Тема 13. Решение уравнений

13.03 Тригонометрические: разложение на множители

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#1750Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

sin x + sin3x + cos x = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $( ) − 3π;π 2$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Применим формулу суммы синусов: $α-+-β- α-−-β- sinα + sin β = 2 sin 2 cos 2$ и получим:

⌊ π ⌊ x1 = --+ πn,n ∈ ℤ cosx = 0 || 2 2sin2x cos x + cosx = 0 ⇒ cosx (2 sin 2x + 1) = 0 ⇒ ⌈ ⇒ | x2 = − -π-+ πm, m ∈ ℤ sin 2x = − 1- |⌈ 12 2 5π- x3 = − 12 + πk,k ∈ ℤ

б) Отберем корни по окружности:

$PIC$

Отметим дугу, соответствующую промежутку $( ) 3π − ---;π 2$ : она отмечена голубым цветом (причем концы дуги выколоты). Таким образом, мы по одному разу проходимся по $I,III, IV$ четвертям и два раза по $II$ четверти.

Углы, попадающие на эту дугу:

7π 11π π 5π π π 7π 11π ---− 2π; ----− 2π; − --; − --; − ---; -; ---; ---- 12 12 2 12 12 2 12 12

Ответ:

а) $π π 5π --+ πn,− ---+ πm, − ---+ πk, n,m, k ∈ ℤ 2 12 12$

б) $17-π 13π- π- 5π- -π- π- 7π- 11π- − 12 ; − 12 ; − 2; − 12 ; − 12 ; 2; 12 ; 12$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#1752Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

2cos-3x-+-2cos-x-= 0 cosx

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $(0;3)$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $cosx ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ.

2cos 3x+ 2 cosx = 0 ⇒ п о ф орм уле трой ного угла дл я косину са: 2(4 cos3x − 3cosx )+ 2cos x = 0 ⇒

⌊ cosx = 0 cosx (8 cos2x − 4) = 0 ⇒ ⌈ 1 ⇒ cos2x = -- 2

Т.к. по ОДЗ $cos x ⁄= 0 ⇒$ решением будет только $√ -- 1 2 π π cos2 x = --⇒ cosx = ± ----⇒ x = --+ -n,n ∈ ℤ 2 2 4 2$

б) Отберем корни:

$π π 1 1 6 π 3π 0 < --+ -n < 3 ⇒ − --< n < − --+ --⇒ n = 0;1 ⇒ x = --;--- 4 2 2 2 π 4 4$

Ответ:

а) $π π --+ -n, n ∈ ℤ 4 2$

б) $π-3-π 4; 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#2239Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

sin x+ tg x= sin-2x- cosx

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $( π π) −2-;2-.$

Показать ответ и решение

а) Так как $sin-x tgx = cosx$ и $sin2x= 2sinxcosx,$ то уравнение можно переписать в виде

sinx + sinx-− 2sin-xcosx= 0 ⇔ sinxcosx+-sin-x−-2sinx-cosx-= 0 ⇔ cosx cosx cosx([ ([sinx= 0 || x = πn,n∈ ℤ ⇐ sinx(1−-cosx) = 0 ⇔ { cosx =1 ⇔ { x = 2πm,m ∈ ℤ cosx (cosx⁄= 0 ||( π- x ⁄= 2 +πk,k ∈ℤ

Для того, чтобы получить окончательный ответ, отметим решение на окружности:

$PIC$

Видим, что серия $x= 2πm$ входит в серию $x = πn.$ Следовательно, окончательный ответ

x= πn,n∈ ℤ

б) Отберем корни c помощью неравенств.

π- π- 1 1 − 2 < πn < 2 ⇔ − 2 < n< 2 ⇒ n= 0

Следовательно, $x =0.$

Ответ:

а) $x = πn,n∈ ℤ$

б) 0

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#2241Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

( ) ( ) π- 9π- sin x + 8 = sin 8 + x

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку $[ ] 3π- 3π- − 4 ; 4 .$

Показать ответ и решение

Заметим, что $9π π ---= π + -- 8 8$ , следовательно, сделаем замену $π x + --= t 8$ :

sin t = sin(π + t) ⇔ sint = − sint ⇔ sint = 0 ⇔ t = πn, n ∈ ℤ

Тогда, вернувшись к изначальной переменной, получим ответ

π x = − --+ πn, n ∈ ℤ. 8

б) Отберем корни.

