Тема 18. Задачи с параметром

18.23 Графика. Функции с модулем: корыто и другие

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#10856

При каких положительных значениях параметра $a$ уравнение

2 |x− a|+ |x− 2a|= a − a

имеет решения?

Показать ответ и решение

Обозначим $f(x) = |x− a|+ |x − 2a|.$

Для положительных $a$ выполняется $a< 2a,$ тогда возможны три случая раскрытия модулей:

1.: $x∈ (− ∞;a) ⇒ f(x)= −(x− a)− (x− 2a)= −2x+ 3a$
2.: $x∈ [a;2a] ⇒ f(x)= (x− a)− (x− 2a)= a$
3.: $x∈ (2a;+∞ ) ⇒ f(x)= (x− a)+ (x − 2a)= 2x− 3a$

Резюмируя, получим

( ||| −2x +3a, x < a { f(x)= |x − a|+ |x− 2a|= ||| a, a ≤ x≤ 2a ( 2x− 3a, x > 2a

Это «корыто» с ветвями вверх, дно которого лежит на горизонтальной прямой $y =a.$

$PIC$

В правой части уравнения имеем константу $2 a − a,$ ей соответствует горизонтальная прямая $2 y = a − a.$ Очевидно, что если эта прямая проходит не ниже дна корыта, то уравнение имеет решения. Тогда имеем:

a2− a ≥a ⇔ a2− 2a ≥ 0 ⇔ a∈ (−∞;0]∪ [2;+∞ )

Пересекая с условием, что $a$ положительно, получаем $a ∈ [2;+∞ ).$

Ответ:

$a ∈[2;+ ∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Выполнен обоснованный переход к неравенству, которое может отличаться от верного знаком неравенства	2
ИЛИ
Неравенство составлено верно, но допущена ошибка в его решении

Верно сведено к исследованию графически или аналитически	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#10857

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|2x − 2|+ |x − 3|= ax − 3a

имеет ровно одно решение?

Показать ответ и решение

Обозначим $f(x) = |2x− 2|+ |x− 3|, g(x)= ax− 3a.$

Возможны три случая раскрытия модулей в левой части, поскольку первый модуль меняет знак в точке $x= 1,$ второй — в точке $x = 3:$

1.: $x∈ (− ∞;1) ⇒ f(x)= −(2x− 2)− (x − 3)= −3x+ 5$
2.: $x∈ [1;3] ⇒ f(x)= (2x− 2)− (x − 3)= x+ 1$
3.: $x∈ (3;+ ∞) ⇒ f(x)= (2x− 2)+(x − 3)= 3x− 5$

Резюмируя, получим

( ||| −3x+ 5, x < 1 { f(x)= |2x − 2|+ |x − 3|= ||| x+ 1, 1 ≤ x≤ 3 ( 3x− 5, x > 3

Это «корыто» с ветвями вверх, дно которого лежит на наклонной прямой $y = x +1.$

Правая часть задает пучок прямых, проходящих через точку $A (3;0),$ так как $g(3)= 0$ независимо от выбора $a.$ При этом как обычно вертикальная прямая не входит в пучок.

$PIC$

В положении $I$ прямая пучка проходит через левый угол корыта — точку $(1;2):$
$2 =g(1)= a(1 − 3) ⇔ a = −1$
В положении $II$ прямая пучка параллельна левой ветке корыта $y =− 3x+ 5,$ а значит, их угловые коэффициенты равны $a = −3.$
В положении $III$ прямая пучка параллельна правой ветке корыта $y = 3x− 5,$ а значит, их угловые коэффициенты равны $a= 3.$

Видим, что прямая пучка имеет ровно одно пересечение с корытом в положении $I,$ а также между положениями $II$ и $III,$ включая $II$ и не включая $III,$ за исключением вертикальной прямой.

Переходя к угловым коэффициентам, получаем

a ∈(−∞; −3]∪ {−1}∪ (3;+∞ )

Ответ:

$a ∈(−∞; −3]∪ {−1}∪ (3;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Ответ отличается от верного невключением либо $a =− 1,$ либо $a =− 3$ или включением $a= 3$	3
ИЛИ
Недостаточное обоснование построения

Рассмотрены верно два из трёх взаимных расположений графиков функций с верным нахождением значений параметра $a,$ или найдены все граничные точки искомого множества значений параметра $a$	2

Верное сведение к исследованию графически или аналитически, при этом может быть верно найдено хотя бы одно из значений параметра $a$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#11935

При каких значениях параметра $a$ уравнение

|x − 3|+ |x − 2|= a

имеет бесконечно много решений?

