Тема 7. Числовые неравенства, координатная прямая

7.04 Неравенства на координатной прямой

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела числовые неравенства, координатная прямая

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31551

На координатной прямой отмечено число $a.$

$01a$

Какое из утверждений для этого числа является верным?

1) $5− a <0$

2) $4− a >0$

3) $a− 6 >0$

4) $a− 5 <0$

Показать ответ и решение

По картинке видно, что $5 <a < 6.$ Проверим каждое из утверждений:

1) $5− a <0 ⇒ 5< a$ — верно

2) $4− a >0 ⇒ 4> a ⇒ 5> a$ — неверно

3) $a− 6 >0 ⇒ a> 6$ — неверно

4) $a− 5 <0 ⇒ a< 5$ — неверно

Таким образом, верным является утверждение 1.

Ответ: 1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#55493

На координатной прямой отмечено число $a.$

$01a$

Какое из утверждений относительно этого числа является верным?

1) $a− 6 >0$

2) $5− a <0$

3) $a− 3 <0$

4) $2− a <0$

Показать ответ и решение

Перепишем каждое из утверждений:

1) a − 6> 0 ⇔ a> 6 2) 5 − a < 0 ⇔ a> 5 3) a − 3< 0 ⇔ a< 3 4) 2 − a < 0 ⇔ a> 2

Так как число $a$ на координатной прямой расположено между числами 3 и 4, то $3< a< 4.$ Тогда среди приведённых утверждений верно только утверждение 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#23437

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b.$

$0ab$

Какое из следующих утверждений является верным?

1) $a+ b> 0$

2) $b(a+ b) <0$

3) $a(a+ b)< 0$

4) $ab> 0$

Показать ответ и решение

Так как $a < 0,$ обозначим его за $a= − t,$ $t >0.$ Из условия видно, что $b >0.$ При этом $a= −t$ больше удален от точки 0, чем $b,$ то есть $|a|> |b|,$ откуда $t >b.$

Перепишем данные в условии выражения, используя $t:$

a +b = −t+ b< 0 b(a +b)= b(b− t)< 0 a(a +b)= (−t)⋅(− t+ b) =− t(b− t)= t(t− b)> 0 ab = −tb< 0

То есть все утверждения, кроме второго, ложны. Второе утверждение верно.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#41468

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b.$

$0ab$

Какое из приведённых утверждений для этих чисел верно?

1) $a+ b< 0$

2) $a− b> 0$

3) $ab< 0$

4) $2 ab > 0$

Показать ответ и решение

По картинке видно, что число $b$ по модулю больше числа $a,$ так как оно находится дальше от 0.

Тогда выражение $a+ b> 0,$ первое утверждение неверно.

Выражение $a− b< 0,$ второе утверждение тоже неверно.

Утверждение 3 верно $ab< 0,$ так как это произведение положительного и отрицательного числа.

Утверждение 4 неверно, так как это произведение положительного и отрицательного числа, оно отрицательно.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#42318

На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y.$

$0yx$

Какое из приведённых утверждений для этих чисел неверно?

1) $x+ y < 0$

2) $xy2 > 0$

3) $x− y > 0$

4) $2 x y < 0$

Показать ответ и решение

1) Число $x$ расположено дальше от 0, чем число $y,$ значит, $|x|> |y|.$ Тогда $x +y = |x|− |y|> 0.$ То есть утверждение 1 неверно.

Проверим остальные варианты.

2) $2 x >0,y > 0,$ значит, $2 xy > 0.$ Верное утверждение.

3) $x− y = x− (− |y|)= x+ |y|> 0.$ Верное утверждение.

4) $2 x > 0,y < 0,$ то есть $2 xy < 0.$ Верное утверждение.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#43923

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b.$

$ab0$

Какое из приведённых утверждений для этих чисел неверно?

1) $a+ b> 0$

2) $a− b< 0$

3) $ab2 < 0$

4) $ab> 0$

Показать ответ и решение

1. Так как $a < 0, b> 0$ и $|a|<|b|,$ то $a+ b> 0,$ поэтому это утверждение верно.

2. Так как $a <0$ и $b> 0,$ то $a − b < 0,$ поэтому это утверждение верно.

3. Так как $2 b > 0,$ а $a< 0,$ то $2 ab <0,$ поэтому это утверждение верно.

4. Так как $a< 0,$ $b > 0,$ то $ab< 0.$ Значит, это утверждение неверно.

Ответ: 4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#21150

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b.$ В ответе укажите номер правильного варианта.

$01ab$

Какое из следующих утверждений относительно этих чисел является верным?

1) $a3 > 0$

2) $a− b> 0$

3) $ab< 1$

4) $a+ b> 1$

Показать ответ и решение

1) По картинке видно, что $3 a < 0 ⇒ a < 0.$ Значит, первое утверждение ложно.

2) По картинке видно, что $a< 0$ и $b> 0 ⇒ −b< 0.$ Тогда

( { a< 0 ⇒ a − b < 0+ 0 ⇒ a− b< 0 ( −b< 0

Значит, второе утверждение ложно.

