треугольник: внутренние и внешние углы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1389Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 73∘,$ $AB = BC.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠A = ∠C

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

180∘ = 73∘+ ∠A +∠C = 73∘+ 2⋅∠C,

откуда

2⋅∠C = 107∘

Тогда

∠C = 53,5∘

Ответ: 53,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1391Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 39∘,$ $AB = BC.$ Найдите внешний угол при вершине $A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠BAC = ∠C

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

180∘ = 39∘+ ∠A+ ∠C = 39∘+ 2∠A

Отсюда получаем

2∠A = 141∘

Тогда

∠A = 70,5∘

Градусная мера развернутого угла равна $180∘,$ тогда

∠A внеш = 180∘− ∠A = 180∘− 70,5∘ = 109,5∘

Ответ: 109,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1392Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC,$ внешний угол при вершине $B$ равен $138∘.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∘ ∠A + ∠C = ∠Bвнеш = 138

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠A = ∠C

Таким образом,

∘ ∘ ∠C = 138 :2= 69

Ответ: 69

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#43Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 81∘,$ $∠C =25∘.$ Найдите внешний угол при вершине $A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, сумма $∠B$ и $∠C$ равна внешнему углу при вершине $A,$ следовательно

∠A = 81∘ +25∘ =106∘ внеш

Ответ: 106

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠C = 35∘,$ внешний угол при вершине $B$ равен $91∘.$ Найдите $∠A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∠C + ∠A = ∠B внеш

Тогда

∘ ∘ 35 + ∠A = 91

Откуда находим

∠A =91∘− 35∘ = 56∘

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#45Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠A =47∘$ и $AB =BC.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∘ ∠C = ∠A = 47

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ имеем

∠B = 180∘ − 47∘− 47∘ = 86∘

Ответ: 86

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#46Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 32∘$ и $AB = BC.$ Найдите внешний угол при вершине $C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда $∠A = ∠C.$ Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то имеем:

180∘ = 32∘+ ∠A+ ∠C = 32∘+ 2∠A

Откуда

2∠A = 148∘

Тогда

∠A = ∠C = 74∘

По теореме о внешнем угле треугольника

∠C внеш = ∠A +∠B

Тогда искомый угол равен

∠Cвнеш = 32∘ +74∘ = 106∘

Ответ: 106

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#47Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC,$ внешний угол при вершине $C$ равен $108∘.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как градусная мера развёрнутого угла равна $180∘,$

∘ ∘ ∘ ∠ACB = 180 − 108 =72

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∘ ∠A =∠ACB = 72

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$

∠B = 180∘− ∠A − ∠ACB =36∘

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#48Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC,$ внешний угол при вершине $A$ равен $112∘.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как градусная мера развёрнутого угла равна $180∘,$

∘ ∘ ∘ ∠BAC = 180 − 112 =68

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∘ ∠C = ∠BAC = 68

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$

∠B = 180∘− ∠BAC − ∠C =44∘

Ответ: 44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#49Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC,$ внешний угол при вершине $B$ равен $104∘.$ Найдите $∠A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме о внешнем угле треугольника,

∘ ∠A + ∠C = ∠B внеш =104

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠A = ∠C

Таким образом,

∠A = 104∘ :2 =52∘

Ответ: 52

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#50Максимум баллов за задание: 1

Один из углов равнобедренного треугольника равен $92∘.$ Найдите какой-нибудь другой его угол.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника равна $180∘.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Пусть $92∘$ — один из углов при основании, тогда сумма углов при основании равна

92∘ +92∘ =184∘ > 180∘

Получили противоречие, значит, $92∘$ — угол при вершине.

Сумма углов при основании равна

180∘− 92∘ = 88∘

Так как углы при основании равны, то оба они по

88∘ :2 = 44∘

Ответ: 44

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1385Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠A =22∘,$ внешний угол при вершине $C$ равен $130∘.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме о внешнем угле треугольника,

∠A + ∠B = ∠Cвнеш

Тогда

∘ ∘ 22 + ∠B = 130,

откуда находим

∠B =130∘− 22∘ = 108∘

Ответ: 108

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1386Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠C = 70∘$ и $AB =BC.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∘ ∠A = ∠C = 70

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$

∠B = 180∘ − 70∘− 70∘ = 40∘

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1387Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠C = 36∘,$ $AB = BC.$ Найдите $∠B.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∘ ∠A = ∠C = 36

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∠B = 180 − 36 − 36 = 108

Ответ: 108

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1388Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 38∘,$ $AB = BC.$ Найдите $∠C.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠A = ∠C

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

∘ ∘ ∘ 180 = 38 +∠A + ∠C = 38 + 2⋅∠C,

откуда

∘ 2⋅∠C = 142

Тогда

∘ ∠C = 71

Ответ: 71

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1390Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠B = 50∘,$ $AB = BC.$ Найдите внешний угол при вершине $A.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, тогда

∠BAC = ∠C

Так как у любого треугольника сумма углов равна $180∘,$ то

180∘ = 50∘ +∠A + ∠C = 50∘+ 2∠A,

откуда

2∠A = 130∘

Тогда

∠A = 65∘

Градусная мера развернутого угла равна $∘ 180,$ тогда

∠Aвнеш = 180∘− ∠A = 180∘− 65∘ = 115∘

Ответ: 115

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1393Максимум баллов за задание: 1

Один из углов равнобедренного треугольника равен $124∘.$ Найдите какой-нибудь другой его угол.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сумма углов треугольника равна $180∘.$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Пусть $124∘$ — один из углов при основании, тогда сумма углов при основании равна

∘ ∘ ∘ ∘ 124 + 124 = 248 > 180

Противоречие, значит, $124∘$ — угол при вершине.

Сумма углов при основании равна

∘ ∘ ∘ 180 − 124 = 56

Так как углы при основании равны, то оба они по

∘ ∘ 56 :2= 28

Ответ: 28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1395Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠A = 32∘,$ $∠B =70∘.$ На продолжении стороны $AC$ за точку $C$ отложен отрезок $CK =BC.$ Найдите $∠K$ треугольника $BCK.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как $CK = BC,$ то $△ CBK$ равнобедренный и

∠CBK = ∠K

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∠BCK =∠A + ∠ABC = 32∘+ 70∘ =102∘

Так как сумма углов в треугольнике равна $180∘,$ то

∠BCK + ∠CBK + ∠K = 180∘

Но $∠CBK = ∠K,$ тогда

102∘+ 2⋅∠K = 180∘

Таким образом, $∠K = 39∘.$

Ответ: 39

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1396Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ известно, что $∠A = 52∘,$ $∠C =71∘.$ На продолжении стороны $BC$ за точку $B$ отложен отрезок $BD =AB.$ Найдите $∠D$ треугольника $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

У равнобедренного треугольника углы при основании равны. Так как $AB = BD,$ то $△ ABD$ равнобедренный и

∠BAD = ∠D

Согласно теореме о внешнем угле треугольника,

∠ABD = ∠C + ∠BAC = 71∘+52∘ =123∘

Так как сумма углов в треугольнике равна $180∘,$

∠D + ∠BAD + ∠ABD = 180∘

Но $∠BAD = ∠D,$ тогда

2⋅∠D + 123∘ = 180∘

Таким образом, $∠D =28,5∘$

Ответ: 28,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1398Максимум баллов за задание: 1

В треугольнике $ABC$ при вершинах $A,B$ и $C$ построено по одному внешнему углу. Найдите сумму этих внешних углов. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Согласно теореме о внешнем угле треугольника, внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним. Тогда внешний угол при вершине $A$ в треугольнике $ABC$ равен