Тема №17. Четырёхугольники

05 Свойства трапеции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №17. четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#122917

Один из углов равнобедренной трапеции равен $29∘.$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна $180∘,$ как сумма односторонних углов при параллельных прямых. Поэтому больший угол трапеции равен

180∘− 29∘ =151∘.

Ответ: 151

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#122921

Один из углов равнобедренной трапеции равен $99∘.$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна $180∘,$ как сумма односторонних углов при параллельных прямых. Поэтому меньший угол трапеции равен

180∘− 99∘ = 81∘.

Ответ: 81

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#23885

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $∘ 50 .$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $ABCD$ — равнобокая трапеция, то

∘ ∠ABC + ∠DAB =180 ∠BAD = ∠CDA ∠ABC = ∠BCD

Таким образом, можем считать, что сумма углов $BAD$ и $CDA$ равна $50∘.$ Так как они равны, каждый из них равен $25∘.$

Тогда

∘ ∘ ∘ ∠ABC = ∠BCD = 180 − 25 = 155 .

Ответ: 155

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#122925

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $∘ 46 .$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $ABCD$ — равнобокая трапеция, то

∘ ∠ABC + ∠DAB =180 ∠BAD = ∠CDA ∠ABC = ∠BCD

Таким образом, можем считать, что сумма углов $BAD$ и $CDA$ равна $46∘.$ Так как они равны, каждый из них равен $23∘.$

Тогда

∘ ∘ ∘ ∠ABC = ∠DCB = 180 − 23 = 157 .

Ответ: 157

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#77270

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $178∘.$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Показать ответ и решение

Заметим, что сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна $180∘,$ как сумма соответственных углов при параллельных прямых, так как и острые углы, и тупые углы равны между собой. Значит, в сумме из условия участвует два одинаковых угла, каждый из которых равен $∘ ∘ 178 :2= 89 .$ Таким образом, мы нашли величину острого угла трапеции, а это означает, что больший угол равен

180∘− 89∘ = 91∘

Ответ: 91

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#122932

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $∘ 196 .$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как $ABCD$ — равнобокая трапеция, то

∘ ∠ABC + ∠DAB =180 ∠BAD = ∠CDA ∠ABC = ∠BCD

Таким образом, можем считать, что сумма углов $ABC$ и $BCD$ равна $196∘.$ Так как они равны, каждый из них равен $98∘.$

Тогда

∘ ∘ ∘ ∠BAD = ∠CDA = 180 − 98 = 82 .

Ответ: 82

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#122935

Один из углов прямоугольной трапеции равен $∘ 64 .$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180∘.$ Тогда если один из таких углов равен $64∘,$ то другой равен

180∘− 64∘ = 116∘

Оставшиеся два угла равны $90∘,$ так как трапеция прямоугольная. Тогда больший угол равен $116∘.$

Ответ: 116

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#104712

Один из углов прямоугольной трапеции равен $∘ 113 .$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180∘.$ Тогда если один из таких углов равен $113∘,$ то другой равен

180∘− 113∘ = 67∘

Оставшиеся два угла равны $90∘,$ так как трапеция прямоугольная. Тогда меньший угол равен $67∘.$

Ответ: 67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#122934

Один из углов прямоугольной трапеции равен $∘ 139 .$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна $180∘.$ Тогда если один из таких углов равен $139∘,$ то другой равен

180∘− 139∘ = 41∘

Оставшиеся два угла равны $90∘,$ так как трапеция прямоугольная. Тогда меньший угол равен $41∘.$

Ответ: 41

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#42878

Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Найдем среднюю линию трапеции:

8-+-18 2 = 13.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#122906

Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть равна

1 12 2 ⋅(3+ 9)= 2-= 6.

Ответ: 6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#42110

Основания трапеции равны 5 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапедии одна из её диагоналей.

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции. По свойству средней линии трапеции:

MN ∥AD ∥ BC

Обозначим точку пересечения $AC$ и $MN$ за $P.$

$PIC$

По теореме Фалеса для параллельных прямых $MP$ и $BC :$

AM--= AP-= 1 ⇒ AP = PC MB PC 1

Тогда $MP$ — средняя линия в треугольнике $ABC.$ По свойству средней линии

1 MP = 2BC = 2,5

$PN$ — средняя линия в треугольнике $ACD.$ По свойству средней линии

PN = 1AD = 4,5 2

Требуется найти больший из отрезков $MP$ и $P N,$ значит, ответ $4,5.$

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#122963

Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из ее диагоналей.

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $AB = 19,$ $DC = 1.$

$PIC$

Так как $EF$ — средняя линия трапеции, то $EO$ и $OF$ — средние линии треугольников $ADC$ и $ACB$ соответственно. Тогда имеем:

EO = 1DC = 1 ⋅1= 0,5 2 2 1 1 OF = 2AB = 2 ⋅19= 9,5

Больший из этих отрезков равен 9,5.

Ответ: 9,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#41478

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C,$ делит основание $AD$ на отрезки длиной 14 и 19. Найдите длину основания $BC.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть высота, проведенная из вершины $C$ пересекает основание $AD$ в точке $K,$ высота, проведенная из вершины $B$ пересекает основание $AD$ в точке $M.$

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Так как $CK ⊥AD$ и $BM ⊥ AD,$ то $CK ∥BM.$

$PIC$

Рассмотрим четырехугольник $MBCK :$

1.: $BM ∥ CK;$
2.: $BC ∥AD$ как основания трапеции $⇒ BC ∥MK.$

Тогда $MBCK$ — параллелограмм и $BC = MK$ по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники $BAM$ и $CDK.$

1.: $∠BMA = ∠CKD = 90∘,$ так как $BM ⊥ AD, CK ⊥ AD;$
2.: $AB = CD,$ так как трапеция $ABCD$ равнобедренная;
3.: $∠BAM = ∠CDK$ как углы при основании равнобедренной трапеции.

Тогда $△ BAM = △CDK$ по гипотенузе и острому углу, $AM = KD$ как соответственные элементы.

По условию $AK =19,$ $KD = 14.$

AK = AM + MK =KD + BC BC = AK − KD = 19 − 14 = 5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#122972

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C,$ делит основание $AD$ на отрезки длиной 3 и 11. Найдите длину основания $BC.$

$PIC$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$PIC$

Обозначим точки основания высот за $H1$ и $H2.$ Так как трапеция равнобедренная,

AH1 = DH2 = 3

Также $BCH2H1$ — прямоугольник, т.е. $H1H2 = BC.$ Значит,

BC = H1H2 =AH2 − AH1 = 11− 3= 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#122976

В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

$7545∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём вторую высоту в трапеции. Получим прямоугольник и два равнобедренных прямоугольных треугольника.

$7575545∘$

Таким образом, большее основание равно

b= 5+ 7+ 5= 17.

Ответ: 17

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#122982

В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

$14545∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Проведём вторую высоту в трапеции. Получим прямоугольник и два равнобедренных прямоугольных треугольника.

$4545545∘$

Таким образом, меньшее основание равно

a= 14− 5− 5= 4.

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#23891

Найдите больший угол равнобедренной трапеции $ABCD,$ если диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ и боковой стороной $AB$ углы, равные $46∘$ и $1∘$ соответственно. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Найдем угол $BAD :$

∘ ∘ ∘ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD =1 + 46 = 47

Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция,

∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABC = 180 − ∠BAD = 180 − 47 = 133

Значит, больший угол равен $133∘.$

Ответ: 133

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#42453

Найдите больший угол равнобедренной трапеции $ABCD,$ если диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ и боковой стороной $AB$ углы, равные $43∘$ и $38∘$ соответственно. Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Показать ответ и решение

$∠A = 43∘+ 38∘ = 81∘$ , следовательно, $∠B =180∘− ∠A = 99∘$ . Так как трапеция равнобедренная, то $∠A =∠D$ , $∠B =∠C$ , следовательно, $99∘$ — ответ.

Ответ: 99

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#43609

Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O,$ $BC = 6,$ $AD =13,$ $AC = 38.$ Найдите $AO.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $AO = x.$ Тогда $OC = AC − AO = 38− x.$

Рассмотрим треугольники $AOD$ и $COB.$ $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные, $∠CBD =∠ADB$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC,$ то есть $∠CBO =∠ADO.$ Тогда $△ AOD ∼△COB$ по двум углам.

Запишем отношение подобия:

AO- = OD-= AD- ⇒ 13= --x-- ⇒ 13⋅38− 13x= CO OB BC 6 38 − x = 6x ⇔ 13 ⋅38 = 19x ⇔ x= 13⋅2= 26

Ответ: 26