15.03 Рациональные неравенства и метод интервалов - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#1302Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

-(x-−--e)(x2-−-e)- (2x − e)(x2 + e) ≤ 0

Показать ответ и решение

ОДЗ:

(2x − e)(x2 + e) ⁄= 0

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

√ -- √ -- (x − e)(x2 − e) = 0 ⇔ (x − e)(x − e)(x + e) = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя:

√ -- √ -- x = e, x = e, x = − e

2) Найдём нули знаменателя:

(2x − e)(x2 + e) = 0

так как $x2 ≥ 0$ , то $x2 + e ≥ e > 0$ , следовательно, знаменатель обращается в $0$ только при $x = e- 2$ .

Сравним $e- 2$ и $√e--$ . Так как $e-> 0 2$ и $√e--> 0$ , то

e √ -- e2 e e --∗ e ⇔ --∗ e ⇔ e ⋅-∗ e ⋅ 1 ⇔ -∗ 1, 2 4 4 4

таким образом, $∗$ – это знак $<$ .

По методу интервалов:

$PIC$

откуда

[ √ -- e) √ -- x ∈ − e; -- ∪ [ e;e]. 2

В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

$[ √ -- e) √-- − e; -- ∪ [ e;e ] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#1313Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x3 +-3x-+-14- x2 − 5x + 7 ≥ 0

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x2 − 5x + 7 ⁄= 0

Найдём нули числителя:

3 x + 3x + 14 = 0

Можно угадать корень $x = − 2$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $x − x0$ , где $x0$ – его корень, тогда

| x3 + 0x2 + 3x + 14 |-----x +-2----- x3-+-2x2- | x2 − 2x + 7 − 2x2 + 3x | − 2x2 − 4x | --------7x-+ 14 | | 7x-+-140- | |

Так как $x2 − 2x + 7 = (x − 1)2 + 6 > 0,$ то многочлен $x2 − 2x + 7$ не имеет корней. Следовательно, полное разложение числителя на множители:

x3 + 3x + 14 = (x + 2)(x2 − 2x + 7)

Найдём нули знаменателя:

2 2 x − 5x + 7 = 0 ⇔ (x − 2,5) + 0,75 = 0,

но $(x − 2,5)2 + 0,75 > 0$ , следовательно, знаменатель левой части исходного неравенства положителен при любом $x$ . В итоге исходное неравенство равносильно

(x + 2)(x2 − 2x + 7) -----2--------------≥ 0 ⇔ x + 2 ≥ 0. x − 5x + 7

Так как по ОДЗ подходят любые $x ∈ ℝ$ , то окончательный ответ: $x ≥ − 2.$

Ответ:

$[− 2;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#1337Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(x+ 3)(x2− 5) (2x−-3)(2x2−-5) ≥ 0.

Показать ответ и решение

Выпишем ОДЗ: $( ) (2x − 3) 2x2− 5 ⁄= 0.$

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

(x +3)(x2− 5)= 0 ( √-) ( √-) (x+ 3) x− 5 x+ 5 = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл. Тогда найдем нули числителя:

√- √- x = −3, x= 5, x= − 5

2) Найдём нули знаменателя:

( ) (2x − 3) 2x2− 5 = 0 ( ∘---)( ∘ --) (2x − 3) x − 2,5 x+ 2,5 = 0 ⌊ | x=∘1,5- |⌈ x= 2,5 x = −∘2,5-

По методу интервалов имеем:

$PIC$

Отсюда окончательно

[ ) ( ) [ ) x ∈ (− ∞;− 3]∪ −√5;− ∘2,5 ∪ 1,5;∘2,5 ∪ √5;+∞

Ответ:

$(−∞; −3]∪ [− √5;−√2,5)∪ (1,5;√2,5)∪ [√5;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#1786Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

(x-−-5)(x2 −-15)- (x − 7)(x2 + 2π) ≥ 0

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x − 7 ⁄= 0 2 ⇔ x ⁄= 7. x + 2π ⁄= 0

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

(x − 5)(x2 − 15) = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя:

√ --- x = 5, x = ± 15

2) Нули знаменателя находятся из уравнения

(x − 7)(x2 + 2π) = 0

Так как при любом $x$ выполнено $x2 ≥ 0$ , то при любом $x$ выполнено $x2 + 2π ≥ 2π > 0$ , тогда нули знаменателя:

x = 7.

По методу интервалов:

$PIC$

откуда $√ --- √ --- x ∈ (− ∞; − 15] ∪ [ 15;5] ∪ (7;+ ∞ ).$
В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

$√ --- √ --- (− ∞; − 15] ∪ [ 15;5] ∪ (7;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#1787Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство:

(x2 +-2x-+-2)(25 −-10x-+-x2)- (x − 5)(17x2 + 16) ≤ 0

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

{ x − 5 ⁄= 0 2 ⇔ x ⁄= 5 17x + 16 ⁄= 0

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

(x2 + 2x + 2)(25 − 10x + x2) = 0 ⇔ ((x + 1 )2 + 1)(5 − x)2 = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя:

x = 5

так как при любом $x$ выполнено $(x + 1)2 + 1 ≥ 1 > 0$ .

2) Нули знаменателя находятся из уравнения

(x − 5)(17x2 + 16) = 0

Так как при любом $x$ выполнено $x2 ≥ 0$ , то при любом $x$ выполнено $17x2 + 16 > 0$ , тогда нули знаменателя:

x = 5

По методу интервалов:

$PIC$

Отсюда $x ∈ (− ∞; 5)$ .
В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

$(− ∞; 5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#1788Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x6-+-x3-−-2- x4 − x2 + 1 ≥ 0

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x4 − x2 + 1 ⁄= 0

Найдём нули числителя:

6 3 x + x − 2 = 0

Сделаем замену $x3 = t$ :

2 −-1-±-3 t + t − 2 = 0 ⇔ t = 2

тогда

[ [ √ -- x3 = − 2 x = − 32 3 ⇔ x = 1 x = 1

При произвольном $a$

x3 + a3 = (x + a)(x2 − ax + a2) = (x + a)((x − 0,5a)2 + 0,75a2),

тогда при $a ⁄= 0$ знак суммы $x3 + a3$ совпадает со знаком $x + a$ .

Найдём нули знаменателя:

4 2 x − x + 1 = 0

Сделаем замену $x2 = t ≥ 0$ :

t2 − t + 1 = 0 ⇔ (t − 0,5)2 + 0, 75 = 0,

но $2 (t − 0,5) + 0, 75 > 0$ , следовательно, знаменатель левой части исходного неравенства положителен при любых $x ∈ ℝ$ .

Таким образом, исходное неравенство равносильно неравенству

3√ -- (x − 1)(x + 2) ≥ 0

По методу интервалов

$PIC$

откуда ответ с учётом ОДЗ:

3√ -- x ∈ (− ∞; − 2] ∪ [1;+∞ ).

Ответ:

$√3-- (− ∞; − 2] ∪ [1;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#1789Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x3-−-3πx2-+-3π2x-−--π3- x3 + 2ex2 + 3x + 6e > 0

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x3 + 2ex2 + 3x + 6e ⁄= 0

Найдём нули числителя:

3 2 2 3 3 x − 3 πx + 3π x − π = 0 ⇔ (x − π) = 0 ⇔ x = π

Найдём нули знаменателя:

x3 + 2ex2 + 3x + 6e = 0 ⇔ x2(x + 2e ) + 3(x + 2e) = 0 ⇔ 2 ⇔ (x + 3)(x + 2e) = 0 ⇔ x = − 2e.

Так как при любом $x ∈ ℝ$ выполнено $2 x + 3 > 0$ , то исходное неравенство равносильно неравенству

(x-−-π)3- x + 2e > 0

По методу интервалов

$PIC$

таким образом, с учётом ОДЗ ответ:

x ∈ (− ∞; − 2e) ∪ (π; +∞ ).

Ответ:

$(− ∞; − 2e) ∪ (π; +∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#1790Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x5-+-4x3-−-5x- x3 + 5x − 42 ≤ 0

Показать ответ и решение

ОДЗ:

x3 + 5x − 42 ⁄= 0

Найдём нули числителя:

5 3 4 2 x + 4x − 5x = 0 ⇔ x (x + 4x − 5) = 0

Решим уравнение $x4 + 4x2 − 5 = 0$ при помощи замены $x2 = t ≥ 0$ :

2 t + 4t − 5 = 0 ⇔ t = − 2 ± 3,

откуда $x2 = 1$ , следовательно, $x = ±1$ .

