Механические колебания (отсутствует в ЕГЭ 2025) —Каталог задач по ЕГЭ - Физика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#20276

Доска с лежащим на ней бруском находится на гладкой горизонтальной поверхности стола (см. рисунок). Брусок в пять раз тяжелее доски. Система совершает колебания с амплитудой $A = 8$ см и периодом $T = 0,8$ с по поверхности стола под действием пружины, прикреплённой к бруску. Доска и брусок при колебаниях неподвижны относительно друг друга. При каких значениях коэффициента трения между доской и бруском такие колебания возможны? Какие законы вы использовали для решения задачи? Обоснуйте их применение.
(МФТИ, 1992)

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Брусок массой $M$ и доска $m$ имеют малые размеры по сравнению с пружиной и движутся поступательно, поэтому описываем их моделью материальной точки..

3. Так как тела являются материальнами точками, то описывать их движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как тело $M$ сцеплено со стеной пружиной, то при малой деформации, по закону Гука в пружине возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть ее в исходное положение. На тело $M$ будет действовать сила упругости, стремящаяся вернуть систему в исходное положение.

Решение

Пусть масса бруска $M$ , а масса доски $m$ .
Период колебаний равен:

2π T =-ω ,

где $ω$ – циклическая частота колебаний.
Расставим силы, действующие на тела

Здесь $N1$ – сила реакции опоры стола, $N2$ – сила реакции опоры доски, $P$ – вес бруска, $Fтр$ – сила трения между доской и бруском.
Запишем второй закон Ньютона для бруска и доски:

F⃗тр+ ⃗N2+ M ⃗g =M ⃗a,

⃗Fтр +N⃗1 + ⃗P +m ⃗g = m ⃗a.

По третьему закону Ньютона $P = N2$ .
Для того, чтобы колебания совершались тела должны двигаться как одно целое, то есть ускорения тел в любой момент времени должны быть равны.
Спроецируем второй закон Ньютона на оси $y$ и $x$ :

( {N2 − Mg = 0 (Fу − Fтр =Max

({ N1 − N2− mg = 0 (F тр = max

Так как они двигаются как одно целое, то сила трения между брусками это сила трения покоя, то есть

F ≤μN ≤ μMg. тр 2

А отсюда:

μMg ≥ ma ⇒ μ ≥ max. x Mg

Если система совершает колебаний по закону:

x(t)= Asin(ωt+ φ0),

где $ω$ – циклическая колебаний, $φ0$ – начальная фаза.
То ускорение меняется по закону:

a(t)= x′′(t)= − Aω2sin(ωt).

Тогда максимальное ускорение равно:

(2π)2 am = A ω2 = A-T-2-.

И ограничение на коэффициент трения:

2 2 μ≥ mam- = m-A-(2π)2- = m--0,08(2⋅3,142)-≈ 0,1 Mg M gT 5m 10⋅(0,8)

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обосновано описание бруска и доски моделью материальной точки.

3. Обосновано использование второго закона Ньютона.

4. Обосновано направление возникновение возвращающей силы и её направление.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатные оси, формула силы трения скольжения, формула связи амплитуды колебаний координаты тела с амплитудой колебаний его ускорения, формула периода свободных колебаний пружинного маятника, формула периода и частоты колебаний, условие совместного колебания тел).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#20262

Брусок, покоящийся на горизонтальном столе, и пружинный маятник, состоящий из грузика и легкой пружины, связаны легкой нерастяжимой нитью через идеальный блок (см. рисунок). Коэффициент трения между основанием бруска и поверхностью стола равен 0,25. Груз маятника совершает колебания с периодом $0,5с$ вдоль вертикали, совпадающей с вертикальным отрезком нити. Максимально возможная амплитуда этих колебаний, при которой они остаются гармоническими, равна 4 см. Чему равно отношение массы бруска к массе грузика? Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Все тела движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками.

3. Так как грузы являются материальными точками, то описывать их движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как груз висит на пружине, то при её деформации по закону Гука в ней возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть тело в исходное положение.

Решение

Координата грузика при колебаниях может быть записана как

x = x0cos(ωt+ φ0)

А период

∘ --- T = 2π m- k

Запишем второй закон Ньютона для грузика:

m⃗a= m⃗g +F ⃗упр1

где $a$ – ускорение, $m$ – масса, $Fупр1$ – сила упругости пружины.
Запишем второй закон Ньютона для бруска:

M ⃗a′ = ⃗N +F⃗тр+ M ⃗g+ Fу⃗пр2,

где $M$ – масса, $a′$ – ускорение, $N$ – сила реакции стола, $Fтр$ – сила трения, $Fупр2$ – сила упругости нити. Так как нить нерастяжима и невесома, то $Fупр1 = Fупр2 = Fупр$ .
Тогда спроецировав первое уравнение на вертикальную ось, для случая, когда груз находится в нижней точке траектории, получим:

ma = Fупр− mg

а второе на горизонтальную и вертикальную ось, с учетом, что брусок остается на месте

Fупр = Fтр N = Mg

Сила трения скольжения равна

Fтр = μN = μMg

Тогда, чтобы брусок не поехал под действием качений грузика, нужно, чтобы соблюдалось условие:

mg + ma ≤ μMg

Откуда отношение масс равно

M-= g-+a m μg

Определить ускорение можно, взяв вторую производную по координате:

′ υx = x = −ωx0sin(ωt +φ0)

′′ 2 ax = x = −ω x0cos(ωt+ φ0)

Максимальное ускорение равно

|| 2 || 2 |amax|=|− ω2x0|= ||− 4π2x0||= 4πx20- T T

Подставим это ускорение в полученное отношение масс:

4π2x0 10 + 4π2⋅0,04- M-= g-+--T2- = -----0,25--= 6,53 m μg 2,5

Также в гармонических колебаниях должно быть выполнено условие: нить всё время натянута, поэтому груз нигде не переходит в режим свободного падения.

4π2x gT 2 |amax|<g ⇔ -T-20< g ⇒ x0 < 4π2

Предельный случай, когда $x0 = A$ , то есть

2 A = x0 < gT 4π2

Как видим, это условие не зависит от масс грузов, следовательно, оно будет выполняться всегда в условиях этой задачи и ответ будет зависеть только от первого условия.

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обоснована возможность применения к телам модели материальной точки.

3. Обосновано применение второго закона Ньютона для описания движения тел.

4. Обосновано наличие силы упругости и ее направление.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатную ось, закон Гука (формула силы упругости), формула силы трения скольжения, уравнение гармонических колебаний).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#20266

Два одинаковых шарика массой $m$ каждый, связанные пружиной жесткостью $k$ и длиной $l$ , лежат неподвижно на гладком горизонтальном столе. Третий такой же шарик движется со скоростью $v0$ , по линии, соединяющей центры шариков, связанных пружиной, и совершает упругое соударение с одним из них. Определить максимальное и минимальное расстояния между шариками, связанными пружиной, при их дальнейшем движении. Принять, что $v0 < l∘2k-∕m-$ . Массой пружины, временем соударения и трением пренебречь.

ВМК МГУ

Показать ответ и решение

Из законов сохранения импульса и энергии, записанных для упругого соударения одинаковых по массе шариков, следует, что они при ударе обмениваются скоростями. Поэтому после соударения двигавшийся шарик остановится, а покоившийся приобретет скорость $v0$ . При последующем движении шариков, связанных пружиной, также будут сохраняться импульс и энергия. Учитывая, что в моменты времени, когда расстояния между шариками максимальны или минимальны, их относительная скорость обращается в нуль, для этих моментов времени имеем: $mv0 = 2mv$ ,

mv20- 2mv2- kx2 2 = 2 + 2 ,

где $v$ – скорость шариков, $x$ –удлинение пружины. Исключая из этих соотношений $v$ , находим

∘ m-- x= ±v0 2k

тогда ответ

∘ --- ∘ --- lmax = l+v0 m- lmin =l− v0 m- 2k 2k

Критерии проверки

________________________________________________________________________________________________________________________________________________

8 баллов ставится если: сказано, с какими скоростями будут двигаться шары после соударения

7 баллов ставится если: записан закон сохранения импульса для необходимого момента времени

6 баллов ставится если: записан закон сохранения энергии

4 балла ставится если: верно найдены формулы для максимального и минимального расстояния между шариками

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

____________________________________________________________________________________________________

4 балла ставится если: записан закон сохранения энергии

4 балла ставится если: записан закон сохранения импульса

3 балла ставится если: выражено максимальное расстояние между шариками

3 балла ставится если: выражено минимальное расстояние между шариками

1 балл ставится если: сказано, что в моменты максимального и минимального расстояния между шаркиами, их относительная скорость равна нулю

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#20274

Шарик подвешен в поле тяжести на легкой упругой пружине с неизвестной жесткостью. Шарик поднимают вверх до положения, когда пружина не деформирована, и отпускают. При дальнейшем движении шарика вдоль вертикали в некоторые моменты времени силы, действующие на шарик со стороны пружины, отличаются в 2 раза, а модули ускорений равны.
1. Найти модуль ускорения в эти моменты.
2. Найти отношение кинетических энергий шарика в эти моменты.
3. Найти отношение максимальной энергии деформации пружины к максимальной кинетической энергии шарика.
(«Физтех», 2020, 11)

Источники: Физтех, 2020, 11

Показать ответ и решение

1) Пусть амплитуда колебаний равна $A$ , $k$ – жёсткость пружины, $m$ – масса шарика, $x$ – смещение груза от положения равновесия в искомые моменты. Так как первоначально нить отклонена в положение нерастянутой пружины, то выполнено равенство:

kA = mg ⇒ A = mg-. k

Если шарик совершает колебаний по закону:

x(t)= Acos(ωt),

где $ω$ – циклическая частота колебаний.
То ускорение меняется по закону:

′′ 2 a(t)= x (t)= − Aω cos(ωt).

Пусть модули ускорений равны в моменты $t1$ и $t2$ . Тогда выполнено равенство:

|cos(ωt1)|= |cos(ωt2)|

Тогда

|x(t1)|= |x(t2)|

Следовательно

2k(A− x)= k(A +x).

Запишем второй закон для шарика, в проекции на вертикальную ось

mg − k(A − x) = ma

Тогда

a = g. 3

2) Скорость изменяется по закону:

v(t)= x′(t)= Aω sin(ωt).

Тогда скорости в эти моменты равны и тогда кинетические энергии, которые находятся по формуле:

E1 = mv-(t1)2, E2 = mv(t2)2. 2 2

тоже равны.
3) Максимальное отклонение пружины от положения недеформированной пружины равно $2A$ , тогда максимальная потенциальная энергия пружины равна:

2 E п = k(2A)-. 2

А максимальная кинетическая энергия груза:

2 E к = mvm-, 2

где $vm = Aω$ – максимальная скорость груза. Так как

ω = k, m

то

k- vm =A m

и искомое соотношение:

E k(2A2) k ⋅4A2 E-п= m-(Aω)2 = m-⋅v2-= 4. к m

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#20298

На гладкой наклонной плоскости с углом наклона к горизонту $α$ колеблются с амплитудой $A$ как одно целое вдоль прямой шайба массой m и брусок массой $3m$ под действием пружины жёсткостью $k$ , прикреплённой к бруску (см. рисунок). При каком минимальном коэффициенте трения скольжения между шайбой и бруском такие колебания возможны? Какие законы вы использовали для решения задачи? Обоснуйте их применение.
(МФТИ, 2005)

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Кубик массой $m$ и брусок $3m$ имеют малые размеры по сравнению с пружиной и движутся поступательно, поэтому описываем их моделью материальной точки..

3. Так как тела являются материальными точками, то описывать их движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как тело $3m$ сцеплено со стеной пружиной, то при малой деформации, по закону Гука в пружине возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть ее в исходное положение. На тело $3m$ будет действовать сила упругости, стремящаяся вернуть систему в исходное положение.

Решение

Расставим силы, действующие на шайбу

$N$ – сила реакции опоры бруска, $Fтр$ – сила трения.
Запишем второй закон Ньютона для шайбы:

m⃗a = F⃗тр+ ⃗N +m ⃗g

Сила трения находится по формуле:

Fтр = μN.

Спроецируем на оси $x$ и $y$ :

( {N − mg cosα = 0 (1) ( μN − mg sinα = max (2)

Если система совершает колебаний по закону:

x(t)= Asin(ωt+ φ0),

где $ω$ – циклическая колебаний, $φ0$ – начальная фаза.
То ускорение меняется по закону:

a(t)= x′′(t)= − Aω2sin(ωt).

Тогда максимальное ускорение равно:

am = A ω2.

При этом циклическая частота равна:

∘ --- ω = -k-. 4m

При колебательном движении шайбы сила трения достигает максимального значения в крайнем нижнем положении шайбы. Для этого положения шайбы уравнение (2) с учётом (1) будет иметь вид:

μmg cosα− mg sinα = mA ω2

Совместные колебания шайбы и бруска будут возможны , если максимальная сила трения покоя будет больше или равна силе трения скольжения между шайбой и бруском:

μmgcosα ≥ mAω2 +mg sin α⇒ μ≥ tgα+ ---Ak---. 4mg cosα

И минимальное значение:

--Ak---- μmin = tgα + 4mgcosα

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обосновано описание шайбы и бруска моделью материальной точки.

3. Обосновано использование второго закона Ньютона.

4. Обосновано направление возникновение возвращающей силы и её направление.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатные оси, формула силы трения скольжения, формула связи амплитуды колебаний координаты тела с амплитудой колебаний его ускорения, формула периода свободных колебаний пружинного маятника, формула периода и частоты колебаний, условие совместного колебания тел).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#22287

Определите время полёта камня от одного полюса Земли до другого по прямому тоннелю, прорытому через центр. Плотность Земли считать постоянной. Радиус Земли принять равным $R = 6400$ км.

Показать ответ и решение

Камень, или иной, обладающий массой предмет, опущенный в такую шахту, будет совершать колебательное движение, потому что на поверхности планеты сила тяжести будет максимальной, а в центре Земли – сведётся к минимуму. По мере опускания камня в тоннеле будет уменьшаться масса участвующая в гравитационном взаимодействию. Камень в шахте испытывает притяжение только тех слоёв планеты, которые располагаются ниже его положения. Масса шара

4 3 M = 3πR ρ.

Пропорциональна $R3$ , поэтому:

3 Mr-= -x3. MR R

Из закона гравитации для силы, действующей со стороны нижних слоёв Земли ( $x< R$ ), следует:

Fгр = G Mrm-= GMRm--x; G MR-= gR;⇒ Fгр = m ⃗gx x2 R3 R2 R

По второму закону Ньютона

m⃗a = ⃗F

Тогда в проекции на ось $x$

mg max = − R-x

Воспользуемся уравнением гармонических колебаний

ax +ω2x = 0⇔ ax + gx =0 R

Тогда период колебаний

∘ -- T = 2π =2π R-≈ 84 мин ω g

Время полёта камня от полюса до полюса:

t= T-= 42 мин 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#22288

Выведите формулу для периода колебаний пружинного маятника. Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тело движется поступательно, поэтому его можно считать материальной точкой.

3. Так как тело является материальной точкой, то описывать его движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как тело сцеплено с пружиной, то при её деформации по закону Гука в ней возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть тело в исходное положение.

Решение

Воспользуемся уравнением гармонических колебаний

a +ω2x = 0

Запишем второй закон Ньютона при смешении на $x$ относительно положения равновесия

max =Fx,

где $Fx$ – силу упругости, действующая на груз со стороны пружины.
Если $x> 0$ , то сила упругости направлена в противоположную сторону, и $Fx < 0$ . Наоборот, если $x< 0$ , то $Fx > 0.$ Знаки $x$ и $Fx$ всё время противоположны, поэтому закон Гука можно записать так:

Fx =− kx

Тогда второй закон Ньютона запишется в виде:

max = −kx⇒ ax+ k-x= 0 m

Тогда из нашего уравнения $ω2 =-k m$ . А период

∘ --- T = 2π= 2π m- ω k

Рассмотрим энергетический подход. Запишем закон сохранения энергии:

kx(t)2 mv-(t)2 2 + 2 = const,

где $v$ – скорость груза.
Продифференцируем выражение по времени $t$ . Производная от $x′(t)t = v(t)$ , $(x2(t))′ = 2x(t)⋅v(t).$ Производная от $v′(t)= a(t)$ , тогда $(v2(t))′ = 2v(t)⋅a(t).$ Производная от константы равна нулю $(const)′ =0$ . Тогда

( 2 2) ′ kx(t) + mv(t)- =(const)′ ⇒ kx(t)⋅v(t)+mv (t)⋅a(t) =0 ⇒ a+-kx = 0. 2 2 m

Получили тоже выражение, что и ранее

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обоснована возможность применения к телу модели материальной точки.

