18.22 Графика. Окружность

Первому уравнению соответствует семейство окружностей с центрами на оси ординат, так как координаты центра и радиусом, равным 2. Второе уравнение задает прямую. Построим графики.

Сначала рассмотрим случай, когда то есть центр окружности лежит в верхней полуплоскости. Чтобы окружность с центром и радиусом 2 касалась прямой, расстояние от центра до этой прямой должны быть равно 2. Выразим через расстояние от центра окружности до прямой, а затем приравняем его к 2, чтобы найти подходящие

Опустим перпендикуляр на прямую начало координат обозначим через Мы знаем, что прямая образует угол с осью абсцисс, следовательно, угол также равен Тогда треугольник — прямоугольный равнобедренный с гипотенузой значит, его катет равен Приравняем эту величину к радиусу и найдем

Для отрицательного то есть когда центр окружности лежит в нижней полуплоскости, картинка будет симметричной, а значит, нам тоже подойдет. Тогда окончательно имеем:

Преобразуем первое уравнение:

Оно задает окружность с центром в точке и радиусом Найдем траекторию центра окружности:

Таким образом, первое уравнение исходной системы задает окружность с центром в произвольной точке прямой и радиусом Второе уравнение исходной системы — это прямая Построим графики.

Нас интересуют значения при которых окружность имеет точки пересечения с прямой значит, ключевыми положениями на рисунке для нас будут касания окружности с этой прямой. Заметим, что прямая и прямая-траектория перпендикулярны. Следовательно, окружность будет касаться прямой только в том случае, если ее центр находится на расстоянии, равном радиусу окружности, от точки пересечения прямых — начала координат. Изобразим случаи касания на картинке, начало координат обозначим через центры окружностей в случаях касания — через и

Мы поняли, что точки и таковы, что Очевидно также, что и Найдем записав условие на расстояние между и

Так как то получаем Очевидно, что при любых то есть когда центр принадлежит отрезку окружность будет иметь пересечения с прямой а при любых для которых — не будет. Получаем ответ

Рассмотрим вторую скобку:

Следовательно, система равносильна:

Найдем те , при которых горизонтальная прямая имеет две точки пересечения со множеством

Заметим, что в силу симметрии полуокружности и параболы относительно оси ординаты точек и одинаковы, а также одинаковы ординаты точек и . Прямая будет иметь с голубым графиком две точки пересечения, находясь в положении , в положении и между положениями и , исключая положение .

Ищем ординату точек и .

Ищем ординату точек и

;

;

;

;

.

Следовательно, ответ

Перепишем уравнение в виде где

Графиком является верхняя полуокружность окружности график представляет собой пучок прямых, проходящих через точку

 

Положения прямой которые нам подходят:

когда прямая проходит через точку

когда прямая находится между прямыми, проходящими через точки и включая положение

Найдем значения параметра, соответствующие прохождению прямых пучка через точки

Тогда исходное уравнение имеет единственное решение при

Пусть , тогда не дает решений , дает одно решение , дает два различных решения Система примет вид

Первое уравнение задает либо точку, либо окружность. Случай с точкой не подходит, потому как тогда смистема максимум может иметь одно решение.

Тогда первое уравнение задает окружность с радиусом , а второе — прямую. Окружность с прямой могут иметь 0, 1 или 2 точки пересечения. Следовательно, чтобы после обратной замены мы получили четыре решения, необходимо, чтобы прямая имела с окружностью две точки пересечения, абсциссы которых положительны.

Нам подходят все прямые между и .

Выше прямой ;

ниже прямой .

Следовательно,

Получаем

Первое уравнение представляет собой две части окружностей: одна с центром в точке и радиусом , вторая — с центром и тем же радиусом. Заметим, что расстояния от центра окружностей до оси ординат меньше радиуса, следовательно, обе окружности берутся целиком.

Второе уравнение — окружность с центром и радиусом (назовем ее ).

Две окружности имеют одну общую точку, если они касаются внешним или внутренним образом. Следовательно, должна касаться одним из двух способов с одной окружностью и вовсе не иметь общих точек с другой. Заметим, что расстояние от центра до первой окружности меньше, чем до центра второй, следовательно, первое касание будет внешним с первом окружностью, затем внешнее со второй, затем внутреннее с первой, затем внутреннее со второй. Следовательно, нам подходят только первый и четвертый случай:

Тогда

Первое уравнение задает окружность с центром и радиусом Второе уравнение задает уголок, вершина которого движется по прямой (заметим, что эта прямая касается окружности). Причем при изменении от до уголок движется слева направо. Три точки будет в следующих позициях:

• касание в левой ветви уголка и окружности;
• вершина уголка находится в точке касания окружности и ;
• касание в правой ветви уголка и окружности.

Если прямая касается окружности, то это условие можно задать с помощью формулы расстояния от точки до прямой: в случае окружности это расстояние должно быть равно радиусу окружности. Для центра окружности радиусом и прямой , задаваемой , это уравнение выглядит так:

Следовательно, так как , то есть , , то есть , получаем

Для точки нужно выбрать меньшее значение параметра (так как существует еще одно положение, когда левая ветвь касается окружности, и оно правее нужного нам положения), для точки — большее значение параметра (по аналогичным причинам). Вершина уголка в точке , если .

Следовательно, .

Преобразуем первое равенство:

Тогда первое уравнение системы задает окружность с центром в точке и радиусом , а второе уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом при и точку при .

В случае система имеет единственное решение, если , что проверяется подстановкой координат точки в уравнение окружности:

Получили неверное равенство, следовательно, , значит, нам не подходит.

Пусть . Тогда две окружности имеют одну точку пересечения, если они касаются. При касании внешним образом сумма радиусов равна расстоянию между центрами окружностей: ; при касании внутренним образом модуль разности радиусов равен расстоянию между центрами окружностей: .

Следовательно,

Таким образом,

Первое уравнение системы задает окружность с центром в точке и радиусом , а второе уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом .

Две окружности имеют одну точку пересечения, если они касаются. При касании внешним образом сумма радиусов равна расстоянию между центрами окружностей: ; при касании внутренним образом модуль разности радиусов равен расстоянию между центрами окружностей: .

Следовательно,

Таким образом,

Первое уравнение системы задает окружность с центром в точке и радиусом при и точку при ; второе уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом при и точку при .

Окружность, вырождающуюся в точку, называют вырожденной.

Две окружности (в том числе и вырожденные) имеют одну точку пересечения, если они касаются (в случае точки и окружности это значит, что точка лежит на окружности, а в случае двух точек — что они совпадают). При касании внешним образом сумма радиусов равна расстоянию между центрами окружностей: ; при касании внутренним образом модуль разности радиусов равен расстоянию между центрами окружностей: .

Следовательно,

Таким образом,

Второе уравнение системы равносильно

Следовательно, оно задает окружность с центром и радиусом . Значит, при изменении от до окружность движется снизу вверх по прямой . Первое уравнение задает “птичку”, которая строится в следующей последовательности:

Рассмотрим следующие положения:

1.

Верхняя часть окружности проходит через точку Пусть этому положению соответствует .

2.

Нижняя часть окружности проходит через точку Пусть этому положению соответствует .

3.

Окружность вписана в угол .

Заметим, что диагональ клетки равна , следовательно, половина диагонали клетки равна . Также заметим, что две диагонали клетки взаимно перпендикулярны, следовательно, если окружность касается , то она также касается и отрезка , причем в серединах обоих отрезков — в точках и соответственно (так как слетка представляет собой квадрат).

Пусть этому положению соответствует .

Заметим, что при изменении от до окружность последовательно проходит через положения 1, 2 и 3 (в указанном порядке). Тогда нам подходят Найдем нужные значения параметра.

:

лежит на окружности:

Этому положению соответствует , так как ордината центра окружности отрицательная.

:

лежит на окружности:

Этому положению соответствует , так как ордината центра окружности положительная.

:

центр окружности находится в узле клетки (вершина квадрата), следовательно, .

Таким образом,

Система равносильна

Так как замена линейная, то в новых переменных и система также должна иметь единственное решение.

Таким образом, в системе координат первое уравнение задает окружность с центром в точке и радиусом , движущуюся по прямой , а второе уравнение задает уголок, строящийся в следующей последовательности:

Одно решение система имеет в том случае, когда окружность касается уголка.

Так как график симметричен относительно оси ординат, то в Положении 1 будем рассмативать касание окружности и уголка в точке и в точке (причем этим касаниям соответствуют противоположные значения параметра), а в Положении 2 — касание в точке и в точке (чему также соответствуют противоположные значения параметра).

Рассмотрим касание в точке и в точке . Тогда расстояние от центра окружности до левой ветви уголка равно радиусу окружности, следовательно:

Тогда касанию в точке соответствует , а касанию в точке соответствует Следовательно,

По теореме Виета, если рассматривать первое уравнение как квадратное относительно , получаем

Равенство задает верхнюю полуокружность от окружности (которая, заметим, целиком лежит в правой полуплоскости), тогда равенство задает две верхние полуокружности и . Таким образом, система равносильна:

Изобразим график совокупности в области, задающейся неравенством и определим те положения прямой , при которых она с этим графиком (голубой) имеет нечетное число точек пересечения.

:

прямая касается параболы в точке ;

:

прямая проходит через “стык” двух полуокружностей — через начало координат (также пересекает правую полуокружность в точке и параболу в точке );

:

прямая касается правой полуокружности в точке (также пересекает левую полуокружность в точке и параболу в точке );

:

прямая касается левой полуокружности в точке

Найдем значения параметра, соответствующие этим положениям прямой.

:

Ищем касание прямой и параболы (через равенство функций и производных в точке касания):

:

прямая проходит через , если

:

прямая касается окружности, если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности:

Нашему положению соответствует большее (так как меньшее соответствует более низкому положению прямой, когда она касается отсутствующей нижней правой полуокружности). Следовательно,

:

аналогично предыдущему пункту

Нашему положению соответствует большее (так как меньшее соответствует более низкому положению прямой, когда она касается отсутствующей нижней левой полуокружности). Следовательно,

Перепишем систему в виде

Так как замена линейная, то в новых координатах и система также должна иметь единственное решение.

В системе координат первое и третье равенства, учитывая второе и третье неравенства, задают верхние полуокружности с центрами в точках и соответственно и одинаковыми радиусами . Следовательно, нам необходимо, чтобы эти полуокружности имели одну точку пересечения.

Заметим, что первая полуокружность фиксирована, а вторая при изменении от до движется сверху вниз по прямой . Также заметим, что центр первой окружности тоже лежит на прямой . Следовательно, положения второй полуокружности, при которых она имеет одну точку пересечения с первой, такие:

Заметим, что когда правый конец одной из полуокружностей лежит на другой полуокружности, то для другой полуокружности эта точка — наивысшая (то есть точка с максимальной ординатой) точка этой полуокружности. Речь идет о точках и .

Действительно, — ромб, так как , диагональ которого со стороной образует угол в , следовательно, это квадрат, следовательно, . Аналогично для точки .

Тогда нам подходят все положения второй полуокружности между теми, когда она проходит через точки и (включая эти положения), исключая положение, когда она совпадает с первой полуокружностью. Так как мы доказали, что — квадрат, то ордината для “положения ” равна , а для “положения ” равна (на единицы больше/меньше ординаты ). Следовательно, , откуда

Первое уравнение равносильно:

Первая система задает в области под прямой часть окружности с центром в и радиусом Вторая система задает в области над прямой часть окружности с центром в и тем же радлиусом. Заметим, что эти окружности пересекаются, и пересекаются на прямой Назовем множество, являющееся объединением этих двух частей окружностей

Тогда требуется найти такие положения прямой при которых она с множеством имеет более двух точек пересечения.

Заметим, что угловые коэффициенты прямых и в произведении дают следовательно, эти прямые взаимно перпендикулярны, таким образом, прямая является осью симметрии для и для прямой следовательно, если касается одной окружности из то она касается и второй окружности из

Найдем граничные положения этой прямой:

Следовательно, находясь в розовой области, прямая имеет с более двух общих точек.

касается окружностей в точках и Найдем задавая это положение следующим образом: расстояние от центра второй окружности до прямой равно радиусу окружности

Нам подходит меньшее (когда прямая касается окружности снизу), то есть

аналогично предыдущему пункту

Нам подходит большее (когда прямая касается окружности сверху), то есть

Найдем координаты точек и как точек пересечения и окружности

Следовательно, из следует

:

аналогично предыдущему пункту

Следовательно,

1) Изобразим график первого уравнения.

 

а) При уравнение принимает вид:

Мы получили уравнение окружности (назовем ее ) с центром в точке и радиусом .

 

б) При уравнение принимает вид:

Таким образом, мы получили верное равенство. Следовательно, мы получили множество точек, абсцисса которых равна нулю.

 

в) При уравнение принимает вид:

Мы получили уравнение окружности (назовем ее ) с центром в точке и радиусом .

 

2) Уравнение задает множество прямых, параллельных прямой (это прямые, угол наклона которых к положительному направлению оси равен ).
Таким образом, получаем такую картинку (голубым цветом изображен график первого уравнения):
 

 

3) Для того, чтобы система имела 3 решения, нужно, чтобы при некотором фиксированном прямая пересекала “голубой график” ровно в трех точках.
Таким образом, нам подходят следующие случаи:
— когда прямая находится между и (не включая эти случаи). Случай – касание прямой и окружности . Случай – прохождение прямой через точку пересечения окружности и прямой .
— когда прямая находится между и (не включая и включая ). Случай – прохождение прямой через точку пересечения окружности и прямой .
— когда прямая находится в положении – касается окружности .

 

Рассмотрим каждый из этих случаев по отдельности.

 

Между и .
– Найдем значение , при котором прямая находится в положении . В этом случае .
 

 
Пусть – точки пересечения с осями координат, – точка касания. Тогда (как радиус, проведенный в точку касания). Длина , , , прямоугольный. Тогда . Тогда

– Найдем значение , при котором прямая находится в положении . В этом случае проходит через точку , следовательно,

Таким образом, нам подходят значения .

 

Между и .
– Найдем , при котором прямая находится в положении . В этом случае она проходит через точку , то есть .

 

Таким образом, нам подходят .

 

Положение .
 

 
В этом случае . Пусть – центр окружности , – точка касания, – точка пересечения с осью ординат. Тогда – прямоугольный. Ранее мы говорили, что прямая наклонена к положительному направлению оси под углом , откуда будет следовать, что и . Радиус , отрезок (так как ), . Следовательно,

Таким образом, обобщая все решение, находим ответ:

Неравенство системы задает круг без границы с центром в точке и радиусом .
Обозначим .
Заметим, что при система не имеет решений (ветви параболы направлены вниз или ). Следовательно, .
 

 

Для того, чтобы система имела хотя бы одно решение, нужно, чтобы парабола пересекала данный круг (без границы).
Найдем граничные случаи: когда парабола касается окружности .
Пусть – точка касания. Тогда в этой точке парабола и окружность имеют общую касательную .
Заметим, что рисунок симметричен относительно оси ординат, следовательно, рассмотрим только правую часть рисунка (где ).
Пусть – точка касания, – точка пересечения касательной с осью ординат, – точка пересечения касательной с осью абсцисс, – радиус окружности, – начало координат.
Тогда уравнение касательной выглядит так: . Тогда .
Тогда как радиус, проведенный в точку касания. Следовательно, :

, , . Найдем по теореме Пифагора: Теперь подставим все значения в и получим уравнение: Так как точка также принадлежит окружности, то можно составить второе уравнение: Решая систему из двух полученных уравнений и относительно и , находим, что Так как в нашем случае при существует ровно одна точка касания окружности и параболы, то одно из двух значений, найденных для , не подойдет (не будет существовать ). Проверим . Подставим его в уравнение : Если рассматривать это уравнение как квадратное относительно , то дискриминант уравнения равен Следовательно, единственный корень Таким образом, при данном существует .

 

Следовательно, не подойдет (можно убедиться в этом, сделав аналогичную проверку).
Так как рисунок, как замечалось ранее, симметричен относительно оси ординат, то касание в точке будет возможно также при . Следовательно, значения для , при которых система будет иметь решения, это

Скобки круглые, потому что круг без границы.

Оба уравнения системы при задают окружности: первое уравнение – окружность с центром в точке и радиуса ; второе – окружность с центром в точке и радиуса .
При второе уравнение задает точку , которая не является решением первого уравнения. Следовательно, при система не имеет решений, значит, – не подходит.

 

Рассмотрим случай, когда .
Система будет иметь единственное решение, когда окружности будут касаться друг друга (внутренним или внешним образом). Заметим, что центры обеих окружностей находятся на прямой . То есть линия центров окружностей параллельна оси абсцисс.

 

1) Пусть окружности касаются внешним образом в точке . Это одна из двух картинок:
 

 

Заметим, что, с одной стороны, расстояние между центрами окружностей равно сумме радиусов: , а с другой стороны, равно . Получаем уравнение:

2) Пусть окружности касаются внутренним образом в точке . Это также одна из двух картинок (а также симметричные картинки, то есть когда точка касания находится слева):
 

 
В этих случаях длина отрезка , с одной стороны, равна , а с другой стороны, она равна разности радиусов: (ставим модуль, потому что неизвестно, какой радиус больше, то есть как окружность с центром может быть вписана в окружность с центром , так и наоборот). Получаем уравнение:

Таким образом, окончательный ответ:

Рассмотрим первое уравнение системы. Оно задает 4 окружности. Действительно, пусть . Тогда уравнение примет вид – это окружность с центром в точке и .
Если , то уравнение примет вид – и это уравнение окружности с центром и . И т.д.
Таким образом, получаем:
 

Рассмотрим третье неравенство системы . Следовательно, либо , либо . Таким образом, учитывая это неравенство, остаются только две окружности: в и четвертях. Уравнение задает прямую, у которой неизвестен угловой коэффициент, и которая проходит через точку :
 

Какие у нас могут быть случаи пересечения прямой с этими окружностями так, чтобы в итоге было ровно две точки пересечения?
а) прямая пересекает одну окружность, а вторую – нет;
б) прямая касается обеих окружностей.
Заметим, что так как окружности расположены симметрично относительно начала координат, то для того, чтобы прямая могла одновременно касаться обеих окружностей, она должна проходить через начало координат (то есть она тоже должна быть симметрична относительно начала координат). Наша прямая через начало координат не проходит. Следовательно, она не может касаться обеих окружностей сразу. Значит, случай б) невозможен. Остается только случай а).
Таким образом, нам нужно для начала рассмотреть все ситуации, когда прямая будет касаться какой-то из окружностей.
 

и – случаи, когда прямая касается второй окружности (будем ее так называть, потому что у нее центр в ); и – случаи, когда прямая касается четвертой окружности.
Заметим, что эти случаи по возрастанию параметра можно упорядочить так: .
Таким образом, нам нужны будут значения параметра, принадлежащие и (здесь – значения параметра , которое соответствует расположению прямой в случае ).
Значит, найдем .
Найдем значения , когда прямая касается второй окружности:

Так как прямая и окружность касаются, то есть имеют одну точку пересечения, то полученное уравнение должно иметь один корень, следовательно, его дискриминант должен быть равен нулю: Значит, .
Аналогично найдем, что , .
Следовательно, ответ:

Первое уравнение — это окружность с центром и радиусом 3, второе — это график функции сдвинутый на 1 вверх и на вдоль оси Иначе говоря, это график функции вершина которого может находиться в произвольной точке на прямой в зависимости от

Пусть положения графика модуля пронумерованы слева направо от 1 до 3. Тогда видно, что левее положения 1 точек пересечения с окружностью не может быть больше двух. В положении 1 их ровно три, между положениями 1 и 2 их четыре, в положении 2 — три точки, между положениями 2 и 3 — четыре точки, в положении 3 — три точки, правее положения 3 — меньше трех точек. То есть нам подходят только изображенные три положения графика модуля. Очевидно, что положению 2 соответствует а положения 1 и 3 симметричны относительно прямой Найдем положения 1 и 3.

 

Первый способ (расстояние от точки до прямой).

Левая ветвь 1 уголка описывается условиями Касание этой прямой с окружностью эквивалентно тому, что расстояние он центра до прямой равно радиусу окружности. Расстояние от точки до прямой описывается формулой

В нашем случае расстояние от точки до прямой равно 3:

Нам подходит только значение, которое меньше 4, так как положение 1 левее положения 2. Положение 3 находим из симметрии. Получаем ответ

 

Второй способ (геометрический).

Прямая, содержащая отрезок параллельна прямой а прямая отсюда

Далее, так как радиусы перпендикулярны касательным, то имеем:

По теореме косинусов для

По теореме косинусов для

 

Приравняем правые части и решим уравнение:

Нам подходит только положительное значение, тогда первому положению соответствует третьему положению соответствует