$3π π 3π 5 7 − ---≤ − --+ πn ≤ --- ⇔ − --≤ n ≤ -- ⇒ n = 0. 4 8 4 8 8$ Следовательно, $π x = − --. 8$

Ответ:

а) $π − --+ πn, n ∈ ℤ 8$

б) $π − 8-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#2277Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

sin-3x-+-sin-x-= 0 sin x − 1

б) Найдите наибольший отрицательный корень данного уравнения.

Показать ответ и решение

а) По формуле синуса тройного угла $sin 3x = 3 sin x − 4sin3x$ , следовательно:

3 2 4sin-x −-4sin-x- 4-sin-x(1 −-sin--x) sin-x(1 −-sin-x)(1 +-sin-x) sin x − 1 = 0 ⇔ sinx − 1 = 0 ⇔ sin x − 1 = 0

Данное уравнение равносильно системе:

( ⌊ |{ sinx ⁄= 1 x = πm, m ∈ ℤ [ sin x = 0 ⇔ | |( ⌈ π- sin x = − 1 x = − 2 + 2πn, n ∈ ℤ

б) Отберем корни.

$πm < 0 ⇔ m < 0 ⇒ mmax = − 1 ⇒ xmax = − π$

$− π-+ 2πn < 0 ⇔ n < 1- ⇒ nmax = 0 ⇒ xmax = − π- 2 4 2$

Заметим, что среди найденных в каждой серии наибольших отрицательных корней самым большим является $π − -- 2$ .

Ответ:

а) $π − --+ 2πn; πm, n, m ∈ ℤ 2$

б) $π − 2-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#2479Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $sin2 2x + sin4x + cos 4x = 0.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие интервалу $(− 1;0)$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ.

Воспользуемся формулами двойного угла для синуса $sin2α = 2sinα cos α$ и косинуса $cos2α = cos2α − sin2α$ :

$2 2 2 2 sin 2x + 2 sin 2x cos2x + cos 2x − sin 2x = 0 ⇒ cos 2x + 2 sin 2x cos 2x = 0 ⇒$

$[ cos2x (cos2x + 2 sin 2x) = 0 ⇒ cos 2x = 0 ⇒ cos 2x + 2sin 2x = 0$

$⌊ ⌊ π π 2x = π-+ πn, n ∈ ℤ x1 = --+ --n,n ∈ ℤ ⌈ 2 ⇒ |⌈ 4 2 ctg2x = − 2 x2 = − 1-arcctg2 + πm, m ∈ ℤ 2 2$

б) Отберем корни:

1) $− 1 < x < 0 ⇒ − 2-− 1-< n < − 1- 1 π 2 2$ .

Т.к. $7 2 4 2 1 15 π π < --⇒ --> --⇒ − --− --< − ---⇒ n = − 1 ⇒ x = − -- 2 π 7 π 2 14 4$

2) Обозначим $arcctg2 = α$ , тогда $2- α- α- − 1 < x2 < 0 ⇒ − π + π < m < π$ .

Т.к. $3 < π < 4 ⇒ 1-< 1-< 1-⇒ − 2-< − 2- < − 1- 4 π 3 3 π 2$

Т.к. в первой четверти котангенс убывает и $2 > 1$ , то $π α 1 α < --⇒ 0 < --< -- 4 π 4$

Следовательно, $2- 2- α- 1- − 3 < − π + π < − 4$

Условно можно записать, что $1 − 0,...< m < 0,...⇒ m = 0 ⇒ x = − --arcctg2 2$

Ответ:

а) $π π 1 π --+ -n, − -arcctg2 + --m, n, m ∈ ℤ 4 2 2 2$

б) $π- 1- − 4 ;− 2arcctg2$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#2480Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

cos2x ⋅ (tg2x + 1) =-------1------ cos2 x − sin2 x

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ π] 0; -- 2$ .

Показать ответ и решение

а) ОДЗ: $cos2x − sin2 x ⁄= 0$ . Решим на ОДЗ.