3. Обосновано применение второго закона Ньютона для описания движения тела.

4. Обосновано наличие силы упругости и ее направление.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатную ось, закон Гука (формула силы упругости), записано уравнение гармонических колебаний).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#22289

Выведите формулу для периода колебаний математического маятника. Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тело движется поступательно, поэтому его можно считать материальной точкой.

3. Так как тело является материальной точкой, то описывать его движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

Решение

Воспользуемся уравнением гармонических колебаний

a +ω2x = 0

Пусть груз отвели на малый угол $φ$ , тогда

x sinφ = l,

где $x$ – смещение по горизонтали, $l$ – длина нити.
Запишем второй закон Ньютона для маятника:

m ⃗a= m ⃗g+ ⃗T,

и спроецируем его на ось $X$ :

max = Tx.

Если маятник занимает положение как на рисунке (т. е. $x > 0$ ), то:

Tx = − T sin φ= − Tx. l

Если же маятник находится по другую сторону от положения равновесия (т. е. $x <0$ ), то:

x Tx = T sinφ =− T l.

Итак, при любом положении маятника имеем:

x max = −T l

Когда маятник покоится в положении равновесия, выполнено равенство $T = mg$ . При малых колебаниях, когда отклонения маятника от положения равновесия малы (по сравнению с длиной нити), выполнено приближённое равенство $T ≈ mg$ :

x g ma = −mg l ⇒ a+ lx = 0

Откуда $2 g ω = l$ и период

∘ -- T = 2π l g

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обоснована возможность применения к телу модели материальной точки.

3. Обосновано применение второго закона Ньютона для описания движения тела.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатную ось, записано уравнение гармонических колебаний).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#15712

Небольшой брусок массой $m = 100$ г, скользящий по гладкой горизонтальной поверхности, абсолютно неупруго сталкивается с неподвижным телом массой $M = 3m$ . При дальнейшем поступательном движении тела налетают на недеформированную пружину, одним концом прикреплённую к стене (см. рисунок). С какой скоростью $v$ двигался брусок до столкновения, если после абсолютно неупругого удара бруски вернутся в точку столкновения спустя время $t= 1,7$ с? Жёсткость пружины $k =40$ Н/м, а расстояние от точки столкновения до пружины $L= 25$ см. Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.
Основная волна, 2019

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Так как трение отсутствует и все внешние силы (сила тяжести и сила реакции опоры), действующие на тела $m$ и $M$ , направлены вертикально вверх и уравновешивают друг друга отдельно для каждого тела. Следовательно, в ИСО сохраняется импульс системы "брусок $m$ и тело $M$ "при их столкновении.

3. Так как по условию трение отсутствует, то движение тел после соударения и до пружины равномерное, и его можно описать кинематикой равномерно движущегося тела.

4. После того, как тела коснутся пружины, начнутся гармонические колебания на пружине. По возвращении в точку соприкосновения тела пройдут половину колебания. В процессе движения с пружиной полная механическая энергия системы тел равна $Eмех = Eкин+ Eпр$ , где $E кин$ - кинетическая энергия системы тел, $E пр$ - потенциальная энергия деформации пружины. Так как изменение полной механической энергии системы тел равно работе непотенциальных сил, а в данном случае единстванная такая сила - сила реакции опоры, то полная механическая энергия системы тел не изменится, поскольку сила реакции опоры направлена вертикально и она перпендикулярна движению тела, а следовательно, не соврешает работы. Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что по возвращении в точку касания пружины с телами, тела в момент отрыва будут двигаться с той же скоростью, что и в момент касания с пружиной.

Решение

Закон сохранения импульса запишется в виде

m ⃗v = (M + m)⃗v′.

Тогда при столкновении бруска и тела

v mv =v′(M + m)⇒ mv =4mv ′ ⇒ v′ = 4 (1)

где $v′$ – скорость бруска и тела после столкновения.
Чтобы вернуться в точку удара бруску надо пройти расстояние $2L$ и совершить половину колебания на пружине. Период колебаний пружинного маятника равен

∘ ------- ∘ --- T = 2π M--+m- =2π 4m- (2) k k

Так как тела движутся по отрезку $L$ два раза, то время движения на этом участке будет равно $t1 = 2L- v′$
Значит время, затрачиваемое на возвращение тела обратно, равно

2L- T- t= v′ + 2

С учетом (1) и (2) оно равно

∘ --- t= 8L-+ π 4m- v k

Отсюда начальная скорость бруска

v = ---8∘L----= -----8⋅0,∘25 м-----≈ 1,44 м/с m- 4⋅0,1 кг t− π 4 k 1,7− 3,14 40 Н/м

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Описана возможность применения закона сохранения импульса (так как рассматриваем ИСО, то в ней выполняется закон сохранения импульса на горизонтальную ось, так как трение отсутствует и вертикальные силы скомпенсированы).

2. Обоснвоано, что движение на участке $L$ является равномерным.

3. Сказано, что при движении на пружине, будут происходить гармонические колебания, при этом полная механическая энергия не изменяется (так как не потенциальная сила - сила реакции опоры, действует перпендикулярно движению тела и ее работа равна 0), а следовательно, по возвращении в точку касания скорость тел будет такой же, как в момент касания с пружиной.

