04 Вписанные окружности - Каталог заданий по ОГЭ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#116407Максимум баллов за задание: 1

Сторона равностороннего треугольника равна $√ - 18 3$ . Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию сторона треугольника равна $√ - 18 3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - r = 18-3⋅--3= 18⋅3 = 9. 6 6

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$∘ 6ha0$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

∘ h- sin60 = a.

Подставим табличное значение $√3- sin60∘ =-2-$ и выразим высоту $h.$

√3 h -2-= a- √- h = a-3. 2

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

√- r = h-= a-3. 3 6

По условию сторона треугольника равна $18√3.$ Значит, радиус вписанной окружности равен:

√ - √ - 18-3⋅--3 18⋅3 r = 6 = 6 = 9.

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#98351Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 10 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ | Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 3

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 10 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√- 10√3 = a-3- - 6 a√ 3= 10√3⋅6 a = 60.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $10√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√- a√3 10 3 = -6-- √ - √- a 3= 10 3⋅6 a = 60.

Ответ: 60

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#116408Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 5 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 5 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - 5√3 = a--3 - 6 a√3= 5√ 3⋅6 a = 30.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $5√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - a√3- 5 3= --6- √- √ - a 3= 5 3⋅6 a = 30.

Ответ: 30

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#123762Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 2 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 2 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - 2√3 = a--3 - 6 a√3= 2√ 3⋅6 a = 12.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $2√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - a√3- 2 3= --6- √- √ - a 3= 2 3⋅6 a = 12.

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#123763Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен $√ - 4 3$ . Найдите длину стороны этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Способ 1:

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, находится по формуле:

a√3 r = -6-,

где $a$ — сторона треугольника, $r$ — радиус вписанной окружности.

По условию радиус окружности равен $√ - 4 3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - 4√3 = a--3 - 6 a√3= 4√ 3⋅6 a = 24.

Способ 2:

Проведем в треугольнике высоту $h.$

В равностороннем треугольнике углы равны $60∘.$

$6ha0∘$

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образовавшийся из-за высоты $h.$ В нём синус острого угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

sin60∘ = h. a

Подставим табличное значение $√ - sin60∘ =--3 2$ и выразим высоту $h.$

√ - --3= h- 2 a a√3- h = 2 .

Центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис. В равностороннем треугольнике биссектриса является высотой и медианой, значит, центр вписанной окружности является точкой пересечения медиан, а также высот.

Таким образом, центр вписанной окружности делит высоту треугольника в отношении $2:1,$ считая от вершины. Следовательно, радиус окружности равен:

h a√3 r = 3-=-6-.

По условию радиус окружности равен $4√3.$ Подставим значение радиуса и найдем длину стороны треугольника:

√ - a√3- 4 3= --6- √- √ - a 3= 4 3⋅6 a = 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#116409Максимум баллов за задание: 1

Периметр треугольника равен 54, одна из сторон равна 15, а радиус вписанной в него окружности равен 1. Найдите площадь этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$1$

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Периметр треугольника по условию равен 54, следовательно, полупериметр треугольника равен

p = 54-= 27. 2

Значит, площадь треугольника равна:

S = p⋅r = 27 ⋅1 = 27.

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#123765Максимум баллов за задание: 1

Периметр треугольника равен 60, одна из сторон равна 12, а радиус вписанной в него окружности равен 3. Найдите площадь этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$3$

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности.

Периметр треугольника по условию равен 60, следовательно, полупериметр треугольника равен

p = 60-= 30. 2

Значит, площадь треугольника равна:

S = p⋅r = 30 ⋅3 = 90.

Ответ: 90

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#40184Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 8,BC =12,CD = 13.$ Найдите $AD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Четырехугольник $ABCD$ – описанный около окружности. По свойству описанного четырехугольника суммы противоположных сторон равны, поэтому:

AB + CD = BC +AD AD = AB + CD − BC = 8 +13 − 12 =9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#97936Максимум баллов за задание: 1

Четырёхугольник $ABCD$ описан около окружности, $AB = 11,$ $BC = 13,$ $CD =12.$ Найдите $AD.$

$ABCD$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2024 г. Вариант 1

Показать ответ и решение

У описанного четырёхугольника суммы противоположных сторон равны. Используя данный факт, имеем:

AB + CD = BC + AD,

откуда

AD = AB + CD − BC = 11+ 12− 13= 10.

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#26585Максимум баллов за задание: 1

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 9,$ $BC = 7,$ $CD = 11.$ Найдите $AD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как четырехугольник $ABCD$ описан около окружности, то $AB + CD =BC +AD,$ значит,

AD = AB + CD − BC = 9+ 11− 7= 13.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#26586Максимум баллов за задание: 1

Высота трапеции равна 24. Найдите радиус окружности, вписанной в эту трапецию.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь трапеции можно найти по формуле $S = pr,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности.

Так как трапеция описана около окружности, то $AB +CD =AD +BC,$ откуда

p= 1(AB + BC + CD + AD )= 1(2AD + 2BC) =AD +BC. 2 2

Получаем, что

S = (AD + BC )⋅r.

С другой стороны, площадь трапеции можно найти по формуле $S = 12(AD + BC)⋅h,$ где $h$ — высота трапеции. Тогда

1 (AD + BC )⋅r = S = 2(AD +BC )⋅h 1 (AD + BC) ⋅r = 2(AD + BC)⋅h 1 r = 2h

Подставим $h = 24$ и получим $r =12.$

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#43933Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть точки $K$ и $M$ — точки касания $BC$ и $AD$ с окружностью. Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то

OK ⊥BC OM ⊥ AD ⇒ OM ⊥ BC

Значит, точки $O,$ $M$ и $K$ лежат на одной прямой, так как прямые, перепендикулярные третьей прямой, параллельны. Тогда $KM$ — высота. Так как $OM$ и $OK$ — радиусы, то

KM = OM + OK = 12 + 12 = 24

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#116453Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 18. Найдите высоту этой трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём радиус в точку касания окружности с нижним основанием. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижнему основанию.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхним основанием. Этот радиус также перпендикулярен верхнему основанию.

$1188$

Так как основания трапеции параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Высота трапеции равна расстоянию между её основаниями, а значит, совпадает с длиной отрезка, образованного этими радиусами:

h = 18+ 18= 36.

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#123966Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, равен 28. Найдите высоту этой трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём радиус в точку касания окружности с нижним основанием. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижнему основанию.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхним основанием. Этот радиус также перпендикулярен верхнему основанию.

$2288$

Так как основания трапеции параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Высота трапеции равна расстоянию между её основаниями, а значит, совпадает с длиной отрезка, образованного этими радиусами:

h = 28+ 28= 56.

Ответ: 56

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#116459Максимум баллов за задание: 1

Сторона квадрата равна 62. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$6??2$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а радиус вписанной окружности составляет половину стороны:

62 r = 2-= 31.

Ответ: 31

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#82572Максимум баллов за задание: 1

Найдите площадь квадрата, описанного около окружности радиуса 5.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Докажем, что сторона квадрата равна удвоенному радиусу вписанной в него окружности.

Пусть $ABCD$ — квадрат, точка $O$ — центр вписанной в квадрат окружности, точка $K$ — точка касания окружности со стороной $BC,$ точка $L$ — точка касания окружности со стороной $AD.$ Так как касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то $OK ⊥ BC,$ $OL ⊥ AD.$ $BC ∥ AD,$ значит, $OK ⊥ AD.$ Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны, тогда точки $K, O, L$ лежат на одной прямой.

$CD ⊥ AD,$ $KL ⊥ AD,$ значит, $KL ∥CD.$ Тогда $KCDL$ — параллелограмм. В параллелограмме противоположные стороны равны, поэтому $KL = CD.$ $OK = OL$ как радиусы, поэтому

CD =2 ⋅OK = 2⋅5= 10

Тогда площадь квадрата равна $10⋅10= 100.$

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#116461Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 10 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a1010 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a= 2⋅10√2 = 20√2.

$d2200√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 20 2$ равна:

√- √ - √- d= a 2 =20 2⋅ 2 = 40.

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#123995Максимум баллов за задание: 1

Радиус вписанной в квадрат окружности равен $√ - 6 2$ . Найдите диагональ этого квадрата.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $a$ — сторона квадрата, а $d$ — диагональ квадрата. Тогда по теореме Пифагора имеем:

d2 =a2 +a2 2 2 d = 2√a- d= a 2

Проведём радиус в точку касания окружности с нижней стороной квадрата. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, то есть он перпендикулярен нижней стороне.

Аналогично проведём радиус в точку касания окружности с верхней стороной квадрата. Этот радиус также перпендикулярен верхней стороне.

$√√ - a66 22$

Так как противоположные стороны квадрата параллельны, то между радиусами не образуется «излом» и оба радиуса лежат на одной прямой.

Отрезок из двух радиусов делит квадрат на два равных прямоугольника, следовательно, длина этого отрезка равна стороне квадрата, а сторона квадрата равна двум радиусам:

a = 2⋅6√2 =12√2.

$d1122√√22$

Значит, диагональ квадрата со стороной $√ - 12 2$ равна:

√- √ - √- d= a 2 =12 2⋅ 2 = 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#22294Максимум баллов за задание: 1

Периметр треугольника равен 28, одна из его сторон равна 10, а радиус вписанной в него окружности равен 5. Найдите площадь этого треугольника.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь треугольника можно найти по формуле $S = pr,$ где $p$ — полупериметр, $r$ — радиус вписанной окружности. Из условия $r =5,$ $P = 28,$ то есть

p = 1P = 14 2

Подставив эти значения в формулу площади, получаем:

S = pr = 14⋅5 = 70

Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#42109Максимум баллов за задание: 1

Радиус окружности, вписанной в равносторонний треугольник, равен 15. Найдите высоту этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис.

Так как треугольник равнобедренный, то каждая биссектриса являются медианой и высотой. Значит, точка пересечения биссектрис в равностороннем треугольнике — точка пересечения медиан и высот.

Обозначим точку пересечения биссектрис, медиан и высота за $O, AH$ — высота, биссектриса и медиана.