19.01 Задачи №19 из ЕГЭ прошлых лет

а) Минимальная возможная сумма у Васи равна 6, так как наименьшее число в любом из шести столбцов равно хотя бы 1. Тогда попробуем построить пример для суммы Васи, равной 6. Для удобства сразу впишем в нижнюю строчку шесть чисел 1. Тогда какие бы числа мы не вписали в оставшиеся клетки таблицы, сумма у Васи будет равна 6.

Теперь нам нужно вписать числа в таблицу так, чтобы сумма у Пети равнялась Представим 12 в виде суммы шести чисел, одно из которых равно 1:

Тогда в каждую из оставшихся строк будем вписывать одинаковые числа и построим следующий пример:

Получаем, что сумма у Пети равна 12, а у Васи равна 6.

б) Максимальная сумма, которая может получиться у Пети, равна

Заметим, что она может получиться только тогда, когда наименьшее число в каждой строке равно 6. Это значит, что все числа в таблице будут равны 6, так как в таблице не могут стоять числа, большие 6.

Минимальная сумма, которая может получиться у Васи, равна

Заметим, что она может получиться только тогда, когда в каждом столбце будет стоять хотя бы одна 1.

В допустимом диапазоне сумм существует единственная пара чисел, которые отличаются в 6 раз: это 6 и 36. Действительно, любое число, большее 6, при умножении на 6 попадет вне диапазона, значит, 6 — это единственное число, которое может выступать в качестве меньшего в паре.

Выше уже показано, что ситуации, дающие 6 и 36, не могут выполняться одновременно, так как если сумма у Васи равна 6, то в таблице присутствует число 1, а если сумма у Пети равна 36, то все числа в таблице равны 6. Следовательно, сумма у Пети не может быть в 6 раз больше суммы у Васи.

в) Пусть наименьшее число в таблице равно Тогда сумма у Васи не меньше чем

Рассмотрим сумму Пети: одно из слагаемых обязательно равно остальные не превышают 6. Следовательно, сумма у Пети не превышает

Тогда отношение суммы Пети к сумме Васи не больше чем

Построим пример для отношения, равного

а) Несложно проверить, что если задуманы пять чисел, равных 2, то на доске будут записаны все четные числа от 2 до 10.

б) Допустим, что пример существует и задуманы были чисел (сразу отсортируем их в порядке неубывания). Тогда наибольшее число набора равно сумме всех задуманных чисел, так как они натуральные. Также можем утверждать, что ведь иначе число 1 никак не могло оказаться в написанном наборе.

Посмотрим теперь на второе по величине число в наборе — число 20. Мы понимаем, что оно равно второй по величине среди всех различных сумм задуманных чисел, следовательно, оно равно сумме каких-то из задуманных чисел, причем наибольшей из таких сумм. Таким образом, сумма наибольших из задуманных чисел равна

Выше мы выяснили, что тогда

Однако числа 21 нет среди написанных на доске. Получили противоречие, значит, такого примера не существует.

в) Каждое число набора — это либо задуманное число, либо сумма каких-то задуманных чисел, меньших чем (то есть идущих левее в ряду, ведь они выписаны по возрастанию). Будем восстанавливать задуманные числа, начиная с наименьших, то есть слева направо.

Число 7 — наименьшее в наборе, значит, оно точно было задумано, причем ровно один раз, так как числа 14 в наборе нет.

Число 8 также точно было задумано, так как оно не представимо в виде суммы меньших задуманных. Возможно, оно было задумано не один раз.

Число 10 также точно было задумано, так как оно не представимо в виде суммы меньших задуманных. Оно было задумано ровно один раз, так как числа 20 нет в наборе.

Число 15 не могло быть задумано, так как а числа 40 нет в наборе. Значит, оно точно было получено в виде суммы

Число 16 могло быть как задумано, так и получено в виде суммы двух числе 8 (помним, что количество чисел 8 среди задуманных пока неизвестно). Рассмотрим оба этих случая.

• Число 16 было задумано, то есть мы точно знаем, что числа 7, 8, 10, 16 были задуманы. Их сумма равна максимальному числу набора следовательно, в этом случае больше никаких чисел задумано быть не могло. Выпишем все возможные суммы для этих четырех чисел и проверим, что все эти числа содержатся в наборе, а никакие другие не содержатся (важно проверить, что мы не получим никаких лишних чисел!).

  

  Видим, что такие задуманные числа нам подойдут.

• Число 16 было получено в виде суммы, то есть мы точно знаем, что числа 7, 8, 8, 10 были задуманы. Их сумма равна что меньше 41. Значит, должно быть еще хотя бы одно задуманное число, причем это число должно быть не больше иначе сумма всех задуманных превысит максимальное число в наборе.