4. Указано, что на пружине груз пройдет половину колебания.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: закон сохранения импульса, уравнение для периода колебания пружинного маятника, формула для пути в равномерном движении по участку длиной L, выражение для времени возвращения брусков в исходную точку).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#20260

От груза, неподвижно висящего на невесомой пружине жёсткостью $k$ = 400 Н/м, отделился с начальной скоростью, равной нулю, его фрагмент. После этого при возникших колебаниях оставшаяся часть груза поднималась на максимальную высоту $h$ = 3 см относительно первоначального положения. Какова масса m отделившегося от груза фрагмента? Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.

Источники: Демидова 2019

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Кубик массой $M$ и $m$ имеет малые размеры по сравнению с пружиной и движутся поступательно, поэтому описываем кубики моделью материальной точки. Так как тела являются материальными точками, то описывать их движение в ИСО будем с помощью второго закона Ньютона

3. Так как изменения механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу, а в данном случае таких сил нет, (сопротивлением воздуха пренебрегаем, трения нет) полная механическая энергия кубика при его движении сохраняется.

4. Так как деформации упругие, то применим закон Гука для нахождения силы упругости, действующей на тело во время возникших колебаний.

Решение

$PIC$

В начальном положении тело находилось в равновесии, то есть сила тяжести уравновешивает силу Гука

⃗FН +(M + m )⃗g = 0,

где $FН = ky0$ – сила Гука. Или в проекции на ось $x$

(m + M )g = ky0 (1)

Так как начальная скорость куска $m$ равна нулю, то и скорость $M$ после отделения также равна нулю. После отделения части груза, будут совершаться гармонические колебания, значит по закону сохранения энергии

2 2 ky0 = k(y0−-h)-+ Mgh 2 2

Раскроем скобки

ky20= k(y20 −-2y0h-+h2) +Mgh ⇒ ky0 = kh +Mg (2) 2 2 2

kh kh 2 + Mg = mg + Mg ⇒ mg = 2

Отсюда

hk 0,03 м ⋅400 Н/м m = 2g = --2-⋅10-Н/кг---= 0,6 кг

Ответ: 0,6 кг

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задачи	Баллы

Критерий 1

Верно обоснована возможность испольования законов	1
(закономерностей). В данном случае: выбор ИСО, модель материальной точки, использование закона Гука, использование второго закона Ньютона, использование закона сохранения энергии

В обосновании возможности использования законов	0
(закономерностей) допущена ошибка
ИЛИ
Обоснование отсутствует

Критерий 2
Приведено полное решение, включающее следующие элементы:	3
I) записаны положения теории и физические законы,
закономерности, применение которых необходимо для решения
задачи выбранным способом (в данном случае - закон Гука, второй закон Ньютона, закон сохранения механической энергии, формула потенциальной энергии упруго деформированного тела);
II) описаны вновь вводимые в решении буквенные обозначения
физических величин (за исключением обозначений констант,
указанных в варианте КИМ, обозначений величин, используемых
в условии задачи, и стандартных обозначений величин,
используемых при написании физических законов);
III) проведены необходимые математические преобразования
и расчёты (подстановка числовых данных в конечную формулу),
приводящие к правильному числовому ответу (допускается решение
«по частям» с промежуточными вычислениями);
IV) представлен правильный ответ с указанием единиц измерения
фиизческой величины

Правильно записаны все необходимые положения теории,	2
фиизческие законы, закономерности, и проведены необходимые
преобразования, но имеется один или несколько из следующих
недостатков.

Записи, соответствующие пункту II, представлены не в полном
объёме или отсутствуют.
И(ИЛИ)
В решении имеются лишние записы, не входящие в решение
(возможно, неверные), которые не отделены от решения и не
зачёркнуты
И(ИЛИ)
В необходимых математических преобразованиях или вычислениях
допущены ошибки, и(или) в математических преобразованиях/
вычислениях пропущены логически важные шаги.
И(ИЛИ)
Отсутствует пункт IV, или в нём допущена ошибка (в том числе
в записи единиц измерений величины)

Представлены записи, соответствующие одному из следующих	1
случаев.
Представлены только положения и формулы, выражающие
физические законы, применение которых необходимо для решения
данной задачи, без каких-либо преобразований с их
использованием, направленных на решение задачи.
ИЛИ
В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая
для решения данной задачи (или утверждение, лежащее в основе
решения), но присутствуют логически верные преобразования
с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.
ИЛИ
В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной
задачи (или в утверждения, лежащем в основе решения), допущена
ошибка, но присутствуют логически верные преобразования
с имеющимися формулами, направленные на решение задачи

Все случаи решения, которые не соответствуют вышеуказанным	0
критериям выставления оценок в 1, 2, 3 балла

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#20261

Нитяной маятник на поверхности Земли имеет период колебаний $T1 = 2,4$ с. Чему равнялся бы период колебаний этого же маятника на поверхности планеты, радиус которой в 50 раз меньше радиуса Земли, а плотность вещества в 2 раза больше плотности Земли? Планеты считать однородными шарами.

Показать ответ и решение

Период колебаний математического маятника находится по формуле:

∘ -- T = 2π l, g

где $l$ – длина нити, $g$ – ускорение свободного падения.
Тогда

T ∘ g-- T2= g1. 1 2

Отношение ускорений свободного падения на планетах

mg =G mM--, R2

где $m$ – масса груза, $G$ – гравитационная постоянная, $4 3 M = 3πR ρ$ – масса планеты, $R$ – радиус планеты, $ρ$ – плотность планеты.
Тогда

g1 = R2ρ1= 50-= 25 g2 R1ρ2 2

Тогда

T = 5T = 12 с 2 1

Ответ: 12 с

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#20263

Тело массой $m = 0,1$ кг, надетое на гладкий горизонтальный стержень, связано пружиной жесткостью $k = 10$ Н/м с неподвижной стенкой. Тело смещают от положения равновесия на расстояние $x0 = 10$ см и отпускают без начальной скорости. Найти среднюю скорость тела $vср$ за время, в течение которого оно проходит из крайнего положения путь $x0∕2$ .

