Тема 18. Задачи с параметром

18.24 Графика. Области

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#14242

Найдите все значения параметра $a,$ при которых система

({ 2 2 2 (y− x| ) +|(y − x − 2) = 0 (log2|x − 12|≤ log2a

имеет ровно два решения.

Показать ответ и решение

В первом уравнении системы оба слагаемых левой части неотрицательны при всех значениях $x$ и $y.$ Сумма этих слагаемых равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Таким образом, исходная система равносильна

$pict$

В первом уравнении преобразованной системы имеем стандартную параболу $2 y = f(x)= x ,$ во втором — линейную функцию $y = g(x)= x +2.$ Линейная и квадратичная функции имеют не более двух точек пересечения, а по условию нас просят найти $a,$ при которых решений ровно два. Значит, нас интересуют значения $a,$ при которых обе эти точки пересечения являются решениями системы.

Условие $x ⁄= 1 2$ означает, что никакие точки вертикальной прямой $x = 1 2$ не могут быть решениями системы.

Четвертое условие означает, что нас интересуют только положительные значения $a.$

Последнее условие задает область $D$ между вертикальными прямыми $1 x = 2 − a$ и $1 x = 2 + a$ (включая эти прямые, так как знаки нестрогие).

Таким образом, чтобы система имела ровно два решения, обе точки пересечения функций $f$ и $g$ должны лежать в области $D,$ причем ни одна из них не должна принадлежать «запрещенной» вертикальной прямой $x = 1. 2$ Построим графики (на картинке область $D$ изображена при $a= 1,5$ ):

$PIC$

Графики $f$ и $g$ пересекаются в точках $A(− 1;1)$ и $B (2;4).$ Ни одна из них не лежит на прямой $x = 1. 2$

При $a= 1,5$ левая граница $x= 12 − a$ области $D$ обращается в $x= −1$ и проходит через точку $A,$ а правая граница $x= 12 +a$ области $D$ обращается в $x= 2$ и проходит через точку $B,$ то есть обе точки принадлежат области $D,$ такие $a$ нам подходят.
При всех $0< a< 1,5$ область $D$ становится «уже» и точка $A$ оказывается левее прямой $x= 12 − a,$ а точка $B$ — правее прямой $x = 12 + a,$ то есть точки $A$ и $B$ не попадают в область $D,$ такие $a$ нам не подходят.
При всех $a> 1,5$ обе точки $A$ и $B$ лежат внутри области $D.$

Таким образом, нам подходят $a∈ [1,5;+∞ ).$

Ответ:

$a ∈[1,5;+∞ )$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованное построение/недостаточно обоснован какой-то момент при исследовании	3
ИЛИ
ответ отличается от верного невключением граничной точки

Верно найдены точки пересечения и граничное значение параметра, но переход к ответу неверный	2
ИЛИ
допущена вычислительная ошибка

Верно сведено к исследованию графически или аналитически и выполнено верное построение с обоснованием	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32716

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система неравенств

({ (y− 4x)(4y − x)≤ 0 ((x− a)2+ (y+a)2 ≤ 25a

имеет конечное число решений.

Показать ответ и решение

Первое неравенство можно переписать в виде

⌊({ | y ≥ 4xx ⌊ x |||(( y ≤ 4 ⇔ | 4x ≤y ≤ 4 ||{ y ≤ 4x ⌈ x≤ y ≤ 4x ⌈( y ≥ x 4 4

Заметим, что прямые $y = x 4$ и $y = 4x$ симметричны относительно прямой $y = x$ , следовательно, имеют равные углы между осями абсцисс и ординат соответственно. Таким образом, первое неравенство задает некоторую область, обозначенную на рисунке голубым цветом.

Второе неравенство при $a< 0$ задает пустое множество, но тогда и вся система не имеет решений, что нам не подходит. при $a= 0$ оно задает точку $(0;0)$ , удовлетворяющую первому неравенству, то есть система имеет одно решение, что нам подходит. При фиксированном $a >0$ оно задает круг с центром в точке $Q(a;−a)$ (центр движется по прямой $y =− x$ ) и радиусом $√- R= 5 a$ . При изменении $a$ от $0$ до $+ ∞$ окружность движется вниз по прямой $y =− x$ и ее радиус увеличивается от $0$ до $+∞$ .

На рисунке обозначено положение круга, при котором он с голубой областью имеет конечное число решений (касается границы этой области, и при этом касании мы имеем два решения):

$PIC$

Заметим, что в силу симметрии прямых $y = 4x$ и $y = x4$ относительно прямой $y =− x$ , а также симметрии круга относительно этой прямой, круг, касаясь одной прямой, будет касаться также и другой прямой.

Если окружность касается прямой, то радиус окружности равен расстоянию от центра окружности до этой прямой:

R= QA = ∘-|y-− 4x|-| ⇔ 5√a= |−√a− 4a| ⇔ a= 17 12 +(−4)2 x=a, y=−a 17

Таким образом, ответ $a =0;17.$

Ответ:

$a ∈{0;17}$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32719

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых система

({ |3x− y+ 2|≤ 12 ( (x − 3a)2+(y+ a)2 =3a+ 4

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

Неравенство равносильно

−12≤ 3x− y +2 ≤12 ⇔ 3x − 10≤ y ≤ 3x+ 14

Следовательно, оно задает полосу между прямыми $y =3x− 10$ и $y = 3x+14$ .

Уравнение при $3a+ 4< 0$ задает пустое множество, следовательно, система не имеет решений, что нам не подходит. При $3a+ 4= 0$ оно задает точку $(− 4;4) 3$ , которая лежит в полосе (так как удовлетворяет неравенству), следовательно, $a= − 4 3$ нам подходит. При $3a+ 4> 0$ уравнение задает окружность с центром в $O(3a;−a)$ , который движется по прямой $y = − 1x 3$ , и радиусом $R = √3a+-4$ , который при движении ентра по прямой $y = − 1x 3$ сверху вниз увеличивается.

Единственное решение у системы тогда, когда окружность касается границы полосы внешним образом (в точке $K$ ):

$PIC$

Заметим, что точка касания лежит на прямой $1 y = −3x$ , так как произведение коэффициентов прямых $1 y = −3x$ и $y =3x − 10$ равно $− 1$ , следовательно, прямые перпендикулярны.

Следовательно, координаты точки $K$ можно найти как координаты точки пересечения $1 y =− 3x$ и $y = 3x − 10$ :

( ( |{y = − 13x {x =3 |(y = 3x− 10 ⇔ (y =− 1

Таким образом, $OK = R$ :

∘ (3-− 3a)2+(−1−-a)2-=√3a-+4 ⇔ a= 2

Значит, ответ $a =− 4;2. 3$

Ответ:

$a ∈{− 4;2} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32720

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых среди решений $(x;y)$ системы неравенств

(| √-2---2 |{y− a − x ≤ 0 ||(y+ 1x+ 2a≥ 11 2

нет решений, у которых $y ≤ 0$ , в то же время имеет хотя бы одно решение $(x;y)$ , у которого $x< 0$ .

Показать ответ и решение

Первое неравенство равносильно

⌊ ({ ⌊({ || y ≤ 0 || y ≤ 0 || ((x2 ≤ a2 ⇔ ||(( −|a|≤ x≤ |a| ||⌈ {y > 0 ||⌈{ y > 0 (y2+ x2 ≤a2 ( y2+x2 ≤a2

Первая система в нижней полуплоскости (с границей $y = 0$ ) задает вертикальную полосу между прямыми $x= −|a|$ и $x= |a|$ . Вторая система в верхней полуплоскости задает круг с центром в начале координат и радиусом $R = |a|$ , если $a⁄= 0$ ; точку, совпадающую с началом координат, если $a= 0$ (не подходит, так как в этом случае начало координат не лежит в области, задающейся вторым неравенством). Назовем область, задающуюся первым неравенством, $S$ , и обозначим голубым цветом.

Пусть далее $a⁄= 0$ .

Второе неравенство задает розовую область над прямой $y = − 1x − 2a+ 11 2$ (назовем ее $l$ ).

Чтобы эти области пересекались, и в пересении была хотя бы одна точка $(x;y)$ , у которой $x < 0$ и точно $y > 0$ , граница розовой области должна находиться между прямыми $g$ и $h$ .

$PIC$

Точка $A$ имеет координаты $(|a|;0)$ , точка $B$ имеет координаты $(0;|a|)$ , следовательно,

g : 0+ 1|ag|+ 2ag =11 ⇔ ag = 22 ⇒ yg = − 1x− 2ag+ 11 2 5 2 h : |ah|+ 0+ 2ah =11 ⇔ ah = 11 ⇒ yh =− 1x− 2ah +11 3 2

Следовательно, $yg <y <yh$ , то есть

1 1 1 11 22 −2x − 2ag+ 11< −2x− 2a+ 11 <− 2x− 2ah +11 ⇔ 3 < a< 5

Ответ:

$a ∈(11;22) 3 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32867

Найдите все $a$ , при которых система неравенств

(| ∘--------------- |a| |{ (x− 2a)2+ (y − a)2 ≤ 6√5 ||( x− 2y ≥1

имеет решения.

Показать ответ и решение

Первое неравенство при $a= 0$ задает точку $(0;0),$ не удовлетворяющую второму неравенству, следовательно, этот случай нам не подходит. При $a⁄= 0$ первое неравенство равносильно

( |a|)2 (x− 2a)2+ (y− a)2 ≤ 6√5

Оно задает круг с центром в $O (2a;a)$ (который движется по прямой $y = 0,5x$ ) и радиусом $R = 6|a√|5.$ Заметим, что при отдалении круга от начала координат его радиус увеличивается.

