Тема 14. Задачи по стереометрии

14.11 Построение сечений

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по стереометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#43702Максимум баллов за задание: 1

Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки $M,$ $P$ и $K$ (точка $M$ лежит в грани $CDD1C1$ ).

$PIC$

Показать ответ и решение

Назовем плоскость $(MP K )$ плоскостью $α.$

Пусть $X1$ — ортогональная проекция точки $M$ на плоскость $(ABC ).$ Тогда $α$ пересекает $(ABC )$ в точке $X2,$ в которой прямая $MK$ пересекает прямую $X1A$ (так как $A$ — проекция точки $K$ на плоскость $ABC$ ).

Пусть $X3 = PK ∩ AE.$ Тогда $X3$ — точка, в которой $α$ пересекает $(ABC ),$ следовательно, $X2X3$ — прямая, по которой $α$ пересекает $(ABC ).$

Пусть $X = FE ∩ X X . 4 2 3$ Тогда $X 4$ — точка, лежащая в $α.$ Если $P X4∩ FF1 =X5,$ то $P X5$ — сторона искомого сечения. Можно также соединить $K$ и $X5$ и получить еще одну сторону $KX5$ сечения.

$PIC$

Пусть $X6 = CD ∩ X2X3.$ Тогда $X6$ — точка, лежащая в $α.$ Если $MX ∩CC = X , 6 1 7$ $MX ∩ DD = X , 6 1 8$ то $X X 7 8$ — сторона искомого сечения. Можно также соединить $P$ и $X8$ и получить еще одну сторону $PX8$ сечения.

Пусть $X9 = BC ∩ X2X3.$ Тогда $X9$ — точка, лежащая в $α.$ Если $X7X9 ∩ BB1 = X10,$ то $X7X10$ — сторона искомого сечения. Можно также соединить $K$ и $X10$ и получить еще одну сторону $KX10$ сечения.

Получили сечение призмы плоскостью $α$ — шестиугольник $P X5KX10X7X8.$

Ответ:

$PIC$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#43705Максимум баллов за задание: 1

Постройте сечение правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через точки $M,$ $P$ и $K$ (точка $M$ лежит в плоскости грани $A1B1C1$ на продолжении $E1D1$ за точку $D1$ ).

$PIC$

Показать ответ и решение

Назовем плоскость $(MP K )$ плоскостью $α.$

Пусть $X1$ — ортогональная проекция точки $M$ на плоскость $(ABC ).$ Тогда $α$ пересекает $(ABC )$ в точке $X2,$ в которой прямая $MP$ пересекает прямую $X1C$ (так как $C$ — проекция точки $P$ на плоскость $ABC$ ). Плоскость $α$ также пересекает $(ABC )$ в точке $X3,$ в которой прямая $MK$ пересекает прямую $X1F$ (так как $F$ — проекция точки $K$ на плоскость $ABC$ ). Таким образом, $α$ пересекает $(ABC )$ по прямой $X X . 2 3$

Пусть $AF ∩ X2X3 = X4,$ $BC ∩ X2X3 = X5,$ тогда $X4X5$ — сторона сечения призмы плоскостью $α.$ $⋆$

Пусть $F E∩ X2X3 = X6.$ Тогда $X6$ — точка, лежащая в $α,$ следовательно, $KX7$ — еще одна сторона сечения, где $X7 = KX6 ∩E1F1.$ $⋆⋆$

$PIC$

Пусть $CD ∩X2X3 = X8.$ Тогда $X8$ — точка, лежащая в $α,$ следовательно, $P X9$ — еще одна сторона сечения, где $X9 =P X8∩ C1D1.$ $⋆⋆⋆$

Получаем еще одну сторону сечения $X7X9.$ Тогда сечение призмы плоскостью $α$ — шестиугольник $X9X7KX4X5P.$

$⋆$ $X2X3$ могла пересечь не стороны $AF$ и $BC$ , а их продолжения (либо продолжение только одной из этих сторон), тогда сечение получилось бы другим.

$⋆⋆$ $KX6$ могла бы пересечь не $F1E1,$ а ребро $EE1,$ тогда сечение выглядело бы по-другому.

$⋆⋆⋆$ Заметим, что $P X8$ в нашем случае пересечет именно ребро $C1D1,$ так как точка $X7$ лежит на ребре $E1F1,$ следовательно, плоскость $α$ пересекает плоскость $(A1B1C1)$ по прямой $MX7,$ которая пересекает в результате положения $X7$ отрезок $C1D1,$ а не его продолжение.

Все зависит от положения точек $M,$ $P,$ $K.$

Ответ:

$PIC$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#96467Максимум баллов за задание: 1

На ребрах $AA1,$ $AD$ и $BC$ куба $ABCDA1B1C1D1$ отмечены точки $X1,$ $X2$ и $X3$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью $(X1X2X3 ),$ если известно, что она не пересекает грань $A1B1C1D1$ куба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Точки $X1$ и $X2$ лежат в плоскости грани $AA1D1D,$ следовательно, соединив их, мы получим отрезок $X1X2,$ являющийся одной из сторон нашего сечения. Аналогично отрезок $X2X3$ — вторая сторона нашего сечения.

1 способ

Пусть $X4$ — точка пересечения прямых $BA$ и $X3X2.$ Так как $BA$ лежит в плоскости грани $AA1B1B,$ то и $X4$ лежит в плоскости этой грани, ровно как и точка $X1.$ Следовательно, проведя прямую через точки $X1$ и $X4,$ мы получим отрезок $X1X5,$ являющийся третьей стороной нашего сечения. Здесь $X5$ — точка пересечения прямой $X1X4$ и ребра $BB1.$

$PIC$

Таким образом, четырехугольник $X1X2X3X5$ — искомое сечение.

2 способ

Плоскости граней $AA D D 1 1$ и $BB C C 1 1$ параллельны, следовательно, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Проведем $X3X5 ∥ X1X2,$ как показано на рисунке.

$PIC$

Значит, четырехугольник $X1X2X3X5$ — искомое сечение.

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#96468Максимум баллов за задание: 1

На ребрах $AA1,$ $AD$ и $BC$ куба $ABCDA1B1C1D1$ отмечены точки $X1,$ $X2$ и $X3$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью $(X1X2X3 ),$ если известно, что она пересекает грань $A1B1C1D1$ куба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть $X4$ — точка пересечения прямых $BA$ и $X3X2.$ Так как $BA$ лежит в плоскости грани $AA1B1B,$ то и $X4$ лежит в плоскости этой грани, ровно как и точка $X1.$ Следовательно, проведя прямую через точки $X1$ и $X4,$ мы получим отрезок $X1X5,$ являющийся третьей стороной нашего сечения. Здесь $X 5$ — точка пересечения прямой $X X 1 4$ и ребра $A B . 1 1$

$PIC$

Проделав аналогичную процедуру, найдем $X6$ — точку пересечения прямых $X1X5$ и $BB1.$ Тогда отрезок $X3X7,$ являющийся пересечением прямой $X3X6$ и грани $BCC1B1,$ — еще одна из сторон сечения.

Таким образом, пятиугольник $X1X2X3X7X5$ — искомое сечение.

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#96469Максимум баллов за задание: 1

На ребрах $BB1$ и $DD1$ куба $ABCDA1B1C1D1$ отмечены точки $X1$ и $X2$ соответственно, $X3$ — точка внутри грани $ABCD.$ Постройте сечение куба плоскостью $(X1X2X3 ).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим диагональное сечение куба — прямоугольник $BB1D1D.$ Продлим прямые $BD$ и $X1X2$ до пересечения в точке $X4.$ Тогда $X4$ — точка секущей плоскости, следовательно, соединив ее с точкой $X3,$ мы получим прямую $X3X4,$ которая пересекает грань $ABCD$ по отрезку $X5X6,$ являющемуся одной из сторон сечения.

$PIC$

Таким образом, нами найдены стороны $X2X5,$ $X5X6,$ $X6X1$ сечения.

Далее, так как параллельные плоскости пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым, то грань $BB1C1C$ секущая плокость пересекает по отрезку $X1X7,$ а грань $A1B1C1D1$ — по отрезку $X7X8.$ Здесь $X1X7 ∥ X2X5,$ а $X7X8 ∥ X5X6.$

Таким образом, $X1X7X8X2X5X6$ — искомое сечение.

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#96470Максимум баллов за задание: 1

На продолжении ребра $BB1$ куба $ABCDA1B1C1D1$ за точку $B1$ отмечена точка $X1.$ При этом $X2$ и $X3$ — точки на ребрах $AD$ и $CC1$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью $(X1X2X3 ).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Точки $X1$ и $X3$ лежат в плоскости грани $BB1C1C,$ следовательно, соединив их, мы получим сторону $X3X4$ сечения. Пусть $X5$ — точка пересечения прямых $X3X4$ и $BC.$ Тогда эта точка лежит в плоскости грани $ABCD,$ как и точка $X2.$ Следовательно, проведя прямую через точки $X5$ и $X2,$ мы получим сторону $X2X6$ сечения.

$PIC$

Так как параллельные плоскости пересекаются секущей плоскостью по параллельным прямым, то проведем $X4X7 ∥X2X6,$ а затем проведем $X7X8 ∥ X3X6.$

Таким образом, $X2X6X3X4X7X8$ — искомое сечение.

Ответ: Задача на построение

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#96809Максимум баллов за задание: 1

Постройте сечение куба $ABCDA1B1C1D1$ плоскостью, проходящей через точки $X1,$ $X2$ и $X3,$ лежащие на ребрах $AA1,$ $B1C1$ и $CD$ соответственно.

Показать ответ и решение

Точка $A$ — проекция $X1$ на плоскость $ABC.$ Пусть $X4$ — проекция $X2$ на $(ABC ),$ то есть $X2X4 ⊥ (ABC ).$ Так как прямая пересекается с плоскостью в той же точке, в которой эта прямая пересекается со своей проекцией на эту плоскость, то $X1X2 ∩(ABC )= X1X2 ∩AX4 = X5.$ Следовательно, $X5$ — точка из плоскости сечения.

$PIC$

Пусть прямая $X3X5$ пересекает $AD$ в точке $X6,$ а $BC$ — в точке $X7.$ Тогда $X6X3$ и $X1X6$ — две стороны искомого сечения.

Пусть $X2X7$ пересекает $CC1$ в точке $X8,$ а $BB1$ — в точке $X9.$ Тогда $X3X8$ и $X2X8$ — еще две стороны искомого сечения.

Пусть $X1X9$ пересекает $A1B1$ в точке $X10.$

Получили сечение $X X X X X X . 1 6 3 8 2 10$

Ответ: Рисунок

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#97128Максимум баллов за задание: 1

На ребре $AB$ куба $ABCDA1B1C1D1$ отмечена точка $P.$ Постройте сечение куба плоскостью $α,$ проходящей через точки $P$ и $B1$ параллельно $BD.$

Показать ответ и решение

Проведем $PX ∥BD.$ Так как $BD ∥α$ и $P ∈α,$ то $PX ⊂α.$ Верхняя и нижняя грани куба параллельны, следовательно, $α$ пересечет их по параллельным прямым. Так как $B1D1 ∥BD ∥PX,$ то $α$ пересекает верхнюю грань по прямой $B1D1.$

$PIC$

Следовательно, $B1D1XP$ — искомое сечение.

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#97129Максимум баллов за задание: 1

На ребре $AB$ куба $ABCDA1B1C1D1$ отмечена точка $P.$ Постройте сечение куба плоскостью $α,$ проходящей через точку $P$ параллельно $A1C1$ и $DC1.$

Показать ответ и решение

Проведем $PX1 ∥AC ∥ A1C1$ и $P X2 ∥ AB1 ∥DC1.$ Тогда $α$ проходит через прямые $PX1$ и $PX2.$

$PIC$

Следовательно, $PX1X2$ — искомое сечение.

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#97130Максимум баллов за задание: 1

Пусть $P$ — середина ребра $B1C1$ куба $ABCDA1B1C1D1.$ Найдите сечение куба плоскостью $α,$ проходящей через точки $A1$ и $P$ параллельно $B1D.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим сечение $AB1C1D$ куба плоскостью, проходящей через $B1D$ и $P.$ Проведем в этой плоскости $PX1 ∥B1D.$ Тогда $PX1 ⊂ α.$

$PIC$

Пусть $P X1∩ AD = X2.$ Тогда $X2 ∈α.$ Пусть $A1X2 ∩DD1 = X3.$ Тогда $A1X3$ — одна из сторон сечения.

Пусть $X1X3 ∩ CC1 = X4.$ Тогда $X3X4$ — одна из сторон сечения.

Следовательно, $A1X3X4P$ — искомое сечение.

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#97131Максимум баллов за задание: 1

На ребрах $SD,$ $SB$ и $AD$ правильной пирамиды $SABCD$ с вершиной $S$ отмечены точки $X1,$ $X2$ и $X3$ соответственно. Постройте сечение пирамиды плоскостью $X1X2X3.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим плоскость $SBD.$ В ней лежат прямые $BD$ и $X1X2.$ Пусть $X4$ — их точка пересечения. Тогда она лежит в плоскости искомого сечения.

$PIC$

Пусть $X5$ — точка пересечения $X3X4$ и $AB.$ Тогда $X3X5$ — сторона сечения. Пусть $X6$ — точка пересечения $X3X4$ и $CD.$ Тогда она также лежит в плоскости искомого сечения. Пусть прямая $X1X6$ пересекает $SC$ в точке $X7.$

Следовательно, $X X X X X 1 7 2 5 3$ — искомое сечение.

Ответ: Задача на построение

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#97143Максимум баллов за задание: 1

Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через середину диагонали куба перпендикулярно этой диагонали.

Показать ответ и решение

Пусть $O$ — середина диагонали $AC1.$ Найдем сечение куба плоскостью $α,$ проходящей через точку $O$ и перпендикулярной $AC1.$

Проведем через $O$ две прямые, перпендикулярные $AC1.$ Тогда $α$ будет проходить через эти две прямые.

По теореме о трех перпендикулярах имеем $AC1 ⊥ BD.$

$PIC$

Так как $O$ — точка пересечения всех диагоналей куба и их середина, то $O$ лежит в плоскости $BB D . 1 1$ Проведем через $O$ в этой плоскости прямую $X1X2 ∥ BD.$ Тогда $X1X2 ⊥ AC1.$

Проведем в плоскости $AA1C1$ прямую $X3X4 ⊥ AC1.$ Тогда $X3 ∈ A1C1,$ $X4 ∈ AC.$

По теореме о домике для плоскостей $A1B1C1,$ $BB1D1$ и $α$ имеем, что линия пересечения $α$ и $(A1B1C1)$ должна быть параллельна $BD$ (или $X1X2 ).$ Следовательно, в верхней грани через $X3$ проведем $X5X6 ∥B1D1 ∥BD,$ а в нижней грани через $X4$ проведем $X7X8 ∥BD.$

Следовательно, $X1X5X6X2X8X7$ — искомое сечение.

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#97264Максимум баллов за задание: 1

Точка $M$ — середина ребра $CD$ параллелепипеда $ABCDA1B1C1D1.$ Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки $M$ , $A1$ и $C1.$

Показать ответ и решение

Обозначим через $α= (MC1A1 )$ плоскость сечения. В параллелепипеде плоскости $(ABCD )$ и $(A1B1C1D1)$ параллельны. Тогда прямые их пересечения с плоскостью $α$ должны быть параллельны между собой.

Таким образом, прямая пересечения плоскостей $(ABCD )$ и $α$ должна быть параллельна прямой $A1C1 = (A1B1C1D1)∩ α,$ а также должна проходить через точку $M,$ поскольку $M ∈ (ABCD )$ и $M ∈ α.$ Тогда точка $X1 ∈DA$ такая, что $A1C1 ∥X1M,$ принадлежит $α.$ Искомое сечение $A1C1MX1.$

$PIC$

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#97266Максимум баллов за задание: 1

Точка $M$ — середина ребра $AD$ параллелепипеда $ABCDA1B1C1D1.$ Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку $M$ параллельно прямым $CB1$ и $BD.$

Показать ответ и решение

1.: Обозначим плоскость сечения через $α.$ По условию $α∥ BD,$ а значит, пересекает плоскость $(ABCD )$ по прямой, параллельной $BD$ и проходящей через точку $M,$ так как $M ∈(ABCD )$ и $M ∈ α.$ Тогда точка $X1 ∈AB$ такая, что $BD ∥ MX1,$ принадлежит $α.$
2.: В параллелепипеде плоскости $(ADD1A1 )$ и $(BCC1B1 )$ параллельны. Тогда прямые их пересечения с плоскостью $α$ должны быть параллельны между собой и параллельны прямой $CB1,$ так как $α∥ CB1.$ Таким образом, прямая пересечения плоскостей $(ADD1A1 )$ и $α$ должна быть параллельна прямой $CB1,$ а также должна проходить через точку $M,$ так как $M ∈ (ADD A ) 1 1$ и $M ∈ α.$ Тогда точка $X2 ∈ AA1$ такая, что $MX2 ∥CB1,$ принадлежит $α.$
3.: Искомое сечение $MX1X2.$

$PIC$

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#97666Максимум баллов за задание: 1

Дан куб $ABCDA1B1C1D1$ с точкой $K,$ которая лежит на диагонали $AC1$ и делит её в отношении $AK :KC1 = 1:2.$ Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через точку $K$ перпендикулярно этой диагонали.

Показать ответ и решение

Построим сечение куба плоскостью $α,$ проходящей через точку $K$ и перпендикулярной $AC1.$ Рассмотрим плоскость $(AA1C1 ).$ Диагональ $AC1$ лежит в ней, при этом $AK :KC1 =1 :2$ по условию.

$PIC$

Проведем в плоскости $(AA1C1 )$ через точку $K$ прямую, перпендикулярную $AC1.$ Данная прямая будет лежать в сечении. Пусть она пересекла $AC$ в точке $O.$ Найдем $AO.$ Пусть сторона куба равна $a,$ тогда $√ - AC1 = a 3,$ поэтому $a√3 AK = -3-.$

Заметим, что $√2- cos∠CAC1 = √3.$ Тогда

√- √2- AK- 3 = cos∠KAO = AO √ - √ - AO = AK ⋅√-3= a--2= 1 AC. 2 2 2

Таким образом, точка $O$ — это точка пересечения диагоналей квадрата $ABCD.$

$PIC$

Теперь через точку $O$ нужно провести прямую, перпендикулярную прямой $AC1.$ По теореме о трех перпендикулярах это будет прямая $BD.$ Тогда сечение проходит через точки $B$ и $D.$

Остается заметить, что прямая $A1D$ также перпендикулярна прямой $AC1$ по теореме о трех перпендикулярах, так как проекцией диагонали $AC1$ на плоскость $(AA D ) 1 1$ является прямая $AD , 1$ а она перпендикулярна прямой $A1D.$

Таким образом сечение проходит через точки $A1,B$ и $D,$ то есть сечением куба является треугольник $A1BD.$

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#141405Максимум баллов за задание: 1

На ребрах $AA1,$ $AD$ и $AB$ куба $ABCDA1B1C1D1$ отмечены точки $X1,$ $X2$ и $X3$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью $(X1X2X3 ).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Точки $X1$ и $X2$ лежат в плоскости грани $AA1D1D,$ следовательно, соединив их, мы получим отрезок $X1X2,$ являющийся одной из сторон нашего сечения.

Точки $X1$ и $X3$ лежат в плоскости грани $AA1B1B,$ следовательно, соединив их, мы получим отрезок $X1X3,$ — вторую сторону нашего сечения.

Наконец, соединив точки $X2$ и $X3,$ лежащие в плоскости грани $ABCD,$ получим отрезок $X2X3,$ — третью сторону нашего сечения.

$PIC$

Значит, треугольник $X1X2X3$ — искомое сечение.

Ответ: Задача на построение

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#141406Максимум баллов за задание: 1

На ребрах $AA1,$ $AD$ и $AB$ куба $ABCDA1B1C1D1$ отмечены точки $X1,$ $X2$ и $X3$ соответственно, причем $X2$ — середина $AD,$ $X3$ — середина $AB.$ Постройте сечение куба плоскостью $(X1X2X3)$ и докажите, что сечение является равнобедренным треугольником.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сперва построим сечение.

Наконец, соединив точки $X2$ и $X3,$ лежащие в плоскости грани $ABCD,$ получим отрезок $X X , 2 3$ — третью сторону нашего сечения.

Значит, $X1X2X3$ — искомое сечение.

Докажем, что треугольник $X1X2X3$ — равнобедренный.

Так как в кубе все ребра равны, то $AB = AD.$ Следовательно, $AX2 = AX3$ как половины равных отрезков.

Далее, все грани куба являются квадратами, то есть $∠DAA1 = ∠BAA1 = 90∘.$

$PIC$

Тогда треугольники $X2AX1$ и $X3AX1$ равны по двум сторонам и углу между ними: $AX2 = AX3,$ $AX1$ — общая сторона, $∘ ∠DAA1 = ∠BAA1 = 90 .$

Из равенства треугольников получаем, что $X1X2 = X1X3,$ что и требовалось доказать.

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#141407Максимум баллов за задание: 1

На ребрах $AA1,$ $AD$ и $AB$ куба $ABCDA1B1C1D1$ отмечены середины $X1,$ $X2$ и $X3$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью $(X1X2X3)$ и докажите, что сечение является равносторонним треугольником.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сперва построим сечение.

Значит, $X1X2X3$ — искомое сечение.

Докажем, что треугольник $X1X2X3$ — равносторонний.

Так как в кубе все ребра равны, то $AB =AD = AA1.$ Следовательно, $AX2 = AX3 = AX1$ как половины равных отрезков.

Далее, все грани куба являются квадратами, то есть $∠DAA1 = ∠BAA1 = ∠DAB = 90∘.$

$PIC$

Из равенства этих треугольников получаем, что $X1X2 = X1X3.$

Также равны треугольники $X3AX1$ и $X3AX2$ по двум сторонам и углу между ними: $AX = AX , 1 2$ $AX 3$ — общая сторона, $∠DAB = ∠BAA = 90∘. 1$

Из равенства этих треугольников получаем, что $X1X3 = X2X3.$

Следовательно, $X1X2 = X1X3 = X2X3,$ что и требовалось доказать.

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#141409Максимум баллов за задание: 1

На ребрах $CD,$ $CB$ и $CC1$ куба $ABCDA1B1C1D1$ отмечены точки $X1,$ $X2$ и $X3$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью $(X1X2X3 ).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Точки $X1$ и $X2$ лежат в плоскости грани $ABCD,$ следовательно, соединив их, мы получим отрезок $X1X2,$ являющийся одной из сторон нашего сечения.

Точки $X1$ и $X3$ лежат в плоскости грани $CC1D1D,$ следовательно, соединив их, мы получим отрезок $X1X3,$ — вторую сторону нашего сечения.

Наконец, соединив точки $X2$ и $X3,$ лежащие в плоскости грани $BB1C1C,$ получим отрезок $X2X3,$ — третью сторону нашего сечения.

$PIC$

Значит, треугольник $X1X2X3$ — искомое сечение.

Ответ: Задача на построение

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#141410Максимум баллов за задание: 1

На ребрах $AB,$ $DC$ и $CC1$ куба $ABCDA1B1C1D1$ отмечены точки $X1,$ $X2$ и $X3$ соответственно. Постройте сечение куба плоскостью $(X1X2X3 ),$ если известно, что она пересекает грань $A1B1C1D1$ куба.

$PIC$

Показать ответ и решение

Точки $X1$ и $X2$ лежат в плоскости грани $ABCD,$ следовательно, соединив их, мы получим отрезок $X1X2,$ являющийся одной из сторон нашего сечения. Аналогично отрезок $X2X3$ — вторая сторона нашего сечения.

Пусть $X4$ — точка пересечения прямых $BC$ и $X1X2.$ Так как $BC$ лежит в плоскости грани $BCC1B1,$ то и $X4$ лежит в плоскости этой грани, ровно как и точка $X3.$

Пусть $X5$ — точка пересечения прямых $X3X4$ и $BB1,$ а $X6$ — точка пересечения $X X 4 5$ с ребром $C B . 1 1$ Тогда, соединив точки $X 3$ и $X , 6$ мы получим отрезок $X3X6,$ являющийся третьей стороной нашего сечения.