Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Производная в точке касания как угловой коэффициент касательной

Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной

8.03 Производная в точке касания как угловой коэффициент касательной

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#258

Прямая, заданная уравнением $y = 1,5x,$ касается графика функции $f(x)$ в точке $(x0;f(x0)).$ Найдите $f′(x0).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Производная функции $f(x)$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y =ax +b$ в точке $(x0;f(x0)).$ Таким образом, $f′(x0)= 1,5.$

Ответ: 1,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1576

Прямая, заданная уравнением $y = 3x+ 1,$ касается графика функции $f(x)$ в точке $(x0;f(x0)).$ Найдите $f′(x0).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Производная функции $f(x)$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y =ax +b$ в точке $(x0;f(x0)).$ Таким образом, $f′(x0)= 3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1577

Прямая, заданная уравнением $y = kx − 23$ , касается графика функции $f (x)$ в точке $(x0;f (x0))$ . Найдите $k$ , если $f′(x0) = 7$ .

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x )$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y = ax + b$ в точке $(x0;f(x0))$ .

Таким образом,

′ k = f (x0),

тогда $k = 7$ .

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#257

Прямая, заданная уравнением $y = − x − 1$ , касается графика функции $f(x )$ в точке $(x0;f(x0))$ . Найдите $f′(x0 )$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x )$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y = ax + b$ в точке $(x0;f(x0))$ .

Таким образом, $f′(x0 ) = − 1$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#259

Прямая, заданная уравнением $y = kx + 2016πk2$ , касается графика функции $f(x)$ в точке $(x0;f(x0))$ . Найдите $k$ , если $f′(x0) = 3$ .

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x )$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y = ax + b$ в точке $(x0;f(x0))$ .

Таким образом,

′ k = f (x0),

тогда $k = 3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#260

Прямая, заданная уравнением $y = kx − kπ$ , касается графика функции $f(x)$ в точке $(x0;f(x0))$ . Найдите $k$ , если $f′(x0) = − k$ .

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x )$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y = ax + b$ в точке $(x0;f(x0))$ .

Таким образом,

′ k = f (x0),

но по условию $f′(x0 ) = − k$ , откуда находим $k = f′(x0 ) = 0$ .

Ответ: 0

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#261

Прямая, заданная уравнением $y = − 3kx + 7$ , касается графика функции $g (x ) = 2f(x) + 5$ в точке $(x0;g(x0 ))$ . Найдите $f′(x0)$ , если $g ′(x0) + k = 3$ .

Показать ответ и решение

Производная функции $g(x )$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y = ax + b$ в точке $(x0;g(x0))$ .

Таким образом, $− 3k = g′(x0 ),$ но по условию $g′(x0 ) + k = 3$ , откуда находим $g′(x0) = 4,5$ .

Так как $g(x) = 2f(x) + 5$ , то $′ ′ g (x0) = 2f (x0)$ , тогда $′ f (x0) = 2,25$ .

Ответ: 2,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#673

Прямая, заданная уравнением $y = kx + 2$ , касается графика функции $f(x)$ в точке $(x0; f(x0))$ . Найдите $f′(x0 )$ , если $f′(x0 ) + k = 5$ .

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x)$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту касательной, то есть

′ f (x0 ) = k.

Значит, так как $′ f (x0 ) + k = 5$ , то $′ 2 ⋅ f (x0) = 5$ , откуда $′ f (x0) = 2,5$ .

Ответ: 2,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1263

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f (x),$ определенной на интервале $(−3;8).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y =2x − 19$ или совпадает с ней.

$PIC$

Показать ответ и решение

Если касательная параллельна прямой $y = 2x− 19,$ то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой $y = 2x − 19.$ Следовательно, $k = 2.$

$PIC$

Так как $f′(x0)= k =2,$ где $x0$ — точка касания, и на рисунке изображен график производной, то нужно найти количество таких точек, в которых $f′(x0)= 2,$ то есть ордината равна 2. Таких точек 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1264

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−3;5).$ Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой 1.

