14.01 Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан куб 
со стороной 
На стороне 
отмечена точка 
такая, что 
Через точки 
и 
проходит плоскость 
параллельная
прямой 
а) Докажите, что 
если 
— точка пересечения 
с прямой
б) Найдите меньший из отрезков, на которые плоскость 
делит диагональ
Источники:
а) Рассмотрим плоскость 
Пусть прямая 
пересекает 
в
точке 
Так как плоскость 
то 
и прямая 
обязательно
параллельна 
По теореме о пропорциональных отрезках для параллельных
прямых 
и угла 
Рассмотрим плоскость 
Треугольники 
и 
подобны по двум углам, так как 
как вертикальные и
как накрест лежащие при 
Тогда
имеем:
Отсюда получаем, что
Тогда если 
то 
и 
Отсюда следует, что
б) Рассмотрим плоскость 
Тогда 
как диагональ
квадрата со стороной 
и 
Рассмотрим плоскость 
Пусть 
— точка пересечения диагоналей
куба и 
Тогда 
— это точка пересечения 
и 
По
теореме о пропорциональных отрезках для параллельных прямых 
и
угла 
Отсюда получаем, что 
Кроме того, 
как
половина диагонали куба с ребром 
Тогда искомый отрезок равен
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан прямоугольный параллелепипед 
Точка 
— центр грани
Сечения параллелепипеда плоскостями 
и 
являются
прямоугольниками, 
и 
— их меньшие стороны соответственно.
Известно, что 
и 
в 3 раза меньше соответственных больших сторон
прямоугольников.
а) Докажите, что 
— квадрат.
б) Найдите угол между прямой 
и плоскостью 
Источники:
а) Если две параллельные плоскости пересекаются третьей, то линии их пересечения параллельны.
Тогда плоскость 
пересекает плоскость верхнего основания по прямой,
параллельной 
Пусть данная прямая пересекает 
и 
в точках 
и 
соответственно.
Плоскость 
пересекает плоскость верхнего основания по прямой,
параллельной 
Пусть данная прямая пересекает 
и 
в точках 
и 
соответственно.
Пусть 
Тогда по условию 
Так как 
и 
проходят через центр 
прямоугольника 
то имеем:
Так как 
— прямоугольный параллелепипед, то его
боковые ребра перпендикулярны основаниям. Тогда по теореме Пифагора для
прямоугольного треугольника 
По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника 
Так как 
то получаем уравнение:
Получили, что 
значит, 
— прямоугольник с равными
сторонами, то есть квадрат.
б) Проведем высоту 
в треугольнике 
Заметим, что 
то
есть 
Также 
так как 
Тогда прямая
перпендикулярна двум пересекающимся прямым из плоскости 
следовательно, 
Тогда 
перпендикулярна любой прямой из
плоскости 
в частности 
Получили, что 
Следовательно, 
и
— проекция точки 
на плоскость 
Тогда угол между прямой 
и плоскостью 
равен углу 
Найдем его из прямоугольного
треугольника 
Найдем 
Из пункта а) имеем:
По формуле высоты, проведенной к гипотенузе прямоугольного треугольника, получаем:
По теореме Пифагора для треугольника 
Тогда из прямоугольного треугольника 
имеем:
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Основанием прямой четырёхугольной призмы 
является квадрат
со стороной 
высота призмы равна 
Точка 
— середина
ребра 
Через точки 
и 
проведена плоскость 
параллельная прямой
a) Докажите, что сечением призмы плоскостью 
является равнобедренный
треугольник.
б) Найдите периметр треугольника, являющегося сечением призмы плоскостью
Источники:
а) Рассмотрим треугольник 
По условию 
— середина ребра 
Через точку 
проведем среднюю линию 
параллельную стороне 
Тогда точка 
лежит в плоскости 
так как эта плоскость параллельна прямой
Диагонали 
и 
квадрата 
точкой пересечения делятся
пополам, при этом 
— середина 
Значит, 
и 
пересекаются в
точке 
Прямая 
проходит через точки 
и 
лежащие в плоскости 
Следовательно, прямая 
лежит в плоскости 
значит, 
—
искомое сечение.
Рассмотрим прямоугольные треугольники 
и 
У этих
треугольников катеты 
и 
равны как стороны квадрата 
а
катет 
— общий. Значит, 
по двум катетам. В равных
треугольниках соответственные элементы равны, поэтому 
Следовательно, треугольник 
— равнобедренный.
б) По теореме Пифагора в треугольнике 
Значит, 
По теореме Пифагора в треугольнике 
Значит, 
Тогда периметр 
треугольника 
равен
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дан куб 
Точки 
и 
— середины его ребер 
и 
соответственно. Плоскость 
проходит через точку 
параллельно прямым
и 
а) Докажите, что плоскость 
проходит через точку 
б) Найдите площадь сечения куба плоскостью 
если его ребра равны
2.
Источники:
а) Проведем через точку 
прямую параллельно 
пусть это 
Далее, поскольку 
по построению и 
по условию, то
— параллелограмм по определению. При этом 
— середина 
а
значит,
Получили, что 
— середина ребра 
Пусть 
— центр нижнего основания. Тогда по свойствам квадрата в
основания куба получаем, что 
и 
Отсюда 
— параллелограмм по признаку. Следовательно, 
Таким образом, мы получаем, что плоскость 
содержит прямые 
и 
При этом 
содержит отрезок 
а значит и всю прямую, на которой он лежит.
Тогда прямая 
лежит в плоскости 
следовательно, точка 
тоже
принадлежит 
б) Пусть 
— середина 
Поскольку плоскость сечения пересекает
нижнюю грань по прямой 
то верхняя грань пересекается по прямой,
параллельной 
а значит, и параллельной 
При этом прямая 
параллельна 
поскольку является средней линией 
Тогда
сечение куба плоскостью 
— четырехугольник 
По теореме Пифагора для 
По теореме Пифагора для 
Но известно, что 
и 
Значит, получаем 
Более того, они не могут быть параллельны в силу теоремы о трех попарно
пересекающихся плоскостях (
и 
).
Таким образом, получаем, что 
— равнобедренная трапеция.
Заметим, что 
как средняя линия 
Следовательно, по
теореме Пифагора для треугольника 
получаем:
Кроме того, отрезок 
равен 
как диагональ квадрата со стороной
2.
По теореме Пифагора для 
Так как 
то мы знаем все стороны сечения. Более того,
так как данная трапеция равнобедренная, то она может быть вписана в
окружность. Значит, применима формула Брахмагупты для площади вписанного
четырехугольника. Для начала вычислим полупериметр:
Тогда имеем:
б) 4,5
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной призме 
отмечены точки 
и 
на ребрах
и 
соответственно. Известно, что 
и
– равнобедренная трапеция.
а) Докажите, что 
б) Найдите объем призмы, если известно, что 
Источники:
a) Пусть 
тогда 
а 
Спроецируем точку 
на грань 
в результате получим точку 
—
середина 
Рассмотрим грань 
проведем 
и продлим 
до пересечения с
продолжением стороны 
пусть это пересечение происходит в точке
Заметим, что 
— параллелограмм, а значит, 
а
поскольку 
то 
Треугольники 
и 
подобны по двум углам (
как
накрест лежащие при параллельных прямых 
и 
и секущей 
а
как вертикальные)
Запишем отношение соответствующих сторон
Что и требовалось доказать.
б) Так как 
то 
По теореме Пифагора для 
По теореме Пифагора для 
По теореме Пифагора для 
Воспользуемся тем, что 
— равнобедренная трапеция, а значит,
Получаем уравнение:
Таким образом, у нас получилась правильная призма с высотой 7, а сторона
основания равна 
значит
б) 196
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде 
точка 
лежит на ребре
Известно, что 
Плоскость 
проходит через точки 
a) Докажите, что 
делит ребро 
в отношении 
считая от вершины
б) Найдите площадь сечения плоскостью 
если известно, что 
Источники:
а) Из условия следует, что если принять 
то 
Верхнее и нижнее основания параллелепипеда параллельны, следовательно,
плоскость 
пересечет их по параллельным отрезкам: 
где 
—
точка пересечения плоскости 
с ребром 
Аналогично для левой и правой
граней: 
Таким образом, сечение параллелепипеда плоскостью 
—
параллелограмм 
Тогда 
Следовательно, 
по катету и
гипотенузе. Но тогда 
Значит, 
и 
б) По условию 
Заметим, что 
как гипотенузы равных прямоугольных треугольников
и 
(эти треугольники равны по двум катетам). Следовательно,
сечение — ромб.