3) По картинке видно, что $a< 0$ и $0< b< 1.$ Тогда

({ a< 0 ⇒ ab <0 ⇒ ab< 1 ( 0< b

Значит, третье утверждение истинно.

4) По картинке видно, что $a< 0$ и $b< 1.$ Тогда

( {a < 0 ( ⇒ a+ b< 0+ 1 ⇒ a+ b< 1 b <1

Значит, четвертое утверждение ложно.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#23439

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b.$

$−01ba1$

Из следующих неравенств выберите верное:

1) $a< b$

2) $1 1 a < b$

3) $(a− 1)2 < (b− 1)2$

4) $(a+ 1)2 < (b+ 1)2$

Показать ответ и решение

1) Так как $a> 0,$ а $b < 0,$ то $a> 0 > b,$ то есть $a> b.$

2) Так как $a >0,$ то $1a > 0.$ Так как $b< 0,$ то $1b < 0.$ Отсюда

1 1 1 1 a >0 > b ⇒ a > b

3) Так как $0 <a < 1,$ то

−1< a − 1 < 0 ⇒ |a− 1|< 1 ⇒ (a− 1)2 < 1

При этом $− 1 < b< 0,$ то есть

−2 < b− 1< −1 ⇒ |b− 1|>1 ⇒ 2 2 2 2 ⇒ (b− 1) > 1> (a − 1) ⇒ (b− 1) >(a− 1)

4) Так как $0 <a < 1,$ то

1 <a + 1< 2 ⇒ |a + 1|> 1 ⇒ (a+ 1)2 > 1

При этом $− 1 < b< 0,$ то есть

0 < b+ 1< 1 ⇒ |b +1|< 1 ⇒ 2 2 2 2 ⇒ (b+ 1) < 1< (a + 1) ⇒ (b+ 1) <(a+ 1)

Тогда все утверждения, кроме третьего, неверны. Утверждение 3 — верное.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#31574

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b.$

$−01ab 1$

Какое из следующих утверждений неверно?

1) $a+ b< 0$

2) $2 a b< 0$

3) $− 2 <b − 1 < −1$

4) $− a < 0$

Показать ответ и решение

По картинке видно, что $− 3 < a< −2$ и $− 1< b< 0.$ Рассмотрим каждое из утверждений:

1) $a+ b< 0.$ Сложим неравенства $a< − 2$ и $b< 0:$

a + b< (− 2)+(0)< −2 < 0

Значит, первое утверждение верно.

2) $a2b< 0.$ По условию $a <0$ и $b< 0,$ значит, $a2 >0,$ а $a2b< 0.$ Значит, второе утверждение верно.

3) По условию $− 1 < b< 0.$ Вычтем из каждой части по 1:

−2 < b− 1< −1

Значит, третье утверждение верно.

4) $− a < 0 ⇒ a> 0.$ Но по условию $a< −2.$ Значит, четвертое утверждение неверно.

Таким образом, неверным является утверждение 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#46315

На координатной прямой отмечены числа $x,$ $y$ и $z.$

$xzy$

Какая из разностей $x − y, y− z, z − x$ положительна?

1) $x− y$

2) $y− z$

3) $z− x$

4) ни одна из них

В ответ запишите номер выбранного варианта.

Показать ответ и решение

По картинке видно, что $z <x < y.$

Значит, $z− x< 0$ и $x − y < 0,$ а $y − z > 0.$

Таким образом, ответ 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#54121

На координатной прямой отмечены числа $x,$ $y$ и $z.$

$zxy$

Какая из разностей $y − z,$ $y− x,$ $x− z$ отрицательна?

1) $y− z$

2) $y− x$

3) $x− z$

4) ни одна из них

Показать ответ и решение

Число $x$ на координатной прямой расположено правее точки $z,$ то есть $x> z.$ Аналогично $y > z$ и $y > x.$ Тогда

x− z > 0 y− x> 0 y− z > 0

Значит, все разности положительны, и ответ 4.

Ответ: 4

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#23438

На координатной прямой отмечены числа $a$ и $b.$

$0ab$

Какое из следующих утверждений об этих числах верно?

1) $a< b$ и $|a|< |b|$

2) $a> b$ и $|a|> |b|$

3) $a< b$ и $|a|> |b|$

4) $a> b$ и $|a|< |b|$

Показать ответ и решение

Так как $a < 0,$ а $b >0,$ то $a< 0 <b,$ то есть $a< b.$

Так как точка $a$ меньше удалена от точки 0, чем $b,$ то $|a|< |b|.$

Отсюда получаем, что верно утверждение 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#31552

На координатной прямой отмечены числа $x$ и $y.$

$0xy$

Какое из следующих утверждений верно?

1) $x <y$ и $|x|< |y|$

2) $x <y$ и $|x|> |y|$

3) $x >y$ и $|x|> |y|$

4) $x >y$ и $|x|< |y|$

Показать ответ и решение

По картинке видно, что $x < y.$ Также $x$ расположен ближе к 0, чем $y,$ значит, $|x|< |y|.$

Таким образом, верным утверждением является утверждение 1.

Ответ: 1

Предыдущий раздел

Следующий раздел