$xyy5−110 =3 f′(x)$

Показать ответ и решение

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции $y = f(x)$ в точке с абсциссой $x0,$ равен значению производной в точке касания, то есть равен $f′(x0).$ Следовательно, нам нужно найти $f′(1).$

$xyy55−110 =3 f′(x)$

Таким образом, на графике нужно найти точку, абсцисса которой равна 1, и определить ее ординату. Следовательно, $f′(1)= 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1265

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−4;7).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $y = f(x)$ перпендикулярна прямой $y = −0,5x+ 3.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Если касательная перпендикулярна прямой $y = −0,5x +3,$ то их угловые коэффициенты $k1$ и $k2$ связаны соотношением $k1⋅k2 = − 1.$ Следовательно, если $k2 = −0,5,$ то $k1 =2.$

$PIC$

Так как $f′(x0)= k1 = 2,$ где $x0$ — точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти количество точек, в которых $f′(x0) =2,$ то есть ордината равна 2. Таких точек три.

Ответ: 3

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1286

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(− 10;8).$ Найдите абсциссу точки, принадлежащую отрезку $[− 5;3],$ в которой касательная к графику функции $f(x)$ параллельна прямой $y =7 +2x$ или совпадает с ней.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как на рисунке изображен график производной, то нужно свести условие задачи к какому-то условию на производную.

Если касательная $yk$ параллельна прямой $y = 7+ 2x,$ то их угловые коэффициенты равны. Следовательно, угловой коэффициент касательной равен 2: $yk =2x +a,$ где $a$ — некоторое число.

Если $yk$ — касательная к графику $f(x),$ то ее угловой коэффициент равен $f′(x0),$ где $x0$ — абсцисса точки касания, которую и нужно найти. Следовательно, $f′(x0)= 2.$

$PIC$

Итак, мы свели условие задачи к производной. Как найти $x0,$ если мы знаем, что $f′(x0)= 2?$ Это значит, что нам нужно найти точку на графике $′ f (x),$ у которой ордината равна 2, и определить абсциссу этой точки. Учитывая, что эта точка должна находиться на отрезке $[−5;3],$ она одна и ее абсцисса равна 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1290

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−4;4).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y = −1$ или совпадает с ней.

$PIC$

Показать ответ и решение

Если касательная $yk$ параллельна прямой $y = −1,$ то их угловые коэффициенты равны. Следовательно, угловой коэффициент касательной равен 0: $yk = a,$ где $a$ — некоторое число.

$PIC$

Если $yk$ — касательная к графику $f(x)$ , то ее угловой коэффициент равен $f′(x0),$ где $x0$ — абсцисса точки касания. Количество этих точек нам и нужно найти. Следовательно, $f′(x0) =0.$

Итак, мы свели условие задачи к производной. Как найти $x0,$ если мы знаем, что $f′(x0)= 0?$ Это значит, что нам нужно найти точку на графике $′ f (x),$ у которой ордината равна 0. Таких точек 7.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1578

Прямая, заданная уравнением $y = kx − 6k$ , касается графика функции $f (x)$ в точке $(x0;f (x0))$ . Найдите $k$ , если $f′(x0) = − 3$ .

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x )$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y = ax + b$ в точке $(x0;f(x0))$ .

Таким образом,

′ k = f (x0),

тогда $k = − 3$ .

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1579

Прямая, заданная уравнением $y = − kx + 11$ , касается графика функции $f (x)$ в точке $(x0;f (x0 ))$ . Найдите $f′(x0 )$ , если $f′(x0 ) − k = − 1$ .

Показать ответ и решение

Производная функции $f (x )$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y = ax + b$ в точке $(x0;f(x0))$ .

Таким образом, $f′(x0 ) = − k$ . Так как $f ′(x0) − k = − 1$ , то $2 ⋅ f′(x0 ) = f ′(x0) − k = − 1$ , откуда $′ f (x0) = − 0,5$ .