  Получаем, что единственный возможный вариант, когда были задуманы числа 7, 8, 8, 8, 10. Проверка соответствия сумм числам набора будет полностью аналогична приведенной в случае выше, так как число 16 представимо как Такие задуманные числа тоже подойдут.

Получили, что возможны только два случая: 7, 8, 10, 16 и 7, 8, 8, 8, 10.

На каждом шаге Саша вычисляет среднее арифметическое двух натуральных чисел, то есть их сумму, деленную на 2. Обозначим исходные числа через тогда имеем:

а) Нам нужно проверить, существуют ли такие различные натуральные числа для которых выполняется

Домножим обе части на и преобразуем:

Достаточно выбрать различные натуральные числа такие, чтобы числитель дроби в правой части был натуральным и кратным 4 и значение дроби было отличным от Например, возьмем Тогда имеем:

Таким образом, подходит набор исходных чисел

б) Теперь нам нужно проверить, существуют ли такие различные натуральные числа для которых выполняется

Очевидно, что для любых натуральных чисел правая часть больше, чем левая, и такое равенство выполняться не может.

в) Выясним, для какого наибольшего целого числа при некоторых различных натуральных может выполняться равенство

Перенесем все в правую часть, получим, что равенство выше равносильно

Очевидно, что для любого целого все скобки в правой части будут строго положительны и сама правая часть целиком также будет строго положительна. Таким образом, мы доказали, что

Попробуем построить пример для Нам нужно подобрать такие различные натуральные для которых выполняется

Домножим обе части на и преобразуем:

Достаточно выбрать различные натуральные числа такие, чтобы числитель дроби в правой части был кратным 8 и значение дроби было отличным от Например, возьмем Тогда имеем:

Таким образом, подходит набор исходных чисел

а) Пусть 28 студентов писали обе контрольные и получили по 15 баллов за каждую, по 2 студента писали только одну из двух контрольных работ и получили по 0 баллов за каждую. Тогда средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 14, так как

При этом среднее арифметическое всех названных баллов равно

б) Пусть — сумма баллов всех студентов, которые писали только одну контрольную работу, — сумма наибольших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы, — сумма наименьших баллов тех студентов, которые писали обе контрольные работы.

Так как средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 14, то средний балл по обеим контрольным работам тоже равен 14. Всего было написано 34 контрольные работы, значит, общее количество набранных студентами баллов равно

Тогда имеем уравнения на

Так как сумма наименьших баллов двух студентов не может превосходить 40, то ситуация выше невозможна.

в) Пусть — число студентов, которые писали обе контрольные работы. Тогда имеем:

С другой стороны,

Приведем пример, когда

Пусть 16 студентов писали обе контрольные работы и получили по 20 баллов за каждую, пусть по 8 студентов писали одну из двух контрольных работ и получили по 2 балла за каждую.

Тогда сумма наибольших баллов равна и среднее арифметическое равно 11.

а) Предположим, что может быть написано 5 чисел. Расположим их в порядке возрастания:

Тогда произведение двух наименьших

Пусть тогда Произведение двух наибольших

Пусть Следовательно, осталось подобрать еще одно число причем оно должно быть больше 7, но меньше 9. Возьмем, например, 8. Таким образом, мы получили 5 чисел:

б) Предположим, что может быть написано 6 чисел. Расположим их в порядке возрастания:

Тогда произведение двух наибольших Отсюда можно сделать вывод, что Это так, поскольку если то и их произведение

Произведение двух наименьших следовательно, Это так, поскольку если то следовательно, их произведение

Таким образом, на отрезке должны быть расположены четыре натуральных числа

Это невозможно, так как на этом отрезке только три натуральных числа.

в) Пусть на доске написаны 4 числа, расположим их также в порядке возрастания:

Аналогично предыдущему пункту можно сделать вывод, что

Следовательно, и могут принимать значения 7, 8 или 9.

Пусть Тогда может быть равно только 6, потому что иначе произведение будет меньше 40. Максимальное значение для — это 12.

Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел равна

Пусть Аналогично Максимальное значение для — это 11.

Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел равна

Пусть Тогда максимальное значение для — это 7. Максимальное значение для — это 11.

Следовательно, в этом случае максимально возможная сумма чисел равна

Так как мы рассмотрели все возможные случаи, то максимальная сумма чисел равна 35.

а) Пусть такие числа существуют. Упорядочим их в порядке возрастания:

Приведем пример. Пусть Тогда Следовательно, можно взять

Значит, на доске могут быть написаны числа

Они отличаются не более чем в 3 раза.

б) Пусть такие числа существуют. Упорядочим их в порядке возрастания:

Тогда по условию где Предположим, что сумма этих чисел равна 94. Тогда

Так как все числа натуральные и различные, то при наибольшее возможное значение равно 12. Но тогда между и не умещается восемь различных натуральных чисел.

При наименьшая сумма достигается, если числа равны

Тогда сумма равна

Заметим, что при увеличении будет увеличиваться и значение наименьшей возможной суммы, следовательно, десять таких чисел не существует.

в) Заметим, что Следовательно, любое число, записанное на доске, имеет вид где — целые.

Начнем пробовать привести пример для двух чисел. Такой пример удается привести:

Приведя пример для двух чисел, пробуем привести пример для трех чисел:

Попробовав привести пример для четырех чисел и безуспешно потратив на это не более 10 минут, задумываемся над тем, что, вполне возможно, примера для четырех чисел не существует.

Докажем, что на доске не может быть написано четыре числа и более.

Пусть на доске при написано чисел:

Рассмотрим два случая.

1) Пусть какое-то содержит в разложении на простые множители как минимум две пятерки, то есть делится на 25: где Тогда все оставшиеся числа, которых не менее трех, не меньше чем то есть не меньше 9.

Тогда произведение всех чисел не меньше чем

Получили противоречие, следовательно, среди написанных на доске чисел не может быть числа, кратного 25.

2) Пусть нет числа, в разложении которого на простые множители есть две пятерки, то есть все числа в разложении имеют максимум одну пятерку.

Рассмотрим три числа имеющие в разложении одну пятерку:

Здесь — степени двойки. Тогда и , следовательно, Это невозможно, поскольку тогда более чем в три раза больше Значит, на доске не может быть написано четыре числа и более.

а) Так как то первая цифра искомого числа 1, вторая цифра Так как то третья цифра — это 8:

Аналогично четвертая, последняя, цифра числа — это 9. Таким образом, подходит число 1689.

б) Предположим, что такое число существует. Начнем так же, как в пункте а), определять цифры этого числа слева направо. Очевидно, что первые две цифры — это и то есть число

Третья цифра не может быть 1, так как и Также она не может быть равна 0, 9 или 0, так как в этом случае сумма двух цифр уже должна быть равна трех-, четырех- или пятизначному числу. Следовательно, подходящего числа не существует.

в) Пусть дано трехзначное число Тогда из него получится число

Заметим, что при и данное число будет семизначным, а во всех остальных случаях — шести- или пятизначным. Таким образом, так как мы ищем наибольшее возможное число, то найдем его среди семизначных чисел.

Пусть с учетом имеют место равенства

Тогда число имеет вид

По признаку делимости число делится на 11 тогда и только тогда, когда сумма его цифр, стоящих на нечетных местах, минус сумма цифр, стоящих на четных местах, кратна 11. То есть

Так как то имеем:

Отсюда получаем

Для того, чтобы число было наибольшим, его первая цифра должна быть наибольшей. Следовательно, если то чтобы было выполнено Заметим, что может быть любым. Следовательно, возьмем максимальное

Таким образом, наибольшее число получится из числа 979 и равно

а) Так как то первая цифра искомого числа 4, вторая 7: 47…

Так как то третья цифра — это 1: 471…Аналогично четвертая, последняя, цифра числа – это 9.

Таким образом, это число 4719.

б) Предположим, что такое число существует. Начнем так же, как в пункте а), определять цифры этого числа слева направо. Очевидно, что первые две цифры — это 2 и 8, то есть число 28…

Третья цифра не может быть 1, так как также третья цифра не может быть 4, так как Также она не может быть равна 9 или 5, так как в этом случае сумма двух цифр уже должна быть равна трех- или четырехзначному числу. Следовательно, ответ: нет.

в) Пусть дано трехзначное число Тогда из него получится число

Заметим, что при и данное число будет семизначным, а во всех остальных случаях — шести- или пятизначным. Таким образом, так как мы ищем наибольшее возможное число, то найдем его среди семизначных чисел.

Пусть где (так как ).

Тогда число имеет вид:

По признаку делимости число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр кратна 9. То есть:

Так как получаем:

Для того, чтобы число было наибольшим, его первая цифра должна быть наибольшей. Следовательно, если возьмем наибольшее возможное тогда можно взять наибольшее возможное Следовательно, для того, чтобы нужно взять

Таким образом, наибольшее число получится из числа 887 и равно

а) Рассмотрим последовательность из одинаковых чисел, сумма которых равна 60:

Изменим её так, чтобы выполнялось условие задачи. Это можно сделать, например, забрав по 2 у крайних членов (всего отняли 4) и прибавив к среднему члену 2, а к оставшимся по 1:

б) Решение пункта а) подходит в данном случае.

