Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

Тема 9. Задачи прикладного характера

9.02 Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#1606Максимум баллов за задание: 1

Расстояние, которое пролетит камень, брошенный с Земли под углом $α$ к горизонту с начальной скоростью $v0$ м/с, может быть найдено по формуле

2 l = v0-sin(2α), g

где $l$ — расстояние в метрах, $g = 9,8 м/с2$ — ускорение свободного падения.

С какой начальной скоростью следует бросить камень под углом $30∘$ к горизонту, чтобы расстояние, которое он пролетит, было равно $√ - 45-3- 2$ метра? Ответ дайте в м/с.

Показать ответ и решение

Вычислим синус двойного угла из условия:

√- sin(2 ⋅30∘)= sin 60∘ = -3- 2

Тогда искомая начальная скорость может быть найдена из уравнения

√ - 2 √3 45--3= v0-⋅-2- 2 9,8

Отсюда $v02 = 441$ и $v0 =±21.$ Так как $v0 ≥ 0,$ то $v0 =21$ м/с.

Ответ: 21

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#1607Максимум баллов за задание: 1

Сила гравитационного притяжения между материальными точками массы $m1$ кг и $m2$ кг, находящимися на расстоянии $R$ метров, может быть найдена по формуле

F = G m1m2--, R2

где $G$ – гравитационная постоянная. Во сколько раз должно увеличиться расстояние между материальными точками, чтобы при неизменных массах сила гравитационного притяжения между ними уменьшилась в 25 раз?

Показать ответ и решение

Пусть начальная сила гравитационного притяжения между материальными точками равна $F1$ Н, а начальное расстояние между ними равно $R1$ м, конечное расстояние (после уменьшения силы гравитационного притяжения в 25 раз) между ними равно $R2$ , тогда в конечном состоянии сила гравитационного притяжения станет

1 ---F1. 25

Для начальных параметров известно, что

m1m2-- F1 = G 2 , R1

а для конечных параметров известно, что

1 m1m2 --F1 = G ---2--. 25 R2

Умножая второе уравнение на $25$ , получим

m1m2 F1 = 25G ---2-, R2

откуда

m1m2 m1m2 25G ----2- = G ----2-, R2 R1

откуда $R22 = 25R12$ , что равносильно $R2 = ±5R1$ , но $R1 > 0,R2 > 0$ , тогда $R2 = 5R1$ .

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#2188Максимум баллов за задание: 1

Путь материальной точки, движущейся по прямой, имеет вид $x(t) = t3 + 2t2 − t + 1$ . Каким оказалось перемещение этой точки из положения, которое она занимала в момент $t = − 1$ , в положение, которое она занимала в момент $t = 1$ ?

Показать ответ и решение

x(− 1) = − 1 + 2 + 1 + 1 = 3, x (1) = 1 + 2 − 1 + 1 = 3,

следовательно, перемещение составило

|x(− 1 ) − x (1 )| = |3 − 3| = 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#2314Максимум баллов за задание: 1

Рейтинг $R$ интернет-магазина вычисляется по формуле

r − r R = rпок− ----пок---эк0,с02K--, (K + 1)⋅ rпок+0,1

где $rпок$ — средняя оценка магазина покупателями (от 0 до 1), $rэкс$ — оценка магазина экспертами (от 0 до 0,7) и $K$ — число покупателей, оценивших магазин.

Найдите рейтинг интернет-магазина «Альфа», если число покупателей, оставивших отзыв о магазине, равно 10, их средняя оценка равна 0,45, а оценка экспертов равна 0,67.