Тогда его площадь можно искать как 
Пусть 
— середина 
Тогда 
и
Таким образом, площадь сечения равна
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде 
известно, что
Плоскость 
проходит через вершины 
и 
и
пересекает ребро 
в точке 
такой, что 
а) Докажите, что плоскость 
делит ребро 
в отношении 
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда 
плоскостью
если 
Источники:
а) Пусть 
тогда 
Так как точки 
и 
принадлежат плоскости сечения, то плоскость 
пересекает нижнюю грань по отрезку 
Значит, верхняя грань пересекается по
прямой, параллельной отрезку 
Пусть плоскость 
пересекает ребро 
в точке 
Спроецируем точку 
на верхнюю грань, пусть это будет точка 
Тогда
Заметим, что 
— параллелограмм, так как его противолежащие
стороны попарно параллельны. Значит, 
и 
Отсюда получаем
Что и требовалось доказать.
б) Так как 
то 
Согласно пункту а), сечением параллелепипеда плоскостью 
является
параллелограмм 
По теореме Пифагора для 
По теореме Пифагора для 
Спроецируем точку 
на нижнее основание, пусть это будет 
Тогда
По теореме Пифагора для 
Тогда из теоремы косинусов для 
Таким образом, площадь сечения равна
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной пирамиде 
стороны основания 
равны 12,
а боковые рёбра равны 25. На рёбрах 
и 
отмечены точки 
и
соответственно. Известно, что 
a) Докажите, что объём пирамиды 
составляет 
от объёма
пирамиды 
б) Найдите площадь сечения пирамиды плоскостью 
Источники:
а) Треугольники 
и 
подобны, так как 
— общий угол этих
треугольников и 
Коэффициент подобия этих треугольников равен 
Площади
подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому
получаем
Пусть 
— высота пирамиды. Опустим из точки 
перпендикуляр 
на плоскость основания, при этом получим, что точка 
лежит на прямой
Треугольники 
и 
подобны, так как 
— общий угол этих
треугольников и 
Тогда
Тогда
б) Треугольник 
равнобедренный, поэтому
По теореме косинусов для 
Треугольники 
и 
равны, так как 
— общая сторона этих
треугольников, 
и 
так как пирамида правильная.
Тогда 
Треугольники 
и 
подобны, поэтому 
равносторонний и
Пусть 
— середина 
Тогда 
Найдём 
по теореме Пифагора из 
Тогда
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
с основанием 
точка 
— центр основания пирамиды, точка 
— середина ребра 
точка 
делит ребро 
в отношении 
а 
и
а) Докажите, что плоскость 
параллельна прямой 
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 
пересечёт грань
Источники:
а) По условию 
— правильная пирамида, поэтому 
— квадрат. Так
как 
— центр основания 
то 
— середина диагонали 
Тогда
— средняя линия треугольника 
и 
Следовательно,
так как прямая 
параллельна прямой из этой плоскости.
б) Так как 
— квадрат, то его стороны равны. Тогда 
По
условию 
поэтому получаем 
Пусть прямая 
пересекает ребро 
в точке 
Рассмотрим
треугольники 
и 
В них 
так как 
— середина 
как накрест лежащие углы, образованные параллельными
прямыми 
и 
и секущей 
как вертикальные.
