17.05 Признаки подобия треугольников - Каталог заданий по ЕГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#16790Максимум баллов за задание: 3

Указать подобные треугольники, доказать их подобие. Условие каждого пункта на соответствующей картинке.

а)

$PIC$

б)

$PIC$

в)

$PIC$

г)

$PIC$

д)

$PIC$

е)

$PIC$

ж)

$PIC$

з)

$PIC$

и)

$PIC$

к)

$PIC$

л)

$PIC$

м)

$PIC$

н)

$PIC$

о)

$PIC$

п)

$PIC$

Показать ответ и решение

Указать подобные треугольники, доказать их подобие. Условие каждого пункта на соответствующей картинке.

а) $△ ABE ∼ △CDE$ по двум углам (углы при вершине $E$ равны как вертикальные, $∠ABE = ∠CDE$ ).

б) $△ AEC ∼ △EF K$ по двум углам ( $∠CAE = ∠KEF$ , $∠ECA = ∠FKE$ ).

в) $△ ABC ∼ △P BK$ по двум углам (угол при вершине $B$ общий, $∠BP K = ∠CAB$ ).

г) $1 AB = BC ⇒ ∠CAB = ∠BCA = 2(180∘ − 36∘) = 72∘$ . $∠CAD = 12∠CAB = 36∘$ .

$△ ABC ∼ △CAD$ по двум углам ( $∘ ∠CAD = ∠ABC = 36$ , $∘ ∠DCA = ∠BCA = 72$ ).

д) $△ ABC ∼ △DBE$ по двум углам ( $∠B$ — общий, $∠CAB = ∠EDB$ ).

е) $△ ACB ∼ △DEB$ по двум углам ( $∠B$ — общий, $∠ACB = ∠BED = 90∘$ ).

ж) $P EM D$ — трапеция $⇒ EM ∥ P D ⇒ ∠EM P = ∠DP M$ . $△ P DO ∼ △M EO$ по двум углам ( $∠P OD = ∠M OE$ как вертикальные, $∠EM O = ∠EM P = ∠DP M = ∠DP O$ ).

з) $△ ABD ∼ △ACB$ по двум углам ( $∠BDA = ∠ABC = 90∘$ , $∠A$ — общий).

$△ BCD ∼ △ACB$ по двум углам ( $∠CDB = ∠ABC = 90∘$ , $∠C$ — общий).

Итого, $△ ABD ∼ △ACB ∼ △BCD$ .

и) $△ N PO ∼ △M EO$ по двум углам ( $∠P ON = ∠M OE$ как вертикальные, $∘ ∠N PO = ∠OEM = 90$ ).

$△ M EO ∼ △M P K$ по двум углам ( $∠OEM = ∠M PK = 90∘$ , $∠M$ — общий).

$△ M P K ∼ △N EK$ по двум углам ( $∘ ∠M PK = ∠KEN = 90$ , $∠K$ — общий).

Итого, $△ N P O ∼ △M EO ∼ △M PK ∼ △N EK$ .

к) $△ ABF ∼ △CBK$ по двум углам ( $∠F AB = ∠BCK$ как противоположные углы в параллелограмме, $∠BF A = ∠CKB = 90∘$ ).

л) $∠M P E = ∠CEP ⇒ M P ∥ AC ⇒ ∠BP M = ∠BCA$ .

$△ BP M ∼ △BCA$ по двум углам ( $∠B$ — общий, $∠BP M = ∠BCA$ ).

$△ BCA ∼ △P CE$ по двум углам ( $∠CAB = ∠CEP$ , $∠C$ — общий).

Итого, $△ BP M ∼ △BCA ∼ △P CE$ .

м) $AP F C$ — параллелограмм $⇒ P F ∥ AC ⇒ ∠BCA = ∠BKP = ∠CKF$ .

$△ P BK ∼ △ABC$ по двум углам ( $∠B$ — общий, $∠BKP = ∠BCA$ ).

$△ ABC ∼ △F CK$ по двум углам ( $∠BCA = ∠CKF$ , $∠CAB = ∠KF C$ как противоположные углы в параллелограмме).

Итого, $△ P BK ∼ △ABC ∼ △F CK$ .

н) $△ P BK ∼ △CBA$ по двум углам ( $∠B$ — общий, $∠P KB = ∠CAB$ ).

$△ CBA ∼ △CEN$ по двум углам ( $∠C$ — общий, $∠CAB = ∠CN E$ ).

$△ CEN ∼ △P EM$ по двум углам ( $∠N EC = ∠M EP$ как вертикальные, $∠CN E = ∠P M E$ ).

Итого, $△ PBK ∼ △CBA ∼ △CEN ∼ △P EM$ .

о) $△ ABC ∼ △BDC$ по двум углам ( $∠C$ — общий, $∠ABC = ∠CDB$ ).

п) $ABCD$ — трапеция $⇒ BC ∥ AD ⇒ ∠DAC = ∠BCA$ . $△ ABC ∼ △DCA$ по двум углам ( $∠BCA = ∠DAC$ , $∠ABC = ∠ACD$ ).

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#16791Максимум баллов за задание: 3

Указать подобные треугольники, доказать их подобие. Условие каждого пункта на соответствующей картинке.

а)

$PIC$

б)

$PIC$

в)

$PIC$

г)

$PIC$

д)

$PIC$

е)

$PIC$

ж)

$PIC$

з)

$PIC$

и)

$PIC$

Показать ответ и решение

Указать подобные треугольники, доказать их подобие. Условие каждого пункта на соответствующей картинке.

а) $△ ABC ∼ △M P K$ по углам ( $∠B = ∠P$ ) и прилегающим к ним сторонам ( $BA : P M = 2 : 1 = BC : P K$ ).

б) Обозначим $AB = BC = a, FN = N E = b$ .

$△ ABC ∼ △F N E$ по углам ( $∠B = ∠N$ ) и прилегающим к ним сторонам ( $BA : N F = a : b = BC : N E$ ).

в) $△ M PE ∼ △F DN$ по трем сторонам ( $M P : F D = P E : DN = EM : NF = 8 : 1$ ).

г) $△ ABC ∼ △ACD$ по трем сторонам ( $AB : AC = BC : CD = CA : DA = 2 : 3$ ).

д) $△ BCA ∼ △DCB$ по общему углу $C$ и прилегающим к нему сторонам ( $BC : DC = AC : BC = 4 : 3$ ).

е) $△ ABD ∼ △CBA$ по общему углу $B$ и прилегающим к нему сторонам ( $AB : CB = BD : BA = 2 : 1$ ).

ж) $△ ABD ∼ △ACB$ по двум углам ( $∠A$ — общий, $∠ABD = ∠BCA$ ).

з) $△ ABD ∼ △BDC$ по трем сторонам ( $AB : BD = BD : DC = DA : CB = 2 : 1$ ).

и) $△ ABC ∼ △P BK$ по общему углу $B$ и прилегающим к нему сторонам ( $AB : BP = CB : BK$ ).

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#16792Максимум баллов за задание: 3

Доказать, что $△ ABC ∼ △A1B1C$ .

а)

$PIC$

б)

$PIC$

в)

$PIC$

Показать ответ и решение

а) $△ ACA1 ∼ △BCB1$ по двум углам ( $∠C$ — общий, $∠CA1A = ∠BB1C = 90∘$ ), следовательно

$AC BC--$ = $CA1 CB-- 1$ ⇒ $AC CA-- 1$ = $BC CB-- 1$

Тогда $△ ABC ∼ △A1B1C$ по углу ( $∠C$ — общий) и прилегающим к нему сторонам ( $AC : CA1 = BC : CB1$ ).

б) $△ ACA1 ∼ △BCB1$ по двум углам ( $∠A1CA = ∠BCB1$ как вертикальные, $∠AA1C = ∠CB1B$ ), следовательно

$AC-- BC$ = $CA1- CB1$ ⇒ $AC-- CA1$ = $-BC- CB1$

Тогда $△ ABC ∼ △A1B1C$ по углу ( $∠ACB = ∠B1CA1$ как вертикальные) и прилегающим к нему сторонам ( $AC : CA1 = BC : CB1$ ).

в) $△ ACA1 ∼ △BCB1$ по двум углам ( $∠C$ — общий, $∠CA1A = ∠BB1C$ ), следовательно

$AC-- BC$ = $CA1- CB1$ ⇒ $AC-- CA1$ = $BC-- CB1$

Тогда $△ ABC ∼ △A1B1C$ по углу ( $∠C$ — общий) и прилегающим к нему сторонам ( $AC : CA1 = BC : CB1$ ).

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#135433Максимум баллов за задание: 3

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение

По условию $∠CAE = ∠KEF,$ а также $∠ACE = 90∘ = ∠EKF.$ А значит, $△ CAE ∼ △KEF$ по двум углам.

Ответ:

$△ CAE ∼ △KEF$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#135436Максимум баллов за задание: 3

Пусть $PEMD$ — трапеция. Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение

Заметим, что $∠EMP = ∠DP M$ как накрест лежащие при параллельных прямых $EM$ и $PD$ и секущей $MP.$

Аналогично, $∠MED = ∠P DE$ как накрест лежащие при параллельных прямых $EM$ и $PD$ и секущей $ED.$

$PIC$

А значит, $△ POD ∼ △MOE$ по двум углам.

Ответ:

$△ POD ∼ △MOE$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#135439Максимум баллов за задание: 3

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение

Заметим, что $∠P KE$ является общим для $△ MP K$ и $△ NEK.$

А также $∠MP K = 90∘ = ∠NEK.$

$PIC$

А значит, $△ MP K ∼ △NEK$ по двум углам.

Ответ:

$△ MP K ∼ △NEK$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#135441Максимум баллов за задание: 3

Пусть $ABCD$ — параллелограмм. Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение

Заметим, что $∠BAF = ∠BCK,$ так как противолежащие углы параллелограмма равны.

А также $∠AF B = 90∘ = ∠CKB.$

$PIC$

А значит, $△ ABF ∼ △CBK$ по двум углам.

Ответ:

$△ ABF ∼ △CBK$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#135445Максимум баллов за задание: 3

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение

Заметим, что $∠MP E$ и $∠P EC$ являются накрест лежащими при прямых $MP$ и $AE$ и секущей $EP.$ Более того, они равны, а значит, $MP ∥AE.$ Следовательно, $∠BMP = ∠BAC$ как соответственные углы при $MP ∥AE$ и секущей $AB.$

А также $∠MBP$ является общим для $△ MBP$ и $△ ABC.$

Значит, $△ MBP ∼ △ABC$ по двум углам.

По условию дано, что $∠BAC = ∠PEC.$ А также $∠PCE$ является общим для $△ PCE$ и $△ BCA.$

Следовательно, $△ ABC ∼ △EP C$ по двум углам.

$PIC$

Таким образом, получаем, что $△ MBP ∼ △ABC ∼ EPC.$

Ответ:

$△ MBP ∼ △ABC ∼ EPC$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#135447Максимум баллов за задание: 3

Пусть $APF C$ — параллелограмм. Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение

Заметим, что $∠BAC = ∠BP K$ и $∠BCA = ∠BKP$ как соответственные при параллельных прямых $AC$ и $P F.$

А значит, $△ ABC ∼ △P BK$ по двум углам.

$PIC$

А также $∠ACK = ∠F KC$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AC$ и $P F$ и секущей $KC.$

В силу того, что $APF C$ — параллелограмм, получаем, что $∠PAC =∠CEP.$

А значит, $△ ABC ∼ △F CK$ по двум углам.

Таким образом, получаем, что $△ PBK ∼△ABC ∼△F CK.$

Ответ:

$△ PBK ∼ △ABC ∼△F CK$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#135451Максимум баллов за задание: 3

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение

По условию $∠BKP = ∠EMP.$ Данные углы являются накрест лежащими при прямых $AB$ и $MN$ и секущей $KM,$ а значит, $AB ∥MN.$

По условию $∠CNE = ∠P ME,$ но данные углы являются накрест лежащими при прямых $KM$ и $AC$ и секущей $MN,$ а значит, $KM ∥ AC.$

Следовательно, $AKMN$ — параллелограмм.

Заметим, что $∠MP C =∠P CN$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $KM$ и $AC$ и секущей $P C.$

А также $∠BP K =∠BCA$ как соответственные при параллельных прямых $KM$ и $AC$ и секущей $BC.$

$PIC$

Таким образом, получаем, что $△ ABC ∼ △KBP ∼ △MEP ∼ △NEC$ по двум углам.

