Тема №16. Окружности

02 Центральные и вписанные углы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №16. окружности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#101777Максимум баллов за задание: 1

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB.$ Найдите угол $ACB,$ если угол $AOB$ равен $33∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Заметим, что угол $ACB,$ как вписанный, в два раза меньше центрального угла $AOB,$ ведь они оба опираются на одну и ту же дугу — $AB.$ Таким, образом

∠AOB-- 33 ∠ACB = 2 = 2 = 16,5.

Ответ: 16,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116397Максимум баллов за задание: 1

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$ . Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$ . Найдите угол $ACB$ , если угол $AOB$ равен $67∘$ . Ответ дайте в градусах.

$ABCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $ACB$ — вписанный, так как его вершина $C$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $AB.$

Угол $AOB$ — центральный, так как его вершина $O$ — центр окружности. Он опирается на ту же дугу $AB.$

$∘ ABCO6?7$

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. Углы $ACB$ и $AOB$ опираются на дугу $AB,$ значит,

∠ACB = 1∠AOB = 1⋅67∘ = 33,5∘. 2 2

Ответ: 33,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#122169Максимум баллов за задание: 1

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O$ . Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB$ . Найдите угол $ACB$ , если угол $AOB$ равен $59∘$ . Ответ дайте в градусах.

$ABCO$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $ACB$ — вписанный, так как его вершина $C$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $AB.$

Угол $AOB$ — центральный, так как его вершина $O$ — центр окружности. Он опирается на ту же дугу $AB.$

$ABCO5?9∘$

∠ACB = 1∠AOB = 1⋅59∘ = 29,5∘. 2 2

Ответ: 29,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#106649Максимум баллов за задание: 1

Дана окружность с центром $O$ и диаметрами $AC$ и $BD.$ Угол $ACB$ равен $38∘.$ Найдите угол $AOD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $∠ACB$ — вписанный, то центральный угол $AOB,$ который опирается на ту же дугу, в два раза больше:

∘ ∘ ∠AOB = 2⋅38 = 76.

Так как $BD$ — диаметр, то угол $BOD$ — развернутый и равен $180∘,$ следовательно,

∘ ∘ ∠AOD = 180 − ∠AOB =104 .

Ответ: 104

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#116398Максимум баллов за задание: 1

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$ . Угол $ACB$ равен $59∘$ . Найдите угол $AOD$ . Ответ дайте в градусах.

$AOBCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$AOBCD?59∘$

Рассмотрим треугольник $BOC.$ В нем $BO = OC$ как радиусы окружности. Значит, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC.$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, в треугольнике $BOC$

∘ ∠OBC = ∠OCB =59 .

В треугольнике сумма углов равна $180∘,$ значит,

∘ ∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180

Воспользуемся равенством $∠OBC = ∠OCB = 59∘$ и выразим $∠BOC :$

∠BOC = 180∘ − ∠OBC − ∠OCB = = 180∘− 59∘ − 59∘ = 62∘.

Углы $AOD$ и $BOC$ равны как вертикальные:

∠AOD = ∠BOC =62∘.

Ответ: 62

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#120715Максимум баллов за задание: 1

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $ACB$ равен $74∘.$ Найдите угол $AOD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$BO =OC$ как радиусы. Значит, треугольник $BOC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠OBC = ∠OCB = 74∘.$

$PIC$

$∠AOD = ∠BOC$ как вертикальные. Найдём $∠BOC$ по теореме о сумме углов треугольника:

∘ ∠AOD = ∠BOC ∘= 180∘ − ∠O∘BC −∘ ∠BCO = = 180 − 74 − 74 = 32 .

Ответ: 32

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#123678Максимум баллов за задание: 1

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром в точке $O$ . Угол $ACB$ равен $78∘$ . Найдите угол $AOD$ . Ответ дайте в градусах.

$AOBCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$AOBCD?78∘$

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, в треугольнике $BOC$

∠OBC = ∠OCB =78∘.

В треугольнике сумма углов равна $180∘,$ значит,

∠BOC + ∠OBC + ∠OCB = 180∘

Воспользуемся равенством $∠OBC = ∠OCB = 78∘$ и выразим $∠BOC :$

∠BOC = 180∘ − ∠OBC − ∠OCB = = 180∘− 78∘ − 78∘ = 24∘.

Углы $AOD$ и $BOC$ равны как вертикальные:

∠AOD = ∠BOC =24∘.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#37451Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $37∘,$ угол $CAD$ равен $58∘.$ Найдите угол $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как четырехугольник $ABCD$ вписанный, то $∠CAD =∠CBD = 58∘$ . Следовательно,

∠ABC = 37∘+ 58∘ = 95∘

$PIC$

Ответ: 95

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#116401Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $78∘$ , угол $CAD$ равен $40∘$ . Найдите угол $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD.$

Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD.$

$∘∘∘ ABCD447008$

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Углы $CAD$ и $CBD$ равны, так как опираются на одну дугу $CD.$ Поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = = ∠ABD + ∠CAD = 78∘+ 40∘ = 118∘.

Ответ: 118

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#123720Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $38∘$ , угол $CAD$ равен $54∘$ . Найдите угол $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD.$

Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD.$

$∘∘∘ ABCD553448$

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = = ∠ABD + ∠CAD =38∘+ 54∘ = 92∘.

Ответ: 92

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#38719Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $132∘$ , угол $CAD$ равен $80∘$ . Найдите угол $ABD$ . Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD.$

Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD.$

$∘∘ ABCD88?00$

∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = = ∠ABC − ∠CAD = 132∘− 80∘ =52∘.

Ответ: 52

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#44276Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38∘$ , угол $CAD$ равен $33∘$ . Найдите угол $ABD$ . Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Угол $CAD$ — вписанный, так как его вершина $A$ лежит на окружности. Он опирается на дугу $CD.$

Угол $CBD$ — вписанный, так как его вершина $B$ лежит на окружности. Он опирается на ту же дугу $CD.$

$∘∘ ABCD33?33$

∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = = ∠ABC − ∠CAD = 38∘− 33∘ =5∘.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#47085Максимум баллов за задание: 1

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$ . Известно, что $∠NBA = 68∘$ . Найдите угол $NMB$ . Ответ дайте в градусах.

$ABNM$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведем отрезок $AN.$

$ABNM6?8∘$

Вписанный угол, опирающийся на диаметр, равен $90∘.$ Угол $ANB$ вписанный и опирается на диаметр $AB,$ следовательно, $∠ANB = 90∘ ⇒ ΔANB$ — прямоугольный.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90∘.$ Известно, что угол $NBA$ равен $∘ 68 ,$ а в сумме два острых угла дают $∘ 90 .$ Значит, угол $NAB$ равен

∠NAB =90∘− ∠NBA = 90∘− 68∘ = 22∘.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны. Заметим, что $∠NMB = ∠NAB$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $NB.$ Тогда

∠NMB = ∠NAB = 22∘.

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1990Максимум баллов за задание: 1

Точки $A$ и $C$ разбивают окружность на две дуги, одна из которых равна $280∘$ и на которой отмечена точка $B.$ Найдите угол $BAC,$ если $AB = AC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$A⌣BC= 280∘,$ следовательно, меньшая дуга

⌣ AC= 360∘− 280∘ = 80∘

Т.к. угол $ABC$ опирается на эту дугу и является вписанным, то он равен ее половине, то есть $∘ 40 .$

Заметим, что треугольник $ABC$ — равнобедренный, следовательно,

∠BAC = 180∘− 2 ⋅40∘ = 100∘

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#26588Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A,$ $B$ и $C.$ Известно, что $∠ABC = 103∘$ и $∠OAB = 24∘.$ Найдите угол $BCO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $OA$ , $OB$ и $OC$ — радиусы, т.е. $OA = OB = OC$ и треугольник $AOB$ — равнобедренный. Тогда

∘ ∠OBA = ∠OAB = 24

Тогда

∘ ∘ ∘ ∠OBC = ∠ABC − ∠ABO = 103 − 24 = 79

Треугольник $OBC$ — равнобедренный, т.е.

∠BCO = ∠CBO = 79∘

Ответ: $79∘$

Ответ: 79

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#41477Максимум баллов за задание: 1

Окружность с центром в точке $O$ описана около равнобедренного треугольника $ABC,$ в котором $AB = BC$ и $∠ABC = 107∘.$ Найдите величину угла $BOC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Треугольник $ABC$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠BAC = ∠BCA

По теореме о сумме углов треугольника

∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180∘ 2∠BAC + ∠ABC =180∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAC = 180-−-∠ABC- = 180-−-107--= 36,5∘ 2 2

$∠BAC$ — вписанный и опирается на дугу $BC,$ $∠BOC$ — центральный и опирается на дугу $BC.$ Так как вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности, то

∘ ∘ ∠BOC = 2∠BAC = 2⋅36,5 =73

Ответ: 73

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#46668Максимум баллов за задание: 1

Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A,$ $B$ и $C.$ Известно, что $∠ABC = 61∘$ и $∠OAB = 8∘.$ Найдите угол $BCO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A,$ $B$ и $C.$ Тогда $AO = BO = CO$ как радиусы окружности. Треугольник $ABO$ — равнобедернный, значит, $∠OBA = ∠OAB =8∘.$ Аналогично, в треугольнике $OBC$ равны углы $∠OBC = ∠BCO.$

Заметим, что $∠ABC =∠OBA + ∠OBC.$ Тогда $∘ ∘ ∘ ∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠OBA = 61 − 8 = 53.$

$PIC$

Ответ: 53

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#46669Максимум баллов за задание: 1

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $∠AOB = 45∘.$ Длина меньшей дуги $AB$ равна 91. Найдите длину большей дуги $AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Градусная мера большей дуги равна $360∘− 45∘ = 315∘.$ Длина дуги с градусной мерой $1∘$ равна $9145.$

Тогда длина дуги с градусной мерой $315∘$ равна:

91- 315 ⋅45 = 91⋅7= 637

Ответ: 637

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#47084Максимум баллов за задание: 1

Окружность с центром в точке $O$ описана около равнобедренного треугольника $ABC,$ в котором $AB = BC$ и $∠ABC = 57∘.$ Найдите угол $BOC.$ Ответ дайте в градусах.