Найдём нули знаменателя:

x3 + 5x − 42 = 0

Можно угадать корень $x = 3$ . Знание корня многочлена позволяет поделить его столбиком на $x − x0$ , где $x0$ – его корень, тогда

3 2 | x + 0x + 5x − 42 |-----x −-3----- x3-−-3x2- | x2 + 3x + 14 3x2 + 5x | 3x2-−-9x- | 14x − 42 | 14x-−-42- | 0 |

Так как

2 2 x + 3x + 14 = (x + 1,5) + 11,75 > 0,

то полное разложение знаменателя на множители:

x3 + 5x − 42 = (x − 3)(x2 + 3x + 14)

По методу интервалов

$PIC$

откуда ответ с учётом ОДЗ:

x ∈ [− 1;0 ] ∪ [1; 3).

Ответ:

$[− 1;0] ∪ [1;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#1791Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x4 +-4x3 +-6x2 +-8x-+-8- ---------5 −-x2--------- x2 − 5 − x4 + 4x3 + 6x2 + 8x + 8 ≥ 2.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x2 − 5 ⁄= 0 4 3 2 x + 4x + 6x + 8x + 8 ⁄= 0

Подробнее рассмотрим левую часть второго неравенства из ОДЗ:

4 3 2 4 3 2 2 x + 4x + 6x + 8x + 8 = (x + 4x + 4x ) + (2x + 8x + 8) = = x2(x2 + 4x + 4) + 2(x2 + 4x + 4) = (x2 + 2)(x2 + 4x + 4) = (x2 + 2)(x + 2 )2.

Таким образом, ОДЗ:

{ x ⁄= ± √5-- x ⁄= − 2.

Исходное неравенство равносильно неравенству

x4 +-4x3 +-6x2 +-8x-+-8- ---------x2-−-5--------- x2 − 5 + x4 + 4x3 + 6x2 + 8x + 8 ≥ 2.

Обозначим

x4 + 4x3 + 6x2 + 8x + 8 ----------2-------------= y x − 5

Тогда последнее неравенство на ОДЗ примет вид

1- y + y ≥ 2. (∗)

Рассмотрим три случая:
1) $y > 0$ , тогда неравенство $(∗)$ равносильно

2 2 2 y + 1 ≥ 2y ⇔ y − 2y + 1 ≥ 0 ⇔ (y − 1) ≥ 0,

то есть все $y > 0$ являются его решениями (так как $z2 ≥ 0$ – при любом $z$ ).
2) $y = 0$ , тогда левая часть неравенства $(∗)$ не определена.
3) $y < 0$ , тогда неравенство $(∗)$ равносильно

y2 + 1 ≤ 2y ⇔ y2 − 2y + 1 ≤ 0 ⇔ (y − 1)2 ≤ 0,

но при $y ⁄= 1$ выполнено $2 (y − 1) > 0$ , то есть среди $y < 0$ решений нет.

Таким образом, на ОДЗ исходное неравенство равносильно неравенству

x4 + 4x3 + 6x2 + 8x + 8 (x2 + 2)(x + 2)2 ----------2-------------> 0 ⇔ ------2---------> 0. x − 5 x − 5

Числитель последнего неравенства положителен на ОДЗ, тогда оно (а, значит, и исходное неравенство) на ОДЗ равносильно неравенству

x2 − 5 > 0,

решениями которого будут $√ -- √ -- x ∈ (− ∞; − 5) ∪ ( 5;+ ∞ ).$
Пересечём его решения с ОДЗ:

√ -- √ -- x ∈ (− ∞; − 5) ∪ ( 5;+ ∞ ).

Ответ:

$√ -- √ -- (− ∞; − 5) ∪ ( 5;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#2092Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство $(x−-1)(x-+-2)≤ 0. (x− 3)(x + 4)$

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ:

(x− 3)(x+ 4)⁄= 0.

Решим исходное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

(x− 1)(x+ 2)= 0.

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя:

x= 1, x = −2.

2) Найдём нули знаменателя:

[ (x− 3)(x+ 4)= 0 ⇔ x = 3 x= −4

По методу интервалов:

$PIC$

Откуда

x ∈(−4;− 2]∪ [1;3).

В этом ответе ОДЗ уже учтено (мы учли его, когда выкололи на числовой прямой нули знаменателя).