По формуле двойного угла для косинуса $cos2x − sin2x = cos2x$ , значит:

$1 cos2x(sin2x + cos2x) 1 cos2x (tg2x + 1) − ------= 0 ⇒ ----------------------− ------= 0 ⇒ cos2x cos2x cos2x$

${ ( [ cos2x sin 2x + cos2 2x − 1 cos2x sin 2x − sin22x = 0 |{ sin 2x = 0 --------------------------= 0 ⇒ ⇒ cos 2x − sin 2x = 0 ⇒ cos 2x cos2x ⁄= 0 |( cos2x ⁄= 0$

$( [ ( ⌊ |{ 2x = πn,n ∈ ℤ ||{ 2x = πn, n ∈ ℤ tg2x = 1 ⇒ ⌈ π- |( || 2x = 4 + πm, m ∈ ℤ cos2x ⁄= 0 ( cos 2x ⁄= 0$

Подставим полученный ответ для $2x$ в $cos 2x$ :
$cos(πn ) = ±1 ⁄= 0$ – значит ответ $π 2x = πn ⇒ x = --n,n ∈ ℤ 2$ нам подходит.

$√ -- ( π ) 2 cos --+ πm = ± ----⁄= 0 4 2$ – значит ответ $π π π 2x = --+ πm ⇒ x = --+ --m, m ∈ ℤ 4 8 2$ нам также подходит.

б) Отберем корни:

π π π 0 ≤ --n ≤ -- ⇒ 0 ≤ n ≤ 1 ⇒ n = 0;1 ⇒ x = 0; -- 2 2 2

π π π 1 3 π 0 ≤ --+ --m ≤ --⇒ − --≤ m ≤ --⇒ m = 0 ⇒ x = -- 8 2 2 4 4 8

Ответ:

а) $π π π --n,--+ --m, m, n ∈ ℤ 2 8 2$

б) $0; π; π- 8 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#2714Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $√ - √- 2cos2xsinx − 3sin x+ 2cos2x = 3.$

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку $[ ) − π-; 3π . 2 2$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ: $x$ — произвольное. Решим на ОДЗ.

Перенесем все слагаемые в левую часть и вынесем общие множители за скобки:

√ - √- 2cos2x(sinx + 1) − 3(sinx+ 1)= 0⇒ (sin x+ 1)(2cos2x− 3)= 0 ⇒

⌊ π ⌊ |x1 = − 2-+2πn, n∈ ℤ ⌈ sinx = −1√- ||x = π-+ πm, m ∈ℤ ⇒ cos2x = -3- ⇒ |⌈ 2 12 2 x3 = − π-+ πk, k ∈ ℤ 12

б) Отберем корни с помощью неравенств:

π- 3π π- −2 ≤ x1 < 2 ⇒ 0≤ n< 1 ⇒ n = 0 ⇒ x= − 2

− π-≤ x2 < 3π ⇒ −-7 ≤m < 17- ⇒ m = 0;1 ⇒ x= π-; 13π 2 2 12 12 12 12

π- 3π -5 19 -π 11π − 2 ≤ x3 < 2 ⇒ − 12 ≤k < 12 ⇒ k =0;1 ⇒ x = −12; 12

Ответ:

а) $− π+ 2πn, π-+ πm, − π-+ πk, n,m,k ∈ℤ 2 12 12$

б) $− π-;− π-; π-; 11π; 13π 2 12 12 12 12$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#11729Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение

2sin2-x−-sin-x 2cosx− √3- = 0

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ ] 3π- 2 ;3π$ .

Показать ответ и решение

а) Перейдем от исходного уравнения к равносильной системе:

$pict$

б) Отберем корни с помощью неравенств и с учетом $k,m ∈ ℤ$ :

⌊ 3π-≤ πk ≤ 3π ⇔ 3 ≤ k ≤ 3 ⇔ ⌈k = 2, x = 2π 2 2 k = 3, x = 3π

3π-≤ 5π-+ 2πm ≤ 3π ⇔ 3≤ 5-+ m ≤ 3 ⇔ 1≤ m ≤ 13 2 6 4 12 2 3 12

Отсюда $17π- m = 1, x = 6 .$

Ответ:

а) $5π πk, k ∈ ℤ; 6-+ 2πm, m ∈ ℤ$

б) $2π; 3π; 17π- 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#15823Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $√- 2( 3π ) 2 3sin 2 +x + sin2x =0.$