ВМК МГУ

Показать ответ и решение

Пусть в момент, когда тело, смещенное от положения равновесия на расстояние $x0$ , отпускают без начальной скорости , $t= 0$ . Тогда координата тела будет меняться со временем по закону

x(t)= x0cosωt

где $∘-k- ω = m-$ –круговая частота колебаний. Обозначив через $t0$ время, за которое тело проходит от крайнего положения путь $x0∕2$ ,имеем

∘ --- x0= x0cos k-t0 2 m

откуда

∘ m-- ( 1) π∘ m-- t0 = k-arccos 2 = 3- k-.

Средняя скорость тела за время $t0$ определяется выражением $vср = x0-. 220$ Отсюда находим

∘ --- vср = 3x0 -k =0,48 м/с 2π m

Ответ: 0,48 м/с

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#20264

Тело массой $m = 1$ кг, надетое на гладкий горизонтальный стержень, совершает свободные гармонические колебания под действием пружины. Какова полная механическая энергия колебаний $E$ , если амплитуда. колебаний $A = 0,2$ м, а модуль максимального ускорения тела в процессе колебаний $amax = 3$ м/с $2?$

ВМК МГУ

Показать ответ и решение

СПОСОБ I
Максимальное ускорение равно

amax = A ⋅ω2 = vmax⋅ω,

где $A$ – амплитуда, $ω$ – циклическая частота, $vmax$ – максимальная скорость.
Циклическая частота

∘ --- ω = m-, k

где $m$ – масса груза, $k$ – жёсткость пружины.
Максимальная кинетическая энергия равна

mv2max ma2max m2a2max E = --2---= --2ω2-= --2k--.

Так как

amax = A⋅ω2 = A k-⇒ k = mamax-. m A

То

2 E = mAamax-= 1 кг⋅0,2 м-⋅3 м/с-= 0,3 Д ж. 2 2

СПОСОБ II

$PIC$

Запишем второй закон Ньютона:

m ⃗a= ⃗N + m⃗g +F ⃗упр,

где $a$ – ускорение, $N$ – сила реакции стержня, $Fупр =− kx$ – сила упругости пружины, $x$ – растяжение (сжатие пружины).
В проекции на ось, вдоль которой движется тело, уравнение его колебаний под действием пружины жесткостью $k$ имеет вид:

ma =− kx,

где $a$ – ускорение тела, $x$ – его смещение от положения равновесия. Отсюда $|a|= km-|x|$ , и, следовательно,

k amax = m-A.

Учитывая, что полная механическая энергия колебаний равна $2 E = kA-- 2$ , получаем ответ

2 E = mAamax-= 1 кг⋅0,2 м-⋅3 м/с-= 0,3 Д ж. 2 2

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#20265

Брусок массой $M = 100$ г подвешен на невесомой пружине жесткостью $k = 1$ Н/м. Снизу в него попадает пластилиновый шарик массой $m$ =1 г, летящий вертикально вверх со скоростью $v0$ =2,5 м/с, и прилипает к бруску. Найти амплитуду $A$ возникающих при этом гармонических колебаний. Ускорение свободного падения $g$ =10 м/с $2.$ Какие законы Вы используете для решения задачи? Обоснуйте их применение.

ВМК МГУ

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Кубик массой $M$ и $m$ имеет малые размеры по сравнению с пружиной и движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками.

3. Так как изменения механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу, а в данном случае таких сил нет, (сопротивлением воздуха пренебрегаем, трения нет) полная механическая энергия кубика при его движении сохраняется.

4. В вертикальном направлении действует сила тяжести и закон сохарнения импульса можно применять с учетом малости времени удара.

5. Так как груз висит на пружине, то при её деформации по закону Гука в ней возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть тело в исходное положение.

Решение

Выберем начало отсчета в положении равновесия бруска до прилипания шарика, ось OX направим вверх. В этом состоянии пружина растянута на величину

x0 = Mg- k

По закону сохранения импульса в момент прилипания шарика имеем:

mv =(M + m )u, 0

откуда

u= -mv0-. M + m

В точках максимального смещения от нового положения равновесия скорость бруска и шарика равна нулю. Из закона сохранения энергии следует:

2 2 2 (M--+m-)u-+ kx0= (M + m )gx + k(x-− x0)-. 2 2 2

Подставляя в это равенство найденное ранее $u$ , получаем квадратное уравнение относительно $x$ . Разрешая это уравнение, получаем два корня, которые соответствуют координатам верхней и нижней точек движения бруска с шариком:

1 [ ∘--------------2-----------2] x1,2 = k kx0− (M + m )g ± (kx0− (M + m)g) +k(M + m )u

Поскольку амплитуда колебаний равна

A= 1 (x1− x2), 2

ответ имеет вид

∘ --------------- mg k ( v0)2 A= -k- 1+ M-+-m- g- ≈ 1,3 см

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обосновано описание кубика моделью материальной точки.

3. Обосновано использование закона сохранения энергии и закона сохранения импульса.

4. Обосновано наличие силы упругости и ее направление.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: закон Гука, второй закон Ньютона, закон сохранения импульса в векторной форме и в проекции на координатную ось, формула импульса материальной точки, закон изменения и сохранения механической энергии, формула кинетической энергии материальной точки, формула потенциальной энергии тела в однородном поле тяжести, формула потенциальной энергии упруго деформированного тела, записана формула для амплитуды колебаний бруска через координаты его верхней и нижней точки траектории).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#20267

Пружина жёсткостью $k$ прикреплена к потолку и бруску массой $m$ (см. рисунок). Брусок лежит на подставке так, что ось пружины вертикальна и пружина сжата на величину $L$ . Подставку быстро убирают. Найти амплитуду колебаний бруска.
(МФТИ, 1996)

Показать ответ и решение

Колебания груза будут происходить относительно положения равновесия, которое можно найти по формуле:

mg kx0 = mg ⇒ x0 = k-.

При этом, если амплитуда колебаний равна $A$ , то выполнено равенство:

A = L+ x0 = L + mg k

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#20273

На пружине жёсткостью $k$ висят два груза, связанные нитью (см. рисунок). После пережигания нити верхний груз стал колебаться с амплитудой $A$ . Найти массу нижнего груза. Какие законы Вы использовали для описания движения? Обоснуйте их применение к данному случаю.
(МФТИ, 1996)

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Все тела движутся поступательно, поэтому их можно считать материальными точками.

3. Так как грузы являются материальными точками, то описывать их движение в ИСО будем, используя законы Ньютона.

4. Так как груз висит на пружине, то при её деформации по закону Гука в ней возникает возвращающая сила, стремящаяся вернуть тело в исходное положение.

Решение

Пусть масса верхнего груза $M$ , а нижнего $m$ . Начальное положение равновесия (до пережигания нити) равно:

(M + m )g =kx0 ⇒ x0 = M-+m-g. k

Положение равновесия после пережигания нити равно:

Mg- Mg = kx1 ⇒ x1 = k .

При этом амплитуда колебаний определяется соотношением:

mg A = x0− x1 =-k-.

Отсюда

kA m = -g-.

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена инерциальная система отсчета.

2. Обоснована возможность применения к телам модели материальной точки.

3. Обосновано применение второго закона Ньютона для описания движения тел.

4. Обосновано наличие силы упругости и ее направление

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатную ось, закон Гука (формула силы упругости)).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#22286

По гладкой горизонтальной направляющей длины $2l$ скользит бусинка с положительным зарядом $Q >0$ и массой $m.$ На концах направляющей находятся положительные заряды $q > 0$ (см. рис.). Бусинка совершает малые колебания относительно положения равновесия, период которых равен $T.$ Чему будет равен период колебаний бусинки, если ее заряд увеличить в 2 раза? Какие законы вы использовали для решения задачи? Обоснуйте их применение.

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Рассмотрим задачу в системе отсчёта, связанной с Землей. Будем считать эту систему отсчёта инерциальной (ИСО). Так как заряды точечные, будем считать их материальными точками.

2. Применим второй закон Ньютона, записывать его будем относительно ИСО.

3. Так как горизонтальная направляющая гладкая, то сила трения отсутствует, значит, её работа равняется нулю. При этом единственной не потенциальной силой, действующей на бусинку будет сила реакции опоры, но так как в любой точке она перпендикулярна вектору перемещения, её работа равняется нулю. Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что полная энергия бусинки не изменяется, следовательно колебания будут гармоническими.

4. Взаимодействие между зарядами будем описывать используя закон Кулона.

Решение

При небольшом смещении $x$ ( $|x|<< l$ ) бусинки от положения равновесия на нее действует возвращающая сила:

2 2 Fx = F1− F2 = k-qQ-2 − k-qQ--2 = kqQ(l−-x)-−2 (l+-x2) (l+x) (l− x) (l+ x)(l− x)

пропорциональная смещению $x$ . Раскроем скобки в числителе и знаменателе

l2−-2lx+-x2−-l2−-2lx−-x2 Fx = kqQ (l2 − lx+ lx− x2)2

Так как $|x|<< l$ , то $x2$ по сравнению с $l$ можно пренебречь в знаменателе можно пренебречь

2 2 2 2 Fx = kqQ l-−-2lx+-x-−4l-−-2lx−-x- ≈ −k4qQ3 x l l

Ускорение бусинки, в соответствии со вторым законом Ньютона,

m ⃗a= F⃗k max = −k4qQ3-x⇒ ax =− k4qQ3x l ml

Используя уравнение гармонических колебаний, получим

a +ω2x = 0⇔ − k4qQx +ω2x = 0 ml3

Тогда циклическая частота колебаний

∘ -4qQ-- ω = kml3x

Откуда период колебаний будет равен

∘ ------ T = π -m-l3 kqQ

При увеличении заряда бусинки в 2 раза, период колебаний уменьшается в $√- 2$ раз.

Ответ:

Критерии оценки

Критерии проверки

Критерий 1

1 балл ставится если

1. Введена ИСО.

2. Обоснована возможность использования в веденной системе отсчета второго закона Ньютона.

3. Доказано, что колебания буду гармоническими.

4. Сказано что так как заряды точечные то между ними есть взаимодействие описываемое законом Кулона.

__________________________________________________________________________________________________________________________________

В остальных случаях ставится 0 баллов по данному критерию.

При отсутствии обоснования по данному критерию ставится 0 баллов

Критерий 2

3 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
I) Записаны положения теории и физические законы, закономерности, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом (в данном случае: закон Кулона, второй закон Ньютона в векторной форме и в проекции на координатную ось, получено выражение для возвращающей силы при малом смещении бусинки из положения равновесия, записано уравнение гармонических колебаний, формула для периода колебаний).