Ответ:

$(−4;−2]∪ [1;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#2122Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

-x---+ x−-5< -2x--. x− 3 x 3 − x

Показать ответ и решение

Перенесем слагаемые в одну сторону и приведем все дроби к общему знаменателю:

-x--+ x-− 5-−-2x--<0 x− 3 x 3− x -x--+ x-− 5-+-2x--<0 x− 3 x x− 3 x⋅x-+(x−-5)(x−-3)+2x-⋅x< 0 (x− 3)x 4x2− 8x+ 15 --x(x−-3)--< 0

Попробуем разложить числитель $4x2 − 8x +15$ на множители. Для этого решим уравнение $4x2− 8x+ 15= 0.$ Так как дискриминант данного уравнения меньше нуля, то оно не имеет корней, следовательно, левая часть не раскладывается на множители.

Таким образом, данный квадратичный трехчлен принимает значения строго одного знака: либо всегда положителен, либо всегда отрицателен. Для того, чтобы найти этот знак, подставим любое число вместо $x,$ например, $x= 0,$ и получим $15 > 0.$ Следовательно, для любого $x$ квадратичный трехчлен положителен.

Так как мы имеем право делить неравенство на любое строго положительное выражение, то можно разделить его правую и левую части на $4x2− 8x+ 15.$ Тогда неравенство примет вид

---1---< 0 x(x− 3)

Решим его методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, неравенству удовлетворяют

x ∈(0;3)

Ответ:

$(0;3)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#2123Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x-−-22-≤ -x2−-2-. 4− 3x x − 12

Показать ответ и решение

Перенесем все слагаемые в левую часть и приведем их к общему знаменателю:

2 2 (x-−-2)(x-−-12)2− (x2−-2)(4-− 3x-)-≤0 (4− 3x )(x − 12) -(x-− 2)(4x2−-16) (3x2− 4)(x2− 12) ≥ 0 √-----(x−√-2)⋅4(x-− 2)(x√+-2)--√--≥ 0 ( 3x− 2)( 3x+ 2)(x− 2 3)(x+ 2 3)

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Таким образом, решением неравенства будут

( ) √ - -2- 2-- √- x ∈(−2 3;− 2]∪ − √3 ;√3 ∪{2}∪ (2 3;+∞ )

Ответ:

$( √- ] ( 2---2-) (√ - ) − 2 3;−2 ∪ − √3;√3 ∪ {2}∪ 2 3;+ ∞$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#2216Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

2x2+-3-− 1−2-14x + --54-2-≤0 x + 2x x − 2x (2 − x)

Показать ответ и решение

Приведем все дроби к общему знаменателю с учетом $(2− x)2 =(x − 2)2 :$

-2x+-3-− 1-−-14x-+ --54--2 ≤ 0 x(x+ 2) x(x− 2) (x− 2) (2x-+-3)(x−-2)2-− (1−-14x)(x-+2)(x−-2)+-54x(x+-2)≤ 0 x(x+ 2)(x− 2)2 (2x3− 5x2− 4x + 12)− (−14x3+ x2+ 56x− 4)+ (54x2+ 108x) -------------------x(x+-2)(x−-2)2-------------------≤ 0 16x3+-48x2+-48x-+-16-≤ 0 x(x+ 2)(x− 2)2 16(x3+ 3x2+ 3x+ 1) --x(x+-2)(x−-2)2--≤ 0

Заметим, что по формуле куба суммы

x3+3x2 +3x +1 = (x +1)3,

Cледовательно, имеем:

16(x+ 1)3 x(x+-2)(x−-2)2 ≤ 0

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Тогда нам подходят $x∈ (−∞; −2)∪ [−1;0).$

Ответ:

$(−∞; −2)∪ [− 1;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#18903Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство:

5x − 8 2x-−-4 > 1

Показать ответ и решение

5x−-8 2x− 4 > 1 5x − 8 2x− 4 2x-− 4 − 2x−-4 > 0 5x− 8− (2x− 4) ----2x−-4-----> 0 3x− 4 2(x−-2)->0 | ⋅2 3x−-4 > 0 x− 2

По методу интервалов получим:

$PIC$

Итого ответ $( 4) x ∈ −∞; 3 ∪(2;+ ∞ ).$

Ответ:

$( ) 4 x ∈ − ∞; 3 ∪(2;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#18904Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство: $1 x ≤ 3− x-−-1$ .

Показать ответ и решение

$1 1 x ≤ 3 − x−-1-⇔ x − 3+ x-− 1-≤ 0 ⇔ (x − 3)(x − 1) 1 x2 − 3x − x + 3+ 1 ⇔ ------------ + -----≤ 0 ⇔ -----------------≤ 0 ⇔ x − 1 x− 1 2 x− 1 2 ⇔ x-−-4x+-4-≤ 0 ⇔ (x−-2)-≤ 0. x − 1 x − 1$

По методу интервалов получим ответ $x ∈ (− ∞; 1)∪ {2}$ .

Ответ:

$x ∈ (− ∞; 1)∪{2}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#18905Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство:

2x − 17 x− 5 3 − x-−-5-> x+-2-

Показать ответ и решение

Имеем:

2x-− 17 x−-5- 3− x − 5 > x+ 2 3(x− 5)(x + 2) (2x − 17)(x+ 2) (x− 5)2 -(x−-5)(x+-2) − -(x-− 5)(x+-2)-− (x−-5)(x+-2) > 0 2 3(x−-5)(x-+2)−-(2x−-17)(x+-2)−-(x-−-5)- > 0 (x− 5)(x +2) 3x2-− 15x-+6x-− 30−-2x2−-4x+-17x+-34−-x2+-10x−-25 (x− 5)(x +2) > 0 --14x−-21-- (x− 5)(x +2) > 0 | :7 2x− 3 (x−-5)(x-+2) > 0

По методу интервалов получим:

$PIC$

Итого ответ $x ∈(−2;1,5)∪(5;+∞ ).$

Ответ:

$x ∈ (− 2;1,5) ∪(5;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#70241Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

x3-− 1 x5-−-x2 4x2 ≤ x2 .

Показать ответ и решение

Запишем ограничения, определяющие ОДЗ:

{ 4x2 ⁄= 0 2 x ⁄= 0

Таким образом, $x ⁄= 0$ .

Переходим к решению неравенства.

x3 − 1 4x5 − 4x2 -4x2--≤ ---4x2---,

3 5 2 x-−-1− 4x-−-4x-≤ 0, 4x2 4x2

3 5 2 x-−-1−-4x2--+-4x-≤ 0, 4x

4x5 −-4x2 −-x3-+-1 4x2 ≥ 0,

2 3 3 4x-(x-−-1)−2-(x-−-1) ≥ 0, 4x

(4x2-− 1)(x3 −-1) 4x2 ≥ 0,

(2x-−-1)(2x+-1)(x3 −-1) 4x2 ≥ 0.

Нули числителя: $1 ± 2,1$ .
Нули знаменателя: $0$ .
Используем метод интервалов:

$PIC$

Забираем те промежутки, на которых стоит знак «+», включая все закрашенные точки и исключая выколотые: $x ∈ [− 12;0)∪ (0; 12]∪ [1;+ ∞ )$ .

Ответ:

$x ∈ [− 1;0)∪ (0; 1]∪ [1;+ ∞ ) 2 2$ .

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#78011Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство

4+ 4x2− 32x 36− 2x− x2 ---x-− 8---− 5x≤ ---x−-5--- +7.

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x− 8 ⁄=0, x− 5 ⁄=0,

то есть $x ∈(−∞; 5)∪(5;8)∪(8;+∞ ).$
Все слагаемые переносим в левую часть неравенства и приводим к общему знаменателю:

4 +4x2− 32x 36 − 2x − x2 ----x−-8--- − 5x −--x-−-5---− 7≤ 0,

(4x2−-32x+-4)(x-−-5)+-(x2+-2x−-36)(x−-8)−-(5x-+-7)(x−-8)(x-− 5)-≤ 0, (x− 8)(x− 5)

3 2 2 3 2 2 4x-−-20x--− 32x-+-160x+-4x−-20+-x-−-8x-+-2x-− 16x-− 36x+ (x− 8)(x − 5)

+288−-5x3+-58x2− 109x−-280 ≤0, (x − 8)(x− 5)

--3x-− 12--≤ 0, (x− 8)(x− 5)

3(x− 4) (x−-8)(x−-5) ≤ 0.

Воспользуемся методом интервалов:

$PIC$

С учетом ОДЗ $x ∈(−∞; 4]∪(5;8).$

Ответ:

$x ∈(−∞; 4]∪(5;8)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением/включением граничных точек,	1
ИЛИ
получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

При этом в первом случае выставления 1 балла допускаются только ошибки в строгости неравенства: « $<$ » вместо « $≤$ » или наоборот. Если в ответ включено значение переменной, при котором одна из частей неравенства не имеет смысла, то выставляется оценка «0 баллов».