б) Найдите его решения, принадлежащие промежутку $[ ] 3π- − 2 ;0 .$

Показать ответ и решение

a) Преобразуем левую часть уравнения с помощью формул приведения и синуса двойного угла:

√ - 2 2 3cos x+ 2sinx cosx = 0

Вынесем общий множитель за скобки:

√- 2cosx⋅( 3 cosx +sinx)= 0

Последнее уравнение равносильно совокупности

⌊ √- ⌈ 3cosx+ sinx = 0 cosx = 0

Решим первое из полученных уравнений при условии $cosx⁄= 0 :$

√- √- 3cosx+ sinx = 0 ⇔ 3 +tgx = 0 √ - π- tg x= − 3 ⇔ x= − 3 +πn, n∈ ℤ

Решим второе уравнение совокупности:

π cosx= 0 ⇔ x = 2 + πm, m ∈ ℤ

б) Найдем решения, которые принадлежат промежутку $[ ] − 3π;0 . 2$

x= − π-+πn : 3 − 3π ≤ − π-+ πn≤ 0 ⇔ − 7 ≤n ≤ 1 ⌊ 2 3 ⌊ 6 3 n = 0 x = − π ⌈ ⇒ ⌈ 34π n = −1 x = −-3

π- x= 2 + πm : 3π π 1 − -2 ≤ 2 + πm ≤ 0 ⇔ − 2≤ m ≤ −2 ⌊ ⌊ ⌈m = −1 ⌈x= − π2 m = −2 ⇒ x= − 3π- 2

Ответ:

a) $π- π- − 3 + πn, n∈ ℤ; x = 2 +πm, m ∈ℤ$

б) $− 3π ,− 4π,− π,− π 2 3 2 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#17140Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $3 5sinx − 4sin x= 2 sin(2x).$

б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку $[ ] − 7π;−2π . 2$

Показать ответ и решение

а)

5sinx − 4 sin3x= 2sin(2x) ( 2 ) si(nx 5(− 4 sin x)=) 4sin xcosx sinx 1+ 4 1− sin2x − 4sinx cosx = 0 sin x(1+ 4cos2x) − 4 sinxcosx= 0 ( 2 ) sin x 4cos x − 4 cosx +1 =0

$pict$

б) Учитываем, что $k ∈ ℤ.$ Отберем корни из первой серии:

7π − 2 ≤πk ≤ −2π − 3,5 ≤k ≤ −2 ⌊ k = − 3, x = −3π ⌈ k = − 2, x = −2π

Отберем корни из второй серии:

− 7π-≤ π-+ 2πk ≤ −2π 2 3 7 1 − 4 ≤ 6 + k ≤ −1 23 1 −12 ≤ k ≤ −16 k ∈ ∅

Отберем корни из третьей серии:

7π π − 2- ≤− 3-+2πk ≤ −2π 7 1 − 4 ≤− 6 +k ≤ −1 − 19≤ k ≤− 5 12 6 k = −1, x= − 7π 3

Ответ:

а) $πk;$ $π- ± 3 + 2πk,$ $n∈ ℤ$

б) $− 3π;$ $− 7π; 3$ $− 2π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#22951Максимум баллов за задание: 2

a) Решите уравнение $√- (7π ) 1− 2sin 2 − x + cos2x= 0.$

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $[ ] 11π 2 ;7π .$

Показать ответ и решение

а) По формулам приведения и формуле косинуса двойного угла имеем:

√ - (7π ) 1 − 2sin -2 − x + cos2x = 0 √- 1+ 2 cosx +2cos2x− 1= 0 2 √- 2cosx + 2cosx= 0 ( √ -) cosx 2cosx+ 2 = 0

$pict$

б) Рассмотрим корни вида $x = π+ πk. 2$ Если они принадлежат отрезку $[ ] 11π;7π , 2$ то

11π ≤ x≤ 7π 2 11π ≤ π+ πk ≤7π 2 2 11 1 1 2 − 2 ≤ k ≤ 7− 2 5 ≤k ≤ 6,5

Так как $k ∈ℤ,$ то $k = 5$ или $k = 6,$ значит, корни $π- 11π 2 +5π = 2$ и $π- 13π 2 + 6π = 2$ лежат на отрезке $[11π ] 2 ;7π .$

Рассмотрим корни вида $x= 3π + 2πk. 4$ Если они принадлежат отрезку $[ ] 11π-;7π , 2$ то

11π -2- ≤ x≤ 7π 11π 3π -2- ≤ 4-+ 2πk ≤ 7π 11 − 3≤ 2k ≤7 − 3 2 4 4 19≤ k ≤ 25- 8 8

Таким образом, $k = 3.$ Значит, корень $3π+ 6π = 27π- 4 4$ лежит на отрезке $[ ] 11π-;7π . 2$

Рассмотрим корни вида $x= − 3π+ 2πk. 4$ Если они принадлежат отрезку $[ ] 11π;7π , 2$ то

11π ≤ x≤ 7π 2 11π ≤ − 3π + 2πk ≤ 7π 2 4 11 + 3≤ 2k ≤7 + 3 2 4 4 25 31- 8 ≤ k ≤ 8 1 7 38 ≤ k ≤ 38

Значит, ни один корень вида $3π x= − 4-+ 2πk$ не принадлежит отрезку $[11π ] -2-;7π .$

Тогда указанному промежутку принадлежат корни $11π -2-,$ $13π -2-$ и $27π -4-.$

Ответ:

а) $π- 3π 2 + πk; ± 4 +2πk, k ∈ ℤ$

б) $11π; 13π; 27π- 2 2 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#37909Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $sin 3x + sinx =2 cos2x.$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − π-;π . 2$

Показать ответ и решение

а)

2 sin 3x+ sinx = 2cos x

Раскроем $sin3x$ как синус суммы углов $2x$ и $x :$

sin3x =sin(2x +x)= sin2x⋅cosx+ sinx ⋅cos2x =2 sinxcos2x+ sinx(2cos2x− 1)= =2 sinxcos2x+ 2sin xcos2x − sinx= 4 sinxcos2x− sinx

Подставим полученное выражение в уравнение.

2 sin 3x+ sinx = 2cos x (4 sinxcos2x− sinx)+ sin x− 2cos2x = 0 4sin xcos2x − 2cos2x =0 2cos2x(2sinx − 1)= 0

Выражение в левой части уравнения равно 0, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть

⌊ [cosx= 0 |x= π2 + πk, k ∈ℤ 2cos2x(2sin x− 1)= 0 ⇔ sinx = 1 ⇔ ⌈x= π6 + 2πk, k ∈ ℤ 2 x= 5π6 +2πk, k ∈ ℤ

б) Отметим отрезок $[ ] − π;π 2$ на тригонометрической окружности:

$PIC$

В указанном промежутке находятся $π- π- π- 5π x =− 2; 6; 2; 6 .$

Ответ:

а) $π+ πk; π+ 2πk; 5π+ 2πk, k ∈ℤ 2 6 6$

б) $− π-, π-, π-, 5π 2 6 2 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий. Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#38172Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) ( ) sin 2x+ 5π − 3cos x− 7π = 1+ 2sin x. 2 2$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− π;π]. 3$

Показать ответ и решение

а) Уравнение равносильно

cos2x+ 3sin x= 1+ 2sin x ⇔ 1− 2sin2x + sinx− 1 =0 ⇔ [ ⌊x= πn, n∈ ℤ sinx = 0 | π sinx(2sin x− 1)= 0 ⇔ sinx = 12 ⇔ ⌈x= 65π+ 2πn, n ∈ℤ x= 6 +2πn, n∈ ℤ

б) Отберем корни по окружности:

$PIC$

Таким образом, указанному отрезку принадлежат корни $x= 0; π; 5π-; π. 6 6$

Ответ:

а) $πn, π-+ 2πn, 5π + 2πn, n∈ ℤ 6 6$

б) $0; π; 5π ; π 6 6$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#38817Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $2cos4x + 7cos3 x+ 6cos2x − cosx − 2 = 0$ .

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку $[ π] − 2π;−-- 2$ .

Показать ответ и решение

Пусть $cosx = t$ . Получим уравнение 4 степени: $2t4 + 7t3 + 6t2 − t− 2 = 0$ . В этом уравнении свободный коэффициент $a0 = − 2$ , старший — $a4 = 2$ . По теореме о рациональных корнях $.. a0 . p$ , $.. a3. q$ , и кандидатами на роль рационального корня $p q$ уравнения являются числа: $± 1$ ; $± 1 2$ ; $± 2$ .