II) Описаны все вводимые буквенные обозначения величин, кроме тех, которые приведены в условии задачи или представлены в виде констант в КИМ, стандартных обозначений величин, используемых при написании физических законов.

III) Представлены математические образования, приводящие к верному ответу (в данном случае последовательное выражение величин с пояснением действий).

IV) Получен верный ответ.

2 балла ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Верно записаны все положения теории, физические законы, закономерности, и проведены необходимые преобразования, но имеются один или несколько из следующих недостатков:

I) В решении имеются лишние записи, не входящие в решение, которые не отделены от решения и не зачёркнуты.

И (ИЛИ)

II) В необходимых математических преобразованиях или вычислениях допущены ошибки, и (или) в математических преобразованиях/вычислениях пропущены логически важные шаги. (Получение конечной формулы сразу, без последовательного, логического вывода. Пропуск преобразований в формулах.)

И (ИЛИ)

III) Отсутствуют описания вновь вводимых в решение буквенных обозначений физических величин.

И (ИЛИ)

IV) Ответ получен неверный или в нём допущена ошибка. (В ответе обязательно указываются единицы измерений.)

1 балл ставится если:

_________________________________________________________________________________________________________________
Представлены записи, соответствующие одному из следующих случаев.

Записаны только положения и формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо и достаточно для решения данной задачи, без каких-либо преобразований с их использованием, направленных на решение задачи.

ИЛИ

В решении отсутствует ОДНА из исходных формул, необходимая для решении задачи (или утверждение, лежащее в основе решения), но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

ИЛИ

В ОДНОЙ из исходных формул, необходимых для решения данной задачи (или в утверждении, лежащем в основе решения), допущена ошибка, но присутствуют логически верные преобразования с имеющимися формулами, направленные на решение задачи.

Во всех остальных случаях за задачу выставляется 0 баллов.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#38124

Школьник бросил камень с начальной скоростью $v0 = 20$ м/с под углом $∘ α= 45$ к горизонту перпендикулярно берегу озера со спокойной водой. Камень упал в воду, и через время $T = 136$ с после момента броска к берегу начали приходить волны. Школьник подсчитал, что за промежуток времени $τ = 10$ c о берег ударяется $n =30$ волн. Пренебрегая влиянием воздуха на движение камня, найти длину волны на поверхности воды. Считать, что бросок камня производится практически от уровня воды.

Показать ответ и решение

В случае броска под некоторым углом, скорость будет раскладываться на 2 компонента

∘ ------ v = v2x +v2y

где $vx$ – горизонтальная проекция скорости, $vy$ – вертикальная проекция скорости. Воспользуемся уравнением скорости для вертикальной оси

vy = v0sin α− gt

где $α$ – угол броска камня, $t$ – время. В случае подъёма на максимальную высоту вертикальная составляющая скорости равна нулю

v0sinα − gt1 = 0⇒ t1 = v0sinα-. g

Так как время подъема камня равно время падения камня, то общее время полета равно $t= 2t1$ . По горизонтальной оси скорость тела постоянна, а это означает, что путь, пройденный телом равен

2 L = vx⋅2t1 = 2v0cosα ⋅ v0sinα-= v0sin-2α-. g g

Время распространения волны равно:

τ = T − t. 0

Скорость распространения волны:

c= --L--= --v20sin2α--. T − t gT − 2v0sinα

Частота равна:

n ν = τ-

кроме того частота равна:

ν = c, λ

где $λ$ – длина волны.
Приравняв два последних уравнения с учетом выражения для расчёта скорости распространения волны, получим:

--v20sin2α--- τ- --------400 (м/с)2⋅1-------- 10 с- λ= gT − 2v0sinα ⋅n = 10 м/с2⋅136 с − 2 ⋅20 м/с⋅√2∕2 ⋅30 ≈10 см

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#96197

От груза, неподвижно висящего на невесомой пружине жёсткостью $k,$ отделился с начальной скоростью, равной нулю, его фрагмент массой $m = 0,6 кг.$ После этого при возникших колебаниях оставшаяся часть груза поднималась на максимальную высоту $h = 3 см$ относительно первоначального положения. Какова жесткость пружины?

Источники: Демидова 2019

Показать ответ и решение

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Кубик массой $M$ и $m$ имеет малые размеры по сравнению с пружиной и движутся поступательно, поэтому описываем кубики моделью материальной точки. Так как тела являются материальными точками, то описывать их движение в ИСО будем с помощью второго закона Ньютона

3. Так как изменения механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу, а в данном случае таких сил нет, (сопротивлением воздуха пренебрегаем, трения нет) полная механическая энергия кубика при его движении сохраняется.

4. Так как деформации упругие, то применим закон Гука для нахождения силы упругости, действующей на тело во время возникших колебаний.

Решение В начальном положении тело находилось в равновесии, то есть сила тяжести уравновешивает силу Гука

⃗FН +(M + m )⃗g = 0,

где $FН = ky0$ – сила Гука. Или в проекции на ось $x$

(m + M )g = ky0 (1)

Так как начальная скорость куска $m$ равна нулю, то и скорость $M$ после отделения также равна нулю. После отделения части груза, будут совершаться гармонические колебания, значит по закону сохранения энергии

2 2 ky20 = k(y0−2-h)-+ Mgh

Раскроем скобки

ky2 k(y2− 2y0h +h2) kh -20= ---0---2------ +Mgh ⇒ ky0 =-2 +Mg (2)

kh+ Mg = mg + Mg ⇒ mg = kh 2 2

Отсюда

2mg- 2-⋅0,6⋅10 k = h = 0,03 = 400 Н/м

Ответ:

07 Механические колебания (отсутствует в ЕГЭ 2025)