в) Пусть выполнено условие

Тогда, прибавив к обеим частям по 1, получим

Отняв от обеих частей по 1, получим

Изменим условие задачи, разрешив быть равными 0.

Решение исходной задачи получается из решения изменённой. В самом деле, если в изменённой задаче минимум суммы достигается на последовательности , то минимум суммы в исходной задаче достигается на последовательности Если бы это было не так и была последовательность подходящая по исходному условию, но с суммой членов, меньшей, чем у то последовательность подходила бы по изменённому условию, но сумма её членов была меньше, чем у

Ясно, что для того, чтобы каждое из было больше среднего арифметического соседей, необходимо, чтобы рядом с каждым из них нашёлся меньший сосед.

Отсюда следует, что среди нет равных 0.

Пусть на последовательности достигается минимум суммы.

Покажем, что Если бы это было не так, то можно было бы положить их равными 0 и получить последовательность, подходящую по новому условию, но с меньшей суммой — противоречие.

Так как среди нет равных 0, то среди нет равных 1, иначе у 1 не будет меньшего соседа. При этом если то должно быть меньше 2, но среди нет 0 и 1, то есть такого быть не может. Для аналогично.

Итого: среди нет и равных 1.

Так как среди нет равных 1, то среди нет равных 2, иначе у 2 не будет меньшего соседа. При этом если то должно быть не больше 3 и не может быть 0, 1 или 2. Тогда значит, не может быть 4 или больше. Следовательно, но тогда чего быть не может. Для аналогично.

Итого: среди нет и равных 2.

Так как среди нет равных 2, то среди нет равных 3, иначе у 3 не будет меньшего соседа.

Среди не может быть и 4: иначе меньший сосед мог бы быть только у и Пусть тогда то есть значит, чего быть не может. Для аналогично.

Среди не может быть больше двух пятёрок, иначе среди и была хотя бы одна пятёрка, но у неё соседом должно было быть число, меньшее 5, чего быть не может.

Итак, искомая последовательность

Сумма её членов равна 28.

Тогда последовательность с наименьшей суммой среди подходящих под изначальное условие:

Сумма её членов равна 36.

а) В качестве ответа подходит следующая последовательность ходов:
0) ,
1) ,
2) ,
3) .

б) Грубо говоря, начиная с некоторого момента после каждого хода минимальное из чисел на доске вырастает примерно в раза по сравнению с минимальным числом до этого хода. Тогда после ходов минимальное значение должно в некотором смысле не слишком сильно отличаться от , что намного больше, чем . Данное рассуждение не является строгим, но именно его формальный аналог и приведёт нас к строгому решению.

 

Итак, изложим аналогичное решение формально. Пусть в какой-то момент каждое из чисел и , записанных на доске, не меньше , тогда

Таким образом, в любом случае после следующего хода оба числа на доске будут больше, чем минимальное из и (и опять будут не меньше ).

Покажем, что спустя хода минимальное из чисел на доске обязательно будет не меньше . После первого хода мы получим либо , либо . Тогда после второго хода мы можем получить только одну из пар

То есть в результате второго хода каждое из чисел на доске так или иначе не меньше , следовательно, и далее оба числа на доске будут не меньше .

Получается, что после второго хода минимальное из чисел на доске не меньше , а с каждым ходом после второго минимальное из чисел на доске вырастает более чем в раза по сравнению с минимальным числом до этого хода. Тогда после ходов минимальное из чисел на доске будет больше, чем , следовательно, после ходов ни одно из двух чисел на доске не может быть равно .

в) По условию эта разность не может быть равна . При этом оба числа на доске – натуральные, следовательно, разность большего и меньшего из них не меньше .

Рассмотрим повнимательнее преобразование, которое мы делаем с числами за один ход. Если до этого хода ровно одно из чисел было чётным, то после этого хода обязательно оба числа будут нечётными. Если же до этого хода оба числа были нечётными, то после этого хода ровно одно из чисел будет нечётным.

Тогда после одного хода, начиная с , на доске оба числа будут нечётными, как и после трёх ходов и вообще после любого нечётного количества ходов. Так как – нечётное, то через ходов оба числа на доске будут нечётными, следовательно, разность между большим и меньшим из них не может быть равна .

В итоге, мы доказали, что разность между большим и меньшим из чисел на доске после ходов не меньше .

Пусть в какой-то момент на доске оказались числа, разность между большим и меньшим из которых равна . Пусть это числа и , тогда следующим ходом можно получить числа и (разность между которыми равна ).

Пусть в какой-то момент на доске оказались числа, разность между большим и меньшим из которых равна . Пусть это числа и , тогда следующим ходом можно получить числа и (разность между которыми равна ).

Так как в начальный момент на доске написаны числа, разность между которыми равна , то можно последовательно выполнять ходы, такие что разность между числами на доске будет чередоваться: то она равна , то равна . Следовательно, через ходов разность чисел на доске действительно может быть равна .

а) Приведем один из возможных вариантов:

б) Сделать 10 ходов — значит стереть все числа на доске. Покажем, что все числа стереть нельзя.

Если число 30 будет стёрто, то обязательно в одной тройке с числом 1 и одним из чисел 2 или 3. Тогда если будет стёрто и число 29, то обязательно в одной тройке с оставшимся после первого хода числом 2 или 3.

Но третьим числом в тройке должно быть число не меньше 4, а это значит, что сумма чисел в тройке с числом 29 слишком велика:

Это противоречит условию.

в) Пусть можно стереть троек, тогда сумма всех чисел этих троек должна не превосходить

Так как нужно стереть чисел, то наименьшая возможная сумма всех чисел троек равна

Тогда получаем неравенство

Последнее равносильно откуда с учётом получаем Тогда стереть больше 6 троек нельзя. Пример для 6 троек:

а) Данное множество состоит из 100 подряд идущих натуральных чисел, тогда его можно разбить на 50 пар с одинаковыми суммами:

Так как количество таких пар 50, то можно составить первое подмножество из всех элементов любых 25 из этих пар, а второе подмножество составить из всех остальных чисел.

б) Данное множество не является хорошим, так как больше суммы всех остальных его элементов. Это следует из формулы

Покажем по индукции, что эта формула верна.

1) При имеем: Это верное равенство.

2) Пусть теперь формула верна для покажем, что тогда она верна и для

По предположению индукции сумма всех слагаемых без последнего равна тогда вся сумма равна

Что и требовалось.

Тогда можем оценить сумму

в) Для элементов хорошего четырёхэлементного подмножества должно выполняться равенство одного из двух видов:

Равенство может быть выполнено только в случае так как сумма любых трёх других элементов больше любого элемента данного множества.

Рассмотрим теперь случай равенства вида

В данном множестве всего два нечётных элемента. Для хорошего четырёхэлементного подмножества понятно, что они либо оба содержатся в нём, либо оба не содержатся в нём.

Рассмотрим подходящие четырёхэлементные подмножества, содержащие числа 3 и 5. Так как что меньше суммы любых двух других элементов исходного множества, то в требуемом равенстве вида они должны стоять по разные стороны от знака равенства:

Тогда на роль пары чисел подходят пары

Всего таких пар 4, следовательно, в случае равенства вида есть ровно 4 хороших подмножества из 4 элементов, содержащих числа 3 и 5.

Остаётся рассмотреть подходящие четырёхэлементные подмножества, не содержащие чисел 3 и 5. Они, таким образом, являются подмножествами множества

В этом множестве всего 5 элементов, то есть искомое подмножество должно содержать все его элементы, кроме одного. Кроме того, ясно, что так как в множестве все элементы чётные, то в равенстве вида слева и справа должны стоять чётные числа. Тогда сумма всех четырёх чисел должна делиться на 4.

Следовательно, нельзя удалять из множества числа 6 или 10. Остаётся убедиться, что при удалении из него чисел 4, 8 или 12 будут получаться хорошие подмножества. Это видно из равенств

Таким образом, есть ровно 3 хороших подмножества исходного множества, не содержащие чисел 3 и 5.

Итого у исходного множества есть ровно хороших четырёхэлементных подмножеств.

а) Покажем, что подходит: произведение цифр равно тогда отношение к произведению его цифр равно

б) Числа 113 и 18 взаимно просты, тогда для того, чтобы отношение к произведению его цифр было равно необходимо, чтобы делилось на 113.

Таким образом, если какое-то подходит, то оно имеет вид , где так как — уже не трёхзначное.

Перебором убеждаемся, что ни одно число из множества не подходит на роль , следовательно, отношение к произведению его цифр не может быть равно

в) Отношение к произведению его цифр при равно Если при каком-то отношение окажется ещё больше, необходимо, чтобы произведение цифр было равно 18.

В самом деле, произведение цифр должно делиться на 18, поскольку отношение к произведению его цифр можно сократить до дроби вида При этом если то даже при сокращении дроби в 2 раза числитель станет В предложенном выше примере в числителе находится что даёт большее отношение, чем любое допустимое отношение, для которого произведение цифр не равно 18.