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1580

Прямая, заданная уравнением $y = 2kx− k,$ касается графика функции $f(x)$ в точке $(x0;f(x0)).$ Найдите $f′(x0),$ если $f′(x0)+ k =12.$

Показать ответ и решение

Производная функции $f(x)$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y = ax+ b$ в точке $(x0;f(x0)).$

Таким образом, $f′(x0) =2k,$ тогда $k = 0,5f′(x0).$

Так как $f′(x0)+ k = 12,$ то

′ ′ ′ 12 =f (x0) +k = 1,5 ⋅f (x0) ⇒ f (x0) = 8

Ответ: 8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1581

Прямая, заданная уравнением $y = 0,5kx + k$ , касается графика функции $g(x) = sin (f(x)) − 2$ в точке $(x0;g(x0 ))$ . Найдите $f′(x0)$ , если $g ′(x0) − 1,5k = 2$ , $f (x0) = 2π$ .

Показать ответ и решение

Производная функции $g(x )$ в точке $x0$ равна угловому коэффициенту $a$ касательной $y = ax + b$ в точке $(x0;g(x0))$ .

Таким образом, $0,5k = g′(x0),$ но по условию $g′(x0) − 1, 5k = 2$ , откуда находим $g′(x0) = − 1$ .

Так как $g(x) = sin (f (x)) − 2$ , то $′ ′ ′ ′ g (x) = (sin (f(x)) − 2) = (sin(f(x))) = cos(f (x )) ⋅ f (x)$ , откуда $g′(x0) = cos(f(x0)) ⋅ f′(x0)$ .

Тогда с учётом $f(x ) = 2π 0$ получим $f′(x ) = g ′(x ) = − 1 0 0$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2607

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x),$ определенной на интервале $(−2;3).$ Найдите на отрезке $[− 1;2]$ абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $f (x)$ параллельна прямой $y = 3x+ 1$ или совпадает с ней.

$0−131xyy2 = f′(x)$

Показать ответ и решение

Если касательная параллельна прямой $y = 3x+ 1,$ то угловой коэффициент $k$ касательной равен угловому коэффициенту прямой $y = 3x+ 1.$ Следовательно, $k = 3.$

$0−131xyy2 = f′(x)$

Далее, если $x0$ — абсцисса точки касания, то

f′(x0)= k = 3

Так как рисунке изображен график производной, то нужно найти точку, для которой $′ f (x0) =3,$ то есть ордината равна 3. Также нужно учесть, что абсцисса этой точки должна быть из отрезка $[− 1;2].$ Следовательно, это $x0 =1.$

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2608

На рисунке изображен график $y = f′(x)$ — производной функции $f(x)$ , определенной на интервале $(−3;5).$ Найдите абсциссу точки касания графика функции $y = f(x)$ и прямой, параллельной прямой $y = x$ или совпадающей с ней.

$′ 0−151xyy 3= f(x)$

Показать ответ и решение

Если касательная параллельна прямой $y = x$ , то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой $y = x$ , следовательно, $k = 1.$

Далее, если $x0$ — абсцисса точки касания, то

f′(x0)= k = 1

Так как на рисунке изображен график производной, то нужно найти абсциссу точки, в которой $′ f(x0)= 1,$ то есть ордината равна 1.

$′ 0−151xyy× 3= f(x)$

Заметим, что в точке $x= −3$ производная не определена, так как в условии задачи сказано, что она определена на интервале $(−3;5).$ Тогда подходит $x0 =− 2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#20614

На рисунке изображён график $y = f′(x)$ — производной функции $y =f (x),$ определённой на интервале $(−4;13).$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $y = f(x)$ параллельна прямой $y =− 2x− 10$ или совпадает с ней.

$xy110−143$

Показать ответ и решение

Пусть $y = kx+ b$ — касательная к графику функции $f(x).$ Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Значит, касательная параллельна прямой $y = −2x− 10$ тогда и только тогда, когда $k = −2.$

Производная функции $f(x)$ в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Получаем, что касательная в точке параллельна прямой $y = −2x − 10$ тогда и только тогда, когда значение производной функции $f(x)$ в этой точке равно -2.

На рисунке изображен график производной, то есть достаточно посмотреть количество точек, в которых производная равна -2. Это точки пересечения графика производной с прямой $y = −2.$ Таких точек всего пять.

Ответ: 5

Предыдущий раздел

Следующий раздел