После подбора среди данных кандидатов видим, что подходит $t = − 1$ : $4 3 2 2 ⋅(− 1) + 7⋅(− 1) + 6⋅(− 1) − (− 1)− 2 = 2 − 7+ 6+ 1− 2 = 0$ . Тогда многочлен $4 3 2 2t + 7t + 6t − t − 2$ делится на $t+ 1$ и раскладывается следующим образом: $4 3 2 3 2 2t + 7t + 6t − t− 2 = (t+ 1)(2t + 5t + t− 2)$ .

Теперь рассмотрим многочлен $3 2 2t +5t + t− 2$ . У него свободный коэффициент $a0 = − 2$ , старший — $a3 = 2$ . По теореме о рациональных корнях $a0 ... p$ , $a3 ... q$ , и кандидатами на роль рационального корня $p q$ уравнения являются числа: $± 1$ ; $± 1 2$ ; $± 2$ .

После подбора среди данных кандидатов видим, что подходит $t = − 2$ , и тогда наш многочлен можно представить в виде: $3 2 2 2t + 5t + t− 2 = (t+ 2)(2t +t − 1)$ . А уравнение $2 2t + t− 1 = 0$ имеет корни $t1 = − 1$ и $t2 = 0,5$ .

Таким образом, все корни уравнения $4 3 2 2t + 7t + 6t − t− 2 = 0$ :

$pict$

Проведем отбор с помощью единичной окружности:

$PIC$

Получим корни $5π − -3-$ ; $− π.$

Ответ:

а) $π+ 2πk$ , $π ± 3-+ 2πk, k ∈ ℤ$ ; б) $5π − -3-$ ; $− π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#41107Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $4sin2(x − π)= ctgx. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[− 5π;− 4π].$

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ: $sinx⁄= 0,$ откуда $x ⁄= πn,n∈ ℤ.$

На ОДЗ уравнение можно преобразовать:

4cos2x= cosx- ⇔ sinx ( 1 ) cosx ⋅ 4cosx− sinx- =0 ⇔ ⌊ ⌈cosx= 0 ⇔ 4cosxsin x= 1 ⌊ ⌈cosx= 0 ⇔ 2sin 2x= 1 ⌊ |x = π+ πn,n ∈ℤ || 2 ||x = π-+ πm,m ∈ ℤ |⌈ 12 x = 5π+ πk,k ∈ ℤ 12

Все серии решений удовлетворяют ОДЗ.

б) Отберем корни на окружности:

$ππ5π −−−−−54455πππππ −++ 21212-$

Таким образом, на данном отрезке лежат корни $59π 55π- 9π − 12 ;− 12 ;− 2 .$

Ответ:

а) $π+ πn; π-+ πm; 5π + πk, n,m,k ∈ℤ 2 12 12$

б) $59π 55π 9π − -12 ;− 12-;−-2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#42149Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) cos3xsin3x = cos π-cos 12x+ 3π . 3 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 3π;− π-. 4 4$

Показать ответ и решение

а) По формуле двойного угла для синуса левая часть преобразуется в $1sin6x 2$ , следовательно, уравнение примет вид

1 1 2 sin6x = 2 ⋅sin12x ⇔ sin6x= 2sin 6xcos6x ⇔ sin6x(2 cos6x− 1)= 0 ⇔ ⌊ | sin6x = 0 ⌈ 1 ⇔ cos6x = 2 ⌊ |⌈ 6x= πn,n ∈ℤ ⇔ 6x= ± π+ 2πm,m ∈ ℤ ⌊ 3 | x= π-n,n∈ ℤ |⌈ 6 x= ± π-+ πm, m ∈ℤ 18 3

б) Сделаем отбор корней по окружности.

$−−xxxxxxx12345673ππ- 44$

$5π x1 = − 18,$ $π x2 = − 3,$ $7π x3 = −18,$ $π x4 = −2-,$ $11π x5 = − 18$ , $2π x6 = − 3-,$ $x7 =− 13π. 18$

Ответ:

а) $πn,±-π + πm, 6 18 3$ где $n,m ∈ ℤ$

б) $5π π 7π π 11π 2π 13π − -18 ;− 3;− 18;−2-;− 18-;−-3 ;− 18-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#42152Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $sin4 x− cos4 x= cos(x− π-). 4 4 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $[ ] − 3π;π . 2$

Показать ответ и решение

а) По формуле разности квадратов и по формуле приведения получаем:

( ) ( ) sin2 x+ cos2 x ⋅ sin2 x− cos2 x =sinx ⇔ 4 4 4 4 x x x − cos2 = 2 sin2 cos 2 ⇔ x ( x ) cos2 ⋅2 sin2 + 1 = 0 ⇔ ⌊ cos x = 0 || 2 ⇔ ⌈sin x = − 1 ⌊ 2 2 x = π+ 2πn,n∈ ℤ || ||x = − π-+ 4πm,m ∈ ℤ || 3 ⌈x = − 5π + 4πk,k ∈ ℤ 3

б) Отберем корни неравенствами:

1): $3π 5 − 2 ≤ π+ 2πn≤ π ⇔ − 4 ≤n ≤ 0 ⇒ n =− 1;0 ⇒ x= −π;π$
2): $− 3π ≤ − π-+ 4πm ≤π ⇔ −-7 ≤ m ≤ 1 ⇒ m = 0 ⇒ x =− π- 2 3 24 3 3$
3): $3π 5π 1 2 − -2 ≤ −-3 +4πk ≤ π ⇔ 24 ≤ k ≤ 3 ⇒ k ∈ ∅ ⇒ x ∈∅$

Ответ:

а) $π + 2πn, − π+ 4πm, − 5π-+ 4πk, 3 3$ где $n,m,k ∈ℤ$

б) $π − π;− 3;π$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#47422Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение $( ) √- √- sin 2x + 2cos x − π- = 3cosx+ 3. 2$

б) Найдите все корни этого уравнения, лежащие на отрезке $[ 3π] − 3π;− -2 .$

Показать ответ и решение

а) Так как $sin2x =2 sinxcosx$ и $( ) ( ) cos x − π-= cos π-− x = sin x, 2 2$ то уравнение примет вид:

2sinxcosx+ 2sinx− √3-cosx-− √3-= 0 ⇔ √ -------- --- 2sinx(cosx + 1)− 3(cosx+ 1)= 0 ⇔ (2sinx− √3)(cosx + 1) =0 ⇔ ⌊ √- ⌈sinx = -3- 2 ⇔ ⌊cosx= −1 x= π+ 2πk,k ∈ ℤ || 32π ||x= 3-+ 2πk, k ∈ℤ ⌈ x= − π+ 2πk, k ∈ℤ

б) Отберем корни на тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ 3π] −3π;− 2- ,$ концы этой дуги и лежащие на ней точки серий из пункта а).

$−−− 3 53πππ 23$

Следовательно, на отрезке $[ ] 3π − 3π;− 2$ лежат точки $5π − 3 ;− 3π.$

Ответ:

а) $π+ 2πk, 2π +2πk,−π + 2πk, k ∈ ℤ 3 3$

б) $5π − -3 ;− 3π$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#57988Максимум баллов за задание: 2

а) Решите уравнение: $√- ( ) cos2x+ sin x= 2 sin x + π-. 4$

б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку $[ 5π ] −4π;−-2 .$

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулой $sin (α + β)= sinα cosβ +sinβcosα$ для правой части:

2 √ -( √2- √2 ) cos x +sinx= 2 sin x⋅-2-+ cosx ⋅-2- 2 cos x +sinx= sin x+ cosx cos2x − cosx =0 cosx(cosx− 1)= 0 ⌊ ⌈cosx= 0 cosx= 1 ⌊ π- ⌈x = 2 +πk, k ∈ ℤ x = 2πk, k ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью числовой окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку $[ ] −4π;− 5π- , 2$ концы этой дуги, а также те решения, что лежат на этой дуге.

$−−−45π7ππ- 22$

Ответ:

а) $x = 2πk, π-+ πk, k ∈ℤ 2$

б) $− 4π,$ $− 7π, 2$ $− 5π 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах	2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)	1
ИЛИ
получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2