Тема №9. Уравнения

03 Квадратные уравнения

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №9. уравнения

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#42844Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $x2− 9= 3x+ 1.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать ответ и решение

x2− 9= 3x +1 2 x − 3x− 10= 0

Способ 1.

Найдем дискриминант полученного квадратного уравнения:

2 D = (− 3) − 4 ⋅1 ⋅(− 10) = 9+ 40 = 49

Тогда $√D--= 7.$

Можем найти корни этого уравнения:

√-- x1,2 = −-(−3)±-D-= 3-±7 2⋅1 2

Таким образом,

[ x1 =5 x2 =− 2

Способ 2.

Найдем корни по теореме Виета:

$pict$

Так как требуется записать меньший из корней, то ответ $− 2.$

Ответ: -2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#31257Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $1 2 5 7x − x+ 17 = 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

$pict$

Найдем дискриминант уравнения:

D =72 − 4 ⋅12 = 1 ⇒ √D-= 1.

Тогда, так как $D >0,$ корни уравнения равны

⌊ |x = 7+-1 ⌊ x= 4 |⌈ 2 ⇔ ⌈ x = 7−-1 x= 3 2

Тогда меньший корень равен 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#38037Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $− x2+ 3x+ 18= 0$ через формулу нахождения корней квадратного уравнения.

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

2 −x +3x +18 =0

Найдем дискриминант:

D = 32 − 4 ⋅18 ⋅(− 1)= 9+ 4⋅2⋅9= 2 = 9⋅(1+ 8) =9 ⋅9= 9

Отсюда имеем

− 3± 9 x= --−2--

В условии требуется найти больший корень, поэтому в ответ запишем

x = −3−-9-= −12-=6 − 2 − 2

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#38038Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $5x2− 8x + 3= 0$ через формулу нахождения корней квадратного уравнения.

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

2 5x − 8x + 3= 0

Найдем дискриминант:

D = (−8)2− 4⋅3⋅5 = 2 = 64− 60 = 4= 2

Отсюда имеем

8± 2 x = 5-⋅2-

В условии требуется найти меньший корень, поэтому в ответ запишем

x= 8-− 2 = 6 =0,6 5⋅2 10

Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#38039Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $14x2 +5x − 1 = 0$ через формулу нахождения корней квадратного уравнения.

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

2 14x + 5x− 1= 0

Тогда

D = 52− 4⋅(−1)⋅14= 2 = 25+ 56= 81= 9

Отсюда имеем

− 5± 9 x= -2⋅14-

В ответе нужно указать меньший корень, то есть

x= −-5−-9= − -14-= −0,5 2⋅14 2⋅14

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#38042Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $x2− 26x + 105 =0$ с помощью теоремы Виета.

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

2 x − 26x+ 105 = 0

По теореме Виета:

$pict$

В ответе нужно указать меньший из корней, то есть 5.

Ответ: 5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#38043Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $x2+ 35x − 114 =0$ с помощью теоремы Виета.

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

2 x + 35x− 114 = 0

По теореме Виета:

$pict$

В ответе нужно указать больший из корней, то есть 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#22823Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $(x +20)(−x+ 10)= 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Показать ответ и решение

(x+ 20)(−x +10)= 0

Левая часть уравнения обращается в ноль при $x + 20= 0$ или при $− x+ 10= 0,$ то есть

$pict$

Получили два корня, при этом больший из корней равен 10.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#38029Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $(x − 1)(x+ 3)= 0.$

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

$pict$

В условии требуют найти меньший из корней, поэтому в ответ запишем $− 3.$

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#41470Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $(− x− 4)(3x+ 3)= 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите больший из корней.

Показать ответ и решение

$pict$

Уравнение имеет два корня, в ответе надо указать больший, то есть $x = −1.$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 31#61032Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $(x − 6)(−5x− 9)= 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать ответ и решение

$pict$

Заметим, что $6> −1,8,$ значит, $x =− 1,8.$

Ответ: -1,8

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 32#38032Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $x2+ 2x − 3= 0$ с помощью выделения полного квадрата.

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

x2+ 2x− 3= 0 2 x + 2x + 1− 4= 0 (x+ 1)2 − 4 = 0 (x +1)2− 22 = 0 (x+ 1− 2)(x + 1+ 2) =0 (x−[1)(x + 3) =0 x− 1= 0 x+ 3= 0 [ x= 1 x= −3

В условии требуется найти больший корень, поэтому ответ — 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 33#38034Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $x2− 4x + 3= 0,$ разложив его левую часть на множители.

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

x2− 4x+ 3= 0 2 x − x − 3x+ 3= 0 x(x− 1)− 3(x− 1)= 0 (x− 1)(x − 3) =0 [x− 1= 0 x− 3= 0 [x = 1 x = 3

В условии требуется записать меньший из корней, поэтому ответ — 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 34#38035Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $x2+ 6x + 8= 0,$ разложив его левую часть на множители.

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

x2+ 6x+ 8= 0 2 x + 2x+ 4x+ 8= 0 x(x+ 2)+ 4(x+ 2)= 0 (x+ 2)(x + 4) =0 [x+ 2= 0 x+ 4= 0 [x= −2 x= −4

В условии требуется записать больший из корней, поэтому в ответ запишем $− 2.$

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 35#38040Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $(3x − 1)(x+ 3)+1 = x(1 +6x).$

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

(3x− 1)(x+ 3)+ 1= x(1+ 6x) 2 2 3x + 9x− x− 3+ 1 =x + 6x 6x2 − 3x2+ x − 9x +x + 3− 1= 0 3x2− 7x + 2= 0 2 2 D = 7 − 4 ⋅2 ⋅3= 49− 24= 25= 5

Отсюда имеем

7+ 5 12 7− 5 2 1 x= -2⋅3 = 6-= 2 или x= -2⋅3 = 6 = 3

В условии требуется найти больший из корней, поэтому в ответ запишем 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 36#31253Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $2 x − 25 = 0.$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Преобразуем уравнение:

$pict$

Тогда наименьший корень равен $− 5.$

Ответ: -5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 37#38024Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $x2− 9= 0.$

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите больший из них.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

x2− 9= 0 (x−[3)(x + 3) =0 x− 3= 0 x+ 3= 0 [ x= 3 x= −3

Нам нужно указать больший корень, поэтому ответ 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 38#38025Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $2x2− 128 =0.$

Если оно имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

2x2− 128 = 0 ( 2 ) 2 x − 64 = 0 2 (x −[ 8)(x+ 8)= 0 x− 8= 0 x+ 8= 0 [ x= 8 x= −8

По условию нужно найти меньший корень, поэтому в ответ запишем $− 8.$

Ответ: -8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 39#45329Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $1x2− 36= 0. 4$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать ответ и решение

Воспользуемся формулой разности квадратов

1 2 4x − 36 =0 ( 1 ) (1 ) 2x− 6 2x +6 = 0 ⌊ 12x − 6 = 0 [x = 12 ⌈1 ⇔ x = −12 2x +6 = 0

Требуется найти меньший корень, тогда ответ $− 12.$

Ответ: -12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 40#55273Максимум баллов за задание: 1

Решите уравнение $2x2− 1 7-= 0. 25$

Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Показать ответ и решение

2 7- 2x − 1 25 = 0 2 32 2x − 25 =0 16 x2 − 25 = 0 ( ) ( ) x− 4 x+ 4 = 0 5 5 ⌊ 4 |⌈x = 5 x = − 4 5

Тогда меньший корень равен $− 4= −0,8. 5$

Ответ: -0,8