Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.02 Графики линейных функций (прямые)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17574

На рисунке изображён график функции $f(x) =kx + b.$ Найдите $f(−18).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Найдём уравнение прямой. Коэффициент $k$ определим по формуле

y2−-y1 k = x2− x1

Здесь $(x1;y1), (x2;y2)$ — любые две точки на прямой. На прямой видны точки $(−4;−3)$ и $(3;−1):$

k = −1-− (−3)-= 2 3− (− 4) 7

Таким образом, получим уравнение прямой

2 f(x) = 7x+ b

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек в наше уравнение, например, точку $(3;−1):$

− 1= 6 +b ⇔ b =− 16 7 7

Тогда имеем:

2 6 −-36-− 13 f(−18)= 7 ⋅(− 18)− 1 7 = 7 = −7

Способ 2.

Решим задачу, не находя уравнение прямой.

Обратим внимание на отмеченные на графике точки: по ним можно сказать, что если $x$ увеличить на 7, то $f$ увеличится на 2. Аналогично, если $x$ уменьшить на 7, то $f$ уменьшится на 2.

Поскольку $f(−4)= − 3,$ то чтобы от аргумента -4 перейти к аргументу -18, нужно 2 раза уменьшить $x$ на 7. В результате значение $f$ два раза уменьшится на 2 и станет равным

f(−18)= −3 − 2 ⋅2= −7

Ответ: -7

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#19946

На рисунке изображён график функции $y = kx+ b.$ Найдите значение $x,$ при котором $y = −20,5.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Заметим, что графику принадлежат точки $(− 1;4)$ и $(3;−3).$ Найдём угловой коэффициент как тангенс угла наклона прямой:

Δy- −-3−-4- 7 k = Δx = 3− (− 1) = −4

Получим уравнение линейной функции

y =− 7x +b 4

Подставим в это уравнение точку $(3;− 3):$

7 1 − 3= −4 ⋅3+ b ⇔ b= 24

Найдём искомое значение $x,$ решив уравнение $y =− 20,5 :$

− 20,5 =− 7x +2,25 ⇔ x= 13 4

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#30872

На рисунке изображен график функции $f(x) =kx + b.$ Найдите $f(120).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Определим коэффициенты $k$ и $b.$ Найдём $k$ как

Δy- 1−-(−-2) k = Δx = 3− (− 2) = 0,6

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже расчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(−2;−2):$

−2= 0,6⋅(−2)+ b b= −0,8

Тогда

f(120) =0,6⋅120− 0,8= 71,2

Способ 2.

Заметим, что для данной линейной функции имеет место следующая зависимость: при увеличении $x$ на 5 $y$ увеличивается на 3. При $x= −2$ значение функции равно $− 2.$ Поймём, сколько раз (назовём это $n$ ) нужно «сдвинуть» координату $x$ вправо на 5 единиц, чтобы оказаться в точке 120:

n = 120−-(−-2)= 24,4 5

Тогда

f (120)= −2 +24,4⋅3= − 2+ 73,2 =71,2

Ответ: 71,2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32009

На рисунке изображён график функции $f (x)= kx +b.$ Найдите значение $x,$ при котором выполнено $f(x) =− 13,5.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Определим коэффициенты $k$ и $b.$ Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 4− (− 3) 7 k = Δx = 3−-(−-1) = 4 = 1,75

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек прямой в уравнение с уже найденным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(3;4) :$

4= 1,75 ⋅3+ b ⇔ 4= 5,25 +b ⇔ b = −1,25

Значит, функция имеет вид

f(x) =1,75x− 1,25

Имеем уравнение на $x:$

f(x)= −13,5 ⇔ 1,75x− 1,25 =− 13,5 ⇔ 7x − 5= −54 ⇔ x = −7

Ответ: -7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#35278

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= kx+ b.$ Найдите значение $f(7).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Определим коэффициенты $k$ и $b.$ Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 1− (−1) 2 k = Δx-= -1-− 0-= 1 = 2

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже найденным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(1;1) :$

1 = 2⋅1+ b ⇔ 1= 2+ b ⇔ b= − 1

Значит, функция имеет вид

f(x)= 2x− 1

Тогда имеем:

f(7)= 2⋅7− 1= 14− 1= 13

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#35283

На рисунке изображён график функции вида

f(x)= kx+ b

Найдите значение $f(4).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Определим коэффициенты $k$ и $b.$ Найдём $k$ как тангенс угла наклона прямой:

Δy 4 − 1 3 k = Δx-= 1-− 0 = 1 = 3

Чтобы найти $b,$ подставим одну из точек на прямой в уравнение с уже рассчитанным коэффициентом $k.$ Подставим точку $(1;4) :$

4 =3 ⋅1+ b ⇔ 4= 3+ b ⇔ b= 1

Значит, функция имеет вид

f(x)= 3x+ 1

Имеем следующее:

f(4)= 3⋅4+ 1 ⇔ 12+ 1 =13 ⇔ f(4)= 13

Ответ: 13

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#18616

На рисунке изображены графики двух функций вида $y = kx+ b,$ которые пересекаются в точке $A (x0;y0).$ Найдите $x0.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Первый способ.

Пусть $y = k1x +b1$ — уравнение первой прямой, $y = k2x+ b2$ — уравнение второй прямой.

Заметим, что первая прямая проходит через точки $(−1;4)$ и $(− 3;3).$ Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение этой прямой в верное равенство. Тогда получаем систему из двух уравнений:

( ( { 4= k1⋅(−1)+ b1 {4= − k1+ b1 ⇔ ( 3= k1⋅(−3)+ b1 (1= 2k1 ( ( { b1 = 4+ k1 {b1 = 92 ( k1 = 1 ⇔ (k1 = 1 2 2

Значит, уравнение первой прямой имеет вид

x-+9- y = 2

Вторая прямая проходит через точки $(2;− 1)$ и $(− 1;− 4).$ Следовательно, получаем следующую систему:

( ( { −1= k2⋅2+ b2 ⇔ {− 1= 2k2+ b2 ( −4= k2⋅(−1)+ b2 (3 = 3k2 ( ( { b2 = −(2k2 +1) { b2 = −3 ( ⇔ ( k2 = 1 k2 = 1

Значит, уравнение второй прямой имеет вид

y = x − 3

Обе прямые проходят через точку $A (x0;y0)$ по условию, тогда имеем систему:

({ x+9 y0 = -02-- ⇒ x0− 3= x0+-9 ( y0 = x0− 3 2 2x0− 6= x0+ 9 ⇔ x0 = 15

Второй способ.

Если прямая $l$ на плоскости проходит через две точки $M (x ;y) 1 1 1$ и $M (x ;y ), 2 2 2$ то можем составить ее каноническое уравнение:

x− x1 y − y1 l : x2− x1-= y2−-y1

На рисунке видно, что одна из прямых проходит через точки $(− 1;4)$ и $(−3;3).$ Тогда имеем:

-x−-(−1)- y-− 4 x+-1- y−-4 − 3− (− 1) = 3− 4 ⇔ −2 = −1 x +1 x+ 9 --2--= y− 4 ⇔ y = -2---

Другая прямая проходит через точки $(2;−1)$ и $(− 1;− 4).$ Аналогично запишем ее каноническое уравнение:

x-− 2-= y-−-(−-1)-- ⇔ x−-2= y-+1 −1− 2 −4− (−1) − 3 − 3 x− 2= y+ 1 ⇔ y =x − 3

Если прямая проходит через точку на плоскости, то координаты этой точки обращают уравнение прямой в верное равенство. Обе прямые проходят через точку $A(x0;y0)$ по условию, тогда имеем систему:

({ x0+9- y0 = 2 ⇒ x0− 3= x0+-9 ( y0 = x0− 3 2 2x0− 6= x0+ 9 ⇔ x0 = 15

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#19947

На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите ординату точки пересечения графиков.

$xy110$

Показать ответ и решение

Способ 1.

Найдём уравнение функции $y(x)= kx+ b,$ график которой представляет из себя убывающую прямую, на которой отмечены точки $(1;4),$ $(5;−2).$ Найдём угловой коэффициент:

k = Δy-= −-2−-4= −1,5 Δx 5− 1

Получим уравнение функции в виде

y(x)= −1,5x +b

Найдём значение $b,$ подставив в уравнение точку $(1;4):$

4= −1,5⋅1+ b ⇔ b= 5,5

Получится уравнение

y(x)= −1,5x + 5,5

Найдём уравнение функции $g(x)= kx+ b,$ график которой представляет из себя возрастающую прямую, на которой отмечены точки $(−1;−5),$ $(1;2).$ Найдём угловой коэффициент:

Δg 2− (−5) k = Δx-= 1−-(−1) =3,5

Получим уравнение функции в виде

g(x)= 3,5x + b

Найдём значение $b,$ подставив в уравнение точку $(1;2):$

2= 3,5 ⋅1+ b ⇔ b= −1,5

Получится уравнение

g(x) =3,5x− 1,5

Теперь решим уравнение $y(x) = g(x):$

−1,5x+ 5,5 =3,5x− 1,5 ⇔ x = 1,4

Тогда ордината точки пересечения прямых равна

y(1,4)= −1,5⋅1,4+ 5,5= 3,4

Способ 2.

По картинке видим, что целые точки $(1;4)$ и $(5;− 2)$ принадлежат графику первой прямой $y(x)= kx+ b,$ поэтому можем составить систему из двух уравнений: