19.04 Делимость чисел и признаки делимости

Обозначим часть числа без двух последних цифр через , а предпоследнюю цифру через Тогда исходное число можно представить в виде Так как само число — степень двойки, и оно явно не равно 2, то это число делится на 4. Итак, делится на 4.

Слагаемое всегда делится на 4, поэтому число дает такой же остаток, что и сумма Если делится на 2, то делится на , и тогда исходное число дает такой же остаток, как и число , то есть дает остаток 2. Но в таком случае оно не делится на 4, чего не может быть. Значит, не делится на 2, и таким образом предпоследняя цифра числа нечетная.

Попробуем найти удовлетворяющее условию двузначное число.

Посмотрим на число после переноса последней цифры в начало. Чтобы результат делился на 5, но не делился на 2, число должно оканчиваться на 5. Значит, до переноса последней цифры в разряде десятков стояла пятерка.

Исходное число должно было оканчиваться на четную цифру, чтобы делиться на 2, но при этом не на 0, чтобы не делиться на 5. Самая маленькая подходящая под эти условия цифра — двойка.

И действительно, число 52 подходит: оно делится на 2, но не делится на 5, а после переноса результат, то есть число 25, делится на 5, но не делится на 2.

Это самое маленькое подходящее число, так как мы выяснили, что в разряде десятков должна стоять пятерка, числа 50 и 51 не подходят, а следующее по величине число — 52 — как раз является нашим ответом.

Как бы мы ни переставляли цифры этого числа, их сумма будет равна 25. Эта сумма не делится на 3. Значит, по признаку делимости на 3, само число также не будет делиться на 3. Поэтому, переставляя цифры, мы не получим даже число, которое делится на 3, тем более — на каждую из своих цифр.

Чтобы результат делился на 18, он должен делиться на 9 и на 2. Рассмотрим сначала делимость на 9.

Чтобы результат делился на 9, сумма его цифр также должна делиться на 9. У исходного числа сумма цифр равна 4. Сумму цифр 18 и более, приписав лишь одну цифру, получить не получится, значит, чтобы получить сумму, делящуюся на 9, можно приписать только цифру 5.

Итак, для делимости на 9 справа необходимо приписать цифру 5. Но число 20205 не будет делиться на 18, так как оно нечетное. Значит, приписать к числу 2020 одну цифру справа так, чтобы результат делился на 18, нельзя.

Произведение чисел от 1 до 15 делится на 9. Поэтому мы можем применить признак делимости (равноостаточности) при делении на 9. Посчитаем сумму цифр числа без звездочки. Она равна

Прибавив к этой сумме цифру, которая была на месте звездочки, мы должны получить сумму, которая делится на 9: только тогда всё число будет делиться на 9.

Этого можно добиться, только прибавив цифру 8: ближайшее число, большее 37 и делящееся на 9, равно 45, и как раз его мы и получим. А сумму больше получить нельзя, так как мы прибавляем цифру, то есть число меньше 10. Значит, на месте звездочки находилась цифра 8.

Вспомним признак равноостаточности при делении на 9: число дает при делении на 9 такой же остаток, что и его сумма цифр. Отсюда следует, что после первого же действия мы из исходного числа вычтем другое число, которое дает такой же остаток при делении на 9, что и исходное. Поэтому новое число будет делиться на 9.

Далее из числа, делящегося на 9, будем вычитать сумму его цифр, которая также по признаку делимости делится на 9. Таким образом, число на доске после первого действия и до самого конца будет делиться на 9. Значит, и появившееся однозначное ненулевое число делится на 9. Такое число всего одно — это само число 9. Поэтому именно оно и будет написано на доске, когда Максим Олегович перестанет заниматься своим бесполезным делом.

Обозначим делимое через а сумму его цифр через Тогда должно быть верно равенство

Вычтем из обеих частей Как мы знаем, число дает такой же остаток при делении на 3, что и его сумма цифр. Поэтому делится на 3. Тогда разность делится на 3, так как и и делятся на 3. Но эта разность равна 2020. Это число по признаку дает остаток 1 при делении на 3. Противоречие, значит, такое равенство невозможно, и Грут ошибся.

Число поэтому мы можем отдельно воспользоваться признаками делимости на 9 и на 25.

Начнем с признака равноостаточности при делении на 25: число дает такой же остаток при делении на 25, что и число, образованное его последними двумя цифрами. В нашем случае, чтобы число делилось на 25, оно должно оканчиваться либо на 00, либо на 25, либо на 50, либо на 75. Так как по условию число состоит только из нулей и единиц, подходит лишь 00. Итак, мы выяснили, что число оканчивается на 00.

Теперь, определив однозначно последние две цифры, чтобы сделать число минимальным, нужно минимизировать число без двух последних цифр. Воспользуемся признаком равноостаточности при делении на 9: число дает такой же остаток при делении на 9, что и его сумма цифр. В нашем случае необходимо, чтобы число делилось на 9, поэтому и сумма цифр должна делиться на 9. Нули в записи не меняют сумму цифр числа, поэтому сумму цифр, делящуюся на 9, мы можем получить только из единиц. Если сумма цифр числа будет 18 или больше, то нам придется использовать хотя бы 18 единиц, и тогда в числе будет 20 или больше знаков, а у нас есть пример на меньшее число.

Если сумма цифр числа равна 9, то нужно использовать девять единиц. Так как наличие нулей в записи на делимость не повлияет, но лишь увеличит количество знаков в числе, а значит и его значение, но минимальным подходящим числом является 111 111 111. Приписав к этому числу два нуля в конец, мы получаем искомый ответ.

Замечание.

Обратим внимание на два важных момента. Во-первых, мы можем минимизировать число без двух последних цифр только потому, что они определились однозначно. Если бы у нас получилось несколько вариантов последних двух цифр, то мы бы не могли так просто их отбросить, пришлось бы рассматривать несколько случаев и в каждом искать минимум, а уже потом выбирать самое маленькое число.

Во-вторых, было бы грубой ошибкой написать, что число тем меньше, чем меньше его сумма цифр. Это неправда: но Обратите внимание, как мы обошли эту проблему при написании решения: мы отдельно сказали, что случай с суммой цифр 18 или более нам не подходит, так как у нас есть пример на меньшее количество знаков. А уже потом объяснили, почему при сумме цифр 9 наше число минимальное.

Обозначим сумму цифр исходного числа через Сразу отметим, что после перестановки эта сумма цифр не изменилась. При этом, так как исходное число уменьшилось в 3 раза, то оно делилось на 3. Тогда и его сумма цифр делилась на 3. Итак, делится на 3.

Далее, после того, как число поделили на 3, его сумма цифр по прежнему равна то есть делится на 3. Значит, после того, как число поделили на 3, оно всё еще делится на 3. Это означает, что исходное число делилось на 9. Тогда и сумма цифр исходного числа делилась на 9. Итак, делится на 9.

Наконец, после уменьшения числа в 3 раза сумма цифр числа осталась прежней, значит, эта сумма цифр всё еще делится на 9. Тогда и всё число по прежнему делится на 9. Поэтому до уменьшения в 3 раза оно делилось на что и требовалось доказать.

 

Замечание. Приводить пример таких чисел, конечно, не требуется, но сказанное в условии вполне возможно: например,

Заметим, что ровно одно из трех последовательных чисел делится на 3. Также среди этих трех чисел есть хотя бы одно четное. Тогда произведение делится на

Обозначим через и сумму цифр, стоящих на чётных и нечётных местах соответственно. Из признаков делимости на 9 и на 11 следует, что кратно 9, а кратно 11. Но все цифры чётные, поэтому делится на 18, а — на 22. Также заметим, что

Если то Но из этого следует, что чего не может быть в силу чётности и

Если то в нашем числе будет не менее 7 цифр, поскольку

Пусть Тогда или . В первом случае одно из чисел и равно 29, а другое — 7, чего не может быть. Во втором случае Заметим, что 18 нельзя представить в виде суммы менее чем трёх чётных цифр, поэтому наше число хотя бы шестизначное.

Осталось заметить, что наименьшее шестизначное число, удовлетворяющее условиям задачи, — это 228888. Действительно, первая цифра не может быть меньше 2, вторая — тоже, поскольку если она равна 0, то общая сумма цифр не больше

Сумма цифр такого числа равна

Значит, по признаку делимости на 3 число кратно 3, так как 30 делится на 3.

Допустим, это число является квадратом. Значит, если оно делится на 3, то делится и на 9. Следовательно, по признаку делимости на 9 сумма цифр этого числа тоже должна делиться на 9, но это не так. Противоречие. Значит, число, записываемое с помощью 10 нулей, 10 единиц и 10 двоек, не может быть квадратом некоторого другого натурального числа. Следовательно, ответ «Нет».

Заметим, что если на доске написано число, которое дает остаток 1 при делении на 3, то по признаку делимости на 3 к нему прибавляют число, которое также дает остаток 1 при делении на 3, и в результате следующее число будет давать остаток 2 при делении на 3.

Если же перед нами число, которое дает остаток 2 при делении на 3, то по признаку делимости на 3 на следующем ходу на доске будет число, которое дает остаток то есть 1, при делении на 3. Получается, что остатки образут чередующуюся последовательность вида 2; 1; 2; 1; …, где нет остатка 0. Но 123456 делится на 3, значит, такое число, не получится. Следовательно, ответ «Нет».

а) Да. Пусть дано число Тогда по признаку делимости на 11 должно делиться на 11. Из условия следует, что Проверяем число : кратно 11. Подходит.

б) Возьмем число Пусть Так как число делится на 11, то Заметим, что из и из того, что — цифры, следует, что Следовательно, то есть то есть Значит откуда что невозможно, так как — цифра.

в) Пусть имеется число Заметим, что если нам удастся расставить на местах цифры то полученное число будет наибольшим возможным, так как у него на первом месте стоит самая большая из возможных цифр — 9, на втором — вторая по убыванию цифра 7, на третьем — третья по убыванию цифра 6.

Если число делится на 11, то делится на 11. Оценим это выражение. Наименьшее его значение достигается, когда и равно -1. Наибольшее — когда и равно 11. Следовательно, это выражение равно 0 или 11, поскольку все число делится на 11. Заметим, что — нечетное, следовательно, любая алгебраическая сумма цифр — нечетное число. Следовательно, может равняться только 11. А это достигается, напомним, когда Тогда наибольшее возможное число равно 97635241.

Пусть за каждую песню каждая девочка получит по фантику. Суммируя общее число фантиков по песням, видим, что это число делится на 3, так как каждая песня исполнялась 3 раза. Кроме того, Маша и Нина получили не более 7 и не менее 6 фантиков каждая.

Значит, всего было роздано не более чем и не менее чем фантиков. Единственное число от 25 до 27, кратное 3 — это 27, поэтому спето песен.

а) Запишем оба числа, используя переменные. Пусть первое число имеет вид тогда второе число равно

Так как числа трёхзначные, то ни ни могут быть равны 0, следовательно, обе переменные принимают значения от 1 до 9 включительно.

Не ограничивая общности, можем считать, что Значения переменных можно поменять, а значит, случай рассматривается аналогично. Нам неважно, у кого из братьев на ёлке шариков больше, так как интересует только разность этих двух чисел.

Запишем разность

Пусть и . Тогда:

Пример найден.

б) Запишем разность

Ответ на этот пункт отрицательный, поскольку не является целым числом, а разность двух натуральных чисел и — число целое.

в) Очевидно, что сумма двух трёхзначных натуральных чисел не может быть больше, чем — разности наибольшего и наименьшего трёхзначных натуральных чисел.

Более того, в прошлых пунктах мы заметили, что чтобы и имели натуральные значения, необходимо, чтобы разность чисел и была кратна 99.

Наибольшее число, которое кратно 99 и меньше 899, равно Однако это не ответ, поскольку а то их разность не превышает

Рассмотрим пример для разности

Обозначим загаданные числа за и Пусть остаток при делении этих чисел на 7 равен Тогда их можно записать следующим образом:

Здесь — некоторые целые числа.

Тогда разность чисел равна:

Таким образом, разность делится на 7.

Рассмотрим сумму чисел:

Так как необязательно делится на 7, то и сумма чисел необязательно делится на 7.

Напомним, что если хотя бы одно из чисел в произведении делится на , то и произведение чисел будет делиться на

Заметим, что все выписанные на доске числа, кроме 22, делятся на 3. Тогда в произведении двух чисел всегда хотя бы одно из чисел будет делиться на 3, следовательно, будет делиться и произведение.

Пусть одна пачка сосисок стоит рублей. Тогда вся покупка стоит рублей. Отсюда получаем уравнение:

Однако 88 не делится на 6, то есть не является натуральным. Значит, продавец обсчитался.

Обозначим загаданные числа за и Пусть остаток при делении этих чисел на 5 равен Тогда их можно записать следующим образом:

Здесь — некоторые целые числа.

Тогда разность чисел равна:

Таким образом, разность делится на 5.

Рассмотрим сумму чисел:

Так как необязательно делится на 5, то и сумма чисел необязательно делится на 5.