Значит, 
по стороне и двум прилежащим к ней углам.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому
Тогда 
Значит, 
Чтобы построить сечение пирамиды плоскостью 
через точку
проведём прямую, параллельную 
эта прямая будет лежать в
плоскости 
Пусть она пересекает ребро 
в точке 
Тогда
— это сечение пирамиды 
плоскостью 
и нам
нужно найти отрезок 
Диагонали основания 
и 
равны 
поэтому 
Мы знаем, что 
Найдём боковое ребро
пирамиды по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника
Тогда так как 
— правильная пирамида, то 
Так как 
и 
то получаем, что
Заметим, что 
так как 
В треугольнике 
известно, что 
тогда 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
с основанием 
точка 
— центр основания пирамиды, точка 
— середина ребра 
точка 
делит ребро 
в отношении 
а 
и
а) Докажите, что плоскость 
параллельна прямой 
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 
пересечёт грань
Источники:
а) По условию 
— правильная пирамида, поэтому 
— квадрат. Так
как 
— центр основания 
то 
— середина диагонали 
Тогда
— средняя линия треугольника 
и 
Следовательно,
так как прямая 
параллельна прямой из этой плоскости.
б) Так как 
— квадрат, то его стороны равны. Тогда 
По
условию 
поэтому получаем 
Пусть прямая 
пересекает ребро 
в точке 
Рассмотрим
треугольники 
и 
В них 
так как 
— середина 
как накрест лежащие углы, образованные параллельными
прямыми 
и 
и секущей 
как вертикальные.
Значит, 
по стороне и двум прилежащим к ней углам.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому
Тогда 
Значит, 
Чтобы построить сечение пирамиды плоскостью 
через точку 
проведём прямую, параллельную 
эта прямая будет лежать в плоскости
Пусть она пересекает ребро 
в точке 
Тогда 
— это
сечение пирамиды 
плоскостью 
и нам нужно найти отрезок
Диагонали основания 
и 
равны 
поэтому 
Мы знаем,
что 
Найдём боковое ребро 
пирамиды по теореме Пифагора из
прямоугольного треугольника 
Тогда так как 
— правильная пирамида, то 
Так как 
и 
то получаем, что
Заметим, что 
так как 
В треугольнике 
известно, что 
тогда 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
с основанием 
точка 
— центр основания пирамиды, точка 
— середина ребра 
точка 
делит ребро 
в отношении 
а 
и
а) Докажите, что плоскость 
параллельна прямой 
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 
пересечёт грань
Источники:
а) По условию 
— правильная пирамида, поэтому 
— квадрат. Так
как 
— центр основания 
то 
— середина диагонали 
Тогда
— средняя линия треугольника 
и 
Следовательно,
так как прямая 
параллельна прямой из этой плоскости.
б) Так как 
— квадрат, то его стороны равны. Тогда 
По
условию 
поэтому получаем 
Пусть прямая 
пересекает ребро 
в точке 
Рассмотрим
треугольники 
и 
В них 
так как 
— середина 
как накрест лежащие углы, образованные параллельными
прямыми 
и 
и секущей 
как вертикальные.
Значит, 
по стороне и двум прилежащим к ней углам.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому
Тогда 
Значит, 
Чтобы построить сечение пирамиды плоскостью 
через точку 
проведём прямую, параллельную 
эта прямая будет лежать в плоскости
Пусть она пересекает ребро 
в точке 
Тогда 
— это
сечение пирамиды 
плоскостью 
и нам нужно найти отрезок
Диагонали основания 
и 
равны 
поэтому 
Мы
знаем, что 
Найдём боковое ребро 
пирамиды по теореме
Пифагора из прямоугольного треугольника 
Тогда так как 
— правильная пирамида, то 
Так как 
и 
то получаем, что
Заметим, что 
так как 
В треугольнике 
известно, что 
тогда 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильном тетраэдре 
точки 
и 
— середины ребер 
и 
соответственно.
a) Докажите, что прямая 
перпендикулярна ребрам 
и 
б) Плоскость 
перпендикулярна прямой 
и пересекает ребро 
в
точке 
Найдите площадь сечения тетраэдра 
плоскостью 
если
известно, что 
Источники:
а) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны и все грани являются
равными правильными треугольниками. Так как 
и 
— медианы в равных
правильных треугольниках 
и 
то 
Тогда 
равнобедренный, следовательно, медиана 
проведенная к основанию, также
является и высотой. Таким образом, 
Аналогично 
равнобедренный и 
— медиана и высота этого треугольника, то есть
б) Если 
то 
проходит через прямые, параллельные 
и 
то есть 
Тогда 
пересекает плоскость 
по
прямой 
а плоскости 
и 
по прямым 
и 
соответственно, параллельным 
Тогда 
— сечение тетраэдра
плоскостью 
Далее имеем 
и 
так как 
и 
— медианы в
равносторонних треугольниках. Тогда 
следовательно, 
Значит, 
— прямоугольник.
Треугольники 
и 
подобны, так как 
откуда
Треугольники 
и 
подобны, так как 
откуда
Следовательно, площадь сечения 
равна
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильном тетраэдре 
точки 
и 
— середины ребер 
и 
соответственно. Плоскость 
перпендикулярна прямой 
и пересекает ребро
в точке 
a) Докажите, что прямая 
перпендикулярна ребрам 
и 
б) Найдите площадь сечения тетраэдра 
плоскостью 
если известно,
что 
Источники:
а) Так как тетраэдр правильный, то все его ребра равны и все грани являются
равными правильными треугольниками. Так как 
и 
— медианы в равных
правильных треугольниках 
и 
то 
Тогда 
равнобедренный, следовательно, медиана 
проведенная к основанию, также
является и высотой. Таким образом, 
Аналогично 
равнобедренный и 
— медиана и высота этого треугольника, то есть
б) Если 
то 
проходит через прямые, параллельные 
и 
то есть 
Тогда 
пересекает плоскость 
по
прямой 
а плоскости 
и 
по прямым 
и 
соответственно, параллельным 
Тогда 
— сечение тетраэдра
плоскостью 
Далее имеем 
и 
так как 
и 
— медианы в
равносторонних треугольниках. Тогда 
следовательно, 
Значит, 
— прямоугольник.
Треугольники 
и 
подобны, так как 
откуда
Треугольники 
и 
подобны, так как 
откуда
Следовательно, площадь сечения 
равна
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
точка 
— центр основания
Точка 
делит ребро 
в отношении 
Плоскость
проходящая через точки 
и 
и параллельная ребру 
пересекает
ребро 
в точке 
Известно, что 
а) Докажите, что точка 
— середина 
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 
пересечёт грань
Источники:
а) В правильной четырехугольной пирамиде основание 
является
квадратом, тогда 
— точка пересечения его диагоналей 
и 
значит,
— середина 
и 
Плоскость 
пересекает плоскость 
и параллельна прямой 
лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость 
пересекает 
по прямой,
параллельной 
Таким образом, 
Следовательно, 
— средняя
линия треугольника 
так как 
и 
— середина 
Значит,
— середина 
б) Плоскость 
пересекает плоскость грани 
и параллельна прямой 
лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость 
пересекает 
по прямой,
параллельной 
Пусть 
— точка пересечения плоскости 
и ребра 
Тогда 
Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках
По условию 
— правильная пирамида, 
Значит, все
ребра пирамиды равны 6. Тогда
Плоскость 
проходит через точки 
и 
следовательно, пересекает
плоскость основания 
по прямой 
Пусть 
пересекает 
в точке
Рассмотрим 
и 
В них 
так как 
—
середина 
как накрест лежащие углы, образованные
параллельными прямыми 
и 
и секущей 
как
вертикальные. Значит, 
по стороне и двум прилежащим к ней
углам.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому
Тогда 
Так как по условию точка 
— середина отрезка 
и 
то
Нам нужно найти длину отрезка 
так как по нему плоскость 
пересекает грань 
Все ребра пирамиды равны, поэтому 
— равносторонний. Тогда
По теореме косинусов для 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
точка 
— центр основания