Второе неравенство задает область под прямой $y =0,5(x − 1).$ Заметим, что эта прямая параллельна траектории движения центра круга. Также заметим, что при $a= a0$ и $a= −a0$ круги симметричны относительно прямой $y = −x.$ Следовательно, если нам подходит $a =a0,$ то нам подходит также и $a =− a0.$

Рассмотрим только $a> 0.$ Тогда граничное положение круга, при котором он имеет хотя бы одну общую точку с голубой областью — когда круг касается прямой $x− 2y =1.$ На рисунке это положение $c,$ при этом положение $d$ — ему симметричное при противоположном $a.$

$PIC$

Тогда расстояние от центра круга до прямой $l:$ $x− 2y = 1$ равно радиусу круга:

|a| |x− 2y− 1| |a| 1 6√5 = R= ρ(O,l)= ∘12+-(−2)2-|x=2a, y=a ⇔ 6√5-= √5- ⇒ a= 6

Следовательно, при $a≥ 6$ и $a≤ −6$ система имеет хотя бы одно решение.

Ответ:

$a ∈(−∞;− 6]∪ [6;+∞)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2600

Найдите все значения параметра $a$ , при которых система

{ (2x2 − 4x + 3y2 + 6y + 5)(8 − |2x + y|) ≤ 0 2 2 x − 4x + y = a

имеет единственное решение.

Показать ответ и решение

1) Преобразуем неравенство системы:

$(2x2 − 4x + 2 + 3y2 + 6y + 3 − 2 − 3 + 5)(8 − |2x + y|) ≤ 0 ⇔$

$2 2 ⇔ (2(x − 1) + 3(y + 1) )(8 − |2x + y|) ≤ 0 ⇔$

$⌊ { 2(x − 1)2 + 3(y + 1)2 ≤ 0 || 8 − |2x + y| ≥ 0 || ⇔ | { |⌈ 2(x − 1)2 + 3(y + 1)2 ≥ 0 8 − |2x + y| ≤ 0$

Т.к. сумма квадратов всегда неотрицательна, то данная совокупность равносильна:

⌊ ( ⌊ { |{ x = 1 2 (x − 1)2 + 3(y + 1)2 = 0 | ⌊ { || |2x + y| ≤ 8 || | y = − 1 x = 1 || || ( |2 ⋅ 1 + 1| ≤ 8 || y = − 1 | { ⇔ | ⇔ |⌈ |⌈ 2 (x − 1)2 + 3(y + 1)2 ≥ 0 || { ⌈ x,y ∈ ℝ |2x + y| ≥ 8 |2x + y| ≥ 8 |2x + y | ≥ 8

Т.к. $|2x + y| ≥ 8$ равносильно $2x + y ≥ 8$ или $2x + y ≤ − 8$ , то данная совокупность задает область, состоящую из части плоскости, находящейся не ниже прямой $y = − 2x + 8$ , из части плоскости, находящейся не выше прямой $y = − 2x − 8$ , а также из точки $(1;− 1 )$ :

$PIC$

2) Преобразуем уравнение системы:

x2 − 4x + y2 = a ⇔ x2 − 4x + 4 + y2 = a + 4 ⇔ (x − 2)2 + y2 = a + 4

Данное уравнение при $a + 4 > 0$ задает окружность с центром в точке $O(2;0)$ и радиусом $√ ------ R = a + 4$ ; при $a + 4 = 0$ задает точку $(2;0)$ ; при $a + 4 < 0$ – пустое множество.

Т.к. точка $(2;0)$ не попадает в область, заданную неравенством, то при $a + 4 ≤ 0$ система точно не будет иметь решений.

3) Рассмотрим случай $a + 4 > 0$ .

$PIC$

Система будет иметь единственное решение тогда и только тогда, когда окружность будет иметь ровно одну общую точку с областью. Это возможно в одном из двух случаев:

(1) Если окружность коснется границы области $y = − 2x + 8$ .
Пусть $P$ – точка касания (то есть $OP ⊥ y = − 2x + 8$ ). Рассмотрим прямоугольный $△OP Q$ , где $Q = (4;0)$ – точка пересечения прямой $y = − 2x + 8$ с осью абсцисс.

Т.к. угловой коэффициент прямой $y = − 2x + 8$ равен $− 2$ , то $tg ∠P QX = − 2$ , следовательно, $tg∠P QO = 2$ . Тогда

2 OP 2 2 4 sin∠P QO = √--- ⇒ ---- = √--- ⇒ OP = OQ ⋅√---= √--. 5 OQ 5 5 5

Т.к. $OP$ и есть радиус окружности, то

4 √ ------ 4 √---= a + 4 ⇒ a = − -. 5 5

(2) Если окружность проходит через точку $(1;− 1)$ .
Это значит, что расстояние между точками $O$ и $(1;− 1)$ равно радиусу окружности, следовательно,

√ ------ ∘ ------------------- a + 4 = (2 − 1)2 + (0 + 1 )2 ⇔ a = − 2.

Ответ:

${ − 2;− 45}$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел