Тема №14. Прогрессии

02 Арифметическая прогрессия

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №14. прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 21#24356Максимум баллов за задание: 1

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующей день на 5 минут. В какой по счёту день продолжительность процедуры достигнет 1 часа?

Показать ответ и решение

В этой задаче мы имеем дело с арифметической прогрессией, $1$ час равен $60$ минутам.

a = 15, d= 5, a = 60 1 n

Запишем формулу для $an$ :

an = a1 +(n − 1)⋅d 60= 15+ 5(n− 1) 45= 5(n− 1) 9= n− 1 n= 10

Ответ: 10

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 22#42137Максимум баллов за задание: 1

Курс воздушных ванн начинают с 10 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 5 минут. В какой по счёту день продолжительность процедуры достигнет 1 часа 5 минут?

Показать ответ и решение

Первый способ

Время процедуры в каждый следующий день увеличивают на 5 минут. Тогда мы получаем арифметическую прогрессию, где $a1 =10, d= 5.$

Пусть $n$ — день, в который продолжительность процедуры достигнет 1 часа 5 минут, то есть 65 минут. Тогда $an = 65.$

Воспользуемся формулой $n$ члена арифметической прогрессии

an = a1+ d(n− 1) 65= 10+ 5(n− 1) 55= 5n− 5 60= 5n n= 12

Таким образом, ответ 12.

Второй способ

Посчитаем, сколько раз мы прибавили 5 минут к 10 минутам, чтобы получить 65 минут

65− 10= 55 55 -5 = 11

То есть мы увеличивали время на 5 минут 11 раз. В первый день процедура длилась 10 минут, а затем мы 11 раз увеличивали время на 5 минут. Тогда ответ $11+ 1 =12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 23#24358Максимум баллов за задание: 1

В течение 20 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 9-й день акция стоила 555 рублей, а в 13-й день — 631 рубль?

Показать ответ и решение

В этой задаче мы имеем дело с арифметической прогрессией. Запишем известные нам данные:

a9 = 555,a13 = 631

Запишем формулу для $a13$ через $a9$ :

a = a + (13− 9)⋅d ⇔ 631 = 555 + 4d ⇔ 76 = 4d ⇔ d = 19 13 9

Нам нужно найти $a20$ , запишем его через $a13$ :

a = a +(20 − 13) ⋅19 = 631+ 7⋅19 = 764 20 13

Ответ: 764

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 24#43931Максимум баллов за задание: 1

В течение 20 банковских дней акции компании дорожали ежедневно на одну и ту же сумму. Сколько стоила акция компании в последний день этого периода, если в 9-й день акция стоила 999 рублей, а в 13-й день — 1063 рубля?

Показать ответ и решение

Так как акции компании дорожали на одну и ту же сумму, то стоимости акций образуют арифметическую прогрессию.

Обозначим за $ak$ стоимость акции в $k$ -ый день, за $d$ — разность арифметической прогрессии. В 9-ый день акция стоила 999 рублей, в 13-ый — 1063 рубля, поэтому $a9 = 999, a13 = 1063.$

Воспользуемся формулой $n$ -го члена арифметической прогрессии:

a9 =a1+ 8d a13 =a1 +12d ⇒ ⇒ a13− a9 = a1+ 12d− a1− 8d= 4d ⇒ a13− a9 1063 − 999 64 ⇒ d = --4----= ---4-----= 4-= 16

Найдём стоимость акции в 20-ый день:

a20 = a1+ 19d= a9+ 11d = 999 + 11 ⋅16 = 1175

Ответ: 1175

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 25#28204Максимум баллов за задание: 1

К концу 2007 года в городе проживало 42900 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2018 года в городе проживало 51810 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2015 года?

Показать ответ и решение

За 11 лет численность города увеличилась на $51810 − 42900= 8910$ человек. Значит, за год численность увеличивалась на $8910 :11= 810$ человек. Тогда в конце 2015 года в городе проживало

42900+ 810 ⋅(2015− 2007) =42900+ 810⋅8= 49380 человек

Ответ: 49380

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 26#54952Максимум баллов за задание: 1

К концу 2009 года в городе проживало 53100 человек. Каждый год число жителей города возрастало на одну и ту же величину. В конце 2018 года в городе проживало 60390 человек. Какова была численность населения этого города к концу 2015 года?

Показать ответ и решение

Так как число жителей города возрастало на одну и ту же величину, то количество жителей в каждый год образуют арифметическую прогрессию с разностью $d.$ Пусть $a1$ — число жителей к концу 2009 года. По условию $a1 = 53100.$ К концу 2018 года численность населения стала 60390 человек, то есть $a10 = 60390.$ Нужно найти количество жителей к концу 2015 года, то есть $a7.$

По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a10 =a1 +(n− 1)d a10 = a1+ 9d 53100+ 9d= 60390 9d =7290 d =810

Найдём $a : 7$

a7 = a1+ 6d= 53100 + 6⋅810 = 53100+ 4860= 57960

Ответ: 57960

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 27#43691Максимум баллов за задание: 1

Грузовик перевозит партию щебня массой 221 тонна, ежедневно увеличивая норму перевозки на одно и то же число тонн. Известно, что за первый день было перевезено 5 тонн щебня. Определите, сколько тонн щебня было перевезено в последний день, если вся работа была выполнена за 13 дней.

Показать ответ и решение

По условию массы, перевезенные грузовиком за 13 дней, образуют арифметическую прогрессию с первым членом $a1 =5.$ При этом в прогрессии ровно 13 членов, а их сумма равна $S13 = 221.$

Мы знаем, что сумму первых $n$ членов арифметической прогрессии можно найти по формуле

Sn = a1+-an⋅n, 2

где $an$ — $n- ы й$ член последовательности.

Нам нужно найти $a13,$ при этом мы знаем $a1$ и $S13.$ Составим уравнение.

a1+ a13 S13 =---2---⋅13 2⋅221= (5 + a13)⋅13 2 ⋅17⋅13= (5 + a13)⋅13 2 ⋅17 = 5+ a13 a13 = 34− 5 a13 = 29

Значит, в последний день грузовик перевез 29 тонн щебня.

Ответ: 29

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 28#45335Максимум баллов за задание: 1

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на $4,3∘C$ в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 6 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла $∘ +9,8 C.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2022 г. Вариант 29

Показать ответ и решение

Пусть $a ∘n C$ — температура реагента в $n$ -ую минуту. Тогда в момент начала эксперимента знаем, что $a1 = 9,8.$ Температура уменьшается равномерно на одно и то же количество градусов, значит, мы имеем арифметическую прогрессию с разностью $d =− 4,3.$

Нам нужно посчитать $a7,$ воспользуемся формулой для арифметической прогрессии

a7 = a1+(7− 1)⋅d= =9,8+ 6⋅(−4,3)= = 9,8− 25,8= − 16.

Ответ: -16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 29#45459Максимум баллов за задание: 1

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на $7,5∘C$ в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 6 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла $∘ − 8,7 C.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 33

Показать ответ и решение

Обозначим за $ak$ температуру реагента в $k$ -ую минуту. Так как реагент охлаждается равномерно, то числа $ak$ образуют арифметическую прогрессию. По условию начальная температура составляла $− 8,7∘C,$ то есть $a1 = −8,7∘C.$

Найдем температуру спустя 6 минут после начала опыта, то есть $a7 :$

a7 = −8,7+ 6⋅(−7,5)= − 8,7− 3⋅15 =− 53,7.

Ответ: -53,7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 30#46983Максимум баллов за задание: 1

При проведении химического опыта реагент равномерно охлаждали на $5,6∘C$ в минуту. Найдите температуру реагента (в градусах Цельсия) спустя 5 минут после начала проведения опыта, если начальная температура составляла $∘ +6,2 C.$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 34

Показать ответ и решение

Так как реагент охлаждался равномерно, то значения температуры реагента в каждую минуту образуют арифметическую прогрессию с разностью $d = −5,6.$ Так как начальная температура равна $+6,2∘C,$ то $a1 = 6,2.$ Необходимо найти температуру спустся 5 минут, то есть $a6.$ По формуле $n$ -го члена арифметической прогрессии

a6 = a1+ 5d= 6,2− 5⋅5,6= − 21,8.

Ответ: -21,8