Показать ответ и решение

Перепишем формулу рейтинга следующим образом, чтобы избавиться от «трехэтажной» дроби:

R = rпок− (rпок-− rэкс)⋅(rпок+-0,1) (K + 1)⋅0,02K

Из условия задачи следует, что

K = 10, rпок =0,45, rэкс =0,67

Подставим эти значения в формулу:

(0,45− 0,67)(0,45 +0,1) 0,22⋅0,55 R = 0,45 − ---(10+-1)⋅0,02⋅10---= 0,45+ 11⋅0,02-⋅10

Домножим числитель и знаменатель дроби на $100⋅100,$ чтобы избавиться от десятичных дробей:

---22⋅55--- -55- R = 0,45 + 11⋅2⋅10⋅100 = 0,45+ 1000 = 0,45+ 0,055= 0,505

Ответ: 0,505

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#2697Максимум баллов за задание: 1

Высота подброшенной Борисом вверх гранаты до взрыва меняется по закону

2 h =1 +25t− 5t,

где $h$ — высота в метрах, $t$ — время в секундах, отсчитываемое от момента броска. При этом граната взрывается, как только достигнет высоты $h = 31$ метр.

Какое максимальное время пролетит граната до взрыва? Ответ дайте в секундах.

Показать ответ и решение

Так как граната взрывается на высоте $h = 31$ метр, то момент $t$ взрыва может быть найден из уравнения

2 2 1+ 25t− 5t = 31 ⇔ 5t − 25t+ 30= 0

Отсюда находим корни

t1 = 2, t2 = 3

Так как граната взрывается сразу, как только впервые достигнет высоты $h = 31$ метр, то максимальное время с момента броска до взрыва равно 2 секундам. Через 2 секунды после броска граната достигает высоты 31 метр, взрывается и её высота больше не меняется по закону $h= 1+ 25t− 5t2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#2753Максимум баллов за задание: 1

Эсминец «Тихий» плывет с постоянной скоростью $v0 = 33$ узла (1 узел = 1 морская миля в час). В момент времени $t= 0$ часов он выпускает торпеду, которая до попадания в цель разгоняется с постоянным ускорением $a = 66$ узлов в час. Расстояние в морских милях от места пуска торпеды до торпеды определяется из формулы

at2 S = v0t+ -2-.

Определите время в часах с момента пуска, за которое торпеда поразит неподвижную цель, если расстояние от цели до места пуска торпеды равно 0,6732 морских мили.

Показать ответ и решение

Время, за которое торпеда поразит неподвижную цель, можно найти из уравнения

at2 v0t+ 2--= 0,6732

Подставим значения скорости и ускорения:

33t+ 33t2 = 0,6732 t2+ t− 0,0204 = 0

Найдем дискриминант квадратного уравнения:

D = 1+ 0,0816 =1,0816 ⇒ √D-= 1,04

Найдем корни квадратного уравнения:

t1 = 0,02, t2 = −1,02

Так как время $t >0,$ то $t= 0,02$ часа.

Ответ: 0,02

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#15803Максимум баллов за задание: 1

Водолазный колокол, содержащий в начальный момент времени $ν = 3$ моль воздуха объёмом $V1 = 32$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма. Работа в джоулях, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением

A =α νT log2 V1, V2

где $α = 11,5$ — постоянная, а $T = 300K$ — температура воздуха.

Какой объём $V2$ в литрах станет занимать воздух, если при сжатии газа была совершена работа в 20700 Дж?

Показать ответ и решение

Сначала выразим $V1 log2V2$ из формулы работы и получим

V1 A = ανT log2V2 V A log2V1 = ανT- 2

Подставим данные из условия и вычислим значение $log2 VV1: 2$

log2 V1 =-A--= --20700---= V2 ανT 11,5 ⋅3 ⋅300 = --69--= -23-= 2 11,5 ⋅3 11,5

Теперь мы можем найти отношение $V V12 :$

V1 log2 V2 = 2 V1 =22 =4 V2 V2 = V1 =8 4

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#16750Максимум баллов за задание: 1

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением

p1V11,4 =p2V21,4,

где $p1$ и $p2$ — давление газа в атмосферах в начальном и конечном состояниях соответственно, $V1$ и $V2$ — объём газа в литрах в начальном и конечном состояниях соотвественно. Изначально объём газа равен 224 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Показать ответ и решение

По условию $p1 =1$ и $V1 = 224.$ Требуется узнать объём газа, если $p2 =128.$ Тогда

1,4 1,4 p1V1 = p2V2 V21,4= p1 ⋅V11,4 p2

Отсюда искомый объем равен

( 1 )1104 ( 1 )57 V2 = 128 ⋅V1 = 27 ⋅224 = ( 1)7⋅75 -1 5 = 2 ⋅32⋅7= 25 ⋅2 ⋅7 = 7

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#17054Максимум баллов за задание: 1

Расстояние от наблюдателя, находящегося на высоте $h$ м над Землей, выраженное в километрах, до видимой им линии горизонта вычисляется по формуле

∘ --- l = Rh-, 500

где $R = 6400$ км — радиус Земли. Человек, стоящий на пляже, видит горизонт на расстоянии 24 км. К пляжу ведёт лестница, каждая ступенька которой имеет высоту 20 см.

На какое наименьшее количество ступенек надо подняться человеку, чтобы он увидел горизонт на расстоянии не менее 32 км?

Показать ответ и решение

Выразим из формулы расстояния высоту над Землей:

l2⋅500 h= --R---

Тогда нужно подняться на высоту в метрах, равную

322⋅500 242 ⋅500 h2 − h1 =-6400--− -6400--= 5 8⋅56⋅5 =(32− 24)⋅(32 +24)⋅64 = --64--= 35

Так как высота ступеньки 0,2 м, то количество ступенек равно

35- n= 0,2= 35⋅5= 175

Ответ: 175

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#17134Максимум баллов за задание: 1

Груз массой 0,58 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону

2πt v = v0cos-T

Здесь $t$ — время с момента начала колебаний в секундах, $T = 2$ с — период колебаний, $v0 = 2$ м/с.

Кинетическая энергия $E$ груза в джоулях вычисляется по формуле

2 E = mv-- 2

Здесь $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с.

Найдите кинетическую энергию груза через 50 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Показать ответ и решение

Найдем по формуле скорость груза в м/c через 50 секунд после начала колебаний:

2πt 2π ⋅50 v =v0cos-T- =2 ⋅cos--2-- = 2

Найдем кинетическую энергию груза в джоулях:

2 2 E = mv--= 0,58⋅2-= 1,16 2 2

Ответ: 1,16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#18128Максимум баллов за задание: 1

Два тела массой $m = 6$ кг каждое движутся с одинаковой скоростью $v = 9$ м/c под углом $2α$ друг к другу. Энергия в джоулях, выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении, вычисляется по формуле

Q = mv2 sin2 α

где $m$ — масса в кг, $v$ — скорость в м/с. Найдите, под каким углом $2α$ должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилась энергия, равная $243$ Дж. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Вычислим возможные значения $α.$ Подставим данные условия в формулу энергии:

2 2 2 2 1 2 Q = mv sin α ⇔ 243 = 6⋅9 ⋅sin α ⇔ 2 = sin α ⇔

√2 π πk ⇔ sinα = ± --- ⇔ α = --+ --- 2 4 2

Заметим, что $2α ∈ [0;π]$ , так как это угол между направлениями движения двух тел. Тогда

α = π-+ πk ⇒ 2α = π+ πk ⇒ 0 ≤ π-+ πk ≤ π 4 2 2 2

Так как $k$ — целое, то единственное возможное значение $k = 0.$

Тогда искомый угол равен

2α = π-+π ⋅0 = π-= 90∘ 2 2

Ответ: 90

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#18613Максимум баллов за задание: 1

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $4 P = σST ,$ где $P$ — мощность излучения звезды в ваттах, $σ = 5,7⋅10−8$ $мВ2⋅тК4$ — постоянная Стефана-Больцмана, $S$ — площадь поверхности звезды в квадратных метрах, $T$ — температура в кельвинах.

Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $19 ⋅1020$ $м2$ , а мощность её излучения равна $5,13⋅1025$ Вт. Найдите температуру этой звезды в кельвинах.

Показать ответ и решение

Выразим из уравнения температуру в четвертой степени:

4 P = σST 4 P-- T = σS

Подставим значения $−8 Вт σ = 5,7⋅10 м2⋅К4,$ $1 20 2 S = 9 ⋅10 м ,$ $25 P = 5,13⋅10$ Вт:

4 5,13⋅1025 513 ⋅9 12 T = 5,7⋅10−8⋅ 1-⋅1020-=-57--⋅10 = 12 ( 93)4 3 = 81⋅10 = 3⋅10 ⇒ T = 3⋅10 = 3000

Ответ: 3000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#20616Максимум баллов за задание: 1

Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с фокусным расстоянием $f = 45$ см. Расстояние $d1$ от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 50 см до 70 см, а расстояние $d2$ от линзы до экрана — в пределах от 200 см до 270 см. Изображение на экране будет чётким, если выполнено соотношение $-1 + 1-= 1-. d1 d2 f$ На каком наименьшем расстоянии от линзы нужно поместить лампочку, чтобы её изображение на экране было чётким? Ответ дайте в сантиметрах.

Показать ответ и решение

Подставим $f = 45$ см в формулу линзы:

1 1 1 1 1 1 d1-+ d2 = 45 ⇔ d1 = 45 − d2

Так как мы ищем минимальное возможное значение $d1,$ то ему будет соответствовать максимально возможное значение $1d1,$ то есть максимально возможное значение $145 − 1d-. 2$

Максимум такого выражения достигается при минимальном возможном $1, d2$ то есть при максимально возможном $d = 270 2$ см:

-1 1- -1 d1 = 45 − d2 = = 1-− -1- = -5-= -1 45 270 270 54

Отсюда получаем значение $d1 = 54$ см, которое лежит в нужных пределах от 50 см до 70 см, то есть подходит по условию.

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#22946Максимум баллов за задание: 1

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса уменьшается по закону

− t m (t)= m0 ⋅2 T

Здесь $m0$ мг — начальная масса изотопа, $t$ мин — время, прошедшее с начала распада, $T$ мин — период полураспада. В начальный момент времени масса изотопа $m0 = 80$ мг.

Найдите период полураспада изотопа, если через 16 минут его масса будет равна 5 мг. Ответ дайте в минутах.

Показать ответ и решение

В условии указано значение функции $m (t) =5$ мг при $t= 16$ мин и $m0 = 80$ мг. Значит, можем составить следующее уравнение:

− t m (t)= m0 ⋅2 T 5 = 80⋅2− 1T6 21T6= 16 16= 4 T T = 4

Тогда период полураспада изотопа равен 4 мин.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#37906Максимум баллов за задание: 1

Независимое агентство намерено ввести рейтинг новостных интернет-изданий на основе показателей информативности $In,$ оперативности $Op,$ объективности $Tr$ публикаций, а также качества $Q$ сайта. Каждый отдельный показатель — целое число от $− 2$ до 2.

Составители рейтинга считают, что объективность ценится втрое, а информативность публикаций — вчетверо дороже, чем оперативность публикаций и качество сайта. Таким образом, формула приняла вид

R = 4In+-Op-+3T-r+-Q A

Найдите, каким должно быть число $A,$ чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг 1.

Показать ответ и решение

Подставим в формулу $R = 1,$ $In= Op = Tr = Q = 2:$

4⋅2+-2+-3⋅2+-2- 1 = A 18 1 = A- A = 18

Ответ: 18

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#38169Максимум баллов за задание: 1

Груз массой 0,25 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону

2πt v = v0sin T ,

где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 12$ с — период колебаний, $v = 1,6 0$ м/с. Кинетическая энергия $E$ груза в джоулях вычисляется по формуле

2 E = mv--, 2

где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 10 секунд после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Показать ответ и решение

Через 10 с после начала колебаний скорость груза равна

2π⋅10 5π ( π) v = 1,6⋅sin 12 = 1,6sin 3 = 1,6sin 2π − 3 = π 8 √3 4√3 = −1,6sin-3 = − 5 ⋅-2-= −-5-

Тогда кинетическая энергия равна

0,25⋅(− 4√3)2 2 E = --------5---= -4-⋅32 = 6- =0,24 2 4 ⋅2 ⋅5 25

Ответ: 0,24

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#38831Максимум баллов за задание: 1

При адиабатическом процессе для идеального газа выполняется закон

k 4 4 pV = 3,2⋅10 П а⋅м ,

где $p$ — давление в газе в паскалях, $V$ — объём газа в кубических метрах, $k = 4. 3$

Найдите, какой объём $V$ в кубических метрах будет занимать газ при давлении $p,$ равном $2⋅107$ Па.

Показать ответ и решение

Подставим известные нам значения в формулу:

7 43 4 2⋅10 ⋅V = 3,2⋅10 103 ⋅V 43 =1,6 4 (V 3) = 0,0016 V 13 4 = 0,0016 1 V3 = 0,2 V = 0,23 = 0,008

Ответ: 0,008

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#39632Максимум баллов за задание: 1

Дейенерис Бурерожденная из дома Таргариенов, Королева Андалов и Первых Людей, Владычица Семи Королевств, Неопалимая, Разрушительница Оков и Матерь Драконов освобождает рабов города Миэрин. В первый день Дейенерис освободила половину всех рабов и еще одного. Во второй день — половину оставшихся рабов и еще одного и так далее. На десятый день ей осталось освободить всего лишь одного раба. Сколько всего рабов было в городе Миэрин?

Показать ответ и решение

Действуем с конца: $(1 +1)⋅2= 4$ — число неосвобожденных рабов в 9 день, следовательно, $(4+ 1) ⋅2 = 10$ — число неосвобожденных в 8 день. Действуя аналогично, получаем:

в 7 день не были освобождены $(10+ 1)⋅2= 22$ раба;

в 6 день — $(22+ 1)⋅2= 46;$

в 5 день — $(46+ 1)⋅2= 94;$

в 4 день — $(94+ 1)⋅2= 190;$

в 3 день — $(190+ 1) ⋅2 = 382;$

во 2 день — $(382 +1)⋅2 =766;$

в 1 день в городе Миэрин было $(766 +1)⋅2 =1534$ раба.

Ответ: 1534

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#41105Максимум баллов за задание: 1

В ходе распада радиоактивного изотопа его масса $m$ уменьшается по закону

− t m = m0 ⋅2 T,

где $m 0$ — начальная масса изотопа в мг, $t$ — время, прошедшее от начального момента в минутах, $T$ — период полураспада в минутах. В начальный момент времени масса изотопа 40 мг. Период его полураспада составляет 10 мин. Найдите, через сколько минут масса изотопа будет равна 5 мг.

Показать ответ и решение

Подставим данные в формулу:

5= 40⋅2−1t0 ⇔ 2− t10-= 2− 3 ⇔ t= 30

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#45220Максимум баллов за задание: 1

Емкость высоковольтного конденсатора в телевизоре равна $C = 5⋅10−6$ Ф. Параллельно с конденсатором подключен резистор с сопротивлением $6 R = 5⋅10$ Ом. Во время работы телевизора напряжение на конденсаторе $U0 = 16$ кВ. После выключения телевизора напряжение на конденсаторе убывает до значения $U$ (кВ) за время $t= αRC ⋅log2 U0(c), U$ где $α =0,7$ — постоянная. Определите напряжение на конденсаторе, если после выключения телевизора прошло 35 с. Ответ дайте в киловольтах.

Показать ответ и решение

Подставим известные значения в формулу:

35= 0,7⋅5⋅106⋅5⋅10−6⋅log 16 2 U log 16 = 2 2 U 16 U = 4 U = 4

Ответ: 4