Тема №16. Окружности

02 Центральные и вписанные углы

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №16. окружности

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#101777

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB.$ Найдите угол $ACB,$ если угол $AOB$ равен $33∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Заметим, что угол $ACB,$ как вписанный, в два раза меньше центрального угла $AOB,$ ведь они оба опираются на одну и ту же дугу — $AB.$ Таким, образом

∠AOB-- 33 ∠ACB = 2 = 2 = 16,5.

Ответ: 16,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#116397

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB.$ Найдите угол $ACB,$ если угол $AOB$ равен $67∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то

1 1 ∘ ∘ ∠ACB = 2∠AOB = 2 ⋅67 = 33,5 .

Ответ: 33,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#106649

Дана окружность с центром $O$ и диаметрами $AC$ и $BD.$ Угол $ACB$ равен $38∘.$ Найдите угол $AOD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $∠ACB$ — вписанный, то центральный угол $AOB,$ который опирается на ту же дугу, в два раза больше:

∘ ∘ ∠AOB = 2⋅38 = 76.

Так как $BD$ — диаметр, то угол $BOD$ — развернутый и равен $180∘,$ следовательно,

∘ ∘ ∠AOD = 180 − ∠AOB =104 .

Ответ: 104

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#116398

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $ACB$ равен $59∘.$ Найдите угол $AOD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$BO =OC$ как радиусы. Значит, треугольник $BOC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠OBC = ∠OCB = 59∘.$

$PIC$

$∠AOD = ∠BOC$ как вертикальные. Найдём $∠BOC$ по теореме о сумме углов треугольника:

∘ ∠AOD = ∠BOC ∘= 180∘ − ∠O∘BC −∘ ∠BCO = = 180 − 59 − 59 = 62 .

Ответ: 62

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#37451

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $37∘,$ угол $CAD$ равен $58∘.$ Найдите угол $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как четырехугольник $ABCD$ вписанный, то $∠CAD =∠CBD = 58∘$ . Следовательно,

∠ABC = 37∘+ 58∘ = 95∘

$PIC$

Ответ: 95

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#116401

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $78∘,$ угол $CAD$ равен $40∘.$ Найдите угол $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Углы $CAD$ и $CBD$ равны, как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу $CD.$ Поэтому

∠ABC = ∠ABD + ∠CBD = = ∠ABD + ∠CAD = 78∘+ 40∘ = 118∘.

Ответ: 118

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#38719

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $132∘,$ угол $CAD$ равен $∘ 80 .$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∠CAD = ∠CBD$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $CD.$ Таким образом,

∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = ∘ ∘ ∘ = 132 − 80 = 52.

Ответ: 52

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#44276

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38∘,$ угол $CAD$ равен $33∘.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Так как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то

∘ ∠CBD = ∠CAD =33 .

Найдём $∠ABD :$

∠ABD =∠ABC − ∠CBD = 38∘− 33∘ = 5∘.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#47085

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N.$ Известно, что $∠NBA = 68∘.$ Найдите угол $NMB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ANB.$ $∠ANB = 90∘$ как угол, опирающийся на диаметр, $∠NBA = 68∘.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠NAB = 180∘ − ∠ANB − ∠NBA = = 180∘− 90∘ − 68∘ = 22∘.

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому

∘ ∠NMB = ∠NAB = 22.

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#1990

Точки $A$ и $C$ разбивают окружность на две дуги, одна из которых равна $280∘$ и на которой отмечена точка $B.$ Найдите угол $BAC,$ если $AB = AC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$A⌣BC= 280∘,$ следовательно, меньшая дуга

⌣ AC= 360∘− 280∘ = 80∘

Т.к. угол $ABC$ опирается на эту дугу и является вписанным, то он равен ее половине, то есть $∘ 40 .$

Заметим, что треугольник $ABC$ — равнобедренный, следовательно,

∠BAC = 180∘− 2 ⋅40∘ = 100∘

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#26588

Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A,$ $B$ и $C.$ Известно, что $∠ABC = 103∘$ и $∠OAB = 24∘.$ Найдите угол $BCO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $OA$ , $OB$ и $OC$ — радиусы, т.е. $OA = OB = OC$ и треугольник $AOB$ — равнобедренный. Тогда

∘ ∠OBA = ∠OAB = 24

Тогда

∘ ∘ ∘ ∠OBC = ∠ABC − ∠ABO = 103 − 24 = 79

Треугольник $OBC$ — равнобедренный, т.е.

∠BCO = ∠CBO = 79∘

Ответ: $79∘$

Ответ: 79

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#41477

Окружность с центром в точке $O$ описана около равнобедренного треугольника $ABC,$ в котором $AB = BC$ и $∠ABC = 107∘.$ Найдите величину угла $BOC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Треугольник $ABC$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠BAC = ∠BCA

По теореме о сумме углов треугольника

∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180∘ 2∠BAC + ∠ABC =180∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAC = 180-−-∠ABC- = 180-−-107--= 36,5∘ 2 2

$∠BAC$ — вписанный и опирается на дугу $BC,$ $∠BOC$ — центральный и опирается на дугу $BC.$ Так как вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности, то

∘ ∘ ∠BOC = 2∠BAC = 2⋅36,5 =73

Ответ: 73

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#46668

Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A,$ $B$ и $C.$ Известно, что $∠ABC = 61∘$ и $∠OAB = 8∘.$ Найдите угол $BCO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A,$ $B$ и $C.$ Тогда $AO = BO = CO$ как радиусы окружности. Треугольник $ABO$ — равнобедернный, значит, $∠OBA = ∠OAB =8∘.$ Аналогично, в треугольнике $OBC$ равны углы $∠OBC = ∠BCO.$

Заметим, что $∠ABC =∠OBA + ∠OBC.$ Тогда $∘ ∘ ∘ ∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠OBA = 61 − 8 = 53.$

$PIC$

Ответ: 53

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#46669

На окружности с центром $O$ отмечены точки $A$ и $B$ так, что $∠AOB = 45∘.$ Длина меньшей дуги $AB$ равна 91. Найдите длину большей дуги $AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Градусная мера большей дуги равна $360∘− 45∘ = 315∘.$ Длина дуги с градусной мерой $1∘$ равна $9145.$

Тогда длина дуги с градусной мерой $315∘$ равна:

91- 315 ⋅45 = 91⋅7= 637

Ответ: 637

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#47084

Окружность с центром в точке $O$ описана около равнобедренного треугольника $ABC,$ в котором $AB = BC$ и $∠ABC = 57∘.$ Найдите угол $BOC.$ Ответ дайте в градусах.