Пусть произведение цифр равно Тогда наибольшее значение, которое может принимать число сотен в , равно . Поскольку произведение цифр равно 18, в качестве двух других цифр возьмем 2 и 1. При этом всякое трёхзначное число, записанное полученными цифрами, делится на 3 и дробь оказывается сократимой.

Наибольшее значение, которое может принимать отличное от 9 число сотен в равно Тогда в качестве двух других цифр возьмем 3 и 1. Наибольшее такое и есть 631.

а) Пусть — общее количество партий, а — количество побед. Показатель «побед» будет равняться 17, если — отношение количества побед к общему количеству партий — будет меньше 0,175, но хотя бы 0,165. Тогда можем получить следующее неравенство:

Будем перебирать возможные значения Начнем с наибольшего. Пусть тогда

Полученное неравенство не имеет решений в натуральных числах. Проверим следующее по величине значение, пусть Тогда

Проверим полученную пару значений. Если побед было 8, а партий 48, то процент побед равен

Значит, число округляется до 17, следовательно, при 8 победах и 48 партиях показатель «побед» равен 17.

б) После выигранной партии показатель «побед» не уменьшается, значит, если показатель «поражений» увеличился, то показатель «ничьих» обязательно уменьшился.

Сконструируем такую ситуацию. Если было сыграно 200 партий, а 50 из них выиграно, то показатель «побед» равен 25. Одна партия сыграна вничью, тогда показатель «ничьих» равен 1, остальные 149 партий проиграны, тогда показатель «поражений» равен

После еще одной победы показатель «побед» остаётся равным 25, показатель «ничьих» становится равным 0, а показатель «поражений» становится соответственно

Значит, показатель «поражений» увеличился после выигранной партии.

в) Пусть было сыграно партий. Если из них были выиграны, а были сыграны вничью, то по условию Оценим сумму показателей «побед» и «ничьих». При подсчете этих показателей происходит округление не более чем на 0,5, поэтому сумма показателей «побед» и «ничьих» будет отличаться от суммы процентов не больше чем на 1. Тогда если — показатель «побед», — показатель «ничьих», то

Заметим, что если то

Тогда

Значит, при показатель «поражений» будет больше 1.

Если то имеем:

Тогда показатели «побед» и «ничьих» будут целые, значит, показатель «поражений» будет равен

Значит, наименьшее количество партий равно 51. Попробуем построить пример на 51 партию, то есть Тогда мы уже знаем, что

Заметим, что если хотя бы один из показателей не будет округлен, то

Значит, чтобы эта сумма действительно могла равняться 99, оба показателя должны округлиться вверх. Тогда можем получить два неравенства на дробные части показателей «побед» и «ничьих»:

Будем перебирать по количеству побед. Получим, что если было выиграно 12 партий, а 38 партий сыграны вничью, то показатель «побед» будет равен 24, а показатель «ничьих» — 75. Одна партия будет проиграна, тогда показатель «проигрышей» равен

Введем обозначения. Операцию, в которой из чисел и получили числа и назовем первой и будем обозначать ее

Операцию, в которой из чисел и получили числа и назовем второй и будем обозначать ее

а) Есть несколько примеров:

б) После первого хода получаем

Значит, минимальное число, которое может оказаться на доске после первого хода, не меньше 3.

Тогда заметим, что после следующей операции каждое из чисел увеличится хотя бы на 2. Это так, потому что первое число, которое получается сложением двух предыдущих, увеличится хотя бы на 3, а второе число, которое получается прибавлением одного из чисел, уменьшенного на 1, к нему же, увеличится хотя бы на 2.

Значит, после второй операции оба числа на доске увеличились хотя бы на 2. Заметим, что минимальное число на доске снова не меньше 3.

Тогда для полученных чисел можем снова провести наше предыдущее рассуждение и получить, что после третьей операции числа на доске увеличились хотя бы на 2, а минимальное число на доске не меньше 3.

Значит, после 100-й операции числа на доске увеличатся хотя бы на по сравнению с результатом первой операции. Но мы знаем, что после первой операции числа, записанные на доске, не меньше 3. Тогда после сотой операции числа на доске не меньше чем Значит, после 100 ходов одно из двух чисел, написанных на доске, не может оказаться числом 200.

в) Изначально на доске написаны числа 2 и 3. При этом 2 — четное число, а 3 — нечетное. Тогда после первого хода получим два нечетных числа, так как сумма четного и нечетного чисел нечетна, а число вида нечетно при любом После второго хода из двух нечетных чисел получим одно четное число — сумму нечетных и одно нечетное вида Значит, вернулись к ситуации, которая была вначале.

Тогда после хода с нечетным номером на доске будут записаны два нечетных числа. По условию они не должны быть равны, значит, разница между ними хотя бы 2. Приведем пример на такую разность.

Изначально разность между числами равна 1. Обобщим ситуацию, пусть на доске изначально записаны числа и . Будем повторять первую операцию, тогда получим

После двух применений первой операции из чисел можем получить числа Тогда за 1006 ходов из чисел получим числа

После 1007-го хода получим

Разность этих чисел равна 2. Если положим то получим искомый пример.

а) Заметим, что если мы найдем набор последовательных чисел вида то решим задачу. Это так, поскольку произведение данных чисел в два раза меньше произведения чисел в силу отличия этих наборов только числами и

Найдем на отрезке два числа, отличающихся вдвое. Например, это могут быть числа 23 и 46. Тогда если Вася перемножит числа то результат Пети, перемножившего числа будет в два раза больше.

б) Докажем, что чем больше чисел возьмет Вася, тем больше будет отношение результата Пети к результату Васи.

Пусть Вася перемножил чисел из отрезка Тогда пусть его произведение равно а произведение Пети равно Их отношение равно

Пусть Вася перемножил те же чисел и еще одно — число Результат Васи в этом случае равен результат Пети в этом случае равен Тогда их отношение равно

Значит, наибольшее отношение результатов достигается в том случае, когда Вася перемножил все числа. Тогда произведения Пети и Васи отличаются в раза:

Значит, результат Пети не может отличаться от результата Васи в 6 раз.

в) В предыдущем пункте мы доказали, что результат Пети не может отличаться от результата Васи больше чем в раза. Тогда если результаты должны отличаться в целое число раз, наибольшее такое число равно 3.

Найдем два числа из отрезка которые отличаются в 3 раза. Например, это могут быть числа 23 и 69. Тогда произведения наборов чисел и отличаются ровно в раза. Значит, наибольшее целое число раз, в которое могут отличаться результаты Пети и Васи, равно 3.

Пусть ое выписанное число имеет вид где Для суммы по всем значениям индекса таким что слагаемое есть этой в сумме, используем обозначение

Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид

Обозначим тогда

После смены мест цифр ое полученное число имеет вид Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид

 

а) Уменьшение суммы в 3 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно

Рассмотрим систему

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим тогда

Попробуем брать 9 в качестве пока их сумма не превосходит 290 — так можно положить

то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить

б) Уменьшение суммы в 5 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно

Рассмотрим систему

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим тогда

Так как а все то слагаемых в сумме не более 30, но тогда Следовательно, при не может быть выполнено

в) Пусть сумма полученных чисел равна что равносильно системе

Вычитая из первого уравнения второе, находим, что откуда

Подставляя это в первое уравнение системы, находим

Отсюда в частности следует, что делится на 99.

Покажем, что Действительно, так как все то при не более чем 30 слагаемых сумма исходных чисел не превзойдёт Тогда

Отсюда но делится на 99, тогда

При получим откуда

Аналогично примеру из пункта а) построим решение.

Попробуем брать 9 в качестве пока их сумма не превосходит 293 — так можно положить

то есть в сумме 33 слагаемых. Тогда можно положить

Тогда искомая сумма

Пусть ое выписанное число имеет вид где Для суммы по всем значениям индекса таким, что слагаемое есть этой в сумме, используем обозначение Тогда сумма всех исходных чисел имеет вид

Обозначим тогда

После смены мест цифр ое полученное число имеет вид Тогда сумма всех полученных чисел имеет вид

а) Увеличение суммы в 4 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно Рассмотрим систему

Вычитая из второго уравнения первое, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим тогда

Попробуем брать в качестве 9, пока их сумма не превосходит 143 — так можно положить

то есть в сумме 16 слагаемых. Тогда можно положить

б) Увеличение суммы в 2 раза равносильно тому, что новая сумма равна что равносильно Рассмотрим систему

Вычитая из второго уравнения первое, находим, что но 363 не делится на 9, следовательно, такой случай невозможен.

в) Пусть сумма полученных чисел равна что равносильно системе

Вычитая из второго уравнения первое, находим, что откуда Подставляя это в первое уравнение системы, находим

Отсюда в частности следует, что Тогда для некоторого целого неотрицательного и

Покажем, что В самом деле, если бы было тогда число слагаемых в исходной сумме было бы не менее чем 20, так как но тогда

Так как то то есть При получим

Аналогично примеру из пункта а) построим решение.

Попробуем брать в качестве 9, пока их сумма не превосходит 163 — так можно положить

то есть в сумме 19 слагаемых. Тогда можно положить

Тогда искомая сумма , максимальная

а) Попробуем построить пример. Возьмем в наш набор единицу. Тогда если она не будет входить в сумму двух чисел, то будет делить ее. Также возьмем в наш набор двойку. Для того чтобы она делила все суммы, в которые не входит, остальные числа должны быть нечетными. Значит, наш набор будет выглядеть так: и еще 1021 нечетное число.

Рассмотрим сумму единицы и двойки. Она равна поэтому тройка должна содержаться в нашем наборе. Так как — нечетное число, противоречия не возникает. Остальные 1020 нечетных чисел можем набрать произвольным образом.

Тогда, например, набор чисел на доске может быть таким:

В этом наборе есть числа и 1020 нечетных чисел от до Сумма двух чисел, каждое из которых не единица, будет делиться на единицу. Сумма единицы и двойки будет делиться на тройку, сумма единицы и любого нечетного числа будет делиться на двойку.

б) Следуя рассуждениям предыдущего пункта, мы можем взять набор из чисел и добавить к нему любое количество нечетных чисел. В таком наборе будут выполняться все условия задачи.

Тогда, например, набор чисел на доске может состоять из пяти чисел:

Сумма двух чисел, каждое из которых не единица, будет делиться на единицу. Сумма единицы и двойки будет делиться на тройку, сумма единицы и любого нечетного числа будет делиться на двойку.

в) Докажем, что для трёх чисел не может выполняться условие задачи. Рассмотрим три числа Тогда и при этом по условию должно делиться на Пусть где Тогда имеем:

Значит, на доске написаны числа и

Заметим, что тогда по условию должно делиться на следовательно, и должно делиться на Пусть где Тогда и имеем:

Значит, на доске написаны числа и Заметим, что число не делится ни на ни на следовательно, Но тогда что противоречит условию. Значит, три числа не доске написаны быть не могут. Так как по условию на доске записано не менее трех чисел, то мы получили, что на доске должно быть не менее четырех чисел.

Пример на четыре числа:

Сумма двух чисел, каждое из которых не единица, будет делиться на единицу. Сумма единицы и двойки будет делиться на тройку, сумма единицы и любого нечетного числа будет делиться на двойку.

а) Пусть всего было два участника, которые изначально набрали 82 и 2 балла и не сдали тест.

Тогда их средний балл равен

После добавления баллов у учеников оказалось 87 и 7 баллов. Тогда средний балл не сдавших тест учеников равен 7. Значит, средний балл не сдавших тест учеников мог уменьшиться.

б) Добавим к примеру из предыдущего пункта ученика, который изначально сдал тест, пусть его балл при этом равен Значит, средний балл сдавших тест учеников изначально был равен После добавления баллов средний балл сдавших тест учеников стал равен

По условию этот средний балл должен быть меньше тогда имеем неравенство:

Пусть изначально ученики получили 94, 82 и 2 балла. Тогда начальный и конечный средние баллы не сдавших тест такие же, как в примере пункта а), и средний балл понизился с 42 до 7. Начальный средний балл сдавших равен 94, а конечный средний балл сдавших равен

Значит, средний балл не сдавших тест учеников и средний балл сдавших тест учеников могли уменьшиться.

в) Пусть всего учеников сдавали тест, при этом изначально тест сдали человек, а после добавления баллов — человек.

Заметим, что после добавления 5 баллов к результату каждого ученика средний балл всех учеников тоже увеличился на 5, то есть стал равен 95.

Изначально сумма баллов равна с другой стороны, она равна После добавления баллов сумма баллов стала равна или Имеем систему из двух уравнений:

Тогда должно делиться на 5 и на 3, то есть должно делиться на 15. Следовательно, Если то и Значит, после добавления баллов добавился ровно один ученик, который сдал тест.

Пусть изначально каждый из девяти сдавших тест учеников получил по баллов, один из не сдавших получил баллов, остальные пять получили по баллов.

Тогда изначальный средний балл сдавших равен

Конечный средний балл сдавших равен

Изначальный средний балл не сдавших равен

Значит, могло равняться 15, если изначально пять учеников набрали по 74 балла, один ученик набрал 80 баллов и девять учеников набрали по 100 баллов.

Тогда средний балл участников теста был равен 90, средний балл сдавших тест учеников был равен 100, а средний балл не сдавших тест учеников был равен 75.

После добавления баллов средний балл сдавших тест учеников стал равен 103, средний балл не сдавших тест учеников стал равен 79. Таким образом, все условия выполнены.