Тема 14. Задачи на прогрессии

14.04 Различные последовательности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на прогрессии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#37286

В 12:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 22:00 того же дня часы отставали на полчаса. На сколько минут отставали часы спустя 15 часов после того, как они сломались?

Показать ответ и решение

За 10 часов часы отставали на 30 минут. Пусть $x$ — число минут, на которое часы отставали в первый час, тогда $2x$ — число минут, на которое часы отставали во второй час, следовательно, $10x$ — число минут, на которое часы отставали в десятый час. Следовательно, $10x =30$ , откуда $x= 3$ (мин). Следовательно, спустя 15 часов после того, как часы сломались, они отставали на $15x= 45$ минут.

Ответ: 45

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#44004

В 8:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 23:00 того же дня часы отставали на 15 минут. На сколько минут отставали часы спустя 36 часов после того, как они сломались?

Показать ответ и решение

С 8:00 до 23:00 прошло 15 часов. За это время часы отстали на 15 минут. По условию за каждый час они отставали на одно и то же количество часов. Следовательно, часы за каждый час отставали на 1 минуту. Тогда через 36 часов они отстанут на 36 минут.

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#46322

В 11:00 часы сломались и за каждый следующий час отставали на одно и то же количество минут по сравнению с предыдущим часом. В 21:00 того же дня часы отставали на двадцать минут. На сколько минут отставали часы спустя 24 часа, после того, как они сломались?

Показать ответ и решение

С 11:00 до 21:00 прошло 10 часов. За это время часы отстали на 20 минут. По условию за каждый час они отставали на одно и то же количество часов. Следовательно, каждый час часы отставали на 2 минуты. Тогда через 24 часа они отстанут на $24 ⋅2 = 48$ минут.

Ответ: 48

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#42495

На клетчатой бумаге с размером клетки $1 ×1$ нарисована «змейка», представляющая из себя ломаную, состоящую из чётного числа звеньев, идущих по линиям сетки. На рисунке изображён случай, когда последнее звено имеет длину 10. Найдите длину ломаной, построенной аналогичным образом, последнее звено которой имеет длину 190.

Показать ответ и решение

Два первых внутренних звена имеют длину 1, следующие 2 — длину 2, следующие 2 — длину 3 и так далее, последние два звена имеют длину 10.

Значит, нас просят найти следующую сумму:

1 + 1+ 2+ 2+ ...+ 190+ 190= 2⋅(1+ 2+ ...+ 190)

Заметим, что искомая сумма — это удвоенная сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии с разностью равной $d =1,$ первым членом $a1 = 1,$ последним членом $an = 190.$

Таким образом:

2Sn = 2⋅ a1+-an ⋅n= (1+ 190)⋅190= 2 = (200 − 9)(200− 10) =40000− 19⋅200+ 90= 36290

Ответ: 36290

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#43998

Показать ответ и решение

Значит, нас просят найти следующую сумму:

1 + 1+ 2+ 2+ ...+ 170+ 170= 2⋅(1+ 2+ ...+ 170)

Заметим, что искомая сумма — это удвоенная сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии с разностью равной $d =1,$ первым членом $a1 = 1,$ последним членом $an = 170.$

Таким образом:

2Sn = 2⋅ a1+-an ⋅n= (1+ 170)⋅170= 171⋅170= 29070 2

Ответ: 29070

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#24360

Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день 10 капель, а в каждый следующий день на 10 капель больше, чем в предыдущий, до тех пор, пока дневная доза не достигнет 60 капель. Такую дневную дозу (60 капель) больной ежедневно принимает пять дней, а затем уменьшает приём на 10 капель в день до последнего дня, когда больной принимает последние десять капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить на весь курс, если в каждом пузырьке 5 мл лекарства, то есть 130 капель?

Показать ответ и решение

Выпишем в виде арифметической прогрессии первые несколько дней, пока дневная доза не достигнет 60 капель:

10, 20, 30, 40, 50

Получаем 5 членов арифметической прогрессии с разностью 10, их сумму можно найти по формуле:

10+ 50 S5 =---2-- ⋅5 = 150

Следующие 5 дней больной пьет 60 капель в день, то есть

A5 = 60⋅5 = 300

Следующие дни также можно записать в виде арифметической прогрессии. Запишем дневную дозу за дни, когда эта доза уменьшается:

50, 40, 30, 20, 10

Получаем 5 членов арифметической прогрессии, их сумму можно найти по формуле:

50+ 10 P5 =---2-- ⋅5 = 150

Тогда суммарно потребуется $150+ 300+ 150 = 600$ капель.

В каждом пузырьке 130 капель,

600= 4+ -80 130 130

Значит, больному потребуется 5 пузырьков.

Ответ: 5

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#38710

Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день 10 капель, a в каждый следующий день — на 10 капель больше, чем в предыдущий, до тех пор, пока дневная доза не достигнет 80 капель. Такую дневную дозу (80 капель) больной ежедневно принимает три дня, а затем уменьшает приём на 10 капель в день до последнего дня, когда больной принимает последние десять капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить на весь курс, если в каждом пузырьке 5 мл лекарства, то есть 150 капель?

Показать ответ и решение

В задаче нужно применить формулу арифметической прогрессии. По условию $a1 = 10,an = 80,d= 10.$ Найдем сначала, на какой день доза капель станет 80 капель

an = a1 +(n − 1)⋅d 80= 10+ (n− 1)⋅10 70= 10n− 10 80= 10n n =8

Посчитаем теперь, сколько всего капель понадобится больному. Заметим, что это удвоенная сумма арифметической прогрессии и 80: сначала увеличиваем дозу с 10 до 80 капель, один день просто принимаем 80 капель, потом уменьшаем дозу с 80 до 10.

Таким образом

a1+-an S = 2 ⋅n ⋅2 +80 10+ 80 S = --2---⋅8⋅2 +80 S = 720+ 80= 800

Посчитаем количество необходимых пузырьков

800 = 5 50-= 51 150 150 3

То есть понадобится 6 пузырьков.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#43984

Врач прописал больному капли по следующей схеме: в первый день 5 капель, а в каждый следующий день на 5 капель больше, чем в предыдущий, до тех пор, пока дневная доза не достигнет 40 капель. Такую дневную дозу (40 капель) больной ежедневно принимает пять дней, а затем уменьшает прием на 5 капель в день до последнего дня, когда больной принимает последние десять капель. Сколько пузырьков лекарства нужно купить на весь курс, если в каждом пузырьке 10 мл лекарства, то есть 200 капель?

Показать ответ и решение

Выпишем в виде арифметической прогрессии первые несколько дней, пока дневная доза не достигнет 40 капель: