Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

Тема 9. Задачи прикладного характера

9.02 Задачи, сводящиеся к решению уравнений или вычислениям

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 41#45952Максимум баллов за задание: 1

Небольшой мячик бросают под острым углом $α$ к плоской горизонтальной поверхности земли. Максимальная высота полёта мячика $H$ (в м) вычисляется по формуле

v20 H = 4g(1− cos2α),

где $v0 = 12$ м/с — начальная скорость мячика, а $g$ — ускорение свободного падения (считайте $g = 10м/с2$ ). При каком наименьшем значении угла $α$ мячик пролетит над стеной высотой $4,4$ м на расстоянии 1 м? Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Подставим значения переменных из условия в формулу и получим уравнение:

5,4 = 122(1 − cos2α) 40 3 2 = 1− cos2α 3 2 2 = 2sin α 3 4 = sin2α √- sin α= ± -3- ⌊ 2 α = 60∘+360∘⋅k, k ∈ ℤ ⌈ ∘ ∘ α = 120 +360 ⋅k, k ∈ ℤ

Так как угол наклона к горизонту находится в промежутке от $0∘$ до $90∘,$ то $α = 60∘.$

Ответ: 60

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 42#45953Максимум баллов за задание: 1

Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объём и давление связаны соотношением $1,4 1,4 p1V1 = p2V2 ,$ где $p1$ и $p2$ — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, $V1$ и $V2$ — объём газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объём газа равен 192 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объёма нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Показать ответ и решение

Формулу $p1V1,4 = p2V 1,4 1 2$ можно переписать в виде

( V1)1,4 p2 V2 = p1.

Подставим значения переменных из условия в формулу

( )7 192 5 = 128 = 27 ⇔ V2 192 5 V2 = 2 = 32 ⇔ 192 V2 = 32-= 6.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 43#45954Максимум баллов за задание: 1

Водолазный колокол, содержаший $v = 5$ моль воздуха объёмом $V1 = 26$ л, медленно опускают на дно водоёма. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного объёма $V2$ (в л). Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, вычисляется по формуле $A= αvT log2 VV12,$ где $α= 8,5мДожль-⋅K-$ — постоянная, $T = 300$ К — температура воздуха. Найдите, какой объём $V2$ будет занимать воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 25500 Дж. Ответ дайте в литрах.

Показать ответ и решение

Подставим значения из условия в формулу и получим уравнение:

25500= 8,5⋅5⋅300⋅log 26 ⇔ 2 V2 26 -25500- 510- log2V2 = 85⋅5⋅30 = 85⋅3 = 2 ⇔ 26 V2 = 4 ⇔ V2 = 246= 6,5.

Ответ: 6,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 44#45965Максимум баллов за задание: 1

Независимое агентство намерено ввести рейтинг $R$ новостных изданий на основе показателей информативности $In,$ оперативности $Op$ и объективности $T r$ публикаций. Каждый отдельный показатель — целое число от -1 до 1. Составители рейтинга считают, что информативность публикаций ценится вчетверо, а объективность — вдвое дороже, чем оперативность, то есть

R = 4In+-Op+-2Tr- A

Найдите, каким должно быть число $A,$ чтобы издание, у которого все показатели максимальны, получило рейтинг 1.

Показать ответ и решение

Подставим данные в формулу:

1 = 4+-1+-2 ⇔ A = 7. A

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 45#45966Максимум баллов за задание: 1

Автомобиль разгоняется на прямолинейном участке шоссе с постоянным ускорением $a$ $( 2) в км/ч .$ Скорость $v$ (в км/ч) вычисляется по формуле $√--- v = 2la,$ где $l$ — пройденный автомобилем путь (в км). Найдите ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав 0,8 км, приобрести скорость 100 км/ч. Ответ дайте в $км/ч2.$

Показать ответ и решение

Подставим данные в формулу:

100= ∘2-⋅0,8a- a= 104⋅10 24 a= 6250

Ответ: 6250

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 46#58468Максимум баллов за задание: 1

Сила тока в неразветвлённой части полной цепи с $n$ параллельно соединенными одинаковыми элементами ЭДС может быть найдена по формуле $I = --ℰ--, R + rn$ где $ℰ$ — ЭДС каждого источника в вольтах, $R =5,6$ Ом — сопротивление цепи в омах, $r =2$ Ом — внутреннее сопротивление каждого источника. Сила тока составила треть от силы тока короткого замыкания одного источника $ℰ Iкз = r.$ Сколько элементов ЭДС в цепи?