Точка 
делит ребро 
в отношении 
Плоскость
проходящая через точки 
и 
и параллельная ребру 
пересекает
ребро 
в точке 
Известно, что 
а) Докажите, что точка 
— середина 
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 
пересечёт грань
Источники:
а) В правильной четырехугольной пирамиде основание 
является
квадратом, тогда 
— точка пересечения его диагоналей 
и 
значит,
— середина 
и 
Плоскость 
пересекает плоскость 
и параллельна прямой 
лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость 
пересекает 
по прямой,
параллельной 
Таким образом, 
Следовательно, 
— средняя
линия треугольника 
так как 
и 
— середина 
Значит,
— середина 
б) Плоскость 
пересекает плоскость грани 
и параллельна прямой 
лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость 
пересекает 
по прямой,
параллельной 
Пусть 
— точка пересечения плоскости 
и ребра 
Тогда 
Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках
По условию 
— правильная пирамида, 
Значит, все
ребра пирамиды равны 10. Тогда
Плоскость 
проходит через точки 
и 
следовательно, пересекает
плоскость основания 
по прямой 
Пусть 
пересекает 
в точке
Рассмотрим 
и 
В них 
так как 
—
середина 
как накрест лежащие углы, образованные
параллельными прямыми 
и 
и секущей 
как
вертикальные. Значит, 
по стороне и двум прилежащим к ней
углам.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому
Тогда 
Так как по условию точка 
— середина отрезка 
и 
то
Нам нужно найти длину отрезка 
так как по нему плоскость 
пересекает грань 
Все ребра пирамиды равны, поэтому 
— равносторонний. Тогда
По теореме косинусов для 
б) 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной четырёхугольной пирамиде 
точка 
— центр основания
Точка 
делит ребро 
в отношении 
Плоскость
проходящая через точки 
и 
и параллельная ребру 
пересекает
ребро 
в точке 
Известно, что 
а) Докажите, что точка 
— середина 
б) Найдите длину отрезка, по которому плоскость 
пересечёт грань
Источники:
а) В правильной четырехугольной пирамиде основание 
является
квадратом, тогда 
— точка пересечения его диагоналей 
и 
значит,
— середина 
и 
Плоскость 
пересекает плоскость 
и параллельна прямой 
лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость 
пересекает 
по прямой,
параллельной 
Таким образом, 
Следовательно, 
— средняя
линия треугольника 
так как 
и 
— середина 
Значит,
— середина 
б) Плоскость 
пересекает плоскость грани 
и параллельна прямой 
лежащей в этой плоскости. Значит, плоскость 
пересекает 
по прямой,
параллельной 
Пусть 
— точка пересечения плоскости 
и ребра 
Тогда 
Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках
По условию 
— правильная пирамида, 
Значит, все
ребра пирамиды равны 4. Тогда
Плоскость 
проходит через точки 
и 
следовательно, пересекает
плоскость основания 
по прямой 
Пусть 
пересекает 
в точке
Рассмотрим 
и 
В них 
так как 
—
середина 
как накрест лежащие углы, образованные
параллельными прямыми 
и 
и секущей 
как
вертикальные. Значит, 
по стороне и двум прилежащим к ней
углам.
В равных треугольниках соответствующие элементы равны, поэтому
Тогда 
Так как по условию точка 
— середина отрезка 
и 
то
Нам нужно найти длину отрезка 
так как по нему плоскость 
пересекает грань 
Все ребра пирамиды равны, поэтому 
— равносторонний. Тогда
По теореме косинусов для 
б) 
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В правильной треугольной пирамиде 
с основанием 
точки 
и
— середины ребер 
и 
соответственно. На продолжении ребра 
за
точку 
отмечена точка 
Прямые 
и 
пересекают ребра 
и 
в точках 
и 
соответственно, причем 
a) Докажите, что прямые 
и 
пересекаются.
б) Найдите отношение 
Источники:
а) Рассмотрим плоскость 
Точка 
лежит на прямой 
поэтому
лежит и в плоскости 
Точка 
лежит на прямой 
поэтому лежит и
в плоскости 
Значит, прямые 
и 
лежат в плоскости 
— четырехугольник, а 
и 
— его диагонали, следовательно,
прямые, содержащие их, пересекаются.
б) По теореме Менелая для треугольника 
и прямой 
По теореме Менелая для треугольника 
и прямой 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная пирамида 
точки 
и 
— середины рёбер 
и
соответственно. Точки 
и 
на ребрах 
и 
соответственно
расположены таким образом, что 
и прямые 
и 
пересекаются.
а) Докажите, что прямые 
и 
пересекаются в одной
точке.
б) Найдите отношение 
Источники:
а) Так как прямые 
и 
пересекаются, то точки 
лежат в
одной плоскости. Тогда плоскости 
и 
пересекаются по прямой
плоскости 
и 
пересекаются по прямой 
плоскости
и 
пересекаются по прямой 
Если три плоскости
попарно пересекаются по трём прямым, то либо эти прямые параллельны
друг другу, либо это одна и та же прямая, либо они пересекаются в одной
точке.
Параллельными эти прямые быть не могут, иначе получаем 
и
так как 
— это середина 
то 
будет средней линией треугольника
Но по условию точка 
не является серединой 
Противоречие.
Совпадать эти прямые тоже не могут, так как прямые 
и 
лежат в
плоскостях разных граней. Значит, прямые 
и 
пересекаются в
одной точке.
б) По теореме Менелая для треугольника 
и прямой 
По теореме Менелая для треугольника 
и прямой 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная пирамида 
точки 
и 
— середины рёбер 
и
соответственно. Точки 
и 
на ребрах 
и 
соответственно
расположены таким образом, что 
и прямые 
и 
пересекаются.
а) Докажите, что прямые 
и 
пересекаются в одной
точке.
б) Найдите отношение 
Источники:
а) Так как прямые 
и 
пересекаются, то точки 
лежат в
одной плоскости. Тогда плоскости 
и 
пересекаются по прямой
плоскости 
и 
пересекаются по прямой 
плоскости
и 
пересекаются по прямой 
Если три плоскости
попарно пересекаются по трём прямым, то либо эти прямые параллельны
друг другу, либо это одна и та же прямая, либо они пересекаются в одной
точке.
Параллельными эти прямые быть не могут, иначе получаем 
и
так как 
— это середина 
то 
будет средней линией треугольника
Но по условию точка 
не является серединой 
Противоречие.
Совпадать эти прямые тоже не могут, так как прямые 
и 
лежат в
плоскостях разных граней. Значит, прямые 
и 
пересекаются в
одной точке.
б) По теореме Менелая для треугольника 
и прямой 
По теореме Менелая для треугольника 
и прямой 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Дана правильная пирамида 
точки 
и 
— середины рёбер 
и
соответственно. Точки 
и 
на ребрах 
и 
соответственно
расположены таким образом, что 
и прямые 
и 
пересекаются.
а) Докажите, что прямые 
и 
пересекаются в одной
точке.
б) Найдите отношение 
Источники:
а) Так как прямые 
и 
пересекаются, то точки 
лежат в
одной плоскости. Тогда плоскости 
и 
пересекаются по прямой
плоскости 
и 
пересекаются по прямой 
плоскости
и 
пересекаются по прямой 
Если три плоскости
попарно пересекаются по трём прямым, то либо эти прямые параллельны
друг другу, либо это одна и та же прямая, либо они пересекаются в одной
точке.
Параллельными эти прямые быть не могут, иначе получаем 
и
так как 
— это середина 
то 
будет средней линией треугольника
Но по условию точка 
не является серединой 
Противоречие.
Совпадать эти прямые тоже не могут, так как прямые 
и 
лежат в
плоскостях разных граней. Значит, прямые 
и 
пересекаются в
одной точке.
б) По теореме Менелая для треугольника 
и прямой 
По теореме Менелая для треугольника 
и прямой 
| Содержание критерия | Балл |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) | 2 |
| ИЛИ | |
| имеется верное доказательство утверждения пункта а), и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) | 1 |
| ИЛИ | |
| при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | |
| ИЛИ | |
| обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен | |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
