Тема №17. Четырёхугольники

05 Свойства трапеции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела №17. четырёхугольники

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#122917Максимум баллов за задание: 1

Один из углов равнобедренной трапеции равен $29∘.$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCD?29∘$

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, $∠A =29∘.$ Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция, то углы при каждом основании равны.

Сумма тупого и острого угла равнобедренной трапеции равна $180∘$ как сумма односторонних углов при параллельных прямых.

∘ ∠A +∠B = 180

Найдем величину большего угла:

∠B = 180∘− ∠A ∘ ∘ ∠B = 180 − 2∘9 ∠B = 151

Ответ: 151

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#122921Максимум баллов за задание: 1

Один из углов равнобедренной трапеции равен $99∘.$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCD9?9∘$

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция, $∠B = 99∘.$ Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция, то углы при каждом основании равны.

∘ ∠A +∠B = 180

Найдем величину меньшего угла:

∠A =180∘− ∠B ∘ ∘ ∠A = 180 −∘99 ∠A = 81

Ответ: 81

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#23885Максимум баллов за задание: 1

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $50∘.$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCD?2255∘∘$

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция. Тогда:

∠BAD =∠ADC ∠ABC = ∠BCD

Тогда:

∠BAD + ∠ADC = 50∘ 2⋅∠BAD = 50∘ 50∘ ∘ ∠BAD = -2- =25

Сумма тупого и острого угла равнобедренной трапеции равна $∘ 180$ как сумма односторонних углов при параллельных прямых.

∠BAD +∠ABC = 180∘

Найдем величину большего угла:

∠ABC =180∘− ∠BAD ∠ABC = 180∘− 25∘ ∠ABC = 155∘

Ответ: 155

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#77270Максимум баллов за задание: 1

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $178∘.$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCD?8899∘∘$

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция. Тогда:

∠BAD =∠ADC ∠ABC = ∠BCD

Тогда:

∠BAD +∠ADC = 178∘ 2 ⋅∠BAD =178∘ 178∘ ∘ ∠BAD = -2--= 89

∠BAD +∠ABC = 180∘

Найдем величину большего угла:

∠ABC =180∘− ∠BAD ∠ABC = 180∘− 89∘ ∠ABC = 91∘

Ответ: 91

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#122925Максимум баллов за задание: 1

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $46∘.$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCD?2233∘∘$

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция. Тогда:

∠BAD =∠ADC ∠ABC = ∠BCD

Тогда:

∠BAD + ∠ADC = 46∘ 2⋅∠BAD = 46∘ 46∘ ∘ ∠BAD = -2- =23

∠BAD +∠ABC = 180∘

Найдем величину большего угла:

∠ABC =180∘− ∠BAD ∠ABC = 180∘− 23∘ ∠ABC = 157∘

Ответ: 157

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#122932Максимум баллов за задание: 1

Сумма двух углов равнобедренной трапеции равна $196∘.$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCD9?988∘∘$

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция. Тогда:

∠BAD =∠ADC ∠ABC = ∠BCD

Тогда:

∠ABC + ∠BCD = 196∘ 2⋅∠ABC =196∘ 196∘ ∘ ∠ABC = -2--= 98

∠BAD +∠ABC = 180∘

Найдем величину меньшего угла:

∠BAD = 180∘− ∠ABC ∠BAD = 180∘− 98∘ ∠BAD = 82∘

Ответ: 82

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#122935Максимум баллов за задание: 1

Один из углов прямоугольной трапеции равен $64∘.$ Найдите больший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCD6141∘6∘$

Пусть $ABCD$ — прямоугольная трапеция, $∠D = 64∘.$

Сумма углов, прилегающих к одной боковой стороне, равна $180∘$ как сумма односторонних углов при параллельных прямых.

∘ ∠C +∠D =180

Найдем величину большего угла:

∠C =180∘− ∠D ∠C = 180∘− 64∘ ∘ ∠C = 116

Так как два оставшихся угла при другой стороне равны по $90∘,$ то наибольший есть $116∘.$

Ответ: 116

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#104712Максимум баллов за задание: 1

Один из углов прямоугольной трапеции равен $113∘.$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘∘ ABCD61713$

Пусть $ABCD$ — прямоугольная трапеция, $∘ ∠C = 113 .$

Сумма углов, прилегающих к одной боковой стороне, равна $∘ 180$ как сумма односторонних углов при параллельных прямых.

∠C +∠D =180∘

Найдем величину меньшего угла:

∘ ∠D = 180 − ∠C ∠D = 180∘− 113∘ ∠D =67∘

Так как два оставшихся угла при другой стороне равны по $∘ 90 ,$ то наименьший есть $∘ 67.$

Ответ: 67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#122934Максимум баллов за задание: 1

Один из углов прямоугольной трапеции равен $139∘.$ Найдите меньший угол этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$∘∘ ABCD41139$

Пусть $ABCD$ — прямоугольная трапеция, $∘ ∠C = 139 .$

∠C +∠D =180∘

Найдем величину меньшего угла:

∘ ∠D = 180 − ∠C ∠D = 180∘− 139∘ ∠D =41∘

Так как два оставшихся угла при другой стороне равны по $∘ 90 ,$ то наименьший есть $∘ 41.$

Ответ: 41

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#42878Максимум баллов за задание: 1

Основания трапеции равны 8 и 18, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ba== 188$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

a+-b, где a и b —основания 2

Найдем среднюю линию трапеции:

8-+-18 = 13. 2

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#122906Максимум баллов за задание: 1

Основания трапеции равны 3 и 9, а высота равна 5. Найдите среднюю линию этой трапеции.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ba== 93$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

a+-b, где a и b —основания 2

Найдем среднюю линию трапеции:

3-+9 = 6. 2

Ответ: 6

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#42110Максимум баллов за задание: 1

Основания трапеции равны 5 и 9. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапедии одна из её диагоналей.

$PIC$

Источники: Сборник И.В. Ященко 2023 г. Вариант 9

Показать ответ и решение

Пусть $MN$ — средняя линия трапеции. По свойству средней линии трапеции:

MN ∥AD ∥ BC

Обозначим точку пересечения $AC$ и $MN$ за $P.$

$PIC$

По теореме Фалеса для параллельных прямых $MP$ и $BC :$

AM--= AP-= 1 ⇒ AP = PC MB PC 1

Тогда $MP$ — средняя линия в треугольнике $ABC.$ По свойству средней линии

1 MP = 2BC = 2,5

$PN$ — средняя линия в треугольнике $ACD.$ По свойству средней линии

PN = 1AD = 4,5 2

Требуется найти больший из отрезков $MP$ и $P N,$ значит, ответ $4,5.$

Ответ: 4,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#122963Максимум баллов за задание: 1

Основания трапеции равны 1 и 19. Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию этой трапеции одна из её диагоналей.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — трапеция, $EF$ её средняя линия, $AD = 19,$ $BC = 1.$

$ABCDEFO119$

$EF ∥ BC ∥AD$ как средняя линяя трапеции.

Из того, что $OF ∥AD$ и $CF =F D$ следует, что $OF$ — средняя линия $ΔACD.$

Из того, что $EO ∥BC$ и $AE = EB$ следует, что $EO$ — средняя линия $ΔABC.$

Тогда имеем:

EO = 12BC = 12 ⋅1= 0,5 OF = 1AD = 1⋅19= 9,5 2 2

Больший из этих отрезков равен 9,5.

Ответ: 9,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#41478Максимум баллов за задание: 1

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C,$ делит основание $AD$ на отрезки длиной 14 и 19. Найдите длину основания $BC.$

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCDHH112149$

Обозначим точки основания высот за $H1$ и $H2.$ Так как трапеция равнобедренная, то:

AB = CD ∠BAD =∠CDA

Тогда прямоугольный треугольник $ABH 1$ равен прямоугольному треугольнику $DCH2$ по гипотенузе и острому углу, следовательно:

AH1 = DH2 = 14

$ABCDHH1152144$

Также $BCH2H1$ — прямоугольник, т.е. $H1H2 = BC.$ Значит,

BC = H1H2 = AH2 − AH1 = 19− 14= 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#122972Максимум баллов за задание: 1

Высота равнобедренной трапеции, проведённая из вершины $C,$ делит основание $AD$ на отрезки длиной 3 и 11. Найдите длину основания $BC.$

$ABCD$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

$ABCDHH31211$

Обозначим точки основания высот за $H1$ и $H2.$ Так как трапеция равнобедренная, то:

AB = CD ∠BAD =∠CDA

AH1 = DH2 = 3

$ABCDHH33821$

Также $BCH2H1$ — прямоугольник, т.е. $H1H2 = BC.$ Значит,

BC = H1H2 = AH2 − AH1 = 11− 3= 8.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#122976Максимум баллов за задание: 1

В равнобедренной трапеции известна высота, меньшее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите большее основание.

$4575∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция из условия, $BH1$ — высота трапеции. Проведём вторую высоту $CH2$ в трапеции.

$ABCD47755HH5512∘$

Тогда имеем, что $BCH2H1$ — прямоугольник, т.е. $H1H2 = BC = 7.$

Треугольник $ABH 1$ — прямоугольный, причем $∠BAH = 45∘, 1$ то есть этот треугольник равнобедренный и $BH1 = AH1 = 5.$

Так как трапеция равнобедренная, то :

AB = CD ∠BAD =∠CDA

Тогда прямоугольный треугольник $ABH1$ равен прямоугольному треугольнику $DCH2$ по гипотенузе и острому углу, следовательно:

AH1 = DH2 = BH1 = 5

Таким образом, большее основание равно

AD = AH1 +H1H2 + H2D = 5+ 7 +5 = 17.

Ответ: 17

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#122982Максимум баллов за задание: 1

В равнобедренной трапеции известна высота, большее основание и угол при основании (см. рисунок). Найдите меньшее основание.

$45154∘$

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть $ABCD$ — равнобедренная трапеция из условия, $BH1$ — высота трапеции. Проведём вторую высоту $CH2$ в трапеции.

$ABCD4?1HH55412∘$

Треугольник $ABH1$ — прямоугольный, причем $∠BAH1 = 45∘,$ то есть этот треугольник равнобедренный и $BH1 = AH1 = 5.$

Так как трапеция равнобедренная, то :

AB = CD ∠BAD =∠CDA

Тогда прямоугольный треугольник $ABH1$ равен прямоугольному треугольнику $DCH2$ по гипотенузе и острому углу, следовательно:

AH1 = DH2 = BH1 = 5

$ABCD4?455HH5512∘$

Таким образом :

H1H2 = 14− 5− 5= 4.

Тогда имеем, что $BCH2H1$ — прямоугольник, т.е. $H1H2 = BC = 4.$

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#23891Максимум баллов за задание: 1

Найдите больший угол равнобедренной трапеции $ABCD,$ если диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ и боковой стороной $AB$ углы, равные $46∘$ и $1∘$ соответственно. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Найдем угол $BAD :$

∘ ∘ ∘ ∠BAD = ∠BAC + ∠CAD =1 + 46 = 47

Так как $ABCD$ — равнобедренная трапеция,

∘ ∘ ∘ ∘ ∠ABC = 180 − ∠BAD = 180 − 47 = 133

Значит, больший угол равен $133∘.$

Ответ: 133

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#42453Максимум баллов за задание: 1

Найдите больший угол равнобедренной трапеции $ABCD,$ если диагональ $AC$ образует с основанием $AD$ и боковой стороной $AB$ углы, равные $43∘$ и $38∘$ соответственно. Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Показать ответ и решение

$∠A = 43∘+ 38∘ = 81∘$ , следовательно, $∠B =180∘− ∠A = 99∘$ . Так как трапеция равнобедренная, то $∠A =∠D$ , $∠B =∠C$ , следовательно, $99∘$ — ответ.

Ответ: 99

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#43609Максимум баллов за задание: 1

Диагонали $AC$ и $BD$ трапеции $ABCD$ с основаниями $BC$ и $AD$ пересекаются в точке $O,$ $BC = 6,$ $AD =13,$ $AC = 38.$ Найдите $AO.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $AO = x.$ Тогда $OC = AC − AO = 38− x.$

Рассмотрим треугольники $AOD$ и $COB.$ $∠AOD = ∠COB$ как вертикальные, $∠CBD =∠ADB$ как накрест лежащие при параллельных прямых $AD$ и $BC,$ то есть $∠CBO =∠ADO.$ Тогда $△ AOD ∼△COB$ по двум углам.

Запишем отношение подобия:

AO- = OD-= AD- ⇒ 13= --x-- ⇒ 13⋅38− 13x= CO OB BC 6 38 − x = 6x ⇔ 13 ⋅38 = 19x ⇔ x= 13⋅2= 26

Ответ: 26