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#2093Максимум баллов за задание: 2

В неравенстве

(x-−-1-) ⋅ f(x-) (x + 1)(x2 − e) > 0

вставьте вместо $f(x)$ функцию, определённую на $ℝ$ такую, чтобы ответом полученного неравенства служило множество $(− ∞; − 2)$ . Приведите хотя бы один пример такой $f(x)$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ x ⁄= − 1 2 x − e ⁄= 0

Покажем, что в качестве искомой функции подходит $f(x) = − (x − 1)(x + 1)(x2 − e)(x + 2)$ :

исходное неравенство примет вид

(x − 1)(x − 1)(x + 1)(x2 − e)(x + 2) (x − 1)2(x + 1)(x2 − e)(x + 2) − ------------------------------------> 0 ⇔ ------------------------------< 0 (x + 1 )(x2 − e) (x + 1 )(x2 − e)

Последнее неравенство на ОДЗ равносильно неравенству

(x-−--1)2(x-+-2)- 1 < 0

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдём нули числителя и знаменателя.

1) Нули числителя находятся из уравнения

(x − 1)2(x + 2) = 0

Произведение выражений равно нулю в том и только том случае, когда хотя бы одно из них равно нулю и все они не теряют смысл, тогда нули числителя:

x = 1, x = − 2

2) Знаменатель нигде не обращается в $0$ .

По методу интервалов:

$PIC$

откуда $x ∈ (− ∞; − 2).$ Пересекая полученный ответ с ОДЗ, получим требуемое:

x ∈ (− ∞; − 2).

Ответ:

$f (x ) = − (x − 1)(x + 1)(x2 − e)(x + 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#2124Максимум баллов за задание: 2

Решите неравенство:

--1----+ ------4------≤ ---1---+ ---------4---------- x2 − 4 2x2 + 7x + 6 2x + 3 2x3 + 3x2 − 8x − 12

Источник: Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы под редакцией М.И.Сканави

Показать ответ и решение

Разложим на множители выражения

2x2 + 7x + 6 и 2x3 + 3x2 − 8x − 12

Решим сначала уравнение

2 3 2x + 7x + 6 = 0 ⇒ x1 = − 2 и x2 = − 2-

Тогда выражение можно переписать в виде

( ) 2x2 + 7x + 6 = 2 x + 3- (x + 2) = (2x + 3)(x + 2) 2

Решим уравнение

2x3 + 3x2 − 8x − 12 = 0

Оно является кубическим. Т.к. остальные знаменатели содержат скобки $(x − 2)$ , $(x + 2)$ , $(2x + 3)$ , то попробуем найти корень этого уравнения среди чисел $3 2,− 2,− 2$ . Для этого подставим каждое число в уравнение и проверим, обращается ли оно в верное тождество:

3 2 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 2 − 8 ⋅ 2 − 12 = 0 ⇔ 0 = 0 2 ⋅ (− 2)3 + 2 ⋅ (− 2)2 − 8 ⋅ (− 2 ) − 12 = 0 ⇔ 0 = 0 ( )3 ( )2 ( ) 2 ⋅ − 3- + 3 ⋅ − 3- − 8 ⋅ − 3- − 12 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 2

Таким образом, каждое из чисел $2,− 2,− 32$ является корнем уравнения $2x3 + 3x2 − 8x − 12 = 0$ . А т.к. это уравнение может иметь максимум 3 корня, то это и есть все его корни, то есть выражение

( 3) 2x3 + 3x2 − 8x − 12 = 2(x − 2)(x + 2) x + -- = (x − 2)(x + 2)(2x + 3) 2

Таким образом, неравенство принимает вид: $1 4 1 4 --------------+ --------------- ≤ -------+ ---------------------- ⇒ (x + 2)(x − 2) (x + 2)(2x + 3) 2x + 3 (x − 2)(x + 2 )(2x + 3)$ $2 -----− x-+-6x-−-5----- ----(x −-1)(x-−--5)---- ⇒ (x − 2)(x + 2)(2x + 3) ≤ 0 ⇒ (x − 2)(x + 2 )(2x + 3) ≥ 0$

Решим полученное неравенство методом интервалов:

$PIC$

Следовательно, решением неравенства будут $( ) x ∈ − 2;− 3 ∪ [1;2) ∪ [5;+ ∞ ) 2$ .

Ответ:

$( ) − 2; − 32 ∪ [1;2) ∪ [5;+ ∞ )$