Тема 21. Текстовые задачи

21.06 Движение по кругу

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела текстовые задачи

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#93124

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 4 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 11 км/ч меньше скорости второго.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость первого бегуна равна $x$ км/ч, тогда скорость второго бегуна равна $x +11$ км/ч.

Через 1 час после старта первый бегун пробежал $x⋅1 =x$ км, а по условию до конца круга ему осталось 4 км. Значит, длина круга равна $x+ 4$ км.

По условию второй бегун пробежал первый круг 20 минут назад, следовательно, круг он пробегает за 40 минут. Заметим, что 40 минут — это $2 3$ часа. Тогда можем составить уравнение:

(x+ 11)⋅ 2 = x+ 4. 3

Умножим обе части уравнения на 3:

(x+ 11)⋅2= (x + 4)⋅3 2x+ 22= 3x +12 x= 10

Значит, скорость первого бегуна равна 10 км/ч.

Ответ: 10 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#93127

Два бегуна одновременно стартовали в одном направлении из одного и того же места круговой трассы в беге на несколько кругов. Спустя один час, когда одному из них оставалось 2 км до окончания первого круга, ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 9 минут назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 5 км/ч меньше скорости второго.

Источники: Банк ФИПИ

Показать ответ и решение

Пусть скорость первого бегуна равна $x$ км/ч, тогда скорость второго бегуна равна $x +5$ км/ч.

Через 1 час после старта первый бегун пробежал $x⋅1 =x$ км, а по условию до конца круга ему осталось 2 км. Значит, длина круга равна $x+ 2$ км.

По условию второй бегун пробежал первый круг 9 минут назад, следовательно, круг он пробегает за 51 минуту. Заметим, что 51 минута — это $51 17 60 = 20$ часа. Тогда можем составить уравнение:

17 (x+ 5)⋅20 = x+ 2.

Умножим обе части уравнения на 20:

(x +5)⋅17= (x+ 2)⋅20 17x+ 85= 20x+ 40 3x = 45x= 15

Значит, скорость первого бегуна равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#25053

Два бегуна стартовали в одно время из одного места круговой трассы и побежали в одном направлении. Спустя 20 минут после старта и за 400 м до окончания первого круга первым бегуном ему сообщили, что второй бегун пробежал первый круг 2 минуты назад. Найдите скорость первого бегуна, если известно, что она на 3 км/ч меньше скорости второго. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Обозначим скорость первого бегуна за $x$ км/ч. Тогда скорость второго на 3 км/ч больше, то есть равна $x +3$ км/ч.

Так как через 20 минут после старта стало известно, что второй бегун пробежал первый круг две минуты назад, то он пробежал круг за 18 минут, что составляет $1680$ часа. Тогда длина круга равна $1860(x+ 3)$ км.

С другой стороны, первый бегун за 20 минут (или $20 60$ часа) пробежал $20x 60$ км и ему осталось 400 м (или 0,4 км) до конца первого круга, то есть длина круга равна $20 60x + 0,4$ км.

Приравняем два выражения для длины круга:

$pict$

Получили, что $x = 15.$ Тогда скорость первого бегуна равна 15 км/ч.

Ответ: 15 км/ч

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#55357

Из города $M$ по круговой дороге длиной 220 километров вышел турист, а через 55 минут следом за ним из города $M$ отправился автомобилист. Через 5 минут после отправления он догнал туриста в первый раз, а еще через 4 часа после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость туриста, если известно, что она меньше 10 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Способ 1

После первой встречи автомобилист догнал туриста во второй раз через 4 часа. К моменту второй встречи автомобилист проехал на круг больше, чем прошёл турист, то есть на 220 км больше.

Так как за эти 4 часа автомобилист обогнал туриста на 220 км, то скорость автомобилиста на $220:4 =55$ км/ч больше, чем скорость туриста.

Пусть теперь скорость туриста $v$ км/ч, тогда до первой встречи он успел пройти расстояние в километрах, равное

(55 5-) v⋅ 60 + 60 = v

При этом автомобилист успел проехать расстояние в километрах, равное

(v+ 55)-5 = v+-55 60 12

Тогда получаем уравнение

v+ 55 -12--= v

Отсюда находим $v =5$ км/ч.

Способ 2

Пусть $v$ км/ч — скорость туриста. Пусть $w$ км/ч — скорость автомобилиста.

Так как $55+ 5$ минут равно 1 часу, то $v⋅1$ км — расстояние, которое прошёл турист до первой встречи.

