17.04 Трапеция

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований, то есть равна

Так как — равнобокая трапеция, то

Таким образом, можем считать, что сумма углов и равна Так как они равны, каждый из них равен

Тогда

В трапеции сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна Тогда если один из таких углов равен то другой равен

Оставшиеся два угла равны так как трапеция прямоугольная. Тогда меньший угол равен

Проведём вторую высоту в трапеции. Получим прямоугольник и два равнобедренных прямоугольных треугольника.

Таким образом, большее основание равно

Обозначим точки основания высот за Так как трапеция равнобедренная,

Также — прямоугольник, т.е. Значит,

Пусть

Так как — средняя линия трапеции, то и — средние линии треугольников и соответственно. Тогда имеем:

Больший из этих отрезков равен 5,5.

Для равнобедренной трапеции имеем:

По сумме углов треугольника получаем

Найдем угол

Так как — равнобедренная трапеция,

Значит, больший угол равен

Заметим, что у равнобедренной трапеции углы при основаниях равны. Обозначим угол при большем основании за а угол при меньшем основании — за

Тогда заметим, что

так как и — односторонние углы при параллельных прямых, сожержащих основания трапеции, а

так как — два тупых угла.

Отсюда получаем, что искомые два угла, дающие в сумме — это углы при нижнем основании. Значит,

Поэтому наибольший угол в трапеции равен

Пусть высота, проведенная из вершины пересекает основание в точке высота, проведенная из вершины пересекает основание в точке

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны.

Так как и то

Рассмотрим четырехугольник

1.

2.

как основания трапеции

Тогда — параллелограмм и по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники и

1.

так как

2.

так как трапеция равнобедренная;

3.

как углы при основании равнобедренной трапеции.

Тогда по гипотенузе и острому углу, как соответственные элементы.

По условию

Пусть — средняя линия трапеции. По свойству средней линии трапеции:

Обозначим точку пересечения и за

По теореме Фалеса для параллельных прямых и

Тогда — средняя линия в треугольнике По свойству средней линии

— средняя линия в треугольнике По свойству средней линии

Требуется найти больший из отрезков и значит, ответ

, следовательно, . Так как трапеция равнобедренная, то , , следовательно, — ответ.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Найдем среднюю линию трапеции:

Пусть Тогда

Рассмотрим треугольники и как вертикальные, как накрест лежащие при параллельных прямых и то есть Тогда по двум углам.

Запишем отношение подобия:

значит, трапеция равнобедренная. Так как углы при основании равнобедренной трапеции равны, то

В треугольнике по теореме о сумме углов треугольника

Пусть Тогда

Рассмотрим треугольники и В них как накрест лежащие при и секущей как вертикальные. Тогда треугольники и подобны по двум углам. Запишем отношение подобия:

Тогда

Заметим, что сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна как сумма соответственных углов при параллельных прямых. Поэтому больший угол трапеции равен

Заметим, что сумма острого и тупого угла прямоугольной трапеции равна как сумма соответственных углов. Поэтому единственный острый угол равен

Он и является наименьшим углом трапеции.

Найдем угол

Так как трапеция равнобокая, то также равен По сумме углов в треугольнике найдём величину угла

Заметим, что сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна как сумма соответственных углов при параллельных прямых, так как и острые углы, и тупые углы равны между собой. Значит, в сумме из условия участвует два одинаковых угла, каждый из которых равен Таким образом, мы нашли величину острого угла трапеции, а это означает, что больший угол равен