Тема 16. Окружность

16.02 Нахождение углов в окружности, нахождение площади

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела окружность

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#38719

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $132∘,$ угол $CAD$ равен $∘ 80 .$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$∠CAD = ∠CBD$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $CD.$ Таким образом,

∘ ∘ ∘ ∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = 132 − 80 = 52

Ответ: 52

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#44276

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38∘,$ угол $CAD$ равен $33∘.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то

∘ ∠CBD = ∠CAD = 33

Найдём $∠ABD :$

∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = 38∘− 33∘ = 5∘

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#26574

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$ . Известно, что $∠N BA = 41∘$ . Найдите угол $NM B$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $∠N M B = ∠N AB$ , как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Так как $AB$ — диаметр, то $∠AN B = 90∘$ . Тогда треугольник $AN B$ — прямоугольный и

∘ ∘ ∘ ∘ ∠N AB = 90 − ∠N BA = 90 − 41 = 49

Тогда $∘ ∠N M B = ∠N AB = 49$

Ответ: $49∘$

Ответ: 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#22483

Площадь круга равна 180. Найдите площадь сектора, центральный угол которого равен $∘ 30.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь круга можно найти по формуле $2 S = πR .$

Площадь кругового сектора с центральным углом $α$ и радиусом $R$ можно найти по формуле

πR2 S ⋅α Sα = 360∘-⋅α= 360∘

То есть площадь сектора с центральным углом $30∘$ равна

∘ Sα = 180⋅30 = 15 360∘

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#26578

Сторона $AC$ треугольника $ABC$ проходит через центр описанной около него окружности. Найдите $∠C,$ если $∘ ∠A = 33 .$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $AC$ проходит через центр окружности, то $AC$ — диаметр, следовательно, угол $∠ABC$ — прямой и треугольник $ABC$ — прямоугольный.

$PIC$

Тогда

∠BCA = 90∘− ∠BAC =90∘− 33∘ = 57∘

То есть $∘ ∠C = 57 .$

Ответ: 57

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#26587

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $56∘$ . Найдите угол $ABO$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Отметим точку пересечения касательных $D$ . Так как $DA$ и $DB$ — касательные к одной окружности, то $DA = DB$ ит треугольник $DAB$ — равнобедренный. Отсюда

1 ∘ 1 ∘ ∘ 124∘ ∘ ∠DBA = 2 (180 − ∠ADB ) = 2(180 − 56 ) =--2- = 62

Так как $DB$ — касательная, а $OB$ — радиус, то $∠DBO = 90∘$ . Тогда

∠ABO = 90∘ − ∠DBA = 90∘ − 62∘ = 28∘

Ответ: $28∘$

Ответ: 28

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#28207

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром $O$ пересекаются под углом $82∘$ . Найдите угол $ABO$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть касательные пересекаются в точке $C$ . $OA$ и $OB$ радиусы, проведенные к касательным $AC$ и $BC$ соответственно, значит, $∠OAC = ∠OBC = 90∘$ . Тогда по сумме углов в четырехугольнике $OABC$ :

∠AOB = 360∘ − (∠OAC + ∠OBC + ∠ACB ) = 360∘ − (90∘ + 90∘ + 82∘) = 98∘

$PIC$

Рассмотрим треугольник $AOB$ . Он равнобедренный, так как $OA = OB$ , значит, $∠BAO = ∠ABO$ . Тогда по сумме углов треугольника $AOB$

∘ ∘ ∘ ∘ 82∘ ∘ ∠BAO + ∠ABO = 2∠ABO = 180 − ∠AOB = 180 − 98 = 82 ⇒ ∠ABO = 2 = 41

Ответ: 41

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#41477

Окружность с центром в точке $O$ описана около равнобедренного треугольника $ABC,$ в котором $AB = BC$ и $∠ABC = 107∘.$ Найдите величину угла $BOC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Треугольник $ABC$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠BAC = ∠BCA

По теореме о сумме углов треугольника

∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180∘ 2∠BAC + ∠ABC =180∘ ∘ ∘ ∘ ∠BAC = 180-−-∠ABC- = 180-−-107--= 36,5∘ 2 2

$∠BAC$ — вписанный и опирается на дугу $BC,$ $∠BOC$ — центральный и опирается на дугу $BC.$ Так как вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу окружности, то

∘ ∘ ∠BOC = 2∠BAC = 2⋅36,5 =73

Ответ: 73

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#42855

Касательные в точках $A$ и $B$ к окружности с центром в точке $O$ пересекаются под углом $88∘.$ Найдите угол $ABO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Пусть касательные в точках $A$ и $B$ пересекаютя в точке $K.$ Так как радиус окружности, проведённый через точку касания, перпендикулярен касательной, то

∠KAO = ∠KBO = 90∘

$PIC$

По условию $∘ ∠AKB = 88 .$ Рассмотрим четырехугольник $AKOB.$ Так как сумма углов четырехугольника равна $∘ 360 ,$ то

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠AOB = 360 − ∠AKB − ∠KBO − ∠KAO = 360 − 88 − 90 − 90 = 92

В треугольнике $AOB$ $AO = OB$ как радиусы, значит, треугольник $AOB$ равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому

∠ABO = ∠BAO

По теореме о сумме углов треугольника

∠AOB + ∠ABO + ∠BAO = 180∘ ∘ ∘ ∘ ∘ 2∠ABO = 180 − ∠AOB = 180 − 92 = 88 ∠ABO = 88∘ =44∘ 2

Ответ: 44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#46668

Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A,$ $B$ и $C.$ Известно, что $∠ABC = 61∘$ и $∠OAB = 8∘.$ Найдите угол $BCO.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Точка $O$ — центр окружности, на которой лежат точки $A,$ $B$ и $C.$ Тогда $AO = BO = CO$ как радиусы окружности. Треугольник $ABO$ — равнобедернный, значит, $∠OBA = ∠OAB =8∘.$ Аналогично, в треугольнике $OBC$ равны углы $∠OBC = ∠BCO.$

Заметим, что $∠ABC =∠OBA + ∠OBC.$ Тогда $∘ ∘ ∘ ∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠OBA = 61 − 8 = 53.$

$PIC$

Ответ: 53

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#47084

Окружность с центром в точке $O$ описана около равнобедренного треугольника $ABC,$ в котором $AB = BC$ и $∠ABC = 57∘.$ Найдите угол $BOC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то $∠BAC = ∠BCA.$

По теореме о сумме углов треугольника

∠ABC + ∠BCA + ∠CAB = 180∘ 2∠BAC = 180∘− ∠ABC ∘ ∘ ∘ ∠BAC = 180--− ∠ABC-= 180-−-57-= 61,5∘ 2 2

Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, поэтому

∠BOC = 2∠BAC = 2 ⋅61,5∘ = 123∘

Ответ: 123

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#47086

На окружности отмечены точки $A$ и $B$ так, что меньшая дуга $AB$ равна $92∘.$ Прямая $BC$ касается окружности в точке $B$ так, что угол $ABC$ острый. Найдите угол $ABC.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, поэтому

1 ⌣ 1 ∘ ∘ ∠ABC = 2AB = 2 ⋅92 = 46

Ответ: 46

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#57324

В угол $C$ величиной $84∘$ вписана окружность, которая касается сторон угла в точках $A$ и $B,$ точка $O$ — центр окружности. Найдите угол $AOB.$ Ответ дайте в градусах.