Ответ:

$△ ABC ∼ △KBP ∼△MEP ∼ △NEC$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#135453Максимум баллов за задание: 3

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение

По условию $∠ABC = ∠BDC.$

А также $∠BCD$ является общим для $△ ABC$ и $△ BDC.$

$PIC$

А значит, $△ ABC ∼ △BDC$ по двум углам.

Ответ:

$△ ABC ∼ △BDC$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#135456Максимум баллов за задание: 3

Пусть $ABCD$ — трапеция. Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение

По условию $∠ABC = ∠ACD.$

Так как $ABCD$ — трапеция, то $BC ∥AD.$ Следовательно, $∠BCA = ∠CAD$ как накрест лежащие углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AC.$

$PIC$

А значит, $△ ABC ∼ △DCA$ по двум углам.

Ответ:

$△ ABC ∼ △DCA$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#135459Максимум баллов за задание: 3

Даны треугольники $ABC$ и $MP K.$ Известно, что $AB = 8, BC = 10, MP = 4$ и $PK = 5,$ а также $∠B = ∠P = 35∘.$

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Решение

Заметим, что

AB--= BC- = 2 MP PK 1

А значит, $△ABC ∼ △MP K$ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Ответ:

$△ABC ∼ △MP K$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Имеется верное доказательство утверждения пункта а), и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3

Обоснованно получен верный ответ в пункте б)	2
ИЛИ
имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

Имеется верное доказательство утверждения пункта а),	1
ИЛИ
при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,
ИЛИ
обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#135788Максимум баллов за задание: 3

Даны треугольники $ABC$ и $FNE.$ Известно, что $AB = BC, FN = NE,$ а также $∠B = ∠N = 25∘.$

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что

AB BC FN-= NE-

А значит, $△ABC ∼ △F NE$ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#135791Максимум баллов за задание: 3

Даны треугольники $MP E$ и $F DN.$ Известно, что $ME = 24, MP = 32, PE = 40$ и $FN = 3, FD = 4, DN = 5.$

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что

MP ME P E FD--= F-N-= DN--= 8

А значит, $△MP E ∼ △F DN$ по трем пропорциональным сторонам.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#135792Максимум баллов за задание: 3

Дан четырехугольник $ABCD.$ Известно, что $AB = CD = 12, BC = 8, AC = 18$ и $AD = 27.$

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что

AB BC CA 2 AC- = CD-= DA-= 3

А значит, $△ABC ∼ △ACD$ по трем пропорциональным сторонам.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#135793Максимум баллов за задание: 3

Дан треугольник $ABD$ и проведена чевиана $AC.$ Известно, что $AB =8, BC =4$ и $CD = 12.$

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что $∠ABC$ является общим для $△ABD$ и $△ABC.$

А также

AB- BC- 1 BD = AB = 2

А значит, $△ABD ∼△CBA$ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#135794Максимум баллов за задание: 3

Дан треугольник $ABD$ и проведена чевиана $BC.$ Известно, что $AB = 16, BD =18, BC =12$ и $AC = 24,$ а также $∠ABC = ∠BDC.$

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что $∠A$ является общим для $△ABC$ и $△ADB.$

$PIC$

А также по условию известно, что $∠ABC =∠BDC.$ Следовательно, $△ABD ∼△ACB$ по двум углам.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#135796Максимум баллов за задание: 3

Дан четырехугольник $ABCD.$ Известно, что $AB = 36, BC = 10, CD = 9, AD = 20$ и $BD = 18.$

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что

AB BD DA 2 BD- = DC- = CB-= 1

А значит, $△ABD ∼△BDC$ по трем пропорциональным сторонам.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#135797Максимум баллов за задание: 3

Дан треугольник $ABC,$ на сторонах $AB$ и $BC$ отмечены точки $K$ и $P$ таким образом, что $AB ⋅BK = CB ⋅BP.$

Укажите подобные треугольники, докажите их подобие.

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что $∠B$ является общим для $△ABC$ и $△P BK.$

$PIC$

А также по условию дано

AB- CB-- AB ⋅BK = CB ⋅BP ⇔ BP = BK

Следовательно, $△ABC ∼ △P BK$ по двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Ответ: