14.01 Задачи №14 из ЕГЭ прошлых лет

а) Так как то углы и равны.

Рассмотрим треугольники и В них — общая сторона, так как равносторонний и Значит, треугольники и равны по первому признаку. В равных треугольниках соответственные элементы равны, следовательно,

Пусть — середина Тогда — высота и медиана равностороннего треугольника а — высота и медиана равнобедренного треугольника Значит, и следовательно, Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, значит,

б) Пусть — высота треугольника Тогда так как лежит в плоскости и Тогда — общий перпендикуляр к прямым и то есть расстояние между данными прямыми есть длина отрезка

Запишем теорему косинусов для треугольника

Запишем теорему Пифагора для треугольника

По условию значит, Тогда по теореме Пифагора для треугольника

Запишем теорему косинусов для треугольника

Подставим полученные значения и

Рассмотрим треугольник Он прямоугольный, значит,

По теореме Пифагора для треугольника

Значит, расстояние между прямыми и равно

а) По условию Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности,

Так как — призма, то следовательно,

Рассмотрим треугольник в одноименной плоскости. Отрезок является его медианой и высотой, значит, — равнобедренный, то есть Таким образом, в грани диагональ равна стороне

б) Пусть плоскость пересекает прямую в точке прямую — в точке , прямую — в точке Заметим, что все эти три точки лежат в грани Значит, они лежат на прямой пересечения грани плоскостью

Нам нужно найти расстояние от точки до плоскости то есть длину так как а — точка пересечения и

По условию имеем:

Отсюда получаем

По условию значит, Тогда

Рассмотрим треугольники и Они подобны, так как — общий и как соответственные углы, образованные параллельными прямыми и и секущей Тогда имеем:

Найдем По условию — середина значит,

Треугольник — прямоугольный, тогда по теореме Пифагора:

Таким образом,

Отсюда Теперь можем найти длину

а) Пусть и — точки пересечения прямой с диагоналями и соответственно. Так как то пересечет плоскости, в которых лежит по прямым, параллельным Следовательно, плоскости и плоскость пересечет по прямым и параллельным Следовательно, — сечение пирамиды плоскостью Докажем, что — трапеция.

Далее, так как Следовательно,

По теореме о пропорциональных отрезках имеем:

Следовательно, по обратной теореме о пропорциональных отрезках Так как как средняя линия, то Так как противоположные стороны четырехугольника параллельны, то он является параллелограммом. Следовательно, Тогда две стороны четырехугольника не равны и параллельны, значит, это трапеция.

б) Так как — средняя линия трапеции, то

Так как и — средние линии в и соответственно, параллельные то имеем:

Следовательно,

Из следует, что значит, Так как то как прямоугольные по двум катетам. Следовательно, и сечение — равнобедренная трапеция, где и — ее высоты.

Из пункта а) следует, что

Следовательно, искомая площадь равна

а) В прямоугольном треугольнике медиана из вершины прямого угла равна половине гипотенузы , следовательно, . Прямоугольные треугольники и равны по двум катетам, так как — общий катет и , значит, их гипотенузы .

б) Пусть — середина , тогда как средняя линия в треугольнике и . Проведем отрезок . Поскольку , то — проекция наклонной на плоскость . Прямая перпендикулярна проекции , а значит по теореме о трех перпендикулярах перпендикулярна наклонной .

Получили, что

Тогда угол — острый угол в прямоугольном треугольнике и по определению является углом между плоскостями и .

По теореме Пифагора для треугольника :

По теореме Пифагора для треугольника :

Тогда в прямоугольном треугольнике :

а) Поскольку — квадрат, то Тогда так как прямая лежит в плоскости то прямая параллельна плоскости Значит, прямая, по которой пересекаются плоскости и должна быть параллельна прямой то есть

Рассмотрим треугольник В нем прямая параллельна так как и и проходит через середину стороны значит, является средней линией треугольника Средняя линия, параллельная стороне делит любой отрезок, проведенный из точки к стороне пополам, в частности, медиану

б) Заметим, что так как Тогда расстояние от точки до равно расстоянию от любой точки прямой до плоскости

Пусть — середина Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью им является треугольник Заметим, что так как — средняя линия квадрата и что так как — медиана равнобедренного треугольника с основанием Значит,

Пусть пересекается с в точке Тогда найдем расстояние от точки до плоскости Так как точка лежит на прямой то лежит и в плоскости Опустим в этой плоскости из точки перпендикуляр на Тогда

С другой стороны, так как лежит в плоскости а Значит, Тогда — искомое расстояние.

Найдем Рассмотрим треугольник Он равнобедренный, так как апофемы правильной пирамиды и равны. Его основание так как — средняя линия квадрата а высота является и медианой, то есть Тогда по теореме Пифагора в треугольниках и

Так как — перпендикуляр, опущенный из середины стороны на сторону то он в два раза меньше перпендикуляра, опущенного из точки на сторону то есть высоты треугольника Найдем высоту треугольника посчитав его площадь двумя способами:

Тогда искомое расстояние равно

а) Плоскость пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым, поэтому и параллельны. Рассмотрим треугольник В нем прямая параллельна и проходит через середину стороны значит, является средней линией треугольника Аналогично прямая — средняя линия треугольника Значит, точки и — середины сторон и соответственно, следовательно, — средняя линия треугольника

Средняя линия, параллельная стороне делит любой отрезок из точки к стороне в частности, медиану пополам.

б) Пусть пересекает в точке Тогда рассмотрим треугольник в нем — медиана, а как медианы в равных треугольниках и Значит, равнобедренный и Теперь рассмотрим треугольник Он равнобедренный и в нем является медианой, значит,

Плоскости и пересекаются по прямой, которая параллельна прямым и значит, угол между плоскостями и равен углу

— правильная пирамида, значит, — точка пересечения медиан треугольника Тогда лежит на причем Найдем и По условию значит,

Рассмотрим треугольник Проведем в нем прямую Тогда, так как — середина стороны — средняя линия треугольника а — середина

Рассмотрим треугольник В нем и а Тогда

Построим сечение пирамиды плоскостью Прямая лежит в плоскости тогда пусть она пересекает ребро в точке Прямая лежит в плоскости тогда пусть она пересекает ребро в точке Мы получили сечение

а) Рассмотрим равнобедренный треугольник ( так как пирамида правильная). В нем — медиана, причем точка делит в отношении значит, точка — точка пересечения медиан треугольника Следовательно, прямая содержит медиану треугольника то есть — середина

б) Найдем в каком отношении точка делит ребро Для этого рассмотрим треугольник В нем значит, по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках,

Рассмотрим треугольник В нем и значит, по теореме о пропорциональных отрезках Тогда треугольники и подобны по отношению сторон и углу между ними, значит,

Заметим, что значит, прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости в частности, Тогда

Найдем Так как — медиана треугольника По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Тогда

а) Прямая перпендикулярна плоскости поэтому прямая является проекцией прямой на эту плоскость.

Заметим, что значит, в треугольнике медиана равна половине стороны поэтому треугольник прямоугольный с прямым углом Тогда по теореме о трех перпендикулярах получаем, что прямая перпендикулярна прямой

б) Пусть — точка пересечения прямой и плоскости Тогда отрезки и параллельны, так как лежат в параллельных плоскостях и соответственно.

Рассмотрим треугольник в плоскости Отрезок — средняя линия этого треугольника, значит, По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника

Заметим, что так как призма правильная, и следовательно, Прямые значит, Тогда расстояние между прямыми и равно расстоянию от точки до прямой то есть высоте прямоугольного треугольника Его катеты равны и тогда по теореме Пифагора его гипотенуза равна

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна

а) Пусть — точка пересечения и — центр правильного шестиугольника Прямая так как пирамида правильная. Треугольник равносторонний, в нем как угол правильного шестиугольника. Тогда так как сумма односторонних углов

Из параллельности и получаем, что треугольники и подобны по двум углам, следовательно

По условию тогда Рассмотрим угол и две секущие его прямые и

Так как то по обратной теореме о пропорциональных отрезках Прямая следовательно, Прямая лежит в плоскости а значит, и сама плоскость перпендикулярна основанию пирамиды.

б) Прямые следовательно, с коэффициентом Тогда найдем отрезок по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника и найдем высоту тетраэдра

Можем найти объем тетраэдра

а) Пирамида правильная, следовательно, проекция точки на плоскость является центром правильного треугольника . Точка — середина отрезка , следовательно, ее проекцией на плоскость будет середина отрезка так как — проекция точки

Точка является точкой пересечения медиан треугольника , — медиана треугольника Точка пересечения медиан делит их в отношении считая от вершины, следовательно, При этом — середина значит, точки и делят медиану на три равные части и Также как радиусы описанной окружности правильного треугольника Получили, что причем — проекция на плоскость а — проекция на плоскость Это равенство и требовалось доказать.

б) Обозначим через угол . Тогда из прямоугольного треугольника

Запишем теорему косинусов для угла треугольника

Подставим и решим полученное уравнение, чтобы найти

Угол острый, следовательно, его косинус равен и Треугольник прямоугольный с так как — биссектриса и высота, тогда

Тогда сторона правильного треугольника равна 6.

Так как то по теореме Пифагора для треугольника высота пирамиды равна

Осталось найти объем пирамиды:

а) Плоскость параллельна по условию, следовательно, прямая пересечения плоскостей и должна быть параллельна

Точка и следовательно, точка пересечения и прямой должна быть такой, что

В правильной пирамиде и плоскость по условию, следовательно, прямая пересечения плоскостей и должна быть параллельна и

Точка и следовательно, точка пересечения и прямой должна быть такой, что Получили сечение пирамиды плоскостью

Так как то по теореме о пропорциональных отрезках

Так как то по теореме о пропорциональных отрезках

Тогда получили, что

Cледовательно, по обратной теореме о пропорциональных отрезках

Так как лежит в плоскости и то что и требовалось доказать.

б) Из предыдущего пункта явно следует, что поэтому будем искать угол между плоскостями и плоскость нам больше не понадобится.

В правильной пирамиде . Проведем высоты и в равнобедренных треугольниках и соответственно. Они также будут являться медианами, следовательно, — середина — середина и отрезок параллелен и равен как средняя линия квадрата. Тогда и следовательно,

Рассмотрим три плоскости: и Прямые и пересечения двух пар из них параллельны, следовательно, прямая пересечения и параллельна и Этот факт будет доказан в конце решения в виде леммы.

Так как то и Тогда искомый угол между плоскостями и равен углу Далее мы покажем, что — острый.

По теореме Пифагора для треугольника

Так как пирамида правильная и треугольники и равны, то Так как то по теореме косинусов для угла треугольника

Так как то угол — острый и действительно является искомым углом между плоскостями.

Лемма

Если три плоскости попарно пересекаются, то прямые их пересечения либо пересекаются в одной точке, либо параллельны.

Доказательство

Пусть плоскости и пересекаются по прямой Рассмотрим третью плоскость Возможны два случая:

• Докажем, что прямые и параллельны прямой Допустим противное, пусть, не умаляя общности, не параллельна Прямые и лежат в одной плоскости и не параллельны, следовательно и пересекаются. При этом лежит в плоскости значит, и пересекается с Получили противоречие с
• Если они не параллельны, значит, имеют точку пересечения. Обозначим эту точку Она принадлежит всем трем плоскостям. Каждая пара плоскостей пересекается по прямой, значит, принадлежит всем трем прямым.

а) Рассмотрим сечение призмы плоскостью

В плоскости проведем прямую до пересечения с прямой в точке Заметим, что так как как вертикальные и как накрест лежащие, образованные параллельными прямыми и и секущей Тогда — параллелограмм.

Аналогично в плоскости проведем прямую до пересечения с прямой в точке и получим, что — параллелограмм.

Заметим, что и прямые и параллельны, значит, в плоскости четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, то есть середина отрезка точка является серединой отрезка который лежит в плоскости Значит, точки , , и лежат в одной плоскости.

б) Пусть прямая пересекает ребра и в точках и соответственно. Тогда пятиугольник — сечение призмы плоскостью

Рассмотрим плоскость В ней для треугольника и его секущей по теореме Менелая выполнено:

Тогда, так как то и Рассмотрим треугольник В нем значит, по теореме Пифагора

Аналогично рассмотрим треугольники и и получим, что и

Заметим, что и Значит, по теореме о пропорциональных отрезках

Пусть точки и — середины отрезков и соответственно. Тогда точки и — середины отрезков и соответственно. Рассмотрим треугольник В нем — средняя линия, значит, и Аналогично — средняя линия в треугольнике значит, и

Заметим, что значит, Аналогично Отрезки и — медианы в равносторонних треугольниках со стороной значит,

Площадь искомого сечения равна

Так как то площадь треугольника равна

Тогда площадь пятиугольника равна

а) Пусть и пересекаются в точке а точка — основание высоты пирамиды, то есть точка пересечения и

Рассмотрим плоскость В ней по теореме Менелая для треугольника и его секущей

 

 

Рассмотрим плоскость В ней из полученного отношения по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, получаем, что значит, Тогда плоскость содержит прямую, перпендикулярную плоскости то есть

б) Заметим, что — высота пирамиды с основанием так как Тогда

Так как и то треугольники и подобны с коэффициентом значит, По теореме Пифагора для треугольника

Найдем площадь треугольника Он прямоугольный, так как пирамида правильная, значит,

а) Если докажем, что плоскость перпендикулярна плоскости , то мы докажем пункт а) задачи, так как плоскость, проходящая через точки и и перпендикулярная единственна.

Пусть — середина , — середина , — основание высоты пирамиды. Так как в правильной пирамиде основанием высоты является точка пересечения медиан треугольника , то выполнено соотношение

Пусть — точка пересечения и . Тогда в плоскости по теореме Менелая для треугольника и секущей :

Рассмотрим плоскость . В ней по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, , так как , значит, . Тогда плоскость содержит прямую, перпендикулярную плоскости , то есть .

б) Заметим, что — высота треугольника , проведенная к стороне , так как . Тогда

Так как и , то треугольники и подобны с коэффициентом . Значит, . По теореме Пифагора для треугольника

Тогда

Рассмотрим треугольник . По теореме косинусов имеем:

Тогда

а) Пусть — центр правильного шестиугольника — точка пересечения и — середина так как пирамида правильная. Тогда содержащая прямую перпендикуляра плоскости основания. Плоскость перпендикулярна плоскости основания по условию.

— линия пересечения плоскостей и значит, Прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой, лежащей в этой плоскости, в частности, Тогда — высота треугольника

Рассмотрим треугольник в плоскости основания пирамиды. В нем — середина и так как — центр правильного шестиугольника Тогда — средняя линия треугольника и — середина Значит, является высотой и медианой треугольника следовательно, равнобедренный и

б) Найдем

Так как — центр правильного шестиугольника значит, В предыдущем пункте мы выяснили, что и значит, Тогда треугольники и подобны по двум углам и

По теореме Пифагора для треугольника

Найдем площадь треугольника Заметим, что так как — высота треугольника на сторону Также — высота правильного треугольника со стороной 8, значит, Тогда можем найти

Теперь можем найти объем пирамиды :

а) Пусть точка — середина а — точка пересечения медиан треугольника Тогда Заметим, что точка является точкой пересечения медиан правильного треугольника тогда

Рассмотрим плоскость В ней по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, так как В правильной призме значит, то есть

б) Пусть — середина Прямые и параллельны, значит, Тогда расстояние от точки до плоскости равно расстоянию от точки до плоскости

В плоскости опустим перпендикуляр на прямую Докажем, что — искомое расстояние. C другой стороны, так как и Значит, прямая перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости в частности,

Тогда так как и по построению. Значит, — искомое расстояние.

— медиана равностороннего треугольника со стороной значит,

Тогда по теореме Пифагора для треугольника

Заметим, что в плоскости прямые и параллельны. Тогда накрест лежащие углы и равны. Рассмотрим прямоугольные треугольники и У них равны острые углы и Гипотенуза треугольника равна гипотенуза треугольника тоже равна Тогда по катету и гипотенузе. В равны треугольниках соответственные элементы равны, значит,

а) Пусть точка — середина а — точка пересечения медиан треугольника

Тогда имеем:

Заметим, что точка является точкой пересечения медиан правильного треугольника

Тогда имеем:

Рассмотрим плоскость В ней по теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках, так как

В правильной призме значит, то есть

б) Вычислим объемы пирамид и

По условию Найдем площадь Так как треугольник правильный, а его сторона равна 6 по условию, то

Тогда искомый объем пирамиды равен

а) Пусть — середина тогда — медиана и высота в равнобедренном треугольнике — медиана и высота в равнобедренном треугольнике

Тогда и следовательно, Так как лежит в то

б) Треугольники и равны по трем сторонам, так как — общая, следовательно, их медианы тоже равны:

Проведем медиану в равнобедренном треугольнике Отрезок перпендикулярен прямой так как лежит в плоскости и по пункту а) Кроме того, отрезок перпендикулярен так как медиана к основанию в равнобедренном треугольнике является высотой. Получили, что перпендикулярен и следовательно, его длина равна расстоянию между и

Осталось найти длину По теореме Пифагора для треугольника

По теореме Пифагора для треугольника

а) Пусть заданная в условии плоскость пересекает и в точках и соответственно. Тогда

Из параллельности следует, что с коэффициентом а также с коэффициентом

Из подобия имеем

причем по условию

Получили, что равен и параллелен значит, — параллелограмм. Осталось доказать, что из этого будет следовать, что является прямоугольником.

Пусть — проекция точки на плоскость тогда — центр равностороннего треугольника а значит, прямая — биссектриса, медиана и высота, так как пирамида правильная. Точка — пересечение прямых и Тогда по обратной теореме Фалеса

Кроме того, с привлечением теоремы о трех перпендикулярах имеем:

Тогда получаем

Вспомним, что тогда значит, — прямоугольник.

б) значит, расстояние от до равно расстоянию от прямой до плоскости

Пусть — основание перпендикуляра из на — точка пересечения и

В пункте а) мы уже показали, что плоскость перпендикулярна прямым и а значит и всей плоскости

Точка также лежит в плоскости получаем, что часть отрезка заключенная между отрезками и и есть искомое расстояние.

Найдем отрезок — высоту в равностороннем треугольнике

По теореме Пифагора для

Пусть тогда по теореме Пифагора для

При этом тогда по теореме Пифагора для

Приравняем

Тогда

Треугольники и подобны с коэффициентом поэтому нужная нам часть отрезка равна

а) Обозначим через середину отрезка и покажем, что на самом деле это та самая точка из условия задачи. Отрезок как средняя линия в треугольнике При этом мы знаем, что через можно единственным способом провести прямую, параллельную значит, и является этой самой прямой.

Рассмотрим треугольник Он равнобедренный, поскольку как радиусы основания конуса. Точка — середина тогда является медианой, а значит и высотой в равнобедренном треугольнике Получили что и требовалось доказать.

б) Угол между прямой и плоскостью есть угол между этой прямой и ее проекцией эту плоскость. Отрезок перпендикулярен плоскости основания, следовательно, является проекцией на плоскость основания. Тогда проекцией середины отрезка будет середина отрезка Получили, что является проекцией на плоскость основания и искомый угол равен углу

Отрезок является средней линией в треугольнике тогда имеем:

Найдем по формуле для медианы через стороны треугольника

Тогда из прямоугольного треугольника