Так как 5 минут равно $-1 12$ часа, то $1- w ⋅12$ км — расстояние, которое проехал автомобилист до первой встречи. Расстояния, которые они проехали до первой встречи, равны:

w⋅ 1-= v⋅1 12

За следующие 4 часа автомобилист проехал на круг, то есть на 220 км, больше, чем прошёл турист. Тогда имеем уравнение:

w ⋅4= v⋅4+ 220

Отсюда с учётом предыдущего уравнения

48v = 4v+ 220

Решая это уравнение, находим $v = 5$ км/ч.

Ответ: 5

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#79105

Два спортсмена стартуют одновременно в противоположных направлениях из двух диаметрально противоположных точек круговой дорожки, длина которой 400 метров. Первый бегун за час пробегает на 1,4 километра больше, чем второй, причём скорость первого бегуна в 1,2 раза больше, чем скорость второго. Найдите отношение одного часа ко времени в часах, через которое бегуны встретятся впервые.

Показать ответ и решение

Пусть $v$ км/ч — скорость второго бегуна, тогда скорость первого бегуна в км/ч равна

1,2v = v+ 1,4 ⇒ v = 7

Скорость сближения бегунов в км/ч равна

7+ 1,2⋅7 =15,4

Тогда разделяющие их 0,2 км они пробегут за время в часах, равное

-0,2- -1 15,4 = 77

Следовательно, искомое отношение равно

1:-1 = 77 77

Ответ: 77

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#79106

Вор, укравший сумочку, убегает от хозяйки сумочки по круговой дороге. Скорость вора на 0,5 км/ч больше, чем скорость хозяйки сумочки, которая бегает за ним. Через сколько часов вор догонит хозяйку сумочки во второй раз, если длина дороги, по которой они бегают, равна 300 метрам? Считайте, что в первый раз он её догнал уже после кражи сумочки.

Показать ответ и решение

Способ 1.

Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда расстояние, которое он пробежит, станет на 600 метров больше, чем расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки с момента кражи.

Так как скорость вора на 0,5 км/ч больше, то за час он пробегает на 500 метров больше. Тогда за $1:5= 0,2$ часа вор пробегает на $500 :5= 100$ метров больше. На 600 метров больше он пробежит за $1+ 0,2 = 1,2$ часа.

Способ 2.

Пусть $v$ км/ч — скорость хозяйки сумочки, тогда $v+ 0,5$ км/ч — скорость вора.

Пусть $t$ часов — время, через которое вор догонит хозяйку сумочки во второй раз.

Тогда $v ⋅t$ — расстояние, которое пробежит хозяйка сумочки за $t$ часов, $(v+ 0,5)⋅t$ — расстояние, которое пробежит вор за $t$ часов.

Вор догонит хозяйку сумочки во второй раз в тот момент, когда пробежит ровно на 2 круга больше неё, то есть на 600 метров = 0,6 км. Тогда имеем уравнение:

(v+ 0,5)⋅t− v⋅t= 0,6 0,5⋅t= 0,6

Отсюда получаем $t= 1,2$ часа.

Ответ: 1,2

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#23561

Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Показать ответ и решение

За час минутная стрелка поворачивается на $∘ 360,$ а часовая на $360∘ ∘ 12 = 30.$ Тогда скорость, с которой минутная стрелка «догоняет» часовую равна $360− 30= 330$ градусов в час. В 8:00 минутная стрелка «отстает» от часовой на $240∘.$ Чтобы четырежды сравняться с часовой стрелкой, минутная должна сначала догнать ее, отставая на $240∘,$ а затем трижды догнать, отставая на $360∘$ (в каком-то смысле, когда стрелки сравнялись, минутная «отстает» от часовой на $360∘),$ то есть должно пройти

240-+360⋅3- 1320 330 = 330 = 4 ч= 240 мин.

Ответ: 240

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#23566

Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равна скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут, а скорости обоих гонщиков постоянны? Ответ дайте в км/ч.

Показать ответ и решение

Общая протяженность заезда равна $60⋅3= 180$ км. Обозначим скорость первого гонщика через $v1$ км/ч, второго — через $v2$ км/ч.

По условию первый гонщик быстрее, тогда скорость, с которой он отрывается от второго, равна $v1− v2$ км/ч. Известно, что первый обогнал второго на круг через 15 минут, то есть через 0,25 часа после начала. Также известно, что разница во времени прохождения всей трассы первым и вторым гонщиками составляет 10 минут, то есть $1 6$ часа.

Запишем оба условия и решим полученную систему:

$pict$

Тогда скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Ответ: 108

Критерии оценки


Критерии оценивания выполнения задания	Баллы

Ход решения задачи верный, получен верный ответ	2

Ход решения верный, все его шаги присутствуют, но допущена арифметическая ошибка	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Предыдущий раздел

Следующий раздел