14.03 Задачи формата ЕГЭ на многогранники. Пирамида, призма

а) Пусть — середина — пересечение медианы со средней линией Тогда точка пересечения и является точкой пересечения отрезка и плоскости

Отрезки так как — средняя линия. Отрезки так как — центр масс, то есть точка пересечения медиан, тогда Запишем теорему Менелая для треугольника и прямой

б) Если пирамида правильная, то картинка симметрична относительно плоскости а значит, и Следовательно, искомый угол между плоскостями равен углу Найдем все стороны треугольника чтобы найти косинус угла по теореме косинусов.

Пусть сторона основания равна тогда по условию

Далее, как высота в равностороннем треугольнике как средняя линия в треугольнике

Отрезок тогда по теореме Пифагора для треугольника с учетом того, что пирамида правильная и — высота и медиана:

Найдем отрезок по формуле для медианы треугольника

Найдем косинус угла по теореме косинусов для

а) Обозначим через плоскость сечения. Плоскости и параллельны, следовательно, плоскость сечет их по параллельным прямым. Плоскость пересекает по прямой Докажем, что прямая параллельна из этого будет следовать, что она лежит в так как .

Прямые в силу правильности шестиугольника так как в нем следовательно, сумма односторонних углов равна Прямые следовательно, Тогда лежит в и — искомое сечение. Кроме того, в четырехугольнике противолежащие стороны и параллельны и не равны, следовательно, — трапеция.

б) Способ 1.

В правильном шестиугольнике также по условию По теореме Пифагора для треугольника

Найдем полупериметр трапеции:

Равнобокую трапецию можно вписать в окружность, тогда по формуле Брахмагупты ее площадь равна

Способ 2.

Введём векторный базис из векторов Длины этих векторов Из определения правильной призмы и а поскольку шестиугольник — правильный, то прямые и образуют угол Тогда можно посчитать скалярное произведение:

В пункте а) было ранее доказано, что — трапеция. По свойствам правильного шестиугольника диагональ Тогда для определения площади сечения можно сначала посчитать площадь треугольника после чего домножить её на поскольку площадь составляет половину от площади Выразим векторы и через базисные вектора и найдём квадраты длин:

Таким образом,

Тогда площадь трапеции равна

Обозначим через плоскость сечения.

Пусть — середина тогда по обратной теореме Фалеса Кроме того, как противолежащие стороны правильного шестиугольника, как средняя линия в треугольнике Таким образом, следовательно,

Все точки прямой принадлежат при этом следовательно, также принадлежит

Все точки прямой принадлежат при этом следовательно, также принадлежит

Таким образом, мы построили точку пересечения с ребром Заметим, что на картинке изображено неполное сечение, но от нас и не требовалось его строить.

Рассмотрим четырехугольник Он является параллелограммом, так как и Следовательно,

С учетом запишем теорему Менелая для треугольника и прямой

б) Обозначим через середину через — центр основания пирамиды. Прямая пересечет отрезок в его середине

Прямая — прямая пересечения и плоскости основания. Отрезок , так как картинка в основании симметрична относительно прямой Отрезок как отрезок, соединяющий середины оснований равнобедренной трапеции Таким образом, угол равен искомому углу между плоскостями.

По условию имеем:

Cледовательно, как высота в равностороннем треугольнике со стороной 5. Из параллельности и симметрии имеем:

Пусть — точка пересечения и С учетом запишем теорему Менелая для треугольника и прямой

Тогда По теореме Пифагора для треугольника

Из прямоугольного треугольника получаем

Значит, искомый угол между плоскостями равен

а) Рассмотрим прямоугольник в плоскости В нём — это средняя линия, значит, Отсюда так как по условию.

В плоскости грани проведём через точку прямую, перпендикулярную Пусть она пересекает сторону в точке то есть Заметим, что как диагонали квадрата, следовательно, Рассмотрим треугольники и Они подобны, так как значит,

В кубе ребро перпендикулярно грани значит, Через точки и в плоскостях и соответственно проведем прямые и параллельные Точки и лежат на и соответственно. Тогда

Плоскость образована прямыми и которые перпендикулярны прямой значит, Тогда — это плоскость Точка значит, искомое отношение равно

б) Рассмотрим многогранник отсечённый от куба плоскостью Он является прямой призмой с основанием и высотой так как треугольник лежит в плоскости а и

Пусть длина каждого ребра куба равна Тогда, так как то отрезки Поскольку прямоугольный, то имеем:

Объём всего куба равен тогда имеем:

а) Пусть — точка пересечения продолжений боковых сторон и трапеции Тогда плоскости и пересекаются по прямой

Так как плоскости и перпендикулярны плоскости то по свойству перпендикулярных плоскостей их общая прямая тоже перпендикулярна плоскости Это значит, что перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости в частности, и Следовательно, угол между плоскостями и равен углу

Рассмотрим треугольник В нём по условию и Тогда по сумме углов треугольника имеем:

Значит, плоскости и перпендикулярны.

б) Из решения пункта а) следует, что и значит,

Опустим в плоскости перпендикуляр из точки на прямую Тогда и так как лежит в плоскости то Значит, — общий перпендикуляр скрещивающихся прямых и

Рассмотрим треугольник в плоскости Так как — трапеция и то

Тогда в прямоугольном треугольнике с острым углом имеем:

В пункте а) доказано, что значит, — высота пирамиды. Тогда по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике

Тогда отрезок как высота в прямоугольном треугольнике равен

а) В треугольнике отрезок — средняя линия, следовательно, . Значит, угол между прямыми и равен углу между прямыми и .

Введем обозначения , . Тогда по теореме Пифагора из и соответственно:

Следовательно, по теореме косинусов для :

Из равенства следует, что , то есть грань представляет собой квадрат, что противоречит условию. Следовательно, возможно только равенство , из которого следует, что что и требовалось доказать.

б) Так как — прямоугольный параллелепипед, то , следовательно, — проекция на плоскость . Значит, угол между прямой и плоскостью равен .

Тогда из прямоугольного следует, что , откуда Объем параллелепипеда равен

Так как , то расстояние между скрещивающимися прямыми и () равно расстоянию между прямой и плоскостью , что равно отрезку . — средняя линия в , откуда

а) Высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания, значит, боковые рёбра пирамиды равны. Обозначим Тогда по теореме Пифагора для треугольников и

Из прямоугольных треугольников и

Следовательно, то есть — середина

б) В равнобедренном треугольнике через точку лежащую на боковой стороне , проведём прямую, параллельную высоте Пусть — точка её пересечения со стороной По теореме о пропорциональных отрезках — середина Значит, если то имеем:

Из прямоугольного треугольника

Из прямоугольного треугольника

Так как и то — линейный угол двугранного угла, образованного гранями и По теореме косинусов для

Следовательно, угол между гранями и равен

а) Пусть Тогда следовательно,

Отсюда с учетом получаем Следовательно,

Значит, по обратной теореме Фалеса Так как то из этого следует, что

б) Проведем Тогда Так как то

Так как и то Следовательно, по теореме Фалеса имеем:

Тогда окончательно имеем:

а) Назовем плоскость плоскостью Пусть Рассмотрим . Пусть Тогда — прямая, по которой пересекает плоскость Пусть Тогда — одна из вершин сечения, лежащая на отрезке

Заметим, что так как то Так как по свойству правильного шестиугольника, то плоскость пересекает плоскость по прямой , параллельной Пусть Тогда прямая проходит через точку следовательно, проведем через точку

Тогда — сечение пирамиды плоскостью

Найдем положения вершин сечения.

Так как — средняя линия то — середина отрезка

Пусть — центр шестиугольника тогда — середина — середина Следовательно, если то

По теореме Менелая для и прямой получаем

То есть делит отрезок в отношении считая от вершины

— середина отрезка следовательно, По теореме Менелая для и прямой получаем

Так как то и — точки, делящие в отношении считая от вершины отрезки и соответственно.

б) Рассмотрим Пусть

Запишем теорему Менелая для и прямой

Следовательно, плоскость делит отрезок в отношении считая от вершины

а) Назовем плоскость плоскостью Так как плоскости и параллельны, то плоскость пересечет их по параллельным прямым. Следовательно, пусть — середина Тогда Значит, плоскость пересечет грань по отрезку Так как — середина то по теореме Фалеса — середина то есть

Так как плоскости и параллельны, то пересечет их по параллельным прямым. Проведем Тогда пересечет грань по отрезку

Пусть Тогда значит, так как то Так как и — середина то по теореме Фалеса — середина Следовательно, так как то значит, откуда

б) Пусть Так как то Тогда — трапеция. Будем искать площадь сечения как

Заметим, что аналогично работе в верхней грани, Проведем Тогда — середина По ТТП Так как — средняя линия в то следовательно, — высота трапеции

Найдем

Тогда

Из равнобедренного прямоугольного имеем Из равнобедренного прямоугольного имеем

Следовательно,

а) Так как то плоскость пересечет грань по прямой точка — середина Пусть Требуется доказать, что точка — середина отрезка

Так как — середина то по теореме Фалеса — середина Что и требовалось доказать.

б) Прямая лежит в плоскости Следовательно, плоскость пересечет прямую в той точке, в которой линия пересечения плоскостей и пересекает прямую Так как то

Так как — средняя линия в то Значит,

Треугольники по двум углам: как вертикальные, как накрест лежащие при и секущей Следовательно,

Высота правильного треугольника со стороной равна

По теореме Пифагора из

Тогда с учетом равенства получаем

а) Пусть Рассмотрим грань По теореме Менелая для и прямой получаем

Далее, как прямоугольные по общему острому Следовательно,

Тогда по теореме, обратной теореме Фалеса, Так как по построению, то Что и требовалось доказать.

б) Так как боковые ребра пирамиды равны, то основание высоты пирамиды — центр описанной около основания окружности, то есть точка пересечения диагоналей прямоугольника Сечение пирамиды плоскостью — четырехугольник Будем искать его площадь по формуле

Здесь — угол между плоскостью сечения и плоскостью проекции.

Спроецируем четырехугольник на плоскость Опустим перпендикуляры и на эту плоскость. Тогда по теореме Фалеса

Следовательно,

Так как то

Следовательно, — середина отрезка Тогда, так как правильный, то — медиана и высота этого треугольника. Следовательно, то есть

Так как то

Заметим, что

Отсюда по обратной теореме Фалеса следует, что Следовательно, а откуда

Тогда имеем:

Следовательно,

Также имеем:

Следовательно,

Так как — линия пересечения плоскостей и то по теореме о трех перпендикулярах Следовательно,

Так как то

Следовательно,

Тогда окончательно имеем:

а) Назовем плоскость плоскостью Пусть прямые и пресекаются в точке Тогда — точка пересечения с ребром Требуется доказать, что

следовательно,

По теореме Менелая для и прямой получаем

Чтд.

б) Найдем объем многогранника как разность объемов треугольных пирамид и

Проведем перпендикуляры и на плоскость

Докажем лемму: если — наклонная к плоскости , — точка на , , , то . Действительно, , так как и эти прямые задают плоскость . Тогда как прямоугольные с общим углом .

Тогда, если то

Пусть также Тогда

Следовательно,

Следовательно,

а) Если — точка пересечения диагоналей прямоугольника то — высота пирамиды (по условию). Так как то по обратной теореме Фалеса следовательно,

Пусть Тогда ( как вертикальные, как накрест лежащие при прямых ). Следовательно, Следовательно,

Так как то пересечет плоскость в которой лежит по прямой параллельной (). По теореме Фалеса

Чтд.

б) Будем искать объем многогранника как разность объемов треугольных пирамид и где — точка пересечения прямых и

Так как то Тогда, так как имеем

— середина

Пусть и Тогда

Проведем перпендикуляры и на плоскость

Докажем лемму: если — наклонная к плоскости , — точка на , , , то . Действительно, , так как и эти прямые задают плоскость . Тогда как прямоугольные с общим углом .

Тогда, если то

Следовательно,

Следовательно,

а) — точка пересечения диагоналей прямоугольника следовательно, как и и (, ). Следовательно,

Следовательно, точки и лежат на одной прямой. Чтд.

б) и — скрещивающиеся прямые. Так как отрезок равен расстоянию между ними, то перпендикулярен обеим этим прямым. Следовательно, так как и Следовательно, диагонали прямоугольника взаимно перпендикулярны, значит, он является квадратом.

Из следует, что Следовательно, по свойству высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, имеем

Также

Значит, Таким образом, в прямоугольном параллелепипеде все ребра равны 6, то есть он является кубом. Тогда его объем равен 216.

а) Пусть по двум катетам, следовательно,

Отрезок — проекция отрезка на плоскость Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах

б) Пусть Прямые так как и пересечет плоскость, в которой лежит по прямой, параллельной Следовательно, а значит, прямоугольные по острому углу. Получаем:

Пусть Получаем:

Тогда

Запишем объем пирамиды двумя способами:

а)

1. — высота пирамиды значит, и в частности.

2. Пирамида правильная, в её основании лежит квадрат. Раз так, то очевидно, что — прямоугольник, где и

3. Более того, основание высоты пирамиды точка — центр основания, делящий отрезок пополам.

4. Ну и в конце концов раз пирамида правильная, то боковые рёбра равны и — равнобедренный, где — высота и медиана одновременно.

5. — прямоугольный, в нём по теореме Пифагора:

6. — прямоугольный, в нём по теореме Пифагора:

Поскольку имеем:

7. В таком случае а То есть — равнобедренный, где — высота и медиана одновременно, а значит, точка — середина Ч.Т.Д.

б) Расстояние между двумя прямыми равно длине их общего перпендикуляра.

1. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Из приведённого тезиса следует, что перпендикулярна любой прямой в плоскости

То есть чтобы построить искомый общий перпендикуляр, нам всего лишь следует провести перпендикуляр из точки на прямую

В таком случае по озвученному факту и по построению.

2. Найдём из подобия поскольку и

3. поскольку — равнобедренный, где — высота и медиана одновременно.

4. Из подобия треугольников имеем следующие отношения их соответствующих сторон:

а)

1. Проведём медиану в По свойству точки пересечения медиан в треугольнике

2. Пирамида правильная, следовательно, все боковые ребра равны и все стороны основания также равны. По условию то есть боковое ребро равно стороне основания, значит, вообще все ребра пирамиды равны.

3. Обозначим длину за В таком случае

4. равносторонний, следовательно — это ещё и высота и – прямоугольный.

5. По теореме Пифагора для

6. Из пунктов 1) и 5) получаем, что

7. Проведём В основании пирамиды лежит квадрат, так как пирамида правильная, поэтому — прямоугольный.

8. По теореме Пифагора для

9. По теореме косинусов для найдём

10. По теореме косинусов для найдём

11. Таким образом, Ч.Т.Д.

б)

1. Раз — середина то, помня об отношении делаем вывод:

2. Опустим перпендикуляр на В таком случае — прямоугольный.

3. и — один и тот же угол, тогда по формуле косинуса для

4. По теореме Пифагора для

5. Помня вычисленные в пункте а) величины, находим, что

6. По формуле площади треугольника:

а) Рассмотрим основание Пусть Так как то Заметим, что как прямоугольные по двум катетам. Следовательно, Тогда, если то Следовательно,

Так как призма правильная, то следовательно, Таким образом, прямая перпендикулярна двум прямым и из плоскости значит, Что и требовалось доказать.

б) Пусть — проекция на плоскость верхнего основания. Пусть Так как то — проекция прямой на плоскость Следовательно, — угол между прямой и плоскостью Его и нужно найти.

прямоугольный, следовательно, Найдем эти отрезки.

Из условия задачи следует, что Так как то по теореме Фалеса — середина Следовательно, По теореме Пифагора Следовательно,

— высота из прямого угла в Следовательно,

Следовательно,

а)

1. Проведём диагональ и отрезок которые пересекаются в точке

2. Рассмотрим и
как накрест лежащие, как накрест лежащие и откуда и равны по двум углам и стороне.

3. У равных треугольников равные соответствующие элементы, следовательно, Это в свою очередь означает, что точка — точка пересечения диагоналей прямоугольника в основании, то есть принадлежит плоскости сечения.

4. Рассмотрим прямоугольный По теореме Пифагора:
откуда

5. Рассмотрим По обратной теореме Пифагора: откуда получаем, что — прямоугольный.

6. Провед̈eм Тогда — средняя линия по определению, откуда — середина ребра

7. поскольку Следовательно, точка также принадлежит плоскоскости сечения, ведь эта плоскость перпендикулярна ребру Ч.Т.Д.

Для профилактики доведём построение сечения до конца.

1. Продлим прямую до точки пересечения с прямой — точки Проведём отрезок пересекающий в точке Проведём

2. Поскольку — прямоугольник, то длины противоположных сторон равны, откуда

3. Рассмотрим и и — один и тот же угол, откуда

4. Из выявленного подобия выводим отношения отрезков:

5. Запишем теорему Менелая для и секущей

Теперь мы знаем положение всех вершин сечения и его построение полностью завершено.

б)

1.

2. Заметим, что раз и плоскости сечения, то плоскости сечения. То есть расстояния от каждой точки данной прямой до этой плоскости одинаковы.

3. Таким образом, мы можем найти расстояние от точки до плоскости сечения и автоматически найти ответ.

4. Поскольку ребро плоскости сечения, то — перпендикуляр, опущенный из точки на плоскость сечения (то есть его длина равна искомому расстоянию). Длина равна половине длины ребра ( — середина ), то есть