Показать ответ и решение

По условию сила тока составила треть от силы тока короткого замыкания одного источника:

1 I = 3Iкз ℰ 1 ℰ R+-r-= 3 ⋅r- n --1r-= 1 ⋅ 1 R+ n 3 r R+ r-= 3r n --r--- ---2---- -2- n = 3r− R = 3⋅2− 5,6 = 0,4 =5

Ответ: 5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 47#58780Максимум баллов за задание: 1

Водолазный колокол, содержащий $ν = 2$ моль воздуха при давлении $p1 = 1,5$ атмосферы, медленно опускают на дно водоема. При этом происходит изотермическое сжатие воздуха до конечного давления $p2.$ Работа, совершаемая водой при сжатии воздуха, определяется выражением $p A = ανT log2p21,$ где $α = 5,75--Д-ж-- м оль ⋅К$ — постоянная, $T = 300$ К — температура воздуха. Найдите, какое давление $p2$ (в атмосферах) будет иметь воздух в колоколе, если при сжатии воздуха была совершена работа в 6900 Дж.

Показать ответ и решение

Подставим все известные из условия величины в формулу:

p2- 6900= 5,75⋅2 ⋅300⋅log21,5 p2- 23= 11,5 ⋅log21,5 p 23 log2 12,5-= 11,5- log2 p2-= 2 1,5 p2-= 22 1,5 -p2= 4 1,5 p2 = 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 48#58799Максимум баллов за задание: 1

Груз массой 0,08 кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $v = v0sin 2πTt,$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 12$ с — период колебаний, $v0 =0,5$ м/с. Кинетическая энергия $E$ (в джоулях) груза вычисляется по формуле $2 E = mv2-,$ где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 1 секунду после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Показать ответ и решение

Вместо $v$ подставим в формулу кинетической энергии соответствующее выражение для скорости груза:

mv2 m(v0sin 2πt)2 E = -2--= -----2-T---

Подставим известные из условия значения:

mv20sin2 2πTt 0,08-⋅0,52sin2 2π1⋅12 E = 2 = 2 = = 0,04 ⋅0,25sin2 π-= 0,04 ⋅0,25⋅0,52 = 0,0025 6

Ответ: 0,0025

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 49#71061Максимум баллов за задание: 1

Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью $v0 =22$ м/с, начал торможение с постоянным ускорением $a = 4$ м/с $2.$ За $t$ секунд после начала торможения он прошёл путь $S = vt− at2 0 2$ метров. Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал 60 метров. Ответ дайте в секундах.

Показать ответ и решение

Подставим имеющиеся значения в формулу:

4⋅t2 60= 22⋅t− -2--,

t2− 11t+30 = 0,

t1 = 5,t2 = 6.

Вопрос: какой из двух корней нам выбрать?

Заметим, что данное в условии уравнение $2 S = 22t− 4t, 2$ по своей сути, есть уравнение параболы ветвями вниз. Что нам даёт эта информация в контексте рассматриваемой задачи?

Первая трактовка происходящего $(t= 5):$ через 5 секунд автомобиль завершил тормозной путь длиной в 60 метров.

Вторая трактовка происходящего $(t= 6) :$ пусть между $t= 5$ и $t= 6$ есть некий момент $t0.$ Через $t0$ секунд автомобиль завершил тормозной путь длиной в более чем 60 метров, а потом (до момента $t= 6$ ) уже после полной остановки проехал немного назад, отчего расстояние между ним и начальной точкой пути торможения стало ровно 60 метров. Но проехал он до полной остановки изначально более 60 метров.

Почувствовали разницу? Вторая трактовка как бы пытается соответствовать условию, но в реальности является побочной и ложной. Поэтому в подобных задачах правильным является наименьший положительный корень уравнения.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 50#71581Максимум баллов за задание: 1

В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплён кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нём меняется по закону

H (t)= at2+ bt+ H0

Здесь $H$ — высота столба воды в метрах, $H0 = 8$ м — начальный уровень воды, $a = 1- 72$ $м/мин2$ и $b= − 2 3$ м/мин — постоянные, $t$ — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. Сколько минут вода будет вытекать из бака?

Показать ответ и решение

Задача сводится к решению квадратного уравнения с дробными коэффициентами. Из условия известно, что $H$ — это высота столба воды в момент времени $t.$ Нам необходимо найти время $t,$ при котором высота столба воды $H$ будет равна нулю, то есть вся вода вытечет из бака. Тогда имеем уравнение:

-1t2− 2t+ 8= 0 72 3 D = 4 − 4 ⋅8⋅ 1-= 4 − 4 =0 9 72 9 9 2 t= -3-= 24 2- 72

Значит, вода будет вытекать из бака в течение 24 минут.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 51#72205Максимум баллов за задание: 1

Груз массой $2,4$ кг колеблется на пружине. Его скорость $v$ меняется по закону $2πt v = v0cos T ,$ где $t$ — время с момента начала колебаний, $T = 2$ с — период колебаний, $v0 = 3,1$ м/с. Кинетическая энергия $E$ в джоулях груза вычисляется по формуле $2 E = mv-- 2$ , где $m$ — масса груза в килограммах, $v$ — скорость груза в м/с. Найдите кинетическую энергию груза через 3 секунды после начала колебаний. Ответ дайте в джоулях.

Показать ответ и решение

Запишем общую формулу кинетической энергии $E :$

( 2πt)2 m v0cos-T- E = ------2------.

Подставим имеющиеся значения переменных в формулу:

( ) 2π-⋅3 2 2,4--3,1cos--2---- 2,4(3,1cos3π)2- E = 2 = 2 =

= 2,4⋅9,61 = 1,2⋅9,61 = 11,532. 2

Ответ: 11,532

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 52#86192Максимум баллов за задание: 1

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 481 МГц. Скорость погружения батискафа $v$ вычисляется по формуле $f − f v = c⋅f +-f0, 0$ где $c =1500$ м/с — скорость звука в воде, $f0$ — частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала, регистрируемая приёмником (в МГц). Определите частоту отражённого сигнала в МГц, если скорость погружения батискафа равна 20 м/с. Ответ выразите в МГц.

Источники: СтатГрад 24.04.2024

Показать ответ и решение

Задача сводится к решению уравнения $v = 20$ м/с при известных значениях $c =1500$ м/с — скорости звука в воде и $f0 =481$ МГц — частоты испускаемых импульсов:

v = 20 f −-481 1500⋅ f + 481 = 20 f − 481 75⋅f-+481 = 1 75f − 75⋅481= f + 481 74f = 481⋅76 f = 13 ⋅38 = 494 М Гц.

Ответ: 494

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 53#89270Максимум баллов за задание: 1

Для обогрева помещения, температура в котором поддерживается на уровне $Tп =25∘C,$ через радиатор пропускают горячую воду. Расход проходящей через трубу радиатора воды $m = 0,15$ кг/с. Проходя по трубе расстояние $x,$ вода охлаждается от начальной температуры $∘ Tв = 57 C$ до температуры $T,$ причём

x = α⋅ cm-⋅log Tв−-Tп, γ 2 T − Tп

где $В-т⋅с- c= 4200кг⋅∘C$ — теплоёмкость воды, $--Вт- γ =63м ⋅∘C$ — коэффициент теплообмена, $α = 1,4$ — постоянная. Найдите, до какой температуры (в градусах Цельсия) охладится вода, если длина трубы радиатора равна 56 м.

Показать ответ и решение

Подставим данные в формулу:

4200-⋅0,15 57−-25- 56= 1,4 ⋅ 63 ⋅log2 T − 25 log2 -32---=4 T − 25 32 T-− 25-= 16 --2---= 1 T − 25 T =27

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 54#90613Максимум баллов за задание: 1

Для определения эффективной температуры звёзд используют закон Стефана-Больцмана, согласно которому $P = σST 4,$ где $P$ — мощность излучения звезды в ваттах, $σ = 5,7⋅10−8$ $мВ2⋅тК4$ — постоянная Стефана-Больцмана, $S$ — площадь поверхности звезды в квадратных метрах, $T$ — температура в Кельвинах.

Известно, что площадь поверхности некоторой звезды равна $-1- 20 729 ⋅10$ $2 м$ , а мощность её излучения равна $25 5,13⋅10$ Вт. Найдите температуру этой звезды в Кельвинах.

Источники: ЕГЭ 2024, основная волна, Дагестан

Показать ответ и решение

Выразим из уравнения температуру в четвертой степени:

4 4 P P = σST ⇒ T = σS-

Подставим значения $−8 -Вт- σ = 5,7⋅10 м2⋅К4,$ $1-- 20 2 S = 729 ⋅10 м ,$ $25 P = 5,13 ⋅10$ Вт:

T4 = ----5,13⋅1025----= 513⋅729⋅1012 = 5,7⋅10−8⋅7129 ⋅1020 57 4 12 ( 3)4 3 = 9 ⋅10 = 9 ⋅10 ⇒ T = 9⋅10 = 9000

Ответ: 9000

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 55#137670Максимум баллов за задание: 1

К источнику с ЭДС $𝜀= 180$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U = -𝜀R--. R + r$ При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 170 В? Ответ дайте в омах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Нам нужно найти такое значение $R,$ при котором $U = 170$ В, то есть

𝜀R R+-r-=170 180R = 170(R+ 1) 10R = 170 R = 17

Таким образом, напряжение на нагрузке будет 170 В при $R$ равном 17 Ом.

Ответ: 17

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 56#137671Максимум баллов за задание: 1

К источнику с ЭДС $𝜀= 130$ В и внутренним сопротивлением $r = 1$ Ом хотят подключить нагрузку с сопротивлением $R$ (в Ом). Напряжение (в В) на этой нагрузке вычисляется по формуле $U = -𝜀R--. R + r$ При каком значении сопротивления нагрузки напряжение на ней будет равно 120 В? Ответ дайте в омах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Нам нужно найти такое значение $R,$ при котором $U = 120$ В, то есть

𝜀R R+-r-=120 130R = 120(R+ 1) 10R = 120 R = 12

Таким образом, напряжение на нагрузке будет 120 В при $R$ равном 12 Ом.

Ответ: 12

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 57#137672Максимум баллов за задание: 1

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f =f0⋅ c+u-, c− v$ где $f0 = 160$ Гц — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 8$ м/с и $v = 11$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 170 Гц? Ответ дайте в м/c.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Задача сводится к решению уравнения $f = 170$ м/с при известных значениях $u = 8$ м/с и $v = 11$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды и $f0 = 160$ МГц — частота исходного сигнала:

-c+-8 170= 160⋅c− 11 c+ 8 17= 16⋅c-− 11 c+ 8 17 c− 11-= 16 16c +128= 17c− 187 c =315

Тогда скорость распространения сигнала в среде равна 315 м/с.

Ответ: 315

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 58#137673Максимум баллов за задание: 1

При сближении источника и приёмника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу со скоростями $u$ и $v$ (в м/с) соответственно, частота звукового сигнала $f$ (в Гц), регистрируемого приёмником, вычисляется по формуле $f =f0⋅ c+u-, c− v$ где $f0 = 140$ Гц — частота исходного сигнала, $c$ — скорость распространения сигнала в среде (в м/с), а $u = 15$ м/с и $v = 14$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды. При какой скорости распространения сигнала в среде частота сигнала в приёмнике будет равна 150 Гц? Ответ дайте в м/с.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Задача сводится к решению уравнения $f = 150$ м/с при известных значениях $u = 15$ м/с и $v = 14$ м/с — скорости источника и приёмника относительно среды и $f0 = 140$ МГц — частота исходного сигнала:

c+-15 150= 140⋅c− 14 c +15 15= 14⋅c-− 14 c+15 15 c− 14-= 14 14c +210= 15c− 210 c =420

Тогда скорость распространения сигнала в среде равна 420 м/с.

Ответ: 420

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 59#137674Максимум баллов за задание: 1

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 299 МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле $v = c⋅ f −-f0, f + f0$ где $c= 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f0$ — частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 5 м/с. Ответ дайте в МГц.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Задача сводится к решению уравнения $v = 5$ м/с при известных значениях $c =1500$ м/с — скорости звука в воде и $f0 = 299$ МГц — частоты испускаемых импульсов:

v =5 1500⋅ f −-299 =5 f + 299 300⋅ f −-299= 1 f + 299 300f − 300 ⋅299 = f + 299 299f = 299⋅301 f = 301 М Гц.

Тогда частота отражённого сигнала равна 301 МГц.

Ответ: 301

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 60#137676Максимум баллов за задание: 1

Локатор батискафа, равномерно погружающегося вертикально вниз, испускает ультразвуковые импульсы частотой 185 МГц. Скорость погружения батискафа $v$ (в м/с) вычисляется по формуле $v = c⋅ f −-f0, f + f0$ где $c= 1500$ м/с — скорость звука в воде, $f0$ — частота испускаемых импульсов (в МГц), $f$ — частота отражённого от дна сигнала (в МГц), регистрируемая приёмником. Определите частоту отражённого сигнала, если скорость погружения батискафа равна 20 м/с. Ответ дайте в МГц.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Задача сводится к решению уравнения $v = 20$ м/с при известных значениях $c =1500$ м/с — скорости звука в воде и $f0 = 185$ МГц — частоты испускаемых импульсов:

v = 20 1500⋅ f −-185= 20 f + 185 75⋅ f-− 185 = 1 f +185 75f − 75⋅185= f + 185 74f = 185⋅76 f = 2,5⋅76= 190 М Гц.

Тогда частота отражённого сигнала равна 190 МГц.

Ответ: 190