Показать ответ и решение

Рассмотрим уравнение левой части $y = |x − 3|+ |x − 2|,$ раскроем модули и представим ее в кусочном виде:

(| ||{ 5− 2x, x≤ 2 y = | 1, 2< x< 3 ||( 2x − 5, x≥ 3

Это «корыто» с углами в точках $(2;y(2))= (2;1)$ и $(3;y(3))= (3;1).$ Построим его график.

$PIC$

Уравнение правой части $y = a$ задает произвольную горизонтальную прямую. Единственный случай, в котором эта прямая имеет с корытом бесконечное количество точек пересечения, достигается при $a= 1,$ когда горизонтальная прямая содержит отрезок дна корыта.

Ответ:

$a ∈{1}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Верно найдено значение $a =1,$ но при этом нет обоснования нахождения значения параметра $a$	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#31960

Найдите все значения $a,$ при которых система

({ y = 2|x|+ |x − 7| ( y = 2|x − 3|+ x+ a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Пусть $f1 = 2|x|+ |x − 7|, g = 2|x− 3|+x, f2 = 2|x− 3|+ x+ a.$ Тогда

(| ( ||{ −3x+ 7, x≤ 0 { −x+ 6, x≤ 3 f1 = | x+ 7, 0 < x< 7 g = ( ||( 3x− 6, x >3 3x− 7, x ≥ 7

График $f1$ — это «корыто» с изломами в точках $A(0;7)$ и $B (7;14).$ График $g$ — это уголок модуля с вершиной в точке $(3;3).$ График $f2$ получается из графика $g$ сдвигом по вертикали на $a.$ Изобразим графики функций $f1$ и те положения графика $f2,$ при которых графики $f1$ и $f2$ будут иметь единственную точку пересечения.

$PIC$

При $a= 0$ график $f2$ будет находиться в положении 1. Чтобы убедиться в этом, достаточно найти точку пересечения оси ординат с левой веткой $y = −x+ 6$ и понять, что эта точка находится ниже точки $A.$ При этом точка на правой ветке $y = 3x− 6$ с абсциссой $x= 7$ будет находиться выше точки $B,$ а именно иметь ординату $y = 15.$

Если менять значение $a$ от $− ∞$ до $+ ∞,$ то график $f2$ будет двигаться снизу вверх, причем сначала он пройдет через точку $B,$ затем через точку $A.$ Все положения графика $f2$ между прохождениями через эти точки, не включая сами прохождения, нас устраивают, так как мы будем иметь одну точку пересечения графиков $f1$ и $f2.$

Далее, двигаясь от точки $A$ к точке $C,$ график $f 2$ будет иметь 3 точки пересечения с графиком $f 1$ , что нам не подходит. Строго выше положения, когда график $f2$ проходит через точку $C,$ мы будем иметь одну точку пересечения графиков $f1$ и $f2$ , что нам подходит. При этом координаты точки $C$ ищутся как координаты точки на отрезке прямой $y =x + 7,$ абсцисса которой равна абсциссе вершины $x= 3$ графика $f2.$

Найдем значения параметра, соотвествующие прохождению графика $f2 = 2|x − 3|+ x+ a$ через точки $A,B,C.$

$A(0;7) :7= f (0) ⇔ 7= 2 ⋅3 +0 +a ⇔ a= 1 2$

$B(7;14) :14 = f2(7) ⇔ 14= 2⋅4+ 7+ a ⇔ a = −1$

$C(3;10) :10 = f2(3) ⇔ 10= 2⋅0+ 3+ a ⇔ a = 7$

Тогда исходная система имеет единственное решение при

a ∈(−1;1)∪ (7;+∞ )

Ответ:

$a ∈(−1;1)∪ (7;+∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#31961

Исследуйте траекторию движения графиков функций, записанных в системе

({ y = 2|x− a|+|3x+ 6a| ( y = 5|x+ 3a|− a+ 8

и определите, при каких $a$ система имеет бесконечное множество решений.

Показать ответ и решение

Обозначим $f = 2|x− a|+3|x +2a| 1$ , $f = 5|x +3a|− a +8 2$ .

1)

Ищем траектории движения графиков.

График $f 1$ представляет собой “корыто с кривым дном”, а при равенстве нулей подмодульных выражений (при $a= −2a$ ) уголок. Боковые ветви корыта имеют вид $f = −5a− 4a 1,left$ , $f = 5x+ 4a 1,right$ .

Чтобы найти траекторию движения этого графика, можно следить за любой его точкой, например, за точкой $O(a;9|a|)$ . Следовательно, корыто движется по кривой $y = 9|x|$ .

График $f2$ представляет собой уголок, ветви которого имеют вид $f2,left = −5x− 16a+ 8$ , $f2,right =5x+ 14a+8$ .

Чтобы найти траекторию движения уголка, можно следить за его вершиной $Q(−3a;8− a)$ . Значит, уголок движется по прямой $x y =8+ 3.$

2)

Определяем, при каком $a$ число решений системы бесконечно.

Заметим, что левая ветвь корыта с левая ветвь уголка параллельны, так как имеют одинаковый коэффициент перед $x$ . То же можно скапзать про их правые ветви. Бесконечное множество решений у системы будет, если корыто и уголок будут иметь бесконечно много точек пересечения, что происходит только в тех случаях, когда одна из боковых ветвей одного графика накладывается на боковую ветвь другого. Это значит, что уравнения, задающие прямые, на которых расположены эти ветви, одинаковы.

Следовательно,

⌊ ⌈ −4a= −16a+8 ⇔ a= − 4;2 4a =14a+ 8 5 3

Схематично это выглядит так:

$PIC$

Ответ:

$a ∈{− 4;2} 53$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#16968

Найдите $a$ , при которых уравнение

| | | | || a2 || || a2 || |x + x + 1|+ |x+ x − 1| = 2

имеет хотя бы один корень.

Показать ответ и решение

Сделаем замену $2 t = x + ax$ , получим

|t− 1|+ |t+ 1| = 2

В левой части имеем корыто, значит, левая чаcть будет равна 2 при $t ∈ [− 1;1]$ , т.к. дно корыта принадлежит горизонтальной прямой $y = 2$ .

$PIC$

Нам нужно найти такие значения $a$ , при которых существует хотя бы одно значение $x$ такое, что $t ∈ [− 1;1]$ . Это равносильно нахождению таких $a$ , при которых двойное неравенство

a2 − 1 ≤ x +-- ≤ 1 x

имеет непустое множество решений. Рассмотрим два случая

При $a = 0$ наше двойное неравенство равносильно системе $({ − 1 ≤ x ≤ 1 (x ⁄= 0$
Решения есть, значит, $a = 0$ подходит.
При $a ⁄= 0$ , поделив все части неравенства на $|a|$ , получим
$pict$

Заметим, что $||x |a||| ||a| + x-| ≥ 2$ как сумма взаимно обратных дробей, причем равенство будет достигаться для $x = |a|$ при любом $a ⁄= 0$ . Тогда при любом $a$ , для которого
$2 ≤-1- ⇔ a ∈ [− 0,5;0,5]∖ {0}, |a|$ хотя бы $x = |a|$ будет решением (возможно решений будет больше, но нам важно, что как минимум одно точно есть), если же $2 > 1-, |a|$ то решений точно не будет, т.к. независимо от $x$ и $a$ будет выполняться $|| || || x-+ |a||| ≥ 2 > 1 |a| x |a|$

Объединив, получим ответ $a ∈ [− 0,5;0,5]$ .

Ответ:

$[− 0,5;0,5]$

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#76781

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

|x|+ |x − 5|= 2a

имеет бесконечно много решений.

Показать ответ и решение

Рассмотрим левую часть как функцию от $x:$ $f(x) =|x|+ |x− 5|.$ Графиком этого уравнения является корыто. Раскроем модули:

(| ||{ −2x +5, при x <0 f(x) =| 5, при 0≤ x ≤ 5 ||( 2x− 5, при x >5

Графиком правой части $g(x)= 2a$ является горизонтальная прямая. Необходимо, чтобы эта горизонтальная прямая имела бесконечно много общих точек с корытом. Изобразим график корыта:

$xyy55 = f(x)$

Следовательно, горизонтальная прямая должна проходить через дно корыта, следовательно,

2a =5 ⇔ a= 5 2

Ответ:

${ } a ∈ 5 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Выполнен необоснованный переход к результату	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#76789

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

|1− x|+ |3x− 2|= 2a− ax

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Пусть $f(x) =|1− x|+ |3x− 2|= |x − 1|+ |3x − 2|,$ $g(x)= 2a− ax= −a(x− 2).$ Тогда функция $f(x)$ задает корыто с наклонным дном:

(| 2 |||{ −4x+ 3, при x< 3 f(x)= 2x− 1, при 2 ≤x ≤ 1 |||| 3 ( 4x− 3, при x> 1

Функция $y = g(x)$ задает пучок прямых, проходящих через точку $(2;0).$ Необходимо, чтобы прямая из пучка прямых имела ровно одну общую точку с корытом.

Изобразим графики:

$12 xyy1112333= f(x)$

Опишем ситуации 1,2 и 3. Пусть $− a =b,$ тогда $g(x)= b(x − 2).$

$b= b1 :$ прямая $y = g(x)$ параллельна правой ветви $y = 4x− 3$ корыта, тогда решений нет. Но при $b> b1$ мы имеем одну точку пересечения (как раз с правой ветвью корыта). Если $g(x) =b1(x− 2)$ параллельна $y = 4x− 3,$ то $b1 = 4,$ следовательно, при $b > 4$ — одно решение. Тогда $− a> 4,$ откуда $a < −4.$

$b= b2 :$ прямая $y = g(x)$ проходит через точку $( ) 23; 13 :$

( ) 1= b2 2− 2 ⇔ b2 = − 1 3 3 4

Следовательно, $− a =− 1, 4$ откуда $a = 1 4$ — при этом $a$ имеем одну точку пересечения.

$b= b3 :$ прямая $y = g(x)$ параллельна левой ветви $y = −4x +3$ корыта, тогда решение есть. Также при $b < b3$ есть единственное решение. Следовательно, $b3 = − 4,$ откуда при $− a≤ −4,$ то есть при $a ≥ 4$ имеем одну точку пересечения.

Следовательно, ответ

a ∈ (− ∞;− 4)∪ {0,25}∪ [4;+∞ )

Ответ:

$a ∈(−∞; −4)∪ {0,25}∪ [4;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

С помощью верного рассуждения получены все значения $a,$ но некоторые граничные точки включены/исключены неверно	3

С помощью верного рассуждения получены не все значения $a$	2

Задача верно сведена к исследованию взаимного расположения графика функции и прямой (аналитически или графически).	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#76790

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

|x2− 2x|+ 2a= ax − 1

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

|x2 − 2x|= a(x− 2)− 1

Пусть $f(x)= |x2− 2x|,$ $g(x)= a(x − 2)− 1.$ Тогда первое уравнение задает параболу $y =x(x − 2),$ часть которой, находящаяся под осью абсцисс, отражена наверх. Второе уравнение задает пучок прямых, проходящих через точку $(2;−1).$

Изобразим положения прямой из пучка прямых, при которых она имеет ровно одну общую точку с графиком $y = f(x):$

$xyy21 = f(x)$

Положение 1: прямая $y = g(x)$ касается правой ветви параболы: $y = x2− 2x,$ $x > 2.$ Тогда уравнение

2 x − 2x = ax− 2a− 1

имеет единственное решение, следовательно, его дискриминант равен нулю:

D = a2− 4a = 0 ⇔ a= 0;4

Нам подходит $a= 4,$ так как при $a= 0$ прямая касается несуществующей на графике $y = f(x)$ части параболы (при $0< x< 2$ ).

Положение 2: прямая $y = g(x)$ проходит через точку $(0;0):$

0 = a⋅0− 2a− 1 ⇔ a= − 1 2

Следовательно, ответ:

a ∈{−0,5;4}

Ответ:

$a ∈{− 0,5;4}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Верно исследовано одно из двух положений	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом построение обосновано	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#76791

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых система

( { y = 3|x|+ |2x − 4| ( y = 2|x − 1|+ 2x+ a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Пусть $f(x) =3|x|+|2x− 4|,$ $g(x)= 2|x− 1|+2x.$ Тогда

( |||{ −5x +4, при x< 0 ({ f(x)= x+ 4, при 0≤ x ≤2 g(x)= 2, при x < 1 ||| ( 4x − 2, при x ≥ 1 ( 5x− 4, при x> 2

Тогда график функции $y = h(x)= g(x)+ a$ получаем сдвигом графика функции $y = g(x)$ вертикально на $a$ единиц (вверх/вниз). Необходимо, чтобы график функции $y = f(x)$ (корыто с наклонным дном) и график функции $y = h(x)$ (уголок) имели одну общую точку.

Изобразим графики:

$xyy6241234320 =ррррррреееееееfшшшшшшш(x.......)$

Одно решение система имеет, когда правая ветвь уголка $y = 4x− 2+ a$ проходит через точку $(2;6):$

6= 4⋅2− 2+ a ⇔ a = 0

Заметим, что правая ветвь уголка не параллельна правой ветви корыта, следовательно, при $a > 0$ они пересекаются, то есть всегда дают одну общую точку. На рисунке изображены другие положения уголка относительно корыта, при которых количество общих точек равно 0, 2, 3 или 4.

Ответ:

$a ∈{0}$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование построения	3

Выполнен